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NOTAS DE AULAS Mecaˆnica Cla´ssica Prof.: Salviano A. Lea˜o Goiaˆnia – Goia´s Suma´rio 1 Introduc¸a˜o 1 1.1 PADRO˜ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Refereˆncias Bibliogra´ficas 19 2 Mecaˆnica Newtoniana 20 2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Dinaˆmica: massa e forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2 Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.3 Terceira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Princ´ıpio da Relatividade de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Transformac¸o˜es galileanas: referenciais inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 Aplicac¸o˜es das leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7 Integrac¸a˜o das equac¸o˜es de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.7.1 Ana´lise do movimento unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7.2 Forc¸a aplicada constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.7.3 Forc¸a aplicada dependente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.7.4 Forc¸as dependentes da velocidade: Forc¸as de retardamento . . . . . . . . 46 2.8 Teoremas de conservac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.8.1 Conservac¸a˜o do momentum linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.8.2 Conservac¸a˜o do momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.8.3 Conservac¸a˜o da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.8.4 Poteˆncia (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.8.5 Dependeˆncia Temporal da Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.8.6 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 i Prof. Salviano A. Lea˜o ii 2.8.7 Equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.9 Movimento de foguetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.9.1 Movimento do foguete: forc¸a externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.9.2 Movimento do foguete: sem forc¸a externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.9.3 Foguete em ascensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.10 Limitac¸o˜es da mecaˆnica newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.11 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.12 Apeˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.12.1 Expanso˜es em se´ries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.12.2 Func¸o˜es Hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.12.3 Func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3 Oscilac¸o˜es 89 3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2 Pequenas Oscilac¸o˜es: Lineares e Na˜o-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2.1 Oscilac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2.2 Oscilac¸o˜es Na˜o-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.2.3 Mole´culas Diatoˆmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.3 Oscilador Harmoˆnico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4 Estudo do Movimento Harmoˆnico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.4.1 Ana´lise do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.4.2 Condic¸o˜es Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.5 Oscilador Harmoˆnico Simples: Soluc¸a˜o por Conservac¸a˜o de Energia . . . . . . . 100 3.6 Oscilador Harmoˆnico Simples e a Conservac¸a˜o de Energia . . . . . . . . . . . . . 101 3.7 Energias Me´dias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.8 Oscilador Harmoˆnico e o Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . 103 3.9 Peˆndulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.10 Oscilador Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.11 Osciladores Acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.12 Determinac¸a˜o da frequ¨eˆncia Natural ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.12.1 Me´todo da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.12.2 Me´todo de Rayleigh: Massa Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.13 Oscilac¸o˜es Harmoˆnicas em duas Dimenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.14 Diagramas de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.15 Oscilac¸o˜es Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.15.1 Amortecimento Subcr´ıtico (β < ω0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.15.2 Balanc¸o de Energia: Fator de Qualidade Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.15.3 Amortecimento Cr´ıtico (β = ω0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.15.4 Amortecimento Supercr´ıtico (β > ω0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Prof. Salviano A. Lea˜o iii 3.16 Oscilac¸o˜es Forc¸adas Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.17 Ressonaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.18 Impedaˆncia de Um Oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.19 Princ´ıpio da superposic¸a˜o: se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.20 Elementos de um Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.20.1 Resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.20.2 Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.20.3 Indutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.20.4 Gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.21 Oscilac¸o˜es Ele´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.22 Analogia entre as Oscilac¸o˜es Mecaˆnicas e Ele´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 3.23 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.23.1 Circuitos LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.23.2 Circuitos RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4 Gravitac¸a˜o 150 4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.2 Princ´ıpio da Superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.3 Distribuic¸o˜es Cont´ınuas de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.4 Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.5 Campo Gravitacional g . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.6 Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.7 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.7.1 Aˆngulo So´lido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.7.2 Fluxo de Um Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.7.3 Lei de Gauss Para o Campo Gravitacional g . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.7.4 Aplicac¸o˜es da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.8 Forma Diferencial da Lei de Gauss: Equac¸a˜o de Poisson . . . . . . . . . . . . . . 170 4.9 Linhas de Forc¸a e Superf´ıcies Equ¨ipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5 Ca´lculo Variacional 176 5.1 A Natureza Geral dos Problemas de Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.2 Formulac¸a˜o do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.3 A equac¸a˜o de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.4 A segunda forma da equac¸a˜o de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5.5 Func¸o˜es com va´rias varia´veis dependentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.6 Equac¸o˜es de Euler com condic¸o˜es de v´ınculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.7 A notac¸a˜o δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Prof. Salviano A. Lea˜o iv 5.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6 Formulac¸a˜o Lagrangeana da Mecaˆnica 187 6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.2 Conceitos Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.3 Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.4 Graus de Liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.5 Espac¸o de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.6 Espac¸o de Configurac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.7 Vı´nculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.8 Dificuldades Introduzidas Pelos Vı´nculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.8.1 Vı´nculos e as coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.9 Princ´ıpios dos Trabalhos Virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.9.1 Deslocamento Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.9.2 Vı´nculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.9.3 Trabalho Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.10 Princ´ıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.11 Equac¸o˜es de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.11.1 Vı´nculos nas equac¸o˜es de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.11.2 Exemplos de Sistemas Sujeitos a Vı´nculos . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 6.12 Aplicac¸o˜es da Formulac¸a˜o Lagrangeana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 6.13 Energia Cine´tica em Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.14 Momentum Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 6.15 Potenciais Dependentes da Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 6.16 Forc¸as Aplicadas e de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.17 Func¸a˜o de Dissipac¸a˜o de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 6.18 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.18.1 Deduc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.18.