John MacQuarrie- GAAL

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GAAL online: Exerc´ıcios 8 (umas soluc¸o˜es)
1. Seja W subespac¸o de Rn com base {w1, . . . , wk}. Mostre que todo vetor de
W pode ser escrito unicamente como combinac¸a˜o linear de {w1, . . . , wk}.
R: Sabemos ja´ que todo vetor de W pode ser escrito como combinac¸a˜o
linear de {w1, . . . , wk}. So´ precisamos confirmar que na˜o existe um vetor
de W que pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores em dois
jeitos diferentes.
Suponha que o vetor u ∈W poderia ser escrito em dois jeitos:
u = α1w1 + . . .+ αkwk = β1w1 + . . .+ βkwk.
Ja´ que essas expresso˜es sa˜o diferentes, existe pelo menos uma ı´ndice i com
αi 6= βi. Rearranjando, obtemos
(α1 − β1)w1 + . . .+ (αk − βk)wk = 0.
Mas ja´ que αi 6= βi, enta˜o αi − βi 6= 0 e essa expressa˜o e´ soluc¸a˜o na˜o
trivial da equac¸a˜o
x1w1 + . . .+ xkwk = 0.
Mas isso e´ imposs´ıvel, pois {w1, . . . , wk} e´ L.I. (pois e´ base).
2. Mostre que se A,B sa˜o matrizes ortogonais, enta˜o AB e´ ortogonal.
R: Se lembre que uma matriz A e´ ortogonal se A−1 = A‘t. Logo A−1 = At
e B−1 = Bt. Mas agora por propriedades de matrizes temos
(AB)−1 = B−1A−1 = BtAt = (AB)t,
logo AB e´ ortogonal tambe´m.
3. Encontre uma matriz ortogonal P cuja primeira linha e´
(
1/3 2/3 2/3
)
.
R: Tem milho˜es. Um jeito para resolver e´ para achar uma base ortonormal
de R3 que inclua (como primeiro vetor) o vetor (1/3, 2/3, 2/3). A matriz
cujas linhas sa˜o os vetores dessa base sera´ ortonormal.
4. E´ poss´ıvel encontrar uma matriz ortogonal cuja primeira linha e´
(
1 2 2
)
?
R: Na˜o. Seja A uma matriz cuja primeira linha e´
(
1 2 2
)
. Enta˜o AAt
tem como entrada (1, 1) o produto escalar (1, 2, 2) · (1, 2, 2) = 9. Logo
AAt 6= I3 (pois entrada (1, 1) de I3 e´ 1).
1
5. Encontre uma matriz ortogonal sime´trica P (isto e´, com P t = P ) cuja
primeira linha e´
(
1/3 2/3 2/3
)
R: Ja´ que P e´ sime´trica, tera´ a seguinte forma:
P =
1/3 2/3 2/32/3 a b
2/3 b d
 .
Nossa tarefa e´ achar valores de a, b, d tais que P e´ ortogonal. Um (de
va´rios) jeito a prosseguir: Do fato que PP t = I3, obtemos as seguintes
equac¸o˜es:
4/9 + a2 + b2 = 1
4/9 + b2 + d2 = 1
4/9 + ab+ bd = 0
Subtraindo a segunda da primeira, obtemos a2 = d2, logo a = ±d. Para
simplificar as contas, vamos escolher a possibilidade a = d. Logo a terceira
equac¸a˜o da´ 4/9+2ab = 0, logo a = −2/9b. Coloque esse valor de a dentro
da equac¸a˜o 4/9 + a2 + b2 = 1 e mexer para obter
(−2/9b)2 + b2 = 5/9⇐⇒ b4 − (5/9)b2 + 4/81.
Usando a formula quadra´tica (com varia´vel b2), obtemos b2 = 1/9 ou 4/9,
logo b = ±1/3,±2/3. Escolhi b = 1/3, logo a = −2/3 e d = −2/3. E´ fa´cil
confirmar que a matriz
P =
1/3 2/3 2/32/3 −2/3 1/3
2/3 1/3 −2/3

