Lista 10 AL 2016

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Universidade Federal de Itajuba´
10a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear I – 2016
Objetivo. Recordar e trabalhar a definic¸a˜o de polinoˆmio caracter´ıstico e espac¸os vetoriais
complexos, cap´ıtulos 20 e 21 do livro texto.
Exerc´ıcio 1. (Alyne Silva, Ana Clara Correˆa, Ana Guerra, Anderson da Silva, Bruno
Rezende, Bruno Silva, Carina Maduro, Carine Siqueira)
Seja E um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita. Mostre que um operador A : E → E e´
invert´ıvel se, e somente se, na˜o tem autovalor nulo. No caso em que isso acontece, prove
que os autovetores de A e de sua inversa A−1 coincidem. E os autovalores?
Exerc´ıcio 2. (Chang Tzu, Daniele Oliveira, Flavio Maglioni, Gabriela Ribeiro, Giovana
Julia˜o, Jennifer Tome´, Josefher dos Santos, Karine Pereira)
Para cada uma das afirmac¸o˜es abaixo, dizer se as mesmas sa˜o verdadeiras ou falsas,
justificando matematicamente suas respostas:
(a) Seja E um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita n. Suponha que A : E → E seja um
operador linear tendo n autovalores λ1, . . . , λn ∈ R distintos dois a dois. Enta˜o, existe
uma base B = {v1, . . . , vn} ⊂ E em relac¸a˜o a` qual a matriz de A e´ diagonal.
(b) O polinoˆmio caracter´ıstico do operador T + S e´ a soma dos polinoˆmios caracter´ısticos
dos operadores T e S.
(Para os dois exerc´ıcios a seguir.) Seja E um espac¸o vetorial real. O complexificado de E
e´ o conjunto Ec cujos elementos sa˜o da forma u + iv, com u, v ∈ E. Em Ec, a igualdade
u + iv = u′ + iv′ significa que u = u′ e v = v′. A adic¸a˜o e´ definida por (u + iv) +
(u′ + iv′) = (u + u′) + i(v + v′) e o produto por um nu´mero complexo e´ definido por
(α + iβ)(u + iv) = (αu − βv) + i(βu + αv). Para todo u ∈ E, tem–se u + i0 = u, de
onde E ⊂ Ec. O complexificado de um operador A : E → E e´ dado por Ac : Ec → Ec,
Ac(u+ iv) = Au+ iAv.
Exerc´ıcio 3. (Leonardo Lemos, Let´ıcia Carvalho, Ligia Andrade, Lilian Valeriano, Mateus
Nascimento, Mateus Santos, Patrick Conceic¸a˜o, Paula Borges, Vinicius Barbosa, Yasmine
Madella, Brenner Chalar, Caique Rezende)
Prove as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) Ec e´ um espac¸o vetorial complexo e Ac e´ um operador C–linear.
(b) O complexificado de Rn e´ Cn.
Exerc´ıcio 4. (Paulo Correˆa, Pedro Rodrigues, Pedro Koichi, Pedro Lirio, Raquel Pinto,
Renan Santos, Roˆmulo Passos, Thiago Nunes, Larissa Faria, Luciano Moura, Tiago Souza,
Tulio Moura, Wellington Barbosa, Wellington Silva)
Prove as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) E ⊂ Ec, mas E na˜o e´ um subespac¸o vetorial complexo de Ec.
(b) Toda R–base {u1, . . . , un} de E e´ uma C–base de Ec. Assim, dimCEc = dimRE.