gaal exercicios 6

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GAAL: Exerc´ıcios 6
1. Quais dos seguintes vetores sa˜o combinac¸a˜o linear de u = (5,−3, 1), v =
(0, 4, 3), w = (−10, 18, 7)?
(a) (10,−2, 5)
(b) (10, 2, 8)
(c) (−2− 1, 1)
(d) (−1, 2, 3).
O conjunto {u, v, w} e´ L.I ou L.D.? Caso que seja L.D., escreve um deles
como combinac¸a˜o linear dos outros.
2. Quais dos seguintes conjuntos sa˜o linearmente independentes?
(a) {(1,1,2), (1,0,0), (4,6,12)},
(b) {(1,-2,3), (-2,4,-6)},
(c) {(1,-2,3), (-2,4,6)},
(d) {(1,3,6), (2,1,2), (3,4,5), (0,0,1)},
(e) {(1,1,1), (2,3,1), (3,1,2)}.
3. Para quais valores de λ o conjunto {(3, 1, 0), (λ2 + 2, 2, 0)} e´ L.D.?
4. Suponha que o conjunto {v1, v2, v3} e´ L.I. Decida se o conjunto {u1, u2, u3}
e´ L.I. ou L.D., onde
(a) u1 = v1 + v2, u2 = v1 + v3, u3 = v2 + v3.
(b) u1 = v1, u2 = v1 + v2, u3 = v1 + v2 + v3.
5. Seja A uma matriz n×n. Mostre que as colunas de A sa˜o L.I. se, e somente
se, as linhas de A sa˜o L.I.
6. Seja {v1, v2, . . . , vn} um conjunto L.I. de vetores em Rn. Seja A uma
matriz invert´ıvel. Mostre que o conjunto {Av1, Av2, . . . , Avn} e´ L.I.
7. Encontre uma base para o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo AX = 0,
em que
(a) A =
1 0 1 01 2 3 1
2 1 3 1
,
(b) A =
 1 1 2 −12 3 6 −2
−2 1 2 2
.
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Quais sa˜o as dimenso˜es dos espac¸os de partes (a) e (b)?
8. Encontre os valores de λ tais que o sistema homogeˆneo (A − λIn)X = 0
possui soluc¸a˜o na˜o trivial para as matrizes A seguintes. Para estes valores
de λ, ache uma base para os espac¸os soluc¸a˜o correspondentes:
(a) A =
0 0 11 0 −3
0 1 3
,
(b) A =

2 2 3 4
0 2 3 2
0 0 1 1
0 0 0 1
,
(c) A =
 1 1 −2−1 2 1
0 1 −1
,
(d) A =

−1 2 2 0
−1 2 1 0
−1 1 2 0
0 0 0 1
,
(e) A =
2 3 00 1 0
0 0 2
.
9. Dados v1 = (2, 1, 3), v2 = (−2, 1, 3)
(a) Por que {v1, v2} claramente na˜o e´ uma base de R3?
(b) {v1, v2} e´ L.I ou L.D.?
(c) Quais sa˜o as condic¸o˜es sobre um vetor v3 ∈ R3 para que {v1, v2, v3}
seja uma base de R3?
(d) Encontre um vetor v3 tal que {v1, v2, v3} e´ base de R3.
10. Seja r uma reta em R3. Mostre que r e´ subespac¸o de R3 se, e somente se,
0 ∈ r.
11. (a) Sejam W1,W2 subespac¸os de Rn. Mostre que
W1 ∩W2 := {v ∈ Rn | v ∈W1 e v ∈W2}
e´ subespac¸o de Rn.
(b) Mostre que os conjuntos
W1 = {(x, 0) |x ∈ R}
W2 = {(0, y) | y ∈ R}
sa˜o subespac¸os de R2 mas que
W1 ∪W2 := {v ∈ R2 | v ∈W1 ou v ∈W2}
na˜o e´ subespac¸o de R2.
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