Aulas e Exercícios de GAAL

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GAAL Exerc´ıcios 6: Umas soluc¸o˜es
1. Quais dos seguintes vetores sa˜o combinac¸a˜o linear de u = (5,−3, 1), v =
(0, 4, 3), w = (−10, 18, 7)?
(a) (10,−2, 5)
(b) (10, 2, 8)
(c) (−2− 1, 1)
(d) (−1, 2, 3).
O conjunto {u, v, w} e´ L.I ou L.D.? Caso que seja L.D., escreve um deles
como combinac¸a˜o linear dos outros.
R: Vamos fazer a u´ltima parte primeiro. Para achar as soluc¸o˜es da equac¸a˜o
x1u + x2v + x3w = 0, queremos achar as soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo
AX = 0, onde A e´ a matrix com colunas os vetores u, v, w. A matriz
aumentada de A e´
[A|0] =
 5 0 −10 0−3 4 18 0
1 3 7 0

que tem forma escalonada reduzida1 0 −2 00 1 3 0
0 0 0 0
 .
O conjunto soluc¸a˜o (colocando a varia´vel livre x3 = α) e´ 2α−3α
α
 .
Ja´ que o sistema possui soluc¸o˜es na˜o triviais, os vetores u, v, w sa˜o linear-
mente independentes. A soluc¸a˜o com α = 1 nos permite escrever
w = 3u− 2v.
Segue deste fato que um vetor e´ uma combinac¸a˜o linear de u, v, w se, e
somente se, ele e´ combinac¸a˜o linear de u, v.
Olhando pra primeira parte agora. Dado o vetor (a, b, c) (da questa˜o),
queremos saber se existem x1, x2 tais que
(a, b, c) = x1(5,−3, 1) + x2(0, 4, 3) = (5x1,−3x1 + 4x2, x1 + 3x2).
Ja´ que temos x1 = a/5, segue que x2 = (c − x1)/3, conseguimos resolver
as questo˜es facilmente:
1
(a) x1 = 2, x2 = (5− 2)/3 = 1. Temos
(5x1,−3x1 + 4x2, x1 + 3x2) = (5 · 2,−6 + 4, 2 + 3) = (10,−2, 5)
logo (10,−2, 5) e´ combinac¸a˜o linear dos vetores.
(b) x1 = 2, x2 = (8 − 2)/3 = 2. Obtemos 2u + 2v = (10, 2, 8), logo
(10, 2, 8) e´ combinac¸a˜o linear dos vetores.
(c) x1 = 2/5, x2 = 1/5. Obtemos (2/5)u + (1/5)v = (2,−2/5, 1) 6=
(−2,−1, 1), logo (−2,−1, 1) na˜o e´ combinac¸a˜o linear dos vetores.
(d) x1 = −1/5, x2 = 16/15. Na˜o da´ o vetor procurado.
Com partes (a)− (d), tambe´m pode reduzir a matrix 5 0 −10 a−3 4 18 b
1 3 7 c

onde (a, b, c) e´ o vetor dado na questa˜o.
2. Quais dos seguintes conjuntos sa˜o linearmente independentes?
(a) {(1,1,2), (1,0,0), (4,6,12)},
(b) {(1,-2,3), (-2,4,-6)},
(c) {(1,-2,3), (-2,4,6)},
(d) {(1,3,6), (2,1,2), (3,4,5), (0,0,1)},
(e) {(1,1,1), (2,3,1), (3,1,2)}.
R:
(a) Ja´ que temos 3 vetores em R3, podemos calcular o determinante
da matriz A com colunas os vetores dados. Calculando, obtemos
det(A) = 0, logo os vetores sa˜o L.D.
(b) Temos (−2, 4,−6) = −2(1,−2, 3), logo o segundo e´ multiplo escalar
do primeiro. Ou seja, o conjunto e´ L.D.
(c) As u´nicas combinac¸o˜es lineares de um vetor sa˜o os mu´ltiplos escalares
deles. Ja´ que o segundo vetor na˜o e´ mu´ltiplo escalar do primeiro, nem
o primeiro mu´ltiplo escalar do segundo, o conjunto e´ L.E.
(d) Quatro vetores em R3 sa˜o sempre L.D.
(e) Colocando os treˆs vetores numa matriz 3 × 3, obtemos que o deter-
minante dela e´ 0. Logo os vetores sa˜o L.D.
3. Para quais valores de λ o conjunto {(3, 1, 0), (λ2 + 2, 2, 0)} e´ L.D.?
R: Para resolver a equac¸a˜o x1(3, 1, 0) + x2(λ
2 + 2, 2, 0), vamos reduzir a
matrix aumentada 3 λ2 + 2 01 2 0
0 0 0