e´ ortogonal. Esta resposta serve como resposta para questa˜o 3 tambe´m.
6. Se P e´ uma matriz ortogonal, mostre que det(P ) = ±1.
R: Temos P−1 = P t. Ja´ que det(P t) = det(P ), temos
1 = det(In)
= det(PP−1)
= det(P ) det(P−1)
= det(P ) det(P t)
= det(P ) det(P )
= det(P )2.
Ja´ que det(P )2 = 1, temos det(P ) = ±1.
7. (a) Encontre as coordinadas do ponto P = (1, 3) com relac¸a˜o a` base
S = {(1/
√
2, 1/
√
2), (−1/
√
2, 1/
√
2)}.
2
(b) Suponha que as coordinadas do ponto T com respeito a S sa˜o (√2,−√2).
Encontre T (com respeito a` base canoˆnica).
R:
(a) Seja P a matriz com colunas os elementos de S. Queremos resolver
o sistema linear
PS =
[
1
3
]
.
Ja´ que P e´ invert´ıvel e ortogonal, a u´nica soluc¸a˜o esta´ dada por
S = P−1
[
1
3
]
= P t
[
1
3
]
=
[ √
2
0
]
.
(b) Queremos resolver PT =
[
x
y
]
, enta˜o simplesmente fazemos a mul-
tiplicac¸a˜o:
PT = P
[ √
2
−√2
]
=
[
2
0
]
.
8. (a) Confirme que o conjunto
S = {(1/
√
2,−1/
√
2, 0), (0, 0, 1), (1/
√
2, 1/
√
2, 0)}
e´ uma base ortonormal de R3.
(b) Ache as coordinadas do ponto P = (2,−1, 2) com respeito a` base S.
(c) Suponha que as coordinadas do ponto T com respeito a` base S sa˜o
(2, 1,−1). Ache o ponto T (com respeito a` base canoˆnica).
R:
(a) Confirme que toda par seja ortogonal e´ que a norma de cada elemento
seja 1.
(b) Seja A a matriz com colunas os vetores dados. Enta˜o A−1 = At.
Como na u´ltima questa˜o, as coordinadas do ponto (2,−1, 2) com
respeito a` base S sa˜o dadas por
AtP =
 1/√2 −1/√2 00 0 1
1/
√
2 1/
√
2 0
 2−1
2
 =
 3/√22
1/
√
2

(c)
T = A
 21
−1
 =
 1/√2−3/√2
1
 .
9. Determine qual a rotac¸a˜o do plano em que as coordinadas do ponto P =
(
√
3, 1) sa˜o (
√
3,−1).
R: O aˆngulo entre os vetores (
√
3, 1) e (
√
3,−1) e´ pi/3. Ja´ que um vetor
do primeiro quadrante se muda pro quarto quadrante (fac¸a esboc¸o!), o
aˆngulo da rotac¸a˜o e´
2pi − pi/3 = 5pi/3
3
10. Mostre que Rθ1Rθ2 = Rθ1+θ2 .
R: Identidades trigonomeˆtricas. Temos
Rθ1 =
(
cosθ1 −senθ1
senθ1 cosθ1
)
, Rθ2 =
(
cosθ2 −senθ2
senθ2 cosθ2
)
.
Logo
Rθ1Rθ2 =
(
cosθ1cosθ2 − senθ1senθ2 −cosθ1senθ2 − senθ1cosθ2
senθ1cosθ2 + cosθ1senθ2 −senθ1senθ2 + cosθ1cosθ2
)
Aplicando identidades trigonomeˆtricas, obtemos
Rθ1Rθ2 =
(
cos(θ1 + θ2) −sen(θ1 + θ2)
sen(θ1 + θ2) cos(θ1 + θ2)
)
= Rθ1θ2 .
11. Considere o plano pi : 3x−√3y + 2z = 0.
(a) Determine uma base ortonormal {u, v} para o plano em que o pri-
meiro vetor esteja no plano xy.
(b) Complete a base encontrada para se obter uma base ortonormal
{u, v, w} de R3.
(c) Determine as coordinadas dos vetores
−→
i ,
−→
j ,
−→
k com respeito a` base
{u, v, w}.
R:
(a) Um vetor pertence ao plano xy se a coordinada z = 0. Olhando
pra equac¸a˜o, vimos que o vetor u′ =
 1√3
0
 pertence ao plano.
Podemos escolher para w qualquer outro vetor na˜o mu´ltiplo escalar de
u que pertence ao plano. Escolho w =
 20
−3
. Usamos o processo
das aulas para manipular w para ser ortogonal a u. Seja
v′ = w − projuw =
 3/2−√3/2
−3
 .
A base {u′, v′} e´ ortogonal mas na˜o ortonormal, enta˜o dividimos pelas
normas:
||u′|| = 2
||v′|| = 2
√
3,
logo uma base ortonormal e´
{u, v} =