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 7 Princ´ıpio de Hamilton: Dinaˆmicas Lagrangeana e Hamiltoniana 249 7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 7.2 Princ´ıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 7.3 Princ´ıpio de Hamilton a Partir do Princ´ıpio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . 254 7.4 Equac¸o˜es de Lagrange a Partir do Princ´ıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . 257 7.5 Princ´ıpio da Relatividade de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 7.6 A Lagrangeana de Uma Part´ıcula Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 7.7 Lagrangeana de um Sistema de Part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 7.8 Princ´ıpio de Hamilton: Vı´nculos Na˜o-Holonoˆmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Prof. Salviano A. Lea˜o v 7.8.1 Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 7.8.2 Forc¸as de Vı´nculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.9 Vantagens de Uma Formulac¸a˜o Por Um Princ´ıpio Variacional . . . . . . . . . . . 276 8 Leis de Conservac¸a˜o e Propriedades de Simetria 280 8.1 Momentum Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 8.2 Coordenadas C´ıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 8.3 Translac¸o˜es e Rotac¸o˜es Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8.3.1 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.3.2 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.4 Teoremas de Conservac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 8.4.1 Homogeneidade Espacial e Conservac¸a˜o do Momentum . . . . . . . . . . 287 8.5 Isotropia Espacial e Conservac¸a˜o do Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . 288 8.6 Uniformidade Temporal e Conservac¸a˜o da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 8.7 Invariaˆncia de Escala na Mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.8 Teorema do Virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8.9 Equac¸o˜es de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 8.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 9 Dinaˆmica Hamiltoniana 300 9.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 9.2 Equac¸o˜es Canoˆnicas de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 9.3 Equac¸o˜es de Hamilton a Partir do Princ´ıpio Variacional . . . . . . . . . . . . . . 303 9.4 Integrais de Movimento das Equac¸o˜es de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 305 9.5 Integrais de Movimento Associados com as Coordenadas C´ıclicas . . . . . . . . . 305 9.6 Transformac¸o˜es Canoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 9.7 Pareˆnteses de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 9.8 Propriedades Fundamentais dos Pareˆnteses de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 314 9.9 Pareˆnteses de Poisson Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 9.10 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 9.11 Pareˆnteses de Poisson e as Integrais de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 9.12 Equac¸a˜o de Movimento na Forma dos Pareˆnteses de Poisson . . . . . . . . . . . 317 Cap´ıtulo 1 Introduc¸a˜o Definir o conceito de cieˆnciana˜o e´ uma tarefa simples, entretanto, considerar-se que a cieˆncia pode ser definida como um con- junto de conhecimentos sistematicamente or- ganizado sobre um determinado objeto, adqui- ridos por meio de observac¸o˜es e experimentos reprodut´ıveis, criticamente testados, sistemati- zados e classificados segundo princ´ıpios gerais. Os crite´rios usados para definir uma a´rea do conhecimento como uma cieˆncia, estabelecem um me´todo cient´ıfico. Neste contexto, a f´ısica pode ser definida como a cieˆncia que inves- tiga os fenoˆmenos naturais, pois ela teˆm como ponto de partida um conjunto de hipo´teses que surgem da observac¸a˜o dos fenoˆmenos naturais, e essas hipo´teses, que representam uma idea- lizac¸a˜o destes fenoˆmenos, sa˜o as bases com que as teorias f´ısicas sa˜o constru´ıdas. Nessas teo- rias, as leis envolvendo grandezas f´ısicas sa˜o expressas em termos de equac¸o˜es matema´ticas que descrevem e preveˆem seus comportamen- tos sob determinadas condic¸o˜es. As teorias da f´ısica na˜o sa˜o completas e nem imuta´veis, de fato, elas podem vir a ser modificadas. Com o desenvolvimento tecnolo´gico medidas expe- rimentais de determinadas grandezas podem ser efetuadas com uma maior precisa˜o e novos experimentos podem ser realizados. A com- parac¸a˜o nume´rica entre os resultados previstos pela teoria e a medida experimental serve como um paraˆmetro para julgar se a teoria e´ correta ou na˜o e, se for o caso, em que ponto e´ ne- cessa´rio introduzir correc¸o˜es ou modificac¸o˜es. Se a concordaˆncia nume´rica for boa, a proba- bilidade da teoria estar correta e´ grande. Por outro lado, se a concordaˆncia for apenas quali- tativa, fica dif´ıcil julgar a teoria. Ale´m disso, se existir mais de uma, a dificuldade de escolher entre as diferentes possibilidades seria grande, entretanto, os f´ısicos, nestes casos tendem a es- colher a teoria mais simples. Fenoˆmenos novos tambe´m podem ser observados e quando estes na˜o podem ser explicados pelas teorias vigen- tes, e´ necessa´rio uma nova teoria que englobe todos os experimentos realizados. As grandezas f´ısicas que aparecem nas equac¸o˜es matema´ticas devem expressar quan- tidades, as quais devem possuir significados nume´ricos precisos. Se uma dada grandeza for definida, especificac¸o˜es de como determina´- la quantitativamente devem estar contidas na sua definic¸a˜o. Uma definic¸a˜o apenas qualita- tiva na˜o e´ suficiente para ser usada como ali- cerce da construc¸a˜o de uma teoria cient´ıfica. Na pra´tica, apesar de ser muito dif´ıcil cons- truir uma definic¸a˜o idealmente precisa, supo˜e- se implicitamente que as grandezas envolvidas esta˜o precisamente definidas quando se escreve 1 Prof. Salviano A. Lea˜o 2 uma equac¸a˜o matema´tica. Nesta situac¸a˜o, e´ importante estar ciente em que ponto e em que grau a construc¸a˜o de uma teoria e´ afe- tada pela falta de precisa˜o nessas definic¸o˜es. Existem conceitos que sa˜o definidos em termos daqueles que ja´ foram anteriormente definidos e sa˜o chamados conceitos derivados. Assim, toda vez que um novo conceito derivado for definido, sera´ suposto que os conceitos ante- riores, usados na nova definic¸a˜o, esta˜o preci- samente definidos. Rastreando-se os concei- tos anteriores, utilizados para definir os con- ceitos derivados, fatalmente voltar-se-a´ ate´ os conceitos ba´sicos ou primitivos, os quais exis- tem com uma certa falta de precisa˜o. Geral- mente esses conceitos primitivos sa˜o supostos como conhecidos ”a priori”, seja pela viveˆncia, seja pela intuic¸a˜o. Muitos desses conceitos (por exemplo, espac¸o, tempo, massa e carga no caso da f´ısica) tornaram-se parte integrante da nossa vida dia´ria, o que aumenta o risco de se- rem considerados mais o´bvios do que realmente o sa˜o. De qualquer forma, a construc¸a˜o de uma teoria deve ser iniciada em algum ponto mesmo que a precisa˜o deseja´vel na˜o seja al- canc¸ada. Sempre que atingir um esta´gio mais avanc¸ado, deve-se retornar a`s definic¸o˜es des- ses conceitos e aperfeic¸oa´-las. Assim, cada vez que houver uma compreensa˜o melhor, aper- feic¸oa-se as definic¸o˜es dos conceitos primitivos. Mesmo nesses conceitos primitivos, ha´ necessi- dade de incluir ao menos uma definic¸a˜o opera- cional para que a sua determinac¸a˜o quantita- tiva seja poss´ıvel. Uma das teorias cient´ıficas mais antigas e mais conhecidas, nos moldes das chamadas ”cieˆncias exatas”, e´ a Mecaˆnica Cla´ssica. As leis da alavanca e dos fluidos em equil´ıbrio esta´tico ja´ eram conhecidos por Arquimedes de Siracusa (287?