P1 calculoI 2006 2[1]

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Espir´ıto Santo
Primeira prova de Ca´lculo I - Cieˆncia da Computac¸a˜o
Professora Julia Wrobel
Vito´ria, 13 de abril de 2006
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
1. Mostre usando a definic¸a˜o que limx→1 7− 2x = 5
2. limx→pi
sen(x)
x−pi
3. Calcule limx→∞
√
x + 1−√x− 3
4. Calcule limx→∞ x ln 2− ln(3x + 1)
5. A func¸a˜o f(x) =
{
x2 − 2, x ≤ 2
2x− 2, x > 2 admite reta tangente em x = 2? Em
caso afirmativo, determine essa reta.
6. Calcule a derivada de
(a) f(x) = sen(x)(
√
x + ex)
(b) g(t) = cos(t)
cos(t)−1
(c) f(x) = ln(3x tg(x))
7. Seja f : R → R deriva´vel e seja g(t) = tf(t2). Supondo f(1) = 4 e
f ′(1) = 2, calcule g′(1).
8. Seja y = e−ωx, ω constante. Verifique que d
2y
dx2
− ω2y = 0.
Questa˜o extra (0,5 ponto): Seja f : R → R e suponha que existe M ∈ R
tal que para todo x, |f(x)− f(p)| ≤ M |x− p|2. Essa func¸a˜o e´ cont´ınua em p?
1