2
Trocando as primeiras duas linhas e depois fazendo L2 → L2− 3L1, obte-
mos 1 2 00 λ2 − 4 0
0 0 0
 .
Logo o sistema possui soluc¸a˜o na˜o trivial se, e somente se, λ2− 4 = 0. Ou
seja, o conjunto e´ L.D se, e somente se, λ = ±2.
4. Suponha que o conjunto {v1, v2, v3} e´ L.I. Decida se o conjunto {u1, u2, u3}
e´ L.I. ou L.D., onde
(a) u1 = v1 + v2, u2 = v1 + v3, u3 = v2 + v3.
(b) u1 = v1, u2 = v1 + v2, u3 = v1 + v2 + v3.
R:
(a) Considere a equac¸a˜o
0 = x1u1 + x2u2 + x3u3
= x1(v1 + v2) + x2(v1 + v3) + x3(v2 + v3)
= (x1 + x2)v1 + (x1 + x3)v2 + (x2 + x3)v3.
Ja´ que {v1, v1, v3} e´ L.I., a u´nica soluc¸a˜o desta u´ltima equac¸a˜o e´
x1 + x2 = 0, x1 + x3 = 0, x2 + x3 = 0.
Logo x1 = −x2 da primeira igualdade, e das segundas duas obtemos
x2 + x3 = 0 = x1 + x3 = −x2 + x3,
logo x2 = −x2, mostrando que x2 = 0. Daqui segue que x1 = 0, x3 =
0. Logo a u´nica soluc¸a˜o da primeira equac¸a˜o e´ x1 = x2 = x3 = 0,
mostrando que {u1, u2, u3} e´ L.I.
(b) Similar. De novo, mexendo com 0 = x1u1 + x2u2 + x3u3 para deixar
os vi em evideˆncia, obtemos
(x1 + x2 + x3)v1 + (x2 + x3)v2 + x3v3,
logo (pois {v1, v2, v3} e´ L.I.), obtemos que x3 = 0, logo x2 = 0, logo
x1 = 0. Ou seja, {u1, u2, u3} e´ L.I.
5. Seja A uma matriz n×n. Mostre que as colunas de A sa˜o L.I. se, e somente
se, as linhas de A sa˜o L.I.
R: As colunas de A sa˜o L.I. se, e somente se, det(A) 6= 0. Mas det(A) =
det(At), logo as colunas de A sa˜o L.I. se, e somente se, as colunas de At
sa˜o L.I. Mas as colunas de At sa˜o as linhas de A.
6. Seja {v1, v2, . . . , vn} um conjunto L.I. de vetores em Rn. Seja A uma
matriz invert´ıvel. Mostre que o conjunto {Av1, Av2, . . . , Avn} e´ L.I.
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R: Seja B a matrix n× n com colunas os vetores {v1, v2, . . . , vn}. Ja´ que
este conjunto e´ L.I., temos que det(B) 6= 0. Mas agora a matriz
[Av1Av2 . . . Avn] = A[v1v2 . . . vn] = AB.
Ja´ que AB e´ o produto de duas matrizes invert´ıveis, obtemos que AB e´
invert´ıvel. Logo as colunas de AB sa˜o L.I. Mas as colunas de AB sa˜o os
vetores {Av1, Av2, . . . , Avn}.
7. Encontre uma base para o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo AX = 0,
em que
(a) A =
1 0 1 01 2 3 1
2 1 3 1
,
(b) A =
 1 1 2 −12 3 6 −2
−2 1 2 2
.
Quais sa˜o as dimenso˜es dos espac¸os de partes (a) e (b)?
R:
(a) A forma escalonada reduzida da matriz aumentada [A|0] e´1 0 1 0 00 1 1 0 0
0 0 0 1 0
 .
Logo a varia´vel x3 e´ livre. A soluc¸a˜o geral (colocando x3 = α) e´
−α
−α
α
0
 .
Este espac¸o tem dimensa˜o 1. Uma base do espac¸o e´ qualquer vetor
na˜o nulo do espac¸o. Escolhendo α = 1 por exemplo, uma base do
espac¸o e´ 

