1a Lista de Exercícios de Álgebra Linear II   2016 02
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1a Lista de Exercícios de Álgebra Linear II 2016 02


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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - UEA
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA - EST
1
a
Lista de Exercícios de Álgebra Linear II - Ciclo Básico 2016/02
QUESTÕES
ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS.
Questão 1.Veri\ufb01car se:
(a) S = {(x, y); y = \u2212x} é subespaço de R2;
(b) S = {(x, y);x \u2265 0} é subespaço de R2;
(c) S = {(x, y, z);x = z2} é subespaço de R3;
(d) W =
{
(x, y, z, t) \u2208 R4;x+ y = 0 e z \u2212 t = 0} é subespaço de R4;
(e) S =
{(
a b
b c
)
; a, b, c \u2208 R3
}
é subespaço de M(2, 2);
(f) W =
{(
a b
c d
)
; a, b, c, d \u2208 R e b = c+ 1
}
é subespaço de M(2, 2);
(g) W = {p(t) \u2208 P2; p(1) = 0} é subespaço de P2;
(h) W = {p(t) \u2208 P2; p\u2032(0) = 1} é subespaço de P2.
Questão 2. Sejam os vetores u = (2,\u22123, 2) e v = (\u22121, 2, 4) em R3.
(a) Escrever o vetor w = (7,\u221211, 2) como combinação linear de u e v.
(b) Para que valor de k o vetor (\u22128, 14, k) é combinação linear de u e v?
(c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma combinação linear de u e v.
Questão 3. Consideremos no espaço P2 = {at2 + bt + c; a, b, c \u2208 R} os vetores p1(t) = t2 \u2212 2t + 1,
p2(t) = t+ 2 e p3(t) = 2t
2 \u2212 t.
(a) Escrever o vetor p(t) = 5t2 \u2212 5t+ 7 como combinação linear de p1, p2 e p3.
(b) Escrever o vetor p(t) = 5t2 \u2212 5t+ 7 como combinação linear de p1 e p2.
(c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor at2 + bt+ c seja uma combinação linear de p2 e
p3.
(d) É possível escrever p1 como combinação linear de p2 e p3?
Questão 4. (a) Veri\ufb01car se o vetor u =
(
2
3
, 1,\u22121, 2
)
pertence ao subespaço S de R4 de\ufb01nido por
S = [(1, 1,\u22122, 4), (1, 1,\u22121, 2), (1, 4,\u22124, 8)].
(b) Seja W o subespaço de M(2, 2) de\ufb01nido por
W =
{(
2a a+ b
a a\u2212 b
)
; a, b \u2208 R
}
.
Veri\ufb01car se as matrizes
(
0 \u22122
0 1
)
e
(
0 2
3 1
)
pertencem a W .
Questão 5. (a) Mostrar que os vetores v1 = (2, 1) e v2 = (1, 1) geram o R2.
(b) Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) geram o R3.
(c) Mostrar que os polinômios 1 \u2212 t3, (1 \u2212 t)2, 1 \u2212 t e 1 geram o espaço dos polinômios de grau menor do
que ou igual a 3.
Questão 6. (a) Sendo v1 = (1, 2) \u2208 R2, determinar v2 \u2208 R2 tal que {v1, v2} seja base de R2.
(b) Para que valores de k o conjunto \u3b2 = {(1, k), (k, 4)} é base de R2?
Questão 7. Seja B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)} \u2282 R3.
(a) Mostrar que B não é base de R3.
(b) Determinar uma base de R3 que possua dois elementos de B.
Questão 8. Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
(a) W = {p(t) \u2208 P4; p(1) = p\u2032(1) = p\u2032\u2032(1) = 0} subespaço de P4.
(b) W = {X \u2208M(2, 2);Xt = \u2212X} subespaço de M(2, 2).
(c) S =
[( \u22121
1
)
,
(
2
\u22122
)
,
(
1
\u22121
)]
subespaço de M(2, 1).
1
(d) S = G
(
1, cos(2x), cos2(x)
)
subespaço de F([0, 2pi],R).