-212 a.C.) da antiga Gre´cia. Depois da descoberta das leis da mecaˆnica por Galileu Galilei (1564-1642) e por Sir Isaac Newton (1642-1727), a F´ısica teve um desen- volvimento enorme nos u´ltimos treˆs se´culos. Apo´s o surgimento da chamada F´ısica Mo- derna no in´ıcio do se´culo XX, muitas das leis da mecaˆnica sofreram modificac¸o˜es. Entretanto, a Mecaˆnica Cla´ssica continua sendo uma o´tima teoria na maioria das aplicac¸o˜es que surgem no cotidiano terrestre. Ela leva a previso˜es corre- tas das grandezas que descrevem os fenoˆmenos f´ısicos, desde que na˜o envolvam velocidades pro´ximas a` da luz, massas enormes, distaˆncias cosmolo´gicas e dimenso˜es atoˆmicas. A Mecaˆnica Cla´ssica, tem como objeto de es- tudo corpos em movimento ou em repouso e a condic¸o˜es de movimento e repouso, dos mes- mos quando estes esta˜o sob a influeˆncia de forc¸as internas e externas. Ela na˜o explica porque os corpos se movem; ela simplesmente mostra como o corpo ira´ se mover em uma dada situac¸a˜o e como descrever o seu movi- mento. Ela na˜o se preocupa em explicar a ori- gem das forc¸as, e sim, como os corpos ira˜o se movimentar sob a ac¸a˜o de tais forc¸as. O es- tudo da mecaˆnica pode ser dividido em treˆs partes: Cinema´tica, Dinaˆmica e Esta´tica. A cinema´tica fornecem uma descric¸a˜o puramente geome´trica do movimento (ou trajeto´ria) dos objetos, desconsiderando as forc¸as que o pro- duziram. Ela trata com os conceitos que se in- terrelacionam: posic¸a˜o, velocidade, acelerac¸a˜o e tempo. A dinaˆmica se preocupa com as forc¸as que produzem as mudanc¸as no movi- mento ou mudanc¸a em outras propriedades f´ısicas, tais como a forma e o tamanho do ob- jeto. Isto nos conduz aos conceitos de massa e forc¸a e as leis que governam o movimento dos Prof. Salviano A. Lea˜o 3 objetos. A esta´tica, por sua vez, e´ um caso particular da dinaˆmica, a qual trata os corpos na condic¸a˜o de repouso, ou seja, na auseˆncia de forc¸as externas. Embora a mecaˆnica tenha seu in´ıcio na an- tiguidade, ela teve um grande avanc¸o com Aristo´teles (384-322 a.C.) e depois ficou parali- sada por quase 20 se´culos. Entretanto, a verda- deira cieˆncia da Mecaˆnica foi fundada por Ga- lileu, Christiaan Huygens (1629-1695) e New- ton. Eles mostraram que os objetos se movem de acordo com certas regras, e estas regras fo- ram estabelecidas na forma de leis do movi- mento. A Mecaˆnica Cla´ssica ou Newtoniana e´ essencialmente o estudo das consequ¨eˆncias das leis do movimento formuladas por Newton no seu ”Philosophiae Naturalis Principia Mathe- matica”, publicado em 1686. Apesar das Leis de Newton em sua for- mulac¸a˜o original, fornecerem uma aborda- gem simples e direta para os problemas da Mecaˆnica Cla´ssica, existem algumas outras for- mulac¸o˜es dos princ´ıpios da Mecaˆnica Cla´ssica. Entre eles, os dois mais usados sa˜o a for- mulac¸a˜o Lagrangeana e a Hamiltoniana. Estas duas formulac¸o˜es tem a energia e na˜o a forc¸a com o conceito fundamental, desta forma, as equac¸o˜es que se seguem,destas formulac¸o˜es, sa˜o escalares e na˜o vetoriais. A Mecaˆnica e´ o ramo da F´ısica que estuda os movimentos dos corpos e suas causas. E´, enta˜o, necessa´rio uma boa compreensa˜o dos conceitos primitivos e de como as teorias sa˜o constru´ıdas com base neles. A hipo´tese mais fundamen- tal na Mecaˆnica Cla´ssica e´ a de considerar o espac¸o e o tempo cont´ınuos, o que significa que existem padro˜es universais de comprimento e de tempo. Assim, observadores em diferentes lugares e em diferentes instantes podem com- parar suas medidas de um dado evento ocor- rido em um determinado ponto do espac¸o e em um instante espec´ıfico. Ate´ hoje, nenhuma evideˆncia convincente de que se alcanc¸ou o li- mite de validade desta hipo´tese surgiu. Ou- tras duas hipo´teses, tambe´m muito importan- tes, estabelecem que o comportamento dos ins- trumentos de medida na˜o e´ afetado pelos seus estados de movimento (desde que na˜o estejam sendo rapidamente acelerados) e que, pelo me- nos em princ´ıpio, os valores nume´ricos obtidos para as grandezas f´ısicas podera˜o ser torna- dos ta˜o precisos quanto se queira. Estas duas hipo´teses falham no limite que envolvem altas velocidades e medidas de grandezas de magni- tudes muito pequenas. A mecaˆnica e´ a cieˆncia que estuda as for- mas mais simples de movimento da mate´ria, os deslocamentos dos objetos no espac¸o com o decorrer do tempo. Como qualquer outra teo- ria f´ısica ela tem o seu domı´nio de aplicac¸a˜o, fora do qual ela deve ser substitu´ıda por ou- tra teoria mais geral que a contenta como caso especial. No caso de movimentos com veloci- dade compara´veis com a da luz c, a teoria mais geral sera´ a mecaˆnica relativ´ıstica; a mecaˆnica quaˆntica e´ a teoria mais geral na descric¸a˜o de objetos em uma escala microsco´pica, tal como a´tomos e mole´culas. Para objetos co´smicos, de proporc¸o˜es metagala´cticas, para as estrelas de neˆutrons hiperdensas, os buracos negros, a mecaˆnica newtoniana deve ser substitu´ıda pela relatividade geral de Einstein. Na figura 1.1 mostramos um esquema deste domı´nio. no eixo das abscissas colocamos a velocidade v do ob- jeto, o no eixo das ordenadas a distaˆncia (di- mensa˜o caracter´ıstica do objeto) L, caracteri- zando o sistema material em movimento. O domı´nio de aplicac¸a˜o da mecaˆnica cla´ssica para Prof. Salviano A. Lea˜o 4 Figura 1.1: Limites da mecaˆnica de acordo com a massa e a velocidade do objeto. um objeto de massa m e´ dada pela regia˜o 2 da figura 1.1, a` direita da hipe´rbole v · L = h/m e a esquerda da reta v = αc, onde α ¿ 1 e h e´ a constante de Planck. A regia˜o 1, que fica a esquerda da hipe´rbole v · L = h/m e a es- querda da reta v = αc, representa o domı´nio de aplicac¸a˜o da mecaˆnica quaˆntica. A regia˜o 4, que fica a direita da reta v = αc e abaixo da hipe´rbole v ·L = h/m, representa o domı´nio de aplicac¸a˜o da mecaˆnica quaˆntica relativ´ıstica. Ja´ a regia˜o 3, , que fica a direita da reta v = αc e acima da hipe´rbole v ·L = h/m, representa o domı´nio de aplicac¸a˜o da mecaˆnica relativ´ıstica, ou Teoria Geral da Relatividade de Einstein. Assim, a mecaˆnica teo´rica (anal´ıtica) sera´ a mecaˆnica cla´ssica, aplica´vel tanto para objetos macrosco´picos com v ¿ c, quanto para uma mole´cula, a´tomo ou part´ıcula elementar desde que mvL¿ h. Costuma-se representar de ma- neira abstrata, os corpos de materiais estuda- dos pela mecaˆnica cla´ssica sob a forma de pon- tos materiais se as dimenso˜es forem pequenas comparadas com as dimenso˜es caracter´ısticas dos sistemas em relac¸a˜o aos quais se registra o movimento.Os corpos so´lidos sa˜o aqueles que as distaˆncias relativas entre diferentes pontos do corpo durante o seu movimento permane- cerem inalteradas, isto e´, o corpo na˜o e´ de- forma´vel. Corpos ela´sticos, l´ıquidos ou gaso- sos, sa˜o aqueles que o corpo e´ deforma´vel e ocupa uma regia˜o do espac¸o maior do que as dimenso˜es caracter´ısticas dos materiais que re- gistram o movimento. 1.1 PADRO˜ES A f´ısica e´ baseada em medidas e aprende- remos f´ısica apreendendo a medir as quanti- dades que sa˜o envolvidas nas leis da f´ısica. Entre estas quantidades esta˜o o comprimento, tempo, massa, temperatura, corrente ele´trica, etc. Para descrevermos uma quantidade f´ısica primeiramente definimos uma unidade, isto e´, a medida da quantidade que e´ definida como exa- tamente 1. Enta˜o definimos um padra˜o, isto e´, uma refereˆncia para a qual todos os outros exemplos sa˜o comparados. Por exemplo, a uni- dade de comprimento e´ o metro, como veremos mais adiante, ele e´ definido como a distaˆncia que a luz percorre no va´cuo durante uma certa frac¸a˜o de segundo. Em princ´ıpio somos livres para escolhermos a unidade e o padra˜o, no en- tanto e´ importante que os cientistas no mundo concordem que a nossa definic¸a˜o e´ acess´ıvel e pra´tica. Em mecaˆnica inicialmente precisaremos de algumas grandezas tais como: comprimento, tempo e massa. Como estes padro˜es na˜o sa˜o definidos em termos de quaisquer outros, eles devem ser escolhidos de modo a permitir sua reproduc¸a˜o para comparac¸a˜o com grandezas a serem medidas. Os padro˜es devem ter as se- guintes caracter´ısticas: Prof. Salviano A. Lea˜o 5 1. deve ser imuta´vel, as medidas feitas hoje devem ser as mesmas daqui a um se´culo. 2. deve ser acess´ıvel, de modo a poder ser re- produzida em qualquer outro laborato´rio. 3. deve ser preciso atender a qualquer grau de precisa˜o tecnolo´gica. 4. deve ser universalmente aceito, de modo que os resultados obtidos em diferentes pa´ıses sejam compara´veis. Na escolha de um padra˜o, por exemplo com- primento, precisamos ter procedimentos para que qualquer medida de comprimento possa ser expresso em termos deste padra˜o, desde o raio do a´tomo de hidrogeˆnio ate´ a distaˆncia da Terra a uma estrela. Fica claro que muitas de nossas comparac¸o˜es sera˜o indiretas. Na˜o sera´ poss´ıvel utilizarmos uma re´gua para medir o raio do a´tomo de hidrogeˆnio ou a distaˆncia ate´ a Lua. Existem muitas grandezas f´ısicas e e´ um problema organiza´-las, felizmente elas na˜o sa˜o todas independentes. Por exemplo, a velo- cidade e´ a raza˜o entre comprimento e tempo. Muitas vezes uma escolha acess´ıvel na˜o e´ pra´tica, na˜o sendo portanto uma boa escolha. Por exemplo, podemos escolher o nosso pole- gar como um padra˜o de comprimento. Ele e´ acess´ıvel no entanto na˜o e´ pra´tico porque cada pessoa tem um polegar diferente de forma que qualquer comparac¸a˜o gere resultados diferen- tes. Em 1971, a 14a Confereˆncia Geral de Pesos e Medidas considerou sete quantidades ba´sicas para formar a base do Sistema Internacional de Unidades, abreviado por SI e popularmente conhecido como sistema me´trico. Como ja´ dis- semos, na mecaˆnica as quantidades ba´sicas sa˜o: tempo, massa e comprimento, cujas unidades sa˜o: segundo, quilograma e metro, respectiva- mente. As definic¸o˜es para estas unidades sa˜o as seguintes: Tempo um segundo e´ 9.162.631.770 per´ıodos de uma certa vibrac¸a˜o do a´tomo de Cs133. Comprimento ummetro e´ o comprimento do caminho percorrido pela luz no va´cuo du- rante 1 299.792.458 de segundo. Massa um