−1
−1
1
0

 .
(b) A forma escalonada reduzida da matriz aumentada [A|0] e´1 0 0 −1 00 1 2 0 0
0 0 0 0 0
 .
logo as varia´veis x3, x4 sa˜o livres e (colocando x3 = α, x4 = β), a
soluc¸a˜o geral e´ 
β
−2α
α
β
 .
4
Este espac¸o tem dimensa˜o 2. Para achar uma base no´s podemos
(sempre) colocar uma varia´vel ser 1 e o resto 0 para cada varia´vel.
Neste caso:
α = 1, β = 0 :

0
−2
1
0
 ,
α = 0, β = 1 :

1
0
0
1
 .
Logo nossa base e´: 

0
−2
1
0
 ,

1
0
0
1

 .
Pode confirmar que este conjunto e´ L.I. e gera o espac¸o soluc¸a˜o, se
quiser.
8. Encontre os valores de λ tais que o sistema homogeˆneo (A − λIn)X = 0
possui soluc¸a˜o na˜o trivial para as matrizes A seguintes. Para estes valores
de λ, ache uma base para os espac¸os soluc¸a˜o correspondentes:
(a) A =
0 0 11 0 −3
0 1 3
,
(b) A =

2 2 3 4
0 2 3 2
0 0 1 1
0 0 0 1
,
(c) A =
 1 1 −2−1 2 1
0 1 −1
,
(d) A =

−1 2 2 0
−1 2 1 0
−1 1 2 0
0 0 0 1
,
(e) A =
2 3 00 1 0
0 0 2
.
R:
(a) O sistema homogeˆneo (A− λIn)X = 0 possui soluc¸a˜o na˜o trivial se,
e somente se, det(A− λIn) = 0. Temos
det(A− λI) = det
−λ 0 11 −λ −3
0 1 3− λ
 = −λ3 + 3λ2 − 3λ+ 1.
5
Enta˜o estamos procurando λ tal que 0 = −λ3 + 3λ2 − 3λ + 1. Esta
equac¸a˜o possui a soluc¸a˜o o´bvia λ = 1, e da´ı conseguimos escrever o
polinoˆmio como −(λ− 1)3. Segue que (A− λI)X = 0 possui soluc¸a˜o
na˜o trivial se, e somente se, λ = 1. Vamos calcular o espac¸o soluc¸a˜o
correspondente. A forma escalonada reduzida da matrix aumentada
[A− 1I|0] e´ 1 0 −10 1 2
0 0 0

Logo a varia´vel x3 e´ livre, e o espac¸o soluc¸a˜o tem dimensa˜o 1. A
soluc¸a˜o geral e´  α−2α
α

e uma base (colocando α = 1) e´:
 1−2
1
 .
(b) Similar de (a). Temos det(A − λI) = (2 − λ)2(1 − λ)2. Logo temos
soluc¸o˜es na˜o triviais se, e somente se, λ = 1 ou λ = 2.
Quando λ = 2, o espac¸o soluc¸a˜o tem dimensa˜o 1 e uma base e´

