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Bases Ortonormais 1 de Julho de 2013 Capítulo 1 Bases Ortonormais Definição 1.1. Dizemos que w ∈ Rn é uma combinação linear dos vetores v1, v2, . . . , vm quando existem α1, α2, . . . , αm ∈ R tais que w = α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm = m∑ i=1 αivi. Definição 1.2. Dizemos que X ⊂ Rn é um conjunto de geradores de Rn quando todo w ∈ Rn pode exprimir-se como combinação linear w = α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm de vetores v1, v2, . . . , vm ∈ X. Definição 1.3. Dizemos que X ⊂ Rn é um conjunto linearmente indepen- dente se a única combinação linear nula de vetores de X é aquela cujos coeficientes são todos iguais a zero, isto é, se α1v1 + α2v2 + . . .+ αmvm = 0, com v1, v2, . . . , vm ∈ X, então α1 = α2 = . . . = αm = 0. Caso contrário, dizemos que X é um conjunto linearmente dependente. Observação 1.1. Se v = α1v1+. . .+αmvm = β1v1+. . .+βmvm e os vetores v1, . . . , vm são linearmente independentes, então α1 = β1, . . . , αm = βm, ou seja, v exprime-se de forma única como combinação linear dos vetores v1, v2, . . . , vm. Definição 1.4. Uma base de Rn é um conjunto B ⊂ Rn linearmente inde- pendente de geradores de Rn. Definição 1.5. Um conjunto X ⊂ Rn diz-se ortogonal quando dois vetores quaisquer em X são ortogonais. Se além disso, todos os vetores de X são unitários, então X chama-se um conjunto ortonormal. Definição 1.6. Uma base de Rn diz-se ortogonal (ortonormal) quando for um conjunto ortogonal (ortonormal). 1 1.1 Exercícios 1. Mostre que {(1, 2)} não gera R2. 2. Mostre que {(1, 0), (0, 2), (3, 4)} é um conjunto linearmente dependente de geradores de R2. 3. Mostre que {(3, 4), (5,−6)} é uma base de R2. 4. Mostre que {(3,−4), (−4,−3)} é uma base ortogonal de R2. 5. Mostre que {(35 ,−45), (−45 ,−35)} é uma base ortonormal de R2. 6. Mostre que os vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) constituem uma base ortonormal {e1, e2} de R2 (chamada a base canônica de R2). 7. Mostre que {(1, 2, 0), (3, 0, 4), (5, 6, 0), (7, 8, 9)} é um conjunto linear- mente dependente de geradores de R3. 8. Mostre que {(1, 2, 0), (3, 0, 4)} é um conjunto linearmente independente que não gera R3. 9. Mostre que {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 9)} é uma base de R3. 10. Mostre que {(3,−4, 0), (−4,−3, 0), (0, 0, 5)} é uma base ortogonal de R3. 11. Mostre que {(35 ,−45 , 0), (−45 ,−35 , 0), (0, 0, 1)} é uma base ortonormal de R3. 12. Mostre que os vetores e1 = (1, 0, 0),e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) consti- tuem uma base ortonormal {e1, e2, e3} de R3 (chamada a base canônica de R3). 13. Mostre que {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} é um conjunto linearmente independente que não gera R4. 14. Mostre que {(1, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, 3, 0), (0, 0, 0, 4), (5, 6, 7, 8)} é um conjunto linearmente dependente de geradores de R4. 15. Mostre que {(1, 2, 3, 4), (2, 4, 6, 8), (3, 6, 9, 12)} é um conjunto linear- mente dependente que não gera R4. 16. Mostre que os vetores e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e2 = (0, 0, 1, 0) e e4 = (0, 0, 0, 1) constituem uma base ortonormal {e1, e2, e3, e4} de R4 (chamada a base canônica de R4). 17. Mostre que os vetores e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) cons- tituem uma base ortonormal {e1, e2, . . . , en} de Rn (chamada a base canônica de Rn). 2
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