quilograma e´ a massa de um cilin- dro particular (3, 9 cm de diaˆmetro × 3, 9 cm de altura) de platina-ir´ıdio guardado pro´ximo de Paris. Outras As demais unidades que aparecem na mecaˆnica sa˜o derivadas destas treˆs, por exemplo o watt, que e´ a unidade de poteˆncia, 1 watt = 1 W = 1 kg ·m2/s3 1.2 Tempo O tempo e´ um dos conceitos primitivos ado- tados para construir a teoria da Cieˆncia F´ısica (MecaˆnicaCla´ssica, em particular). Como tal, na˜o e´ poss´ıvel definir precisamente o que e´ o tempo, mas supo˜e-se que todos ja´ ”o co- nhecem muito bem”. Como pode-se notar, existe uma total falta de precisa˜o para definir o tempo. Esta situac¸a˜o persiste mesmo que se adote as definic¸o˜es qualitativas dadas nos diciona´rios. Entretanto, o que realmente im- porta aqui na˜o e´ definir o que e´ o tempo com precisa˜o, mas como med´ı-lo, isto e´, defin´ı-lo operacionalmente. Prof. Salviano A. Lea˜o 6 Uma maneira de medir o tempo e´ utilizar algum fenoˆmeno que se repete com certa regu- laridade dito perio´dico. A palavra ”relo´gio” pode ser adotada no sentido amplo, signifi- cando tanto os fenoˆmenos perio´dicos utiliza- dos para a medida do tempo, como os instru- mentos constru´ıdos para a mesma finalidade. O princ´ıpio de funcionamento de um ”relo´gio” como instrumento e´ baseado nos fenoˆmenos perio´dicos. Um dos primeiros ”relo´gios” que se conhece na histo´ria da Humanidade e´ o nas- cer do Sol. Este fenoˆmeno repete-se indefinida- mente e a durac¸a˜o entre dois eventos consecu- tivos do nascer do Sol e´ denominado dia. Surge uma questa˜o importante neste ponto. Sera´ que a durac¸a˜o dos dias e´ sempre a mesma? Na re- alidade, esta e´ uma questa˜o importante para qualquer ”relo´gio”, na˜o se restringindo apenas ao dia. Tudo que se pode fazer e´ comparar com outros ”relo´gios” para tentar responder a esta pergunta. Tais comparac¸o˜es e as ana´lises das leis que governam os fenoˆmenos repetitivos da˜o subs´ıdios para se decidir, na˜o so´ esta questa˜o, como o grau de confiabilidade dos ”relo´gios”. Observe, no entanto, que na˜o ha´ maneira de provar que a durac¸a˜o dos per´ıodos de qualquer dos fenoˆmenos repetitivos, onde se baseiam es- ses ”relo´gios”, e´ realmente constante. Dessa forma, apenas pode-se afirmar que um tipo de regularidade concorda com a de outro, ou na˜o, mediante comparac¸o˜es. Assim, do ponto de vista operacional, a definic¸a˜o do tempo esta´ baseada na repetic¸a˜o de algum tipo de evento que, aparentemente, e´ perio´dico. O dia, acima citado, e´ devido a` rotac¸a˜o da Terra. Enta˜o, o per´ıodo de rotac¸a˜o da Terra pode ser comparado com, por exemplo, o per´ıodo de revoluc¸a˜o da Terra ao redor do Sol, o da Lua em torno da Terra, o do Mercu´rio em torno do Sol etc. Observac¸o˜es muito precisas mostraram concordaˆncia entre si desses outros fenoˆmenos dentro de uma pequena margem de discrepaˆncias. A partir destas comparac¸o˜es, detectou-se que o per´ıodo da rotac¸a˜o da Terra tem pequenas irregularidades da ordem de uma parte em 108. Enta˜o, o per´ıodo de rotac¸a˜o da Terra, o dia, e´ um bom ”relo´gio” para muitos propo´sitos. Com o passar do tempo, a necessidade de se medir intervalos de tempo de durac¸a˜o menor que a de um dia surgiu. Um dos mais anti- gos relo´gios, como instrumentos de medida de tempo, sa˜o os relo´gios de sol. Basicamente, a projec¸a˜o da sombra de uma estaca sobre uma escala graduada e´ o mecanismo de medida do tempo nesses relo´gios. Com os relo´gios sola- res, tornou-se poss´ıvel medir uma frac¸a˜o do dia com uma certa precisa˜o. Entretanto, eles apresentavam o inconveniente de so´ funciona- rem durante o dia e, dependendo da e´poca do ano, de marcarem horas que diferem um pouco. Os clepsidras (relo´gios de a´gua) base- ados no escoamento de a´gua, atrave´s de um orif´ıcio muito pequeno no fundo de um reci- piente para um outro com uma escala gra- duada, ja´ eram usados pelos antigos eg´ıpcios e babiloˆnios. Eles permitiam medir o tempo correspondente a` frac¸a˜o do dia com uma pre- cisa˜o razoa´vel. Havia a vantagem de funcionar mesmo a` noite. Com a descoberta do vidro, as ampulhetas (relo´gios de areia) que se baseiam num princ´ıpio ana´logo foram desenvolvidas. Em 1581, Galileu descobriu o isocronismo das oscilac¸o˜es de um peˆndulo, quando compa- rou as oscilac¸o˜es de um candelabro da Cate- dral de Pisa com o ritmo do seu pulso. Ele observou que o per´ıodo das oscilac¸o˜es perma- necia o mesmo independentemente da sua am- Prof. Salviano A. Lea˜o 7 plitude. Logo ele aplicou essa descoberta e construiu um relo´gio de peˆndulo que permi- tia medir pequenos intervalos de tempo. Ate´ enta˜o, nenhum me´todo preciso para tal me- dida era conhecido. Depois da descoberta de Galileu, relo´gios de peˆndulos comec¸aram a ser constru´ıdos. Estimulados pela necessidade, relo´gios cada vez mais precisos foram desenvol- vidos. Ao mesmo tempo, medidas de interva- los de tempo cada vez mais curtos tornaram-se poss´ıveis. O cronoˆmetro mar´ıtimo desenvol- vido por Harrison em 1765 tinha uma precisa˜o da ordem de uma parte em 105. Esta pre- cisa˜o e´ compara´vel ao de um relo´gio ele´trico moderno. Uma parte em 108 e´ a precisa˜o de um relo´gio baseado em osciladores de quartzo. O 133Cs (ce´sio 133) emite uma radiac¸a˜o ca- racter´ıstica, cuja frequ¨eˆncia pode ser utilizada para controlar oscilac¸o˜es eletromagne´ticas na regia˜o de micro-ondas. Um relo´gio baseado nesta frequ¨eˆncia como padra˜o, denominado relo´gio atoˆmico, atinge uma precisa˜o de uma parte em 1012. Para se ter uma ide´ia, essa precisa˜o significa um desvio de 1 s em apro- ximadamente 30.000 anos. Apesar da precisa˜o do relo´gio atoˆmico ser fantasticamente boa, o movimento te´rmico dos a´tomos constituintes introduz uma incerteza razoa´vel na medida de frequ¨eˆncia da sua radiac¸a˜o. Com o advento das te´cnicas de confinamento e resfriamento de a´tomos, esse movimento te´rmico pode ser re- duzido drasticamente e espera-se uma melhora de pelo menos um fator 1000. Isto quer dizer que, pelo menos em princ´ıpio, atingiria uma precisa˜o maior que uma parte em 1015 (um erro na˜o maior que 1 s em cerca de 30 milho˜es de anos). Unidade Padra˜o do Tempo — E´ conveni- ente que se defina uma unidade para a medida do tempo e referir-se a ela pelos seus mu´ltiplos ou submu´ltiplos. Mas, se na˜o se adotar um padra˜o, provavelmente ter´ıamos uma unidade diferente em cada regia˜o do globo terrestre. Fe- lizmente, o per´ıodo de rotac¸a˜o da Terra e´ co- mum para toda a humanidade. Na falta de um padra˜o melhor, ate´ 1956 adotava-se a uni- dade padra˜o do tempo como sendo o segundo (s), definido como 1 s = 1/86.400 do dia so- lar me´dio. O dia solar me´dio e´ a me´dia sobre um ano da durac¸a˜o do dia. Tendo em vista as irregularidades da rotac¸a˜o da Terra, em 1956, mudou-se a definic¸a˜o do segundo como sendo 1 s = 1/31.556.925, 9747 da durac¸a˜o do ano tropical de 1900 (1 ano tropical e´ o intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas do Sol pelo equino´cio de primavera). Finalmente, em 1967, foi definido o atual segundo como sendo 1 s = 9.192.631.770 per´ıodos da radiac¸a˜o correspondente a` transic¸a˜o caracter´ıstica do 133Cs. 1.3 Espac¸o O espac¸o e´, tambe´m, um dos conceitos pri- mitivos no qual apo´ia-se a Mecaˆnica Cla´ssica. O conceito do espac¸o esta´ intimamente relaci- onado ao da medida de distaˆncia. E´ do conhe- cimento de todos que uma maneira de medir uma distaˆncia e´ adotar uma unidade e medi- ante comparac¸a˜o direta contar quantas unida- des correspondem essa distaˆncia. Essa unidade pode ser um basta˜o, polegar, palma da ma˜o, pe´ etc. De qualquer maneira, e´ necessa´rio adotar uma unidade padra˜o e referir-se a`s distaˆncias por meio dos mu´ltiplos e submu´ltiplos dessa unidade, como foi feito com o tempo. Apo´s a Revoluc¸a˜o Francesa, adotou-se um padra˜o de- Prof. Salviano A. Lea˜o 8 nominado metro e este foi definido como sendo a frac¸a˜o 1/40.000.000 da distaˆncia do Equa-dor ao Po´lo Norte, ao longo do meridiano de Paris. Foi introduzido para atender as neces- sidades da navegac¸a˜o e da cartografia daquela e´poca. Um se´culo depois, em 1889, foi intro- duzido o metro padra˜o a fim de aumentar a precisa˜o na medida da distaˆncia. Este u´ltimo foi definido como a distaˆncia entre dois trac¸os numa barra de platina iridiada depositada sob condic¸o˜es especificadas no Bureau Internacio- nal de Poids e Mesures de Se`vres, Franc¸a. Em 1960, o metro foi redefinido como 1.650.763, 73 comprimentos de onda no va´cuo da radiac¸a˜o caracter´ıstica do 86Kr (criptoˆnio 86). Esta de- finic¸a˜o e´ muito mais precisa e satisfato´ria, e esta´ associada a um fenoˆmeno f´ısico de ”fa´cil” reproduc¸a˜o. Finalmente, em 1983, o padra˜o de comprimento foi substitu´ıdo por um padra˜o de velocidade (foi escolhido uma constante uni- versal que e´ a velocidade da luz no va´cuo, cujo valor exato e´, por definic¸a˜o, c = 299.792.458 m/s), mantendo a unidade de tempo baseado no relo´gio atoˆmico acima. Isto fixa a definic¸a˜o do metro em termos da definic¸a˜o do