Questão 9. Seja V o espaço das matrizes 2× 2 sobre R, e seja W o subespaço gerado pelas matrizes(
1 \u22125
\u22124 2
)
,
(
1 1
\u22121 5
)
,
(
2 \u22124
\u22125 7
)
e
(
1 \u22127
\u22125 1
)
.
Encontre uma base, e a dimensão de W .
Questão 10. Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,\u22121, 0, 0),v2 = (0, 0, 1, 1),v3 =
(\u22122, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0).
(a) Exiba uma base para V = [v1,v2,v3,v4]. Qual é a dimensão de V ?
(b) [v1,v2,v3,v4] = R4? Por quê?
Questão 11. Seja U o subespaço de R3, gerado por (1, 0, 0) e W o subespaço de R3, gerado por (1, 1, 0) e
(0, 1, 1). Mostre que R3 = U \u2295 V .
Questão 12. SejamW1 = {(x, y, z, t) \u2208 R4;x+y = 0 e z\u2212 t = 0} eW2 = {(x, y, z, t) \u2208 R4;x\u2212y\u2212z+ t = 0}
subespaços de R4.
(a) Determine W1 \u2229W2. Exiba uma base para W1 \u2229W2.
(b) Determine W1 +W2. Esta soma é direta? Justi\ufb01que.
(c) Veri\ufb01car se W1 +W2 = R4.
Questão 13. Sejam W1 =
{(
a b
c d
)
; a = d e b = c
}
e W2 =
{(
a b
c d
)
; a = c e b = d
}
subespaços
de M(2, 2).
(a) Determine W1 \u2229W2 e exiba uma base.
(b) Determine W1 +W2. É soma direta? W1 +W2 =M(2, 2)?
Questão 14. (a) Dado o subespaço V1 = {(x, y, z) \u2208 R3|x + 2y + z = 0} ache um subespaço V2 tal
que R3 = V1 \u2295 V2.
(b) Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de R3 tais que V1 + V2 = R3. A soma é direta?
Questão 15. Seja C([\u2212a, a]) = {f : [\u2212a, a] \u2192 R; f é contínua em [\u2212a, a]}. Considere os seguintes su-
bespaços de C([\u2212a, a]):
U = {f \u2208 C([\u2212a, a]); f(\u2212x) = f(x),\u2200x \u2208 [\u2212a, a]}
e
V = {f \u2208 C([\u2212a, a]); f(\u2212x) = \u2212f(x),\u2200x \u2208 [\u2212a, a]}.
Mostre que
C([\u2212a, a]) = U \u2295 V.
PRODUTO INTERNO. ESPAÇOS EUCLIDIANOS..
Questão 16. (a) Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em R3. Veri\ufb01car se \u3008u, v\u3009 = 3x1x2 + 5y1y2 + 2z1z2
de\ufb01ne um produto interno em R3.
(b) Sejam A,B \u2208M(2, 2). De\ufb01na
\u3008A,B\u3009 = det(A) det(B).
Veri\ufb01car se \u3008A,B\u3009 de\ufb01ne um produto interno em M(2, 2).
(c) Sejam f, g \u2208 P2. De\ufb01na
\u3008f, g\u3009 =
\u222b 1
\u22121
f(t)g(t)dt.
Veri\ufb01car se \u3008f, g\u3009 de\ufb01ne um produto interno em P2.
Questão 17. Para cada u = (x1, y1) e v = (x2, y2) em R2 de\ufb01na
\u3008u, v\u3009 = [ x1 y1 ] [ 1 11 2
] [
x2
y2
]
.
2
(a) Mostrar que \u3008u, v\u3009 de\ufb01ne um produto interno em R2.
(b) Calcular a norma do vetor (1, 3).
(c) Calcular um vetor unitário a partir de (1, 3).
(d) Calcular um vetor ortogonal a (1, 3).
Questão 18. Seja o espaço vetorial V =M(2, 2) munido com o produto interno usual
\u3008A,B\u3009 = Tr(Bt ·A); A,B \u2208 V.
