pendulo fisico

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
Instituto de Física 
Física Geral e Experimental II-E 
 
 
 
 
Pêndulo Físico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Discentes: Denize Ribeiro da Silva, Eliabe T. S Rocha, Welton Cafezeiro, Stephanie Galvão. 
 
 
Salvador 2016 
 
 
Sumário 
 
 Introdução - Página 1; 
 
 Descrição do Experimento - Página 2; 
 
 Resultados e Discussões - Páginas 3 e 4; 
 
 Análise do Experimento (Respostas da folha de questões) – Página 5 e 6; 
 
 Anexos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1-INTRODUÇÃO 
 
 Nosso mundo está repleto de oscilações. Na turbulência de aviões, no 
vento agindo sobre uma linha de transmissão elétrica, nos edifícios quando são 
postos em oscilações intensas devido a terremotos, em barcos atracados no 
mar, entre outros. 
 O pêndulo simples é um sistema que realiza oscilações, mas, nesse 
caso, de um tipo específico, as harmônicas, isto é, periódicas. O que garante 
isso são os pequenos deslocamentos angulares em relação à posição de 
equilíbrio. Ele consiste numa massa presa a um fio flexível e inextensível por 
uma de suas extremidades e livre por outra. Quando tiramos a massa da 
posição em que encontra-se em repouso, a força restauradora, que é a 
componente horizontal do peso, faz com que ela inicie sua oscilação. O 
acoplamento entre dois ou mais pêndulos simples faz com que eles se 
influenciem mutuamente em trajetórias e em energia. Cada arranjo vai gerar 
um sistema com características próprias. 
 O chamado pêndulo físico é qualquer pêndulo real. Ele consiste de um 
corpo rígido, de qualquer forma, com massa bem distribuída, suspenso por um 
ponto O e que pode girar livremente (sem atrito) em torno desse ponto. Há 
apenas uma diferença importante entre o pêndulo simples e o pêndulo físico. 
Para o pêndulo físico a componente restauradora da força gravitacional possui 
um braço de alavanca em relação ao ponto O de tamanho igual à sua distância 
de centro de massa, ao invés do comprimento do fio. Seu torque, portanto, será 
proporcional ao produto do peso pela distância do centro de massa ao eixo 
(Ƭ=-m g senө s). 
 
 
 
 
 
 Esse experimento visa estudar o 
período de oscilação do pêndulo físico, em 
função da distância s do eixo de rotação ao 
centro de massa. 
 
1 
 
 
 
2-DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO 
O material utilizado no experimento foi: 
 01 Base metálica com um raio de roda de bicicleta; 
 01 Cronômetro; 
 01 Balança; 
 01 Régua; 
 01 Haste metálica com orifícios; 
 Primeiramente, foi realizada a media do comprimento L da haste 
metálica, bem como a de sua massa e anotadas na folha de dados. 
Posteriormente, mediu-se a distancia s do orifício mais acima com relação 
ao orifício localizado no centro de massa e então, a haste foi inserida no 
raio de roda de bicicleta por meio desse orifício. Deslocamos a barra num 
ângulo de 15 graus (pequeno o suficiente para o movimento ser harmônico) 
e soltamos. Quando a haste começou seu movimento, começamos a contar 
o tempo de 10 oscilações e posteriormente dividimos esse tempo por 10 
para obter o tempo em uma única oscilação, ou seja, o período. 
 Realizamos o processo acima 11 vezes (a quantidade de orifícios, 
excluindo o localizado no centro de massa, pois a haste entrava em 
equilíbrio ao inseri-lo no raio de bicicleta e ao deslocar para haver 
movimento, não oscilando), porém sempre diminuindo a distância do orifício 
do eixo ao centro de massa. Anotamos todos esses dados na folha de 
dados (Anexo 01), as distâncias s e seus respectivos períodos. 
 
2
 1 
 
 
3-RESULTADOS E DISCUSSÕES: 
 Após a coleta de dados, foi possível fazer um gráfico do período de 
oscilação T em função da distância s do eixo de rotação ao centro de 
massa. De acordo com o gráfico (Anexo 02), pudemos perceber que trata-
se de uma função do tipo potencia y=kxn de expoente negativo que, 
portanto, tem um valor mínimo como esperado. Notamos também o 
crescimento do gráfico quando s→0 e s→L/2. 
 Traçamos outro gráfico, dessa vez no papel log x log (Anexo 03) para 
os 4 menores valores de s. Linearizando a equação e considerando n=a e 
k=b, podemos calculá-la usando o método do gráfico: 
a = Δy = log 2,1 – log 1,2 = -0,434 
 Δx log 0,011 – log 0,040 
log y = alog x + log b 
log b = log y – αlog x = log 2,1 – ( -0,434.log 0,011) :logb = -0,528 
b = 10-0,528 ; b=0,296. 
Portanto, a partir dos valores obtidos acima, a dependência funcional 
entre T e s é dada pela equação: Y=bxa, ou seja, T=0,296s-0,434. 
 Em seguida, plotamos o gráfico de (T2s/4π2) em função de s2 (Anexo 
04). Nota-se que o gráfico é uma reta (a melhor reta), e, portanto, essas duas 
grandezas possuem uma dependência linear entre elas. Procuremos então a 
equação que determina essa dependência linear. Separando a equação da 
introdução T2/4π2=[(L2/12)+s2]/gs em T2s/4π2=(L2/12)/g + s2/g podemos 
considerar (L2/12)/g como coeficiente linear b e 1/g como coeficiente angular a 
que acompanha a variável independente s2. Ao aplicar mínimos quadrados, 
temos: 
a’ = (∑ x)( ∑ y) - n(∑xy) = 
 (∑ x)2 - n(∑x2) 
a’=0,131 
b’ = (∑xy)( ∑x) - (∑x2)( ∑y) = 
 (∑x)2 - n (∑x2) 
b’= 0,00127 
Logo a função será: 
T2s/4π2=0,131 s2 + 0,00127 (1) 
3 
 