segundo como sendo a` distaˆncia percorrida pela luz em 1/c segundos. Note que nesta definic¸a˜o, o me- tro e´ reajustado automaticamente cada vez que a definic¸a˜o do segundo e´ melhorada. Entre- tanto, na pra´tica, as reproduc¸o˜es do metro com alta precisa˜o continuam sendo baseadas em comprimento de onda da radiac¸a˜o do 86Kr acima referido. Agora que se tem a unidade padra˜o, o me- tro, a medida de distaˆncia pode ser efetu- ada por comparac¸a˜o com um basta˜o de 1 me- tro, como foi referido no in´ıcio desta sec¸a˜o. Se for uma distaˆncia menor do que 1 me- tro, pode-se construir um basta˜o menor, de frac¸a˜o do metro, para ser utilizado na com- parac¸a˜o. Entretanto, nem sempre e´ poss´ıvel aplicar este procedimento. Por exemplo, se- ria muito dif´ıcil, se na˜o for imposs´ıvel, medir a distaˆncia horizontal entre dois cumes de mon- tanhas procedendo-se desta maneira. Como um outro exemplo, poderia citar a medida de distaˆncia da Terra a` Lua. Felizmente, sabe- se pela experieˆncia que a distaˆncia pode ser medida pela triangulac¸a˜o. Neste caso, esta´ sendo usada uma outra definic¸a˜o de distaˆncia. Pore´m, onde e´ poss´ıvel utilizar ambas as de- finic¸o˜es de distaˆncia, as medidas obtidas con- cordam com uma boa precisa˜o. Uma vez que um nu´mero muito grande de casos da aplicac¸a˜o pra´tica mostra que atrave´s da triangulac¸a˜o obte´m-se distaˆncias corretas, leva-se a acredi- tar que este procedimento funcionara´ tambe´m para distaˆncias ainda maiores. Uma medida cuidadosa, realizada atrave´s de dois telesco´pios localizados em lugares diferentes na face da Terra, encontrou a distaˆncia da Terra a` Lua como sendo 4× 108 metros. O me´todo da triangulac¸a˜o esta´ baseada na geometria de Euclides. Assim, pode-se intro- duzir o conceito do espac¸o como sendo o de Eu- clides, mediante a concordaˆncia entre as duas definic¸o˜es de distaˆncia. Conforme as escalas envolvidas, definic¸o˜es de distaˆncias diferentes das duas anteriores foram utilizadas. Ape- sar disso, todas as evideˆncias mostram que o espac¸o de Euclides descreve extraordinari- amente bem os fenoˆmeno no domı´nio das di- menso˜es que va˜o desde 10−15 ate´ 1026 metros. Prof. Salviano A. Lea˜o 9 1.4 Cinema´tica O primeiro passo para estudar o movimento de um corpo e´ descreveˆ-lo. A descric¸a˜o do movimento de um objeto real pode ser ex- cessivamente complexa. Enta˜o, e´ imperativo que se introduza uma idealizac¸a˜o para que possa representar uma situac¸a˜o real mediante simplificac¸a˜o de muitos aspectos, tornando as equac¸o˜es matema´ticas mais simples e solu´veis. Depois de obter uma descric¸a˜o de um sistema idealizado, correc¸o˜es podem ser introduzidas para que o resultado se aproxime melhor da si- tuac¸a˜o real. Para descrevermos o movimento de um corpo de forma simples introduziremos alguns conceitos ba´sicos. Um dos conceitos fundamentais da mecaˆnica e´ o conceito de ponto material ou part´ıcula. Um ponto material ou part´ıcula e´ um objeto cujas dimenso˜es e estruturas internas sa˜o des- prez´ıveis perto de outras dimenso˜es envolvidas no problema. Por exemplo, a Terra pode ser considerada part´ıcula na maioria dos proble- mas de movimento planeta´rio, mas certamente na˜o e´ poss´ıvel nos problemas terrestres. Da- qui para frente ponto material e part´ıcula sera˜o utilizados como sinoˆnimos, salvo menc¸a˜o em contra´rio. O espac¸o e´ euclidiano, tridimen- sional, isotro´pico e homogeˆneo, e e´ represen- tado por treˆs coordenadas cartesianas, x, y e z em relac¸a˜o a um determinado sistema de re- fereˆncia. O sistema de refereˆncia esta´ ligado a um objeto real, por exemplo uma estrela imo´vel ou um so´lido, considerado como um corpo referencial. A posic¸a˜o de uma part´ıcula P pode ser descrita localizando-se um ponto no espac¸o tridimensional, que por hipo´tese e´ euclidiano. Isto pode ser feito fixando-se treˆs eixos mutuamente ortogonais a partir de uma origem O no espac¸o e especificando-se suas co- ordenadas retangulares x, y e z com relac¸a˜o a estes eixos, como ilustrado na Fig. 1.2. Um sistema como estes treˆs eixos e´ denominado sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Dadas as coordenadas em relac¸a˜o a um sistema que localiza a posic¸a˜o de uma part´ıcula, o que se deseja em seguida e´ descrever a trajeto´ria percorrida por esta part´ıcula em movimento. Uma representac¸a˜o parame´trica, onde o tempo e´ o paraˆmetro, e´ uma das maneiras de especi- ficar esta trajeto´ria. Assim, para descrever a trajeto´ria do movimento de uma part´ıcula, as coordenadas cartesianas em func¸a˜o do tempo, x(t), y(t) e z(t) (1.1) devem ser especificadas. As func¸o˜es x(t), y(t) e z(t) representam as coordenadas da posic¸a˜o da part´ıcula nos eixos cartesianos x, y e z em cada instante t do tempo. Escolhe-se um instante t0 para o in´ıcio da medida do tempo, geralmente adotado como zero. A posic¸a˜o de um ponto material no espac¸o x, y e z (sistema de coor- denadas cartesiano) em um dado instante de tempo t e´ descrita pelas coordenadas x(t), y(t) e z(t) do ponto material, ou pelo raio vetor r(t) = x(t)ˆi+ y(t)ˆj+ z(t)kˆ. (1.2) A linha espacial descrita pelas coordenadas do ponto material, ou seja, dada na forma pa- rame´trica x(t); y(t); z(t), chama-se trajeto´ria do ponto. O elemento de comprimento da tra- jeto´ria e´: ds = √ dx2 + dy2 + dz2. (1.3) De agora em diante usaremos a seguinte notac¸a˜o para derivadas temporais: a derivada em relac¸a˜o ao tempo sera´ representada por um Prof. Salviano A. Lea˜o 10 Figura 1.2: Coordenadas cartesianas ortogo- nais, especificando a posic¸a˜o de uma part´ıcula P em relac¸a˜o a` origem O do sistema. ponto sobre a letra, assim a derivada de x em relac¸a˜o ao tempo pode ser escrita como x˙ = dx dt ; x¨ = dx˙ dt = d2x dt2 . Supondo-se que o significado de x(t), y(t) e z(t) esta˜o claros, pode-se enta˜o definir as com- ponentes cartesianas vx, vy e vz da velocidade num instante t sa˜o vx = x˙ = dx dt , vy = y˙ = dy dt , vx = z˙ = dz dt , (1.4) que representam as taxas de variac¸a˜o de cada uma das coordenadas de posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo. O mo´dulo da velocidade, e´ dado por v = ds dt = √ ( dx dt )2 + ( dy dt )2 + ( dz dt )2 (1.5) Da´ mesma maneira, pode-se definir as com- ponentes cartesianas da acelerac¸a˜o ax, ay e az num instante t sa˜o ax = v˙x = dvx dt = x¨ = d2x dt2 , ay = v˙y = dvy dt = y¨ = d2y dt2 ,ax = v˙x = dvz dt = z¨ = d2z dt2 , (1.6) que representam1 as taxas de variac¸a˜o de cada uma das componentes da velocidade em func¸a˜o do tempo. Dependendo do problema em questa˜o, outros tipos de sistemas de co- ordenadas tais como as coordenadas polares, cil´ındricas e as esfe´ricas sa˜o mais convenien- tes do que as cartesianas. Para movimentos em duas e treˆs dimenso˜es torna-se conveni- ente trabalhar com os vetores para represen- tar posic¸o˜es, velocidades e acelerac¸o˜es. Neste caso, o movimento e´ descrito por um vetor de posic¸a˜o r, onde a cauda (extremidade) e´ fixa na origem do sistema de refereˆncia adotado e a ponta (a outra extremidade) deste vetor lo- caliza a posic¸a˜o da part´ıcula (Fig. 1.2). Se o sistema de coordenadas cartesianas for ado- tado, suas componentes sa˜o x, y e z. Assim, as func¸o˜es (1.1) sa˜o resumidas numa u´nica func¸a˜o vetorial r(t) dada por (1.2). A velocidade ve- torial e´ definida, enta˜o como v = r˙ = dr dt = x˙(t)ˆi+ y˙(t)ˆj+ z˙(t)kˆ (1.7) e a acelerac¸a˜o vetorial como a = r¨ = v˙ = d2r dt2 = x¨(t)ˆi+ y¨(t)ˆj+ z¨(t)kˆ. (1.8) 1A derivada com relac¸a˜o a t sera´ denotada, tambe´m por um ponto em cima de uma varia´vel dependente (notac¸a˜o de Newton), como e´ mostrada nas equac¸o˜es (1.4). Prof. Salviano A. Lea˜o 11 Figura 1.3: Velocidade vetorial Utilizando-se a definic¸a˜o da derivada de uma func¸a˜o vetorial dada por v = dr dt = lim ∆t→0 r(t+∆t)− r(t) ∆t , pode-se ver que v(t) e´ tangente a` trajeto´ria da part´ıcula, como ilustrado na figura 1.3. Uma vez que os vetores sa˜o independentes do tipo de sistema de coordenadas adotado para des- creveˆ-lo, e´ importante ressaltar tambe´m que a velocidade e a acelerac¸a˜o expressas como ve- tores, como em (1.7) e (1.8), respectivamente, sa˜o independentes do tipo de sistema de co- ordenadas e a descric¸a˜o do movimento pode ser expressa de uma maneira compacta. No momento de descrever as componentes em al- gum tipo espec´ıfico de sistemas de coordena- das, deve-se lembrar que as componentes tera˜o expresso˜es apropriadas para cada tipo de sis- tema de coordenadas. Num sistema cartesiano as componentes de (1.7) e de (1.8) sera˜o dadas pelas expresso˜es (1.4) e (1.6), respectivamente. Exemplo 1 Considere uma part´ıcula movendo-se em um plano. Usando as co- ordenadas polares escreva os vetores posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o da part´ıcula neste sistema de coordenadas. Soluc¸a˜o: Em coordenadas polares para, localizarmos uma part´ıcula em um plano, devemos fornecer o mo´dulo r do vetor que vai da origem ate´ a part´ıcula, e o aˆngulo θ que este vetor forma com o eixo x, conforme a mostramos na figura 1.4 