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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - UEA ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA - EST 1 a Lista de Exercícios de Álgebra Linear II - Ciclo Básico 2016/02 QUESTÕES ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS. Questão 1.Verificar se: (a) S = {(x, y); y = −x} é subespaço de R2; (b) S = {(x, y);x ≥ 0} é subespaço de R2; (c) S = {(x, y, z);x = z2} é subespaço de R3; (d) W = { (x, y, z, t) ∈ R4;x+ y = 0 e z − t = 0} é subespaço de R4; (e) S = {( a b b c ) ; a, b, c ∈ R3 } é subespaço de M(2, 2); (f) W = {( a b c d ) ; a, b, c, d ∈ R e b = c+ 1 } é subespaço de M(2, 2); (g) W = {p(t) ∈ P2; p(1) = 0} é subespaço de P2; (h) W = {p(t) ∈ P2; p′(0) = 1} é subespaço de P2. Questão 2. Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3. (a) Escrever o vetor w = (7,−11, 2) como combinação linear de u e v. (b) Para que valor de k o vetor (−8, 14, k) é combinação linear de u e v? (c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma combinação linear de u e v. Questão 3. Consideremos no espaço P2 = {at2 + bt + c; a, b, c ∈ R} os vetores p1(t) = t2 − 2t + 1, p2(t) = t+ 2 e p3(t) = 2t 2 − t. (a) Escrever o vetor p(t) = 5t2 − 5t+ 7 como combinação linear de p1, p2 e p3. (b) Escrever o vetor p(t) = 5t2 − 5t+ 7 como combinação linear de p1 e p2. (c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor at2 + bt+ c seja uma combinação linear de p2 e p3. (d) É possível escrever p1 como combinação linear de p2 e p3? Questão 4. (a) Verificar se o vetor u = ( 2 3 , 1,−1, 2 ) pertence ao subespaço S de R4 definido por S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)]. (b) Seja W o subespaço de M(2, 2) definido por W = {( 2a a+ b a a− b ) ; a, b ∈ R } . Verificar se as matrizes ( 0 −2 0 1 ) e ( 0 2 3 1 ) pertencem a W . Questão 5. (a) Mostrar que os vetores v1 = (2, 1) e v2 = (1, 1) geram o R2. (b) Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) geram o R3. (c) Mostrar que os polinômios 1 − t3, (1 − t)2, 1 − t e 1 geram o espaço dos polinômios de grau menor do que ou igual a 3. Questão 6. (a) Sendo v1 = (1, 2) ∈ R2, determinar v2 ∈ R2 tal que {v1, v2} seja base de R2. (b) Para que valores de k o conjunto β = {(1, k), (k, 4)} é base de R2? Questão 7. Seja B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)} ⊂ R3. (a) Mostrar que B não é base de R3. (b) Determinar uma base de R3 que possua dois elementos de B. Questão 8. Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços: (a) W = {p(t) ∈ P4; p(1) = p′(1) = p′′(1) = 0} subespaço de P4. (b) W = {X ∈M(2, 2);Xt = −X} subespaço de M(2, 2). (c) S = [( −1 1 ) , ( 2 −2 ) , ( 1 −1 )] subespaço de M(2, 1). 1 (d) S = G ( 1, cos(2x), cos2(x) ) subespaço de F([0, 2pi],R). Questão 9. Seja V o espaço das matrizes 2× 2 sobre R, e seja W o subespaço gerado pelas matrizes( 1 −5 −4 2 ) , ( 1 1 −1 5 ) , ( 2 −4 −5 7 ) e ( 1 −7 −5 1 ) . Encontre uma base, e a dimensão de W . Questão 10. Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0),v2 = (0, 0, 1, 1),v3 = (−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0). (a) Exiba uma base para V = [v1,v2,v3,v4]. Qual é a dimensão de V ? (b) [v1,v2,v3,v4] = R4? Por quê? Questão 11. Seja U o subespaço de R3, gerado por (1, 0, 0) e W o subespaço de R3, gerado por (1, 1, 0) e (0, 1, 1). Mostre que R3 = U ⊕ V . Questão 12. SejamW1 = {(x, y, z, t) ∈ R4;x+y = 0 e z− t = 0} eW2 = {(x, y, z, t) ∈ R4;x−y−z+ t = 0} subespaços de R4. (a) Determine W1 ∩W2. Exiba uma base para W1 ∩W2. (b) Determine W1 +W2. Esta soma é direta? Justifique. (c) Verificar se W1 +W2 = R4. Questão 13. Sejam W1 = {( a b c d ) ; a = d e b = c } e W2 = {( a b c d ) ; a = c e b = d } subespaços de M(2, 2). (a) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base. (b) Determine W1 +W2. É soma direta? W1 +W2 =M(2, 2)? Questão 14. (a) Dado o subespaço V1 = {(x, y, z) ∈ R3|x + 2y + z = 0} ache um subespaço V2 tal que R3 = V1 ⊕ V2. (b) Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de R3 tais que V1 + V2 = R3. A soma é direta? Questão 15. Seja C([−a, a]) = {f : [−a, a] → R; f é contínua em [−a, a]}. Considere