MATERIAL FÍSICA ELETRO MAGNETISMO (FIS III)

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Circuitos 
elétricos CC 
Prof. 
Graça 2012 
Circuitos elétricos de CC 
 
Conteúdo 
• Circuitos Equivalentes 
• Princípio da Superposição 
• Elementos Lineares 
• Regras de Kirchoff 
• Divisor de tensão 
• Circuito de várias malhas (regra de Cramer) 
• Carga e Descarga de capacitores 
• Circuitos Indutivos 
 
Corrente elétrica 
Para aparecer uma corrente através de um resistor, devemos ter uma diferença de potencial 
entre as suas pontas, o que é equivalente à existência de um campo elétrico: 
O dispositivo capaz de manter essa diferença de potencial é uma fonte de força eletromotriz 
fem. A fem é capaz de realizar continuamente um trabalho capaz de manter a diferença de 
potencial V+ - V- 
Exemplos de fem 
V+ V_ 
E 
 
 
I 
Trabalho energia e fem 
Analisando o circuito: 
a) Em um intervalo dt, uma carga dq passa através 
da seção transversal aa´ 
b) A fem deve realizar um trabalho dW para levar a 
carga dq do potencial menor para o maior. 
A fem representa o trabalho por unidade de carga para levar a carga do potencial mais 
baixo para o mais alto. 
Unidade (): []=[W]/[q] Joule/Coulomb Volt 
Fem ideal e real 
Fonte Ideal 
1. Possui resistência interna nula 
2. A ddp entre os seus terminais é igual à fem da fonte: 
Fonte Real 
1. Possui resistência interna 
2. A ddp entre os seus terminais é igual à fem só quando a fonte está 
aberta, ou seja sem carga: 
3. Quando há corrente através da fonte ddp entre os seus terminais é 
diferente da fem. 
Circuito elétrico: Fontes e cargas 
Em resumo: 
Cálculo da corrente 
Dois métodos básicos: 
1º Baseando-se na conservação de energia 
2º Baseando-se na conservação de carga. 
Método da Energia 
• A energia produzida pela fonte aparece no resistor sob a forma de calor, sendo a potência: 
Como se trata de uma fonte 
Ideal, o balanço de energia mostra: 
Cálculo da corrente 
Método do Potencial- regra das malhas: 
 
Partindo de um ponto qualquer do circuito, em 
qualquer sentido, podemos somar as 
ddp...aplicando a conservação de energia. 
• Vamos aplicar o método partindo do ponto ´a´ no sentido horário: 
então 
Cálculo da corrente 
Método do Potencial- regra das malhas: 
 
Partindo de um ponto qualquer do circuito, em 
qualquer sentido, podemos somar as ddp 
aplicando a conservação de energia. 
A regra das malhas de Kirchoff, aplicação do método 
do potencial ou conservação de energia pode ser 
resumido assim: 
A soma algébrica das variações de potencial 
ao longo de uma malha fechada deve ser nula: 
Cálculo da corrente: fonte real 
A fonte real possui uma resistência interna r, 
Aplicando a regra das malhas teremos: 
Diferença de Potencial Entre Dois Pontos Quaisquer do circuito 
Muitas vezes queremos calcular a d. d. p. entre dois pontos de um circuito, o método dos 
potenciais pode ser útil neste momento. 
 
Problema: Considere o mesmo circuito anterior onde os pontos que vamos 
considerar são os pontos a e b. 
Cálculo da corrente 
Cálculo da corrente 
b) Usando o mesmo valor da corrente do 1º caso 
Obs.: não importa o sentido que percorremos o circuito, devemos encontrar a mesma 
 ddp entre os pontos a e b, pois esta ddp independe da trajetória. 
Resistores em série 
 
Problema: dadas as resistências de uma combinação em série, devemos encontrar 
o resistor equivalente, que para a mesma bateria, substitui os demais resistores da 
combinação. 
Divisor de tensão 
 
total
321
1
11 v
RRR
R
iRv


total
321
2
22 v
RRR
R
iRv


total
321
3
33 v
RRR
R
iRv


total
321
v
RRR
R
iRv kkk


 
Aplicação do divisor de tensão 
V5.1
15
6000200010001000
1000
total
4321
1
1





 v
RRRR
R
v
Na bateria, lembrando que dq=Idt, a Energia será dada por: 
IdtdqdW;
dt
dW  
Resistores em paralelo 
Circuitos de Malhas Múltiplas 
O sentido das correntes é sempre escolhido arbitrariamente 
pois o resultado indicará o sentido verdadeiro 
Ferramentas básicas para resolver o circuito de várias malhas: 
 
1. Regra das malhas método dos potenciais (conservação da energia) 
 
2. Regra dos nós conservação da carga 
Circuitos de Malhas Múltiplas 
O sentido das correntes é sempre escolhido arbitrariamente 
pois o resultado indicará o sentido verdadeiro 
Ferramentas básicas para resolver o circuito de várias malhas: 
 