abaixo. Figura 1.4: Vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula no plano. Aqui mostramos as coordenadas pola- res. O vetor posic¸a˜o em coordenadas cartesianas e´ r = r cos θiˆ+ r sen θjˆ (1.9) Os vetores unita´rios em coordenadas polares rˆ e θˆ (ou er e eθ) esta˜o relacionados com os vetores unita´rios iˆ e jˆ em coordenadas cartesi- anas por{ rˆ = cos θiˆ+ sen θjˆ θˆ = − sen θiˆ+ cos θjˆ (1.10) Prof. Salviano A. Lea˜o 12 as quais satisfazem as seguintes relac¸o˜es drˆ dθ = θˆ e dθˆ dθ = −rˆ (1.11) O vetor posic¸a˜o em coordenadas polares e´ r = r(t)rˆ(θ). (1.12) Observe que os vetores unita´rios rˆ e θˆ va- riam com o tempo, e portanto a velocidade da part´ıcula e´ v = r˙ = dr dt = r˙rˆ+ r drˆ dt = r˙rˆ+ r drˆ dθ dθ dt logo, v = r˙rˆ+ rθ˙θˆ (1.13) Uma outra forma de obtermos a velocidade e´ usarmos o deslocamento infinitesimal ds, o qual e´ composto pelos deslocamentos infinitesi- mais dr ao longo da direc¸a˜o rˆ e rdθ ao longo da direc¸a˜o θˆ, ou seja, ds = drrˆ+ rdθθˆ (1.14) logo, a velocidade e´ dada por v = ds dt = r˙rˆ+ rθ˙θˆ (1.15) A acelerac¸a˜o em coordenadas polares e´ dada por a = dv dt = d dt (r˙rˆ) + d dt ( rθ˙θˆ ) ou seja, a = ( r¨ − rθ˙2 ) rˆ+ ( 2r˙θ˙ + rθ¨ ) θˆ (1.16) Observe que o termo rθ˙2 e´ denominado ace- lerac¸a˜o centr´ıpeta. Exemplo 2 Considere uma part´ıcula em um movimento circular uniforme (ver figura 1.5), com um velocidade angular ω constante, cuja o vetor posic¸a˜o dado por r(t) = A cos(ωt)ˆi+ A sen(ωt)jˆ. Determine os vetores velocidade e acelerac¸a˜o, assim como suas componentes cartesianas. Figura 1.5: Velocidade e acelerac¸a˜o vetoriais num movimento circular. Soluc¸a˜o: As componentes cartesianas do vetor posic¸a˜o sa˜o dadas por, x(t) = A cos(ωt), y(t) = A sen(ωt), z(t) = 0. Derivando-se o vetor posic¸a˜o, obte´m-se a ve- locidade vetorial dada por v(t) = dr(t) dt = ωA [ − sen(ωt)ˆi+ cos(ωt)ˆj ] , cujas as componente cartesianas sa˜o vx(t) = x˙ = −ωA sen(ωt), vy(t) = y˙ = ωA cos(ωt), vz(t) = z˙ = 0. Prof. Salviano A. Lea˜o 13 Por sua vez, a acelerac¸a˜o vetorial e´ obtida derivando-se a velocidade vetorial e resulta em a(t) = dv(t) dt = −ω2A [ cos(ωt)ˆi+ sen(ωt)ˆj ] = −ω2r(t). Desta forma, as suas componentes cartesianas sa˜o: ax(t) = x¨(t) = −ω2A cos(ωt) = −ω2x(t), ay(t) = y¨(t) = −ω2A sen(ωt) = −ω2y(t), az(t) = z¨(t) = 0. A trajeto´ria deste movimento e´ uma circun- fereˆncia de raio A no plano xy, pois, r2 = r · r = x2 + y2 + z2 = [A cos(ωt)]2 + [A sen(ωt)]2 = A2. O vetor velocidade e´ tangente a` trajeto´ria, por- tanto, v · r = vxx+ vyy + vzz = −ωA sen(ωt)A cos(ωt)+ ωA cos(ωt)A sen(ωt) = 0. A velocidade tem um mo´dulo constante uma vez que v2 = v · v = v2x + v2y + v2z = [−ωA sen(ωt)]2 + [ωA cos(ωt)]2 = ω2A2. Finalmente, a acelerac¸a˜o e´ voltada para ori- gem (acelerac¸a˜o centr´ıpeta), portanto, ela deve ser perpendicular a velocidade, assim, v · a = vxax + vyay + vzaz = −ωA sen(ωt) [−ω2A cos(ωt)]+ ωA cos(ωt) [−ω2A sen(ωt)] = 0. e tambe´m tem mo´dulo constante dado por a = ω2A, como podemos de a2 = a · a = a2x + a2y + a2z = [−ω2A cos(ωt)]2 + [−ω2A sen(ωt)]2 = ω4A2. Exemplo 3 Mostre que se T e´ um vetor unita´rio tangente a curva C e ds e´ um desloca- mento infinitesimal ao longo da curva, enta˜o o vetor dT ds e´ perpendicular a T. Soluc¸a˜o: Para mostramos que o vetor dT ds e´ perpendi- cular a T, basta mostrarmos que o seu produto escalar T · dT ds = 0, e´ nulo. Como T e´ um vetor unita´rio, temos que: T · T = 1. Enta˜o diferenciado ambos os lados em relac¸a˜o a s obte´m se que T · dT ds + dT ds ·T = 2T · dT ds = 0 ou como quer´ıamos mostrar que T · dT ds = 0, isto e´, dT ds e´ perpendicular a T. Se N e´ um vetor unita´rio na direc¸a˜o de dT ds , enta˜o temos que dT ds = κN em que N e´ chamado de vetor unita´rio princi- pal normal a curva C. O escalar κ = ∣∣∣∣dTds ∣∣∣∣ e´ chamado de curvatura enquanto R = 1/κ e´ chamado de raio da curvatura. Prof. Salviano A. Lea˜o 14 1.5 Problemas 1. Na˜o foi explicado, intencionalmente, o que e´ definic¸a˜o operacional no texto. Tente explicar de maneira mais precisa poss´ıvel, de forma que na˜o deixe margem a`s mu´ltiplas interpretac¸o˜es. 2. Imagine as poss´ıveis consequ¨eˆncias se o espac¸o ou o tempo, ou ambos, na˜o forem cont´ınuos. Discuta. 3. Se o comportamento dos instrumentos de medida fosse afetado pelos seus esta- dos de movimento, discuta as poss´ıveis consequ¨eˆncias nas medidas das grandezas f´ısicas. 4. Discuta as dificuldades de obter valo- res nume´ricos arbitrariamente precisos nas medidas das grandezas f´ısicas. Discuta as poss´ıveis limitac¸o˜es para isso. 5. Discuta a afirmac¸a˜o do texto: ”o que re- almente importa aqui na˜o e´ definir oque e´ tempo com precisa˜o, mas como med´ı-lo, isto e´, defin´ı-lo operacionalmente”. 6. Uma te´cnica (definic¸a˜o) diferente de me- dir o tempo e´ observar a distaˆncia entre dois eventos de um objeto em movimento. Por exemplo, ao se ligar e desligar o farol de um automo´vel em movimento, pode- se saber a durac¸a˜o do tempo em que o farol ficou ligado, sabendo-se a` distaˆncia percorrida durante o evento e a veloci- dade desse movimento. O tempo e´ dado pela distaˆncia percorrida dividida pela ve- locidade. Com esta te´cnica foi determi- nado o tempo de vida do me´son pio como sendo 1016 s. estendendo-se esta te´cnica, foi poss´ıvel descobrir uma part´ıcula cujo tempo de vida e´ 1024 s, tempo de uma luz caminhar a distaˆncia da dimensa˜o de um nu´cleo de hidrogeˆnio. Discuta as pos- sibilidades e as dificuldades de trabalhar com uma durac¸a˜o de tempo ainda menor. Sera´ que faz algum sentido falar em tempo numa escala ta˜o pequena, se nem sequer saber se e´ poss´ıvel med´ı-lo, ou se consegui- mos imaginar eventos acontecendo num tempo ta˜o curto? 7. Pesquise e discuta algumas te´cnicas poss´ıveis para lidar com tempos longos (algo em torno da idade da Terra e, ale´m disso). 8. Se os Homens que habitam diferentes regio˜es do globo terrestre tivessem basea- das as medidas do tempo em fenoˆmeno di- ferentes, poderiam existir diversos padro˜es de medidas do tempo dependendo da regia˜o em que foram desenvolvidas. Dis- cuta as poss´ıveis consequ¨eˆncias de na˜o se ter um padra˜o u´nico na medida do tempo. 9. A medida de distaˆncia da Terra ao Sol na˜o e´ simples, devido a` dificuldade de focalizar-se num ponto determinado do Sol com precisa˜o. Discuta uma maneira de estender o me´todo da triangulac¸a˜o, ou mesmo uma alternativa de definir a distaˆncia para poder med´ı-lo. 10. Discuta as dificuldades do me´todo de tri- angulac¸a˜o quando a distaˆncia torna-se muito grande. Discuta as possibilidades de melhorar a medida de distaˆncia re- almente grande. Observe que a escala referida nesta questa˜o envolve desde as Prof. Salviano A. Lea˜o 15 distaˆncias dos planetas do sistema solar ate´ as das gala´xias long´ınquas. 11. Pesquise e discuta as te´cnicas utiliza- das para medir distaˆncias muito pequenas (desde a escala do comprimento de onda de luz vis´ıvel ate´ algo menor que a di- mensa˜o de um nu´cleo atoˆmico). 12. Quando um automo´vel, movendo-se com uma velocidade constante v0, aproxima-se de um um cruzamento, o sema´foro torna- se amarelo. o motorista pode parar o automo´vel sem avanc¸ar pelo cruzamento, ou tambe´m pode tentar atravessa´-lo antes que o sema´foro mude para o vermelho. a) Se ∆t e´ o intervalo de tempo que o sema´foro permanece amarelo antes de mudar para o vermelho, qual e´ a distaˆncia ma´xima do cruzamento ao automo´vel, de maneira que o moto- rista consiga atravessar o cruzamento antes do sema´foro tornar-se vermelho, mantendo a velocidade do automo´vel constante em v0? b) O tempo de reac¸a˜o do motorista para tomar a decisa˜o e pisar no freio e´ τ e a ma´xima desacelerac¸a˜o do au- tomo´vel devida a` frenagem e´ a. No momento que o sema´foro tornou-se amarelo, qual e´ a menor distaˆncia do cruzamento ao automo´vel de maneira que o motorista consiga parar sem avanc¸ar pelo cruzamento? c) determine a velocidade cr´ıtica vc, em termos de a, ∆t e τ , de maneira que as duas distaˆncias obtidas no itens 12a e acima coincidem. Este e´ o li- mite onde o motorista consegue pa- rar o automo´vel sem avanc¸ar pelo cru- zamento, nem atravessa´-lo antes do sema´foro mudar para o vermelho. d) Mostre que, se v0 for maior que a velocidade cr´ıtica determinada no item anterior, existe uma faixa de distaˆncia do cruzamento ao automo´vel no qual o motorista na˜o conseguira´ pa- rar o automo´vel sem avanc¸ar pelo cru- zamento, nem atravessa´-lo antes do sema´foro tornar-se vermelho. 13. Um corpo esta´ movendo-se sobre um linha reta. Sua acelerac¸a˜o e´ dada por a = −2x, onde x e´ medido em metros e a em m/s2. Ache a relac¸a˜o entre a velocidade e a distaˆncia, dado que em x = 0, v = 4 m/s. 14. A acelerac¸a˜o de um corpo, movendo-se so- bre uma linha reta e´ dada por a = −kv2, onde k e´ uma constante positiva. E´ dado que em t = 0, x(0) = x0 e v(0) = v0. Ache a velocidade e a posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo. Ache tambe´m v em func¸a˜o de x. 15. a trajeto´ria de uma part´ıcula e´ dada por x(t) = Ae−ht cos(kt + δ) e y(t) = Ae−ht sen(kt+ δ), onde A > 0, h > 0, k > 0 e δ sa˜o constantes no movimento. De- termine as equac¸o˜es da trajeto´ria em co- ordenadas polares e encontre a trajeto´ria da part´ıcula. 