 1/2√3/2
0
 ,
 √3/4−1/4√
3/2
 .
4
(b) O vetor w′ = (0, 0, 1) na˜o pertence ao plano pi, logo {u, v, w′} e´ uma
base de R3. Usamos o processo para achar um vetor ortogonal ao
conjunto existente e com norma 1.
w′′ = w′−projuw′−projvw′ =
 00
1
−
 00
0
−
 3/8−√3/8
3/4
 =
 −3/8√3/8
1/4
 .
Agora dividimos pela norma de w′′, que e´ ||w′′|| = 1/2. Logo nosso
u´ltimo vetor sera´
w =
 −3/4√3/4
1/2

(c) Seja P a matriz (ortogonal) com colunas os vetores u, v, w. Para
achar as coordinadas procuradas, simplemente multiplicar os vetores−→
i ,
−→
j ,
−→
k por P t:
P t
−→
i =
 1/2√3/4
−√3/4

P t
−→
j =
 √3/2−1/4√
3/4

P t
−→
k =
 0√3/2
1/2
 .
12. (a) Encontre uma base ortonormal {u, v, w} de R3 que inclua o vetor
u =
(
1√
3
,
1√
3
,
1√
3
)
.
(b) Seja P = (1, 1, 1) um ponto de R3 escrito com respeito a` base normal.
Ache as coordinadas de P com respeito a` sua base nova.
(c) Seja P = (1, 0, 0) um ponto escrito com respeito a` base normal. Ache
as coordinadas de P com respeito a` sua base nova.
(d) Seja P = (x, y, z) um ponto geral escrito com respeito a` base normal.
Ache as coordinadas de P com respeito a` sua base nova.
(e) Seja P = (1, 2, 3) um ponto escrito com respeito a` sua base nova.
Ache as coordinadas de P com respeito a` base normal.
R:
(a) Um jeito a achar esta base: pegue uma base qualquer de R3 que
inclua u. Por exemplo, podemos pegar {u, (1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Agora
use Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal de R3 que inclua
u. Fiz num jeito “ad hoc”e obtive a base
{u, v, w} =
{(
1√
3
,
1√
3
,
1√
3)
,
(
0,
1√
2
,− 1√
2
)
,
(
− 2√
6
,
1√
6
,
1√
6
)}
.
5
(b) Das aulas, sabemos que as coordinadas de (1, 1, 1) com respeito a`
base nova sa˜o dadas por Qt
11
1
 onde Q e´ a matriz com colunas os
vetores {u, v, w}. Obtemos as coordinadas
Qt
11
1
 =
 1/√3 1/√3 1/√30 1/√2 −1/√2
−2/√6 1/√6 1/√6
11
1
 =
3/√30
0
 =
√30
0
 .
Esta resposta na˜o depende da sua escolha da base.
(c) Da mesma forma, obtemos
Qt
10
0
 =
 1/√3 1/√3 1/√30 1/√2 −1/√2
−2/√6 1/√6 1/√6
10
0
 =
 1/√30
−2/√6
 .
Esta resposta depende da escolha da base.
(d) Mesma coisa:
Qt
xy
z
 =
 1/√3 1/√3 1/√30 1/√2 −1/√2
−2/√6 1/√6 1/√6
xy
z
 =

x+y+z√
3
y−z√
2−2x+y+z√
6
 .
(e) Queremos achar o ponto
ab
c
 tal que
Qt
ab
c
 =
12
3
 .
Para achar
ab
c
, e´ so´ multiplicar os dois lados da equac¸a˜o acima por
(Qt)−1 = Q:ab
c
 = Q
12
3
 =
 1/√3−√61/√3 +√2 + 3/√6√
3−√2 + 3/√3
 .
13. Considere o c´ırculo C de raio 1 e centrado na origem do sistema usual
de coordinadas de R2 (lembre-se que a equac¸a˜o de C e´ x2 + y2 = 1).
Considere o sistema {Q,−→i ,−→j }, onde Q = (−3, 2). Ache a equac¸a˜o de C
com respeito a este novo sistema de coordinadas.
R: Precisamos fazer uma translac¸a˜o de coordinadas. O vetor
−→
0Q = (−3, 2).
Logo, seguindo as aulas, as coordinadas de um ponto P =
(
a
b
)
com
6
respeito a`s coordinadas novas sa˜o
(
a+ 3
b− 2
)
. Segue que a equac¸a˜o de C se
torna
(x+ 3)2 + (y − 2)2 = 1,
que podemos reescrever como
x2 + y2 + 6x− 4y = −12,
se quisermos.
7