 
Como 1/g =a, logo g=1/a → g= 7,63 m/s² 
 Para determinar a dependência do momento de inércia do pendulo físico 
em função da distância s a partir dos valores obtidos começamos com a 
equação T=2π 
 
 
. Elevando tudo ao quadrado, T2 = 
 
 
 → 
 
 
 = 
 
 
. A partir 
daí é só substituir na equação (1): 
I = mg(0,131 s2 + 0,00127). 
 O teorema dos eixos paralelos é dado por I = Icm + ms2 que significa 
que momento de inércia de um corpo em torno de um eixo qualquer pode ser 
expresso pela soma do momento de inércia em torno de um eixo paralelo 
passando pelo centro de massa e de um termo que é o produto da massa total 
do corpo pelo quadrado da distância entre os dois eixos. Icm = (mL2)/12, então 
I = (mL2)/12 + ms2. 
 Para verificar se o pêndulo satisfaz o teorema dos eixos paralelos, 
comparemos o momento de inercia teórico (It) com o prático (Ip): 
It = (mL2)/12 + ms2 → [0,1284x(0,399)2/12] + 0,1284x(0,399)2 = 0,00640 kg.m² 
Ip = mg(0,131 s2 + 0,00127) 
Ip = 0,1284 x 7,63 x [0,131(0,191)²+0,00127] = 0,00593 kg.m² 
*usamos na substituição L=0,399m, m=0,1284kg, s=0,191m e gexperimental = 
7,63 m/s². 
O erro relativo é calculado: 
ΔI= 
 
 
 ; ΔI = 
 
 
 = 7,3%. 
Logo percebemos que o experimento satisfaz o teorema dos eixos paralelos, 
visto que, o erro relativo deu abaixo de 10%, que é o valor máximo aceitável. 
O raio de giração k em função de s é dado por k= 
 
 
. Substituindo temos que: 
I = mg(0,131 s² + 0,00127), logo a função será k= . 
 
4 
 
 
4 - Análise do experimento (Respostas da folha de questões) 
 
1) Colocando o eixo no centro de massa da régua, o pêndulo não iria oscilar.O 
centro de massa de um corpo é a posição pela qual se pendurado ele 
apresenta um equilíbrio indiferente, pois, afastando-se a régua de posição de 
equilíbrio, girando-a em torno de O, ela permanece em equilíbrio na nova 
posição,então,independente da deflexão, ela não oscilaria. É importante 
ressaltar que o equilíbrio indiferente ocorre quando o centro de gravidade 
(nesse caso, igual ao centro de massa) coincide com o ponto de suspensão. 
 
2) Paragarantir que a oscilação seja o harmônica simples é necessário 
restringir  para valores pequenos, menores que 25° para ser mais específico, 
pois, desta forma, poderemos fazer uma aproximação do sen()  , obtendo 
uma força restauradora proporcional ao sen()  : T=-mg. O que simplifica as 
contas e análises. 
 
3) Pela fórmula de Lo, temos que Lo= I/sm, ou seja, s tem expoente negativo, 
logo quando s tende a zero, Lo tende ao infinito. Usando uma régua de 
L=0,399 m, calculamos os valores de Lo em função de s e temos apenas três 
valores de Lo que são maiores que L, esses valores de s são: 0,03m, 0,02m e 
0,011m, comprovando que a distância do eixo ao centro de oscilações pode ser 
sim maior que o comprimento da régua e essa situação acontece quando o 
valor do s se torna bem pequeno (olhar o gráfico abaixo), nesse caso, a partir 
de 0,03m. Esse resultado é contraditório devido ao fato de Lo assumir valores 
maiores que a régua sendo uma distância interior a mesma. 
 
0 
0,2 
0,4 
0,6 
0,8 
1 
1,2 
1,4 
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 
Lo 
K 
5 
 
 
 
4) Temos que k= , usando o maior valor de s, 
s=0,191m, obtemos que k= = 0,243 m. 
Como temos o valor da régua L=0,399m, logo o valor de k nunca será maior 
que o tamanho da régua para a régua utilizada. 
 
6