α
0
0
0

 .
Quando λ = 1, o espac¸o soluc¸a˜otem dimensa˜o 1 e uma base e´

3α
−3α
α
0

 .
(c) - (e) Omitidas.
9. Dados v1 = (2, 1, 3), v2 = (−2, 1, 3)
(a) Por que {v1, v2} e´ claramente na˜o uma base de R3?
(b) {v1, v2} e´ L.I ou L.D.?
(c) Quais sa˜o as condic¸o˜es sobre um vetor v3 ∈ R3 para que {v1, v2, v3}
seja uma base de R3?
(d) Encontre um vetor v3 tal que {v1, v2, v3} e´ base de R3.
R:
(a) R3 tem dimensa˜o 3, logo qualquer base de R3 tem treˆs elementos.
6
(b) L.I.
(c) Seja v3 = (x, y, z). Estamos procurando valores de x, y, z tais que
det
2 −2 x1 1 y
3 3 z
 6= 0.
Chama esta matrix por A. Calculando o determinante (achei mais
fa´cil usar a terceira coluna), obtemos det(A) = −2y + 4z. Logo
det(A) 6= 0 se, e somente se, z 6= 3y.
(d) Enta˜o um exemplo de um vetor v3 = (x, y, z) tal que z 6= 3y e´ (0, 1, 1).
Pode confirmar que estes treˆs vetores sa˜o L.I. logo (ja´ que R3 tem
dimensa˜o 3), {v1, v2, v3} e´ uma base de R3.
10. Seja r uma reta em R3. Mostre que r e´ subespac¸o de R3 se, e somente se,
0 ∈ r.
R: Tem va´rios jeitos mostrar este fato. Seja W um subespac¸o qualquer de
Rn (n qualquer). Vamos mostrar que 0 ∈ W : ja´ que subespac¸os sa˜o na˜o
vazios, seja w ∈W um elemento qualquer. Ja´ queW e´ subespac¸o e w ∈W ,
enta˜o (−1) · w = −w ∈ W (segunda propriedade de subespac¸os). Mas
agora ja´ que w,−w ∈ W , temos −w + w = 0 ∈ W (primeira propriedade
de subespac¸os). Em particular, caso nossa reta r for subespac¸o, ele vai
conter 0.
Noutra direc¸a˜o, uma reta
r = (a, b, c) + tw t ∈ R
onde (a, b, c) ∈ r e´ um ponto da reta qualquer e w e´ vetor diretor. Mas se
(0, 0, 0) ∈ r enta˜o a reta e´
{tw | t ∈ R}
que e´ um subespac¸o de R3.
11. (a) Sejam W1,W2 subespac¸os de Rn. Mostre que
W1 ∩W2 := {v ∈ Rn | v ∈W1 e v ∈W2}
e´ subespac¸o de Rn.
(b) Mostre que os conjuntos
W1 = {(x, 0) |x ∈ R}
W2 = {(0, y) | y ∈ R}
sa˜o subespac¸os de R2 mas que
W1 ∪W2 := {v ∈ R2 | v ∈W1 ou v ∈W2}
na˜o e´ subespac¸o de R2.
R:
7
(a) Sejam u, v ∈W1 ∩W2. Enta˜o u, v ∈W1 e u, v ∈W2. Agora
u+ v ∈W1
pois u, v ∈W1 e W1 e´ subespac¸o, e tambe´m
u+ v ∈W2
pois u, v ∈W2 e W2 e´ subespac¸o. Segue que u+ v ∈W1 +W2.
Similarmente, dado v ∈ W1 ∩ W2 e α ∈ R, enta˜o αv ∈ W1 pois
v ∈ W1 e W1 e´ subespac¸o, e tambe´m αv ∈ W2 pois v ∈ W2 e W2 e´
subespac¸o. Logo αv ∈ W1 ∩W2, mostrando que W1 ∩W2 satisfaz a
segunda condic¸a˜o de subespac¸o. Logo W1 ∩W2 e´ subespac¸o de Rn.
(b) O elemento (1, 0) ∈ W1, logo (1, 0) ∈ W1 ∪W2. O elemento (0, 1) ∈
W2, logo (0, 1) ∈W1 ∪W2. Mas o elemento
(1, 0) + (0, 1) = (1, 1)
e (1, 1) 6∈W1 e (1, 1) 6∈W2, logo (1, 1) 6∈W1∪W2. Ja´ que W1∪W2 na˜o
satisfaz a primeira condic¸a˜o de ser subespac¸o, ele na˜o e´ um subespac¸o
de R2.
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