os seguintes su- bespaços de C([−a, a]): U = {f ∈ C([−a, a]); f(−x) = f(x),∀x ∈ [−a, a]} e V = {f ∈ C([−a, a]); f(−x) = −f(x),∀x ∈ [−a, a]}. Mostre que C([−a, a]) = U ⊕ V. PRODUTO INTERNO. ESPAÇOS EUCLIDIANOS.. Questão 16. (a) Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em R3. Verificar se 〈u, v〉 = 3x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2 define um produto interno em R3. (b) Sejam A,B ∈M(2, 2). Defina 〈A,B〉 = det(A) det(B). Verificar se 〈A,B〉 define um produto interno em M(2, 2). (c) Sejam f, g ∈ P2. Defina 〈f, g〉 = ∫ 1 −1 f(t)g(t)dt. Verificar se 〈f, g〉 define um produto interno em P2. Questão 17. Para cada u = (x1, y1) e v = (x2, y2) em R2 defina 〈u, v〉 = [ x1 y1 ] [ 1 11 2 ] [ x2 y2 ] . 2 (a) Mostrar que 〈u, v〉 define um produto interno em R2. (b) Calcular a norma do vetor (1, 3). (c) Calcular um vetor unitário a partir de (1, 3). (d) Calcular um vetor ortogonal a (1, 3). Questão 18. Seja o espaço vetorial V =M(2, 2) munido com o produto interno usual 〈A,B〉 = Tr(Bt ·A); A,B ∈ V. Sejam A = ( 1 1 m− 1 1 ) e B = ( −1 m m2 1−m ) matrizes em V . Determinar m ∈ R de modo que A e B sejam ortogonais, com respeito a este produto interno. Questão 19. Considere o espaço vetorial P2 munido com o produto interno: 〈p, q〉 = a0b0 + a1b1 + a2b2, ∀ p, q ∈ P2 em que p(t) = a0 + a1t+ a2t 2 e q(t) = b0 + b1t+ b2t 2 . (a) Determine todos os polinômios s(t) = at2+ bt+ c ∈ P2 que são ortogonais ao polinômio r(t) = 12(t+1) com relação ao produto interno dado. (b) Dados os polinômios p1(t) = t 2 − 2t + 3 e p2(t) = 3t − 4 determine 〈p1, p2〉, ‖p1‖, ‖p2‖ e o ângulo θ formado entre p1 e p2. Questão 20. Considere o espaço vetorial real C0 ([ 0, pi 2 ]) = { f : [ 0, pi 2 ] → R; f é contínua em [ 0, pi 2 ]} munido com o produto interno 〈f, g〉 = ∫ pi 2 0 f(t)g(t)dt, ∀ f, g ∈ C0 ([ 0, pi 2 ]) . Dadas as funções f(t) = sen t e g(t) = cos t, determine o ângulo θ formado entre f e g. Questão 21. (a) Considere o espaço vetorial real C0([0, pi]) = {f : [0, pi] → R; f é contínua} munido com o produto interno: 〈f, g〉 = ∫ pi 0 f(t)g(t)dt, ∀ f, g ∈ C0([0, pi]). A distância d = d(f, g) entre as funções f, g ∈ C0([0, pi]) é definida por d(f, g) = ‖f − g‖. Calcular a distância entre as funções f(t) = sen t e g(t) = cos t. (b) Considere o espaço vetorial real M(2, 3) com produto interno usual 〈A,B〉 = Tr(Bt ·A). Dadas as matrizes A = ( 1 0 2 −1 2 1 ) e B = ( 1 −2 1 1 0 3 ) , determine 〈A,B〉, ‖A‖, ‖B‖, cos θ, onde θ é o ângulo formado entre as matrizes A e B e d(A,B) = ‖B−A‖ (distância entre as matrizes A e B). Questão 22. Seja V um espaço vetorial real munido com um produto interno 〈 , 〉. Demonstre que se v e w são vetores quaisquer de V , então valem as relações: (a) 〈v, w〉 = 1 4 [‖v + w‖2 − ‖v − w‖2] (identidade polar); (b) ‖v‖2 + ‖w‖2 = 1 2 [‖v + w‖2 + ‖v − w‖2] (lei do paralelogramo). Questão 23. (a) Seja β = {(1, 2), (2, 1)}. Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base orto- normal β de R2 em relação ao produto interno usual. (b) Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal do subespaço vetorial W = {(x, y, z); y − 2z = 0} de R3. 3 Questão 24. Seja V = {(x, y, z) ∈ R3;x− y + z = 0} um subespaço de R3. (a) Determine uma base ortonormal (em relação ao produto interno usual) para V . (b) Determine V ⊥. Questão 25. Seja P3 o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a 3. Sejam f, g ∈ P3(R). Defina o produto interno em P3 por 〈f, g〉 = ∫ 1 −1 f(t)g(t)dt. Considere W o subespaço de P3(R) gerado pelos vetores p(t) = 1 e q(t) = 1− t. Determine: (a) uma base ortogonal para W .(b) o complemento ortogonal de W e sua respectiva base. Esta base é ortogonal? Caso não seja, exiba uma base ortogonal para W⊥. Questão 26. Sejam V o espaço das matrizes triangulares superiores e S = {( 1 0 0 1 ) , ( 1 1 0 1 )} . (a) Encontre S⊥. (b) Encontre uma base ortogonal para S e S⊥. Questão 27. Sejam A e B matrizes de M(2, 2). Defina o produto interno em M(2, 2): 〈A,B〉 = Tr(Bt ·A). Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base{( 1 0 0 1 ) , ( 1 1 0 0 ) , ( 1 0 1 1 ) , ( 1 1 1 1 )} . 4
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