1. Regra das malhas método dos potenciais (conservação da energia) 
 
2. Regra dos nós conservação da carga 
Malha abda 
 
Malha bcda 
 
Nó b 
−𝜖1 − 𝐼2𝑅2 + 𝐼1𝑅1 = 0 
 𝜖2+𝐼2𝑅2 + 𝐼3𝑅3 = 0 
−𝐼1 − 𝐼2 + 𝐼3 = 0 
Circuitos de Malhas Múltiplas 
 
 
Temos três equações, envolvendo as três correntes. Resolvendo para as três incógnitas (I1, 
I2 e I3): 
 R1 I1 - R2 I2 + 0 I3 = ε1 
0 I1 + R2 I2 + R3 I3 = - ε2 
- I1 − I2+ I3 = 0 
O método de solução mais agradável é o matricial: 
A solução deste sistema envolve a 
inversão da matriz de coeficientes e a sua 
multiplicação pelo vetor de termos 
independentes 
A inversão e a multiplicação de matrizes numéricas pode ser feita no EXCEL 
Circuitos de Malhas Múltiplas 
Vamos dar como exemplo: 
R1= 1; R2= 2; R3= 3; 1=12volts; 2=6volts 
 
 
Em vez da inversão de matrizes pode ser utilizada a regra de Cramer 
que se encontra no livro 
1 -2 0 
0 2 3 
-1 -1 1 
12 
-6 
0 
0,454545 0,181818 -0,54545 
-0,27273 0,090909 -0,27273 
0,181818 0,272727 0,181818 
12 
-6 
0 
x = 
= x 
4,363636 
-3,81818 
0,545455 
= 
 
 
Circuítos 
Capacitivos 
 
Prof. Graça 
Circuito RC :Carga e Descarga de Capacitores 
Antes: tratamos até aqui com correntes elétricas que 
não variam no tempo. 
 
Agora: vamos tratar com correntes elétricas variáveis no 
tempo. 
 
1º Carregando um Capacitor 
O capacitor está inicialmente descarregado. Movendo-se 
a chave S para a temos um circuito RC em série e a fem, 
ε, em série com a resistência R e a capacitor C. 
 
 
Como a corrente varia no tempo? Para responder isso, vamos aplicar a Regra das Malhas no 
circuito (com chave S em a), no sentido horário e começando do ponto x: 
ε − VR − VC = 0 ou VR+VC = ε . 
Usando VR = R I e q = C VC, então, , tanto q quanto I variarão com o tempo, logo 
esta é uma equação com duas variáveis (q, I), precisamos de mais uma equação : I=dq/dt 
Então temos a equação de carga: 
Circuito RC :Carga e Descarga de Capacitores 
Devemos achar uma condição inicial que satisfaça a exigência de que o capacitor esteja 
inicialmente descarregado. Condição de contorno = condição inicial = para t = 0 s, q0 = 0 C. 
Felizmente a equação diferencial é de variáveis separáveis dt 
Solução: 
 Carga 
 
 
 Corrente 
 
 
ddp no capacitor 
 
 
ddp no resistor 
Descarga do Capacitor 
Suponha agora que o capacitor está plenamente carregado 
(VC = ε e q = ε C), e para t = 0 s, giramos a chave S para o 
ponto b, para que o capacitor C possa descarregar na 
resistência R. 
Como a corrente de descarga do capacitor varia no tempo? 
 
A equação anterior continua sendo válida, exceto que agora não temos a bateria no 
circuito (ε = 0 V). 
VR +VC = 0 
Então, a equação de descarga será 
 
 
 
 
A condição inicial agora é que o capacitor esteja inicialmente totalmente carregado: 
q(t=0)=q0 = ε C. 
Descarga do Capacitor 
Da mesma maneira que na carga,
esta equação também é de 
variáveis separáveis, então podemos escrever: 
derivando 
Portanto 
corrente em direção oposta 
26 
A equação de descarga RC 
q  qmaxe

t
RC
6 
2 4 6 8 10 
qmax 
tempo 
qmax/e 
Carga 37% of qmax 
tempo = RC (constante de 
tempo) 
27 
Corrente de descarga 
2 4 6 8 10 
Imax 
tempo 
co
rr
en
te
 
37% de Imax 
28 
Exemplos 
R C T 
 
10k 10nF 1s 
1M 10pF 1s 
1k 10pF ? 
1M 10F ? 
 
Mostrar que a dimensão RC = T 
29 
Circuito Integrador 
Vi 
R 
C Vc 
T 
Vi 
Vc 
T/10 
5T 
 
Vc 
1
RC
Vi dt
30 
Circuito Diferenciador 
T 
Vi 
VR 
T/10 
VR  RC
dVi
dt
Vi R 
C 
VR 
31 
• Capacitância é uma constante de proporcionalidade 
relacionando q e V 
• Capacitância depende de fatores geométricos 
• Capacitores podem armazenar energia elétrica 
• Circuitos gráficos e equações C - R (V, q e I) 
• Transientes ajudam a explicar o comportamento de 
circuitos AC 
• Como os capacitores se somam quando em paralelo e 
em série 
• Leia os capítulos 4 e 11 das notas de aula 
 
Sumário 
32 
Tipos de Capacitores.... 
eletrolítico 
tântalo 
poliéster 
epoxi 
cerâmica 
ajustávei
s 
p/ 
sintonia 
Para motores 
super 
capacitor 
Circuitos 
Indutivos 
Prof. Graça 
2012 
Circuito RL 
• Quando a chave S é fechada a 
corrente não atinge imediatamente 
o seu valor máximo. 
 