Sejam A =
(
1 1
m\u2212 1 1
)
e B =
( \u22121 m
m2 1\u2212m
)
matrizes em V . Determinar m \u2208 R de modo que A e B
sejam ortogonais, com respeito a este produto interno.
Questão 19. Considere o espaço vetorial P2 munido com o produto interno:
\u3008p, q\u3009 = a0b0 + a1b1 + a2b2, \u2200 p, q \u2208 P2
em que p(t) = a0 + a1t+ a2t
2
e q(t) = b0 + b1t+ b2t
2
.
(a) Determine todos os polinômios s(t) = at2+ bt+ c \u2208 P2 que são ortogonais ao polinômio r(t) = 12(t+1)
com relação ao produto interno dado.
(b) Dados os polinômios p1(t) = t
2 \u2212 2t + 3 e p2(t) = 3t \u2212 4 determine \u3008p1, p2\u3009, \u2016p1\u2016, \u2016p2\u2016 e o ângulo \u3b8
formado entre p1 e p2.
Questão 20. Considere o espaço vetorial real
C0
([
0,
pi
2
])
=
{
f :
[
0,
pi
2
]
\u2192 R; f é contínua em
[
0,
pi
2
]}
munido com o produto interno
\u3008f, g\u3009 =
\u222b pi
2
0
f(t)g(t)dt, \u2200 f, g \u2208 C0
([
0,
pi
2
])
.
Dadas as funções f(t) = sen t e g(t) = cos t, determine o ângulo \u3b8 formado entre f e g.
Questão 21. (a) Considere o espaço vetorial real C0([0, pi]) = {f : [0, pi] \u2192 R; f é contínua} munido
com o produto interno:
\u3008f, g\u3009 =
\u222b pi
0
f(t)g(t)dt, \u2200 f, g \u2208 C0([0, pi]).
A distância d = d(f, g) entre as funções f, g \u2208 C0([0, pi]) é de\ufb01nida por
d(f, g) = \u2016f \u2212 g\u2016.
Calcular a distância entre as funções f(t) = sen t e g(t) = cos t.
(b) Considere o espaço vetorial real M(2, 3) com produto interno usual
\u3008A,B\u3009 = Tr(Bt ·A).
Dadas as matrizes A =
(
1 0 2
\u22121 2 1
)
e B =
(
1 \u22122 1
1 0 3
)
, determine \u3008A,B\u3009, \u2016A\u2016, \u2016B\u2016, cos \u3b8, onde \u3b8
é o ângulo formado entre as matrizes A e B e d(A,B) = \u2016B\u2212A\u2016 (distância entre as matrizes A e B).
Questão 22. Seja V um espaço vetorial real munido com um produto interno \u3008 , \u3009. Demonstre que se
v e w são vetores quaisquer de V , então valem as relações:
(a) \u3008v, w\u3009 = 1
4
[\u2016v + w\u20162 \u2212 \u2016v \u2212 w\u20162] (identidade polar);
(b) \u2016v\u20162 + \u2016w\u20162 = 1
2
[\u2016v + w\u20162 + \u2016v \u2212 w\u20162] (lei do paralelogramo).
Questão 23. (a) Seja \u3b2 = {(1, 2), (2, 1)}. Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base orto-
normal \u3b2 de R2 em relação ao produto interno usual.
(b) Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal do subespaço vetorial W =
{(x, y, z); y \u2212 2z = 0} de R3.
3
Questão 24. Seja V = {(x, y, z) \u2208 R3;x\u2212 y + z = 0} um subespaço de R3.
(a) Determine uma base ortonormal (em relação ao produto interno usual) para V .
(b) Determine V \u22a5.
Questão 25. Seja P3 o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a 3. Sejam f, g \u2208 P3(R).
De\ufb01na o produto interno em P3 por
\u3008f, g\u3009 =
\u222b 1
\u22121
f(t)g(t)dt.
Considere W o subespaço de P3(R) gerado pelos vetores p(t) = 1 e q(t) = 1\u2212 t. Determine:
(a) uma base ortogonal para W .
José
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