16. Uma abelha sa´ı da colme´ia em uma tra- jeto´ria espiral, dada em coordenada pola- res por r(t) = bekt e θ(t) = ct, onde b, k e c sa˜o constantes positivas. Mostre que o aˆngulo entre a velocidade e a acelerac¸a˜o permanece constante quando ela se movi- Prof. Salviano A. Lea˜o 16 menta para frente. Sugesta˜o: Determine a raza˜o v·a va . 17. Prove que v ·a = vv˙ e, portanto, que para uma part´ıcula movendo-se com uma ve- locidade v e acelerac¸a˜o a, elas sera˜o per- pendiculares entre si se a velocidade v for constante. Sugesta˜o: Diferencie ambos os lados da equac¸a˜o v · v = v2 com relac¸a˜o a t. Note que v˙ na˜o e´ o mesmo que |a|. Ela e´ a magnitude da acelerac¸a˜o da part´ıcula ao longo da sua direc¸a˜o instantaˆnea de movimento. 18. Prove que d dt [r · (v × a)] = r · (v × a˙). 19. (a) Prove que em coordenadas cil´ındricas (ρ, θ, z) (ver figura 1.6) o vetor posic¸a˜o r = ρρˆ + zkˆ tambe´m pode ser escrito na forma mista r = ρ cos φˆi + ρ senφjˆ + zkˆ. (b) Encontre a relac¸a˜o entre os versores unita´rios em coordenadas cil´ındricas o e os versores unita´rios em coordenadas car- tesianas. (c) Determine a taxa de variac¸a˜o no tempo dos versores unita´rios em coor- denadas cil´ındricas. (d) Escreva os vetores deslocamento infinitesimal da posic¸a˜o ds, a velocidade v e a acelerac¸a˜o s de uma part´ıcula em coordenadas cil´ındricas. 20. (a) Prove que em coordenadas esfe´ricas (r, θ, φ) (ver figura 1.7) o vetor posic¸a˜o r = rrˆ tambe´m pode ser escrito na forma mista r = r sen θ cos φˆi + r sen θ senφjˆ + r cos θkˆ. (b) Encontre a relac¸a˜o en- tre os versores unita´rios em coordenadas esfe´ricas o e os versores unita´rios em co- ordenadas cartesianas. (c) Determine a Figura 1.6: Coordenadas cil´ındricas taxa de variac¸a˜o no tempo dos versores unita´rios em coordenadas esfe´ricas. (d) Escreva os vetores deslocamento infinite- simal da posic¸a˜o ds, a velocidade v e a acelerac¸a˜o s de uma part´ıcula em coorde- nadas esfe´ricas. Figura 1.7: Coordenadas esfe´ricas 21. Mostre que a componente tangencial da Prof. Salviano A. Lea˜o 17 acelerac¸a˜o de uma part´ıcula e´ dada pela expressa˜o at = v · a v e que por sua vez a componente normal e´ dada por an = √ a2 − a2t = √ a2 − (v · a) 2 v2 22. Considere uma curva C no espac¸o cujo ve- tor posic¸a˜o e´ dado por r = 3 cos(2t)ˆi+ 3 sen(2t)ˆj+ (8t− 4)kˆ (a) Determine o vetor unita´rio tangente a curva T. (b) Se r e´ o vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula movendo-se sobre C no ins- tante t, verifique neste caso que v = vT. Determine (c) a curvatura, (d) o raio da curvatura e (e) o vetor unita´rio principal normalN em um ponto qualquer da curva. 23. Mostre que a acelerac¸a˜o a de uma part´ıcula a qual viaja ao longo de uma curva espacial com uma velocidade v = vT e´ dada por a = dv dt T+ v2 R N onde T e´ o vetor unita´rio tangente a curva espacial, N e´ o vetorunita´rio principal normal e R e´ o raio da curvatura. 24. Prove as seguintes identidades vetoriais: (a)A·(B×C) = C·(A×B) = B·(C×A) (b) A× (B×C) = B(A ·C)−C(A ·B) 25. Se uma part´ıcula tem velocidade v e ace- lerac¸a˜o a ao longo de uma curva espacial, prove que o raio da curvatura de sua tra- jeto´ria e´ dado numericamente por R = v3 |v × a| 26. Um barco deixa o ponto P (ver figura 1.8) de um lado do rio e anda com uma velocidade V de mo´dulo constante sem- pre direcionada ao ponto Q do outro lado do rio diretamente oposto ao ponto P cuja distaˆncia entre eles e´ D. Se r for a distaˆncia instantaˆnea de Q ao barco, θ e´ o aˆngulo entre r e o segmento de reta PQ e o rio tem uma correnteza com uma velocidade constante v. (a) Prove que a trajeto´ria do barco e´ dada por r = D sec θ (sec θ + tg θ)V/v Figura 1.8: Movimento de um barco em um rio. (b) Ana´lise a distaˆncia r do barco ao seu destino, para θ = pi/2, nos seguintes casos: i) (V/v) > 1, ii) (V/v) = 1 e iii) (V/v) < 1. 27. Se v = V no problema anterior, prove que a trajeto´ria e´ um arco de para´bola. Prof. Salviano A. Lea˜o 18 Figura 1.9: Escalas com a ordem de grandeza, das medidas de massa, comprimento e tempo. Refereˆncias Bibliogra´ficas [1] Marcelo Alonso and Edward J. Finn. F´ısica um curso universita´rio: Mecaˆnica, volume I. Editora Edgard Blu¨cher, 1972. [2] H. Moyse´s Nussenzveig. F´ısica Ba´sica: Mecaˆnica, volume 1. Editora Edgard Blu¨cher, terceira edition, 1996. [3] Paul A. Tipler. F´ısica Para Cientistas e Engenheiros, volume 1. LTC, quarta edi- tion, 2000. Mecaˆnica, Oscilc¸o˜es e Ondas. [4] Frederick j. Keller, W. Edward Gettys, and Malcolm J. Skove. F´ısica, volume 1. Makron Books do Brasil, 1999. [5] Kazunori Watari. Mecaˆnica Cla´ssica. Edi- tora Livraria da F´ısica, 2001. [6] Jens M. Knudsen and Poul G. Hjorth. Ele- ments of Newtonian Mechanics. Springer, third edition, 2000. [7] Grant R. Fowles and George L. Casiday. Analitycal Mechanics. Saunders College Publishing, sixth edition, 1999. [8] Jerry B. Marion and Stephen T. Thorn- ton. Classical Dynamics of Particles and Systems. Saunders College Publishing, fourth edition, 1995. [9] Murray R. Spiegel. Theory and Problems of Theoretical Mechanics. Schaum’s Ou- tline Series. McGraw-Hill Book Company, si metric edition edition, 1980. [10] Keith R. Symon. Mecaˆnica. Editora Cam- pus LTDA, terceira edition, 1982. [11] Tai L. Chow. Classical Mechanics. John Willey & Sons, Inc., 1995. [12] Atam P. Arya. Introduction to Classical Mechanics. Allyn and Bacon, 1990. [13] Herbert Goldstein. Classical Mechanics. Addison-Wesley. Addison-Wesley, third edition, 2002. [14] Lev Dav´ıdovitch Landau and E. M. Lifshitz. Mecaˆnica, volume 1 of F´ısica Teo´rica. Editora Mir, 1978. [15] Kazunori Watari. Mecaˆnica Cla´ssica. Edi- tora Livraria da F´ısica, 2003. 19 Cap´ıtulo 2 Mecaˆnica Newtoniana 2.1 Introduc¸a˜o O objetivo da mecaˆnica e´ fornecer uma des- cric¸a˜o consistente dos movimentos dos cor- pos materiais. Para este propo´sito sa˜o ne- cessa´rios alguns conceitos fundamentais, como distaˆncia, tempo e massa, ale´m de um conjunto de leis f´ısicas que descrevam matematicamente estes movimentos. Em geral as leis f´ısicas devem ser baseadas em fatos experimentais. Um conjunto de ex- perimentos correlacionados da´ origem a um ou mais postulados. A partir destes postulados va´rias previso˜es podem ser formuladas e inves- tigadas experimentalmente. Se todas as pre- viso˜es forem confirmadas experimentalmente, os postulados assumem o status de lei f´ısica. Se alguma previsa˜o discordar do experimento a teoria deve ser modificada. Iniciaremos este cap´ıtulo discutindo os con- ceitos de forc¸a e massa, e em seguida enunciare- mos as leis fundamentais da mecaˆnica: as Leis de Newton. Posteriormente, discutiremos seus significados e obteremos as implicac¸o˜es destas leis em va´rias situac¸o˜es f´ısicas. Nos concentra- remos no movimento de uma u´nica part´ıcula, na˜o abordando neste momento o caso de um de sistemas de part´ıculas. 2.2 Dinaˆmica: massa e forc¸a A experieˆncia leva a` crenc¸a de que os movi- mentos de corpos f´ısicos sa˜o controlados pe- las interac¸o˜es existentes entre eles e suas vi- zinhanc¸as. Observando-se o comportamento de proje´teis e de objetos que deslizam sobre uma superf´ıcie lisa e bem lubrificada, tem-se a ide´ia de que as variac¸o˜es de velocidade do corpo sa˜o produzidas por sua interac¸a˜o com a vizinhanc¸a. A velocidade de um corpo isolado de qualquer interac¸a˜o e´ constante, logo, na for- mulac¸a˜o das leis da Dinaˆmica, deve-se focalizar a atenc¸a˜o nas acelerac¸o˜es. Imaginem-se dois corpos interagindo entre si e isolados da vizinhanc¸a. Como analogia gros- seira desta situac¸a˜o, imagine duas crianc¸as, na˜o necessariamente do mesmo tamanho, brin- cando de cabo-de-guerra com uma vara r´ıgida sobre gelo liso. Embora nenhum dos dois cor- pos possa ser realmente isolado completamente das interac¸o˜es com os outros corpos, esta e´ a situac¸a˜o mais simples para se pensar a respeito e elaborar um modelo matema´tico simples que descreva a mesma. Experieˆncias cuidadosas re- alizadas com corpos reais levam a concluso˜es ideˆnticas a`s que seriam obtidas caso se pudesse conseguir o isolamento ideal dos dois corpos. Deve-se observar que dois corpos esta˜o sempre acelerados em direc¸o˜es opostas, e que a raza˜o 20 Prof. Salviano A. Lea˜o 21 de suas acelerac¸o˜es e´ constante para qualquer par particular de corpos, na˜o importando a forc¸a com que eles possam puxar ou empur- rar um ao outro. Medindo-se as coordenadas x1 e x2 dos dois corpos, ao longo da linha de suas acelerac¸o˜es, obte´m-se o seguinte resultado x¨1 x¨2 = −k12, (2.1) onde k12 e´ uma constante positiva carac- ter´ıstica dos dois corpos em questa˜o. O sinal negativo expressa o fato de que as acelerac¸o˜es sa˜o em sentidos opostos. Do resultado acima, temos x¨2 x¨1 = −k21, (2.2) logo podemos concluir das eqs. (2.1) e (2.2) que k12 = 1 k21 . (2.3) Em