• A Lei de Faraday pode ser usada 
par explicar o fato 
fem auto induzida 
 A fem tem polaridade inversa ao (b) quando a corrente decresce (c) 
 Uma corrente na bobina produz um campo B para a esquerda (a). 
 
 Se a corrente cresce, o fluxo aumenta e a fem induzida tem o sinal indicado, 
criando um campo induzido contrário ao crescimento da corrente (b) 
 
Auto Indutância 
 oB
o
d nIAd dI NBA dI
N N N nA
dt dt dt I dt

        
oB nI 
BN dI dIL
I dt dt

   
BNL
I


Definição: Auto Indutância 
Indutância de um Solenoide 
• O fluxo magnético através de cada espira será: 
 
 
 
• Portanto a indutância será: 
 
 
• Isto demonstra que a indutância é dependente da 
geometria do solenoide 
 
    
 
IB o
N
BA μ A
2
I
B oN μ N AL

 
Unidades de Indutância 
BNL
I


dI
L
dt
 
     
V
L s Henry H
A / s
 
      
 
 Circuíto RL 
Carga 
Lei das malhas: 
o
dI
V RI L 0
dt
  
Solução: 
 t /o
V
I 1 e
R
  
L
R
 
Circuíto RL 
Descarga 
Lei das malhas: 
dI
RI L 0
dt
 
Solução: 
t /
oI I e
 
L
R
 
Energia na bobina 
dI
P VI L I
dt
 
   
 
21U LI
2

PE no Indutor 
PE no Capacitor 
21U CV
2

Densidade de energia na bobina 
21U LI
2

PE no indutor 
 oB N NI / AN NBAL
I I I

  
 
 
2
o 2
o o
N N A1 B 1
U B A
2 N 2
  
   
   
o
B
I
N


2
o
1
u B
2


2
o
1
u E
2
 
Exemplo: Cabo Coaxial 
• Calculo de L para o cabo 
• O fluxo total flux é 
 
 
• Portanto, L é 
 
 
• A energia total será 
 ln
2 2
I Ib o o
B
a
μ μ b
B dA dr
πr π a
 
     
 
 
ln
2I
B oμ bL
π a
  
   
 
2
21 ln
2 4
I
I o
μ b
U L
π a
 
   
 
Circuíto LC 
Q dI
L 0
C dt
 
2
2
d Q Q
0
dt LC
 
Equação das malhas: Solução: 
 maxQ Q cos t   
1
LC
 
 I t 0 0 
maxQ(t 0) Q 
Energia em um circuito LC 
 
22
2max
E
Q1 Q
U cos t
2 C 2C
    
 maxQ Q cos t 
1
LC
 
   
2 2 2
2 2 2max max
B
L Q Q1
U LI sin t sin t
2 2 2C

    
 max
dQ
I Q sin t
dt
    
   
2 2 2
2 2max max max
E B
Q Q Q
U U cos t sin t
2C 2C 2C
     
Circuitos RLC 
Q dI
RI L 0
C dt
  
Equação das malhas: 
Solução: 
2
2
d Q dQ Q
L R 0
dt dt C
  
 tmax dQ Q e cos t
   
2
d 2
1 R
LC 4L
  R
2L
 
Circuito RLC amortecido 
• O máximo valor de Q 
decresce após cada 
oscilação 
– R < RC 
• Isto é análogo ao 
sistema massa-mola 
amortecedor 
Circuitos RLC 
A. Subamortecido 
B. Amortecimento critico 
C. sobramortecido 
 
R
t
2L
oQ Q e cos ' t

   
2
2
1 R
'
LC 4L
  
2
2
1 R
LC 4L

2
2
1 R
LC 4L

2
2
1 R
LC 4L

24L R
C

24L R
C

24L R
C

 Analogias entre sistemas elétricos e mecânicos 
Circuito Elétrico Variáveis Sistema Mecânico Unidimensional 
Carga elétrica Q  x Posição 
Corrente I  vx Velocidade 
Diferença de Potencial V  F x Força 
Resistência R  b Coeficiente de Amortecimento 
Capacitância C  1/k Constante elástica 
Indutância L  m Massa 
Corrente Velocidade 
Derivada da corrente Aceleração 
Energia no indutor Energia Cinética 
Energia no capacitor Energia potencial armazenada em mola 
Energia perdida na 
resistência 
Perda de Energia por atrito 
Circuito RLC Sistema massa-mola-amortecedor