adic¸a˜o ao que foi dito, em geral, quanto maior ou mais pesado ou mais massivo for o corpo, menor sera´ a sua acelerac¸a˜o. Na rea- lidade, a raza˜o k12 e´ proporcional a` raza˜o do peso do corpo 2 pelo peso do corpo 1. A ace- lerac¸a˜o de dois corpos que interagem e´ inver- samente proporcional a seus pesos. Este re- sultado, portanto, sugere a possibilidade de uma definic¸a˜o da Dinaˆmica, a da massa do corpo, em termos de suas acelerac¸o˜es mu´tuas. Escolhendo-se um corpo-padra˜o como unidade de massa, a massa de qualquer outro corpo e´ definida como a raza˜o entre a acelerac¸a˜o do es- colhido como sendo o padra˜o da unidade de massa e a acelerac¸a˜o do outro corpo, quando os dois esta˜o interagindo: mi = k1i = − x¨1 x¨i , (2.4) onde mi, e´ a massa do corpo i e o corpo 1 e´ o padra˜o de unidade de massa. Para que a eq. (2.4) se torne uma de- finic¸a˜o u´til, a raza˜o k12 das acelerac¸o˜es dos dois corpos deve satisfazer algumas condic¸o˜es. Considerando-se a massa definida pela eq. (2.4) como sendo a medida daquilo que se chama vagamente de quantidade de mate´ria em um corpo, enta˜o a massa do corpo deve ser a soma das massas de suas partes, e este e´ o caso dentro de um elevado grau de pre- cisa˜o. Na˜o e´ essencial, para terem utilidade em teorias cient´ıficas, que os conceitos da F´ısica, para os quais sa˜o apresentadas definic¸o˜es pre- cisas, correspondam aproximadamente a qual- quer ide´ia pre´-estabelecida. Entretanto, a mai- oria desses conceitos originou-se mais oumenos de ide´ias comuns, e massa e´ um bom exemplo. Ao se estudar a Teoria da Relatividade, ver-se que o conceito de massa e´ um pouco modifi- cado, e que na˜o e´ exatamente verdade que a massa de um corpo seja a soma das massas de suas partes. Um requisito certamente essencial e´ que o conceito de massa seja independente do corpo particular que foi escolhido como tendo massa unita´ria, o que significa que a raza˜o de duas massas sera´ a mesma, na˜o importando a uni- dade de massa escolhida. Sera´ verdade por causa da seguinte relac¸a˜o, obtida experimen- talmente, entre a raza˜o dos mo´dulos de ace- lerac¸o˜es mu´tuas definidas pela eq. (2.1) de treˆs corpos quaisquer: k12k23k31 = 1. (2.5) Suponha que o corpo 1 seja a massa unita´ria. Enta˜o, se os corpos 2 e 3 interagirem encontrar- se-a´, usando as eqs. (2.1), (2.5) e (2.4): x¨2 x¨3 = −k23 = − 1 k12k31 = −k13 k12 = −m3 m2 . (2.6) Prof. Salviano A. Lea˜o 22 O resultado final na˜o conte´m refereˆncia expl´ıcita ao corpo 1, que foi considerado ser a massa unita´ria padra˜o. Logo, a raza˜o das massas de dois corpos quaisquer e´ o inverso negativo da raza˜o de suas acelerac¸o˜es mu´tuas, independente da unidade de massa escolhida. Pela eq. (2.4), tem-se, para dois corpos que interagem, m2x¨2 = −m1x¨1. (2.7) Este resultado sugere que a grandeza (massa × acelerac¸a˜o) sera´ importante. Esta grandeza e´ chamada a forc¸a aplicada sobre um corpo. A acelerac¸a˜o de um corpo no espac¸o tem treˆs componentes; as treˆs componentes da forc¸a aplicada sobre o corpo sa˜o Fx = mx¨, Fy = my¨, Fz = mz¨. (2.8) Estas forc¸as podem ser de va´rias espe´cies: ele´trica, magne´tica, gravitacional, etc. As forc¸as que atuam sobre um determinado corpo dependem do comportamento de outros cor- pos. Em geral, forc¸as devido a va´rias ori- gens agem sobre um dado corpo, sendo poss´ıvel mostrar que a forc¸a total dada pelas eqs. (2.8) e´ um vetor soma das que podem estar presen- tes, caso cada origem seja considerada separa- damente. A teoria do Eletromagnetismo preocupa-se com o problema de determinac¸a˜o de forc¸as ele´tricas e magne´ticas exercidas por cargas e correntes ele´tricas uma sobre as outras. A te- oria da gravitac¸a˜o, com o problema da deter- minac¸a˜o de forc¸as gravitacionais exercidas pe- las massas uma sobre as outras. O problema fundamental da Mecaˆnica e´ determinar o mo- vimento de qualquer sistema mecaˆnico, caso se conhec¸am as forc¸as que atuam sobre os corpos que constituem o sistema. 2.3 Leis de Newton Um dos grandes marcos da histo´ria da cieˆncia, sena˜o o maior, ocorreu quando Sir Isaac New- ton (1642-1727), publicou em 1687 o seu livro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica com o financiamento e incentivo do astroˆnomo ingleˆs Edmond Halley (1656-1742). Em seu li- vro Newton enunciou as treˆs leis que descrevem o movimento dos corpos materiais, entretanto, na˜o sem antes definir a massa como sendo a quantidade de mate´ria de um corpo, e o seu momentum linear como p = mv. Ale´m disso, ele teve o cuidado de definir o tempo e espac¸o, como: • O tempo absoluto, verdadeiro, e ma- tema´tico, de si pro´prio, e de sua pro´pria natureza flui igualmente sem considerac¸a˜o por nada externo, e por um outro nome e´ chamado de durac¸a˜o: o tempo relativo, aparente, e comum, e´ uma medida con- creta e externa (seja acurada ou desigual) da durac¸a˜o por meio de movimento, que e´ comumente usado ao inve´s do tempo ver- dadeiro; como por exemplo uma hora, um meˆs, um ano. • O espac¸o absoluto, por sua pro´pria natu- reza, sem considerac¸a˜o por nada externo, permanece sempre igual e imo´vel. O espac¸o relativo e´ qualquer dimensa˜o mo´vel ou medida dos espac¸os absolutos; que nos- sos sentidos determinam pela sua posic¸a˜o relativa aos corpos; e que e´ vulgarmente tomado como o espac¸o imo´vel; tal e´ a di- mensa˜o de um espac¸o subterraˆneo, ae´reo ou celestial, determinado pela sua posic¸a˜o em relac¸a˜o a` Terra. Os espac¸os absoluto e relativo sa˜o os mesmos em nu´mero e magnitude; mas na˜o permanecem sempre iguais numericamente. Pois se a Terra, Prof. Salviano A. Lea˜o 23 por exemplo, move um espac¸o do nosso ar, que em relac¸a˜o a` Terra sempre per- manece o mesmo, sera´ em um momento uma parte do espac¸o absoluto por onde o ar corre; em outro momento sera´ uma ou- tra parte do mesmo, e assim, em termos absolutos, sera´ perpetuamente imuta´vel. Na mecaˆnica Newtoniana, usamos intrinse- camente as seguintes hipo´teses: i) O tempo e´ absoluto, homogeˆneo e isotro´pico. Newton ao dizer que o tempo e´ absoluto, significa que ha´ uma inde- pendeˆncia entre o observador e o ob- jeto observado ou fenoˆmeno observado. Ja´ quando Newton diz que o tempo flui igualmente sem considerac¸a˜o por nada externo ele esta´ afirmando que ele e´ ho- mogeˆneo. A questa˜o da isotropia do tempo, isto e´, a questa˜o da reversibilidade temporal, so´ passou a ter significado com o advento da mecaˆnica quaˆntica. As leis de movimento da mecaˆnica cla´ssica sa˜o invariantes sob uma inversa˜o temporal. ii) O espac¸o e´ absoluto, homogeˆneo, isotro´pico e euclidiano. Quando Newton diz que o espac¸o e´ absoluto, por sua pro´pria natureza, sem considerac¸a˜o por nada externo, ele esta´ exprimindo o seu cara´ter absoluto enquanto ao afirmar que ele permanece sempre igual e imo´vel ele esta´ dizendo que o espac¸o e´ homogeˆneo. Apesar de na˜o ter sido sido colocada de forma explicita por Newton, a ide´ia de que todas as direc¸o˜es sa˜o equiva- lentes no espac¸o, o espac¸o e´ isotro´pico, esta´ impl´ıcita na mecaˆnica cla´ssica. Por u´ltimo, a me´trica que usamos na mecaˆnica cla´ssica e´ a euclidiana, ou seja, na mecaˆnica cla´ssica, o teorema de Pita´goras e´ va´lido e a menor distaˆncia entre dois pontos e´ uma linha reta. Uma vez, feitas as colocac¸o˜es acima Newton enta˜o enunciou as suas treˆs Leis que descre- vem os movimentos dos corpos materiais da seguinte forma: I) Um corpo permanece em repouso ou em movimento retil´ıneo uniforme a na˜o ser que alguma forc¸a atue sobre ele. II) Um corpo sob a ac¸a˜o de uma forc¸a move- se de tal forma que a taxa de variac¸a˜o do seu momentum linear com o tempo e´ igual a` forc¸a aplicada. III) Se dois corpos exercem forc¸as, um sobre o outro, estas forc¸as sa˜o iguais em mo´dulo e direc¸a˜o e possuem sentidos opostos. Existem duas formas diferentes de interpre- tar o conjunto das treˆs Leis de Newton. Na pri- meira forma podemos interpretar a Primeira e a Segunda Lei de Newton apenas como uma de- finic¸a˜o de forc¸a, estando toda a f´ısica contida na terceira Lei. Desenvolveremos este ponto de vista a seguir. Como foi enunciada, a pri- meira Lei de Newton na˜o tem nenhum signifi- cado sem o conceito de forc¸a. Ela diz que se na˜o houver forc¸a atuando sobre o corpo, sua acelerac¸a˜o e´ nula. Mas como saber se ha´ ou na˜o forc¸a atuando sobre o corpo? Evidente- mente, na˜o poder´ıamos usar o enunciado da Primeira Lei para dizer que se o corpo perma- necer em repouso ou em movimento retil´ıneo uniforme enta˜o na˜o ha´ forc¸a atuando sobre ele. Se assim fize´ssemos, estar´ıamos andando em c´ırculo. Na verdade, a Primeira Lei sozinha nos da´ apenas uma noc¸a˜o qualitativa de forc¸a. Ja´ com relac¸a˜o a` Segunda Lei, se definirmos o momentum linear como p ≡ mv (2.9) Prof. Salviano A. Lea˜o 24 e ela pode ser escrita como F = dp dt = d dt (mv) (2.10) Esta equac¸a˜o so´ tem significado completo com a definic¸a˜o de massa. Se aceitarmos que massa, assim como comprimento e tempo,
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