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INTEGRAL INDEFINIDA 
 
TABELA DE INTEGRAIS 
 
 
  kcxdxc
 
1,
1
1
 

nkdxx
n
xn n
 
  kxdxx ||ln
1
 
  kdxa a
ax x
ln
 
  kedxe
xx
 
  kxdxsenx cos
 
  ksenxdxxcos
 
  kxtgdxx
2sec
 
  kxgdxxec cotcos
2
 
  kxdxxtgx sec.sec
 
  kxecdxxgecx coscot.cos
 
  kxarctgdxx21
1
 
Nos exercícios de 1 à 31, calcule as seguintes integrais indefinidas: 
1) 
 dxx
 
2) 
 dx3
 
3) 
  dxx )13(
 
4) 
  dxxx )1(
2
 
5) 
  dxxx )324(
3
 
6) 
  dxxxx )752(
24
 
7) 
 dxx2
1 
8) 
  dxx x )( 1
 
9) 
  dxxx x )3( 3
12
 
10) 
  dxx x )2( 4
13 
11) 
  dxxx )43)(52(
 
12) 
  dxxx )32(
 
13) 
  dxxx )cos(
2
4
3
 
14) 
 dxxsen2
 
15) 
  dxxx )cos52(
5
 
16) 
  dxxsen x )7( 2
 
17) 
  dxe x
x )3( 4
2 
18) 
  dxexsen
x )25(
 
19) 

 dx
x
x
2
2)1( 
20) 
 
 dx
x
x
1
12 
21) 
  dxxe
5 
22) 
  dxx )5(
 
23) 
  dxx x )( 31
3 2 
24) 

 dx
x
x )(
3
4 4 
25) 
  dxx x )cos2(
1
 
26) 
  dxe x
xx )3( 2cos
sin
 
27) 

 dx
x
xx )( 4
25 12 
28) 
 dxxx
3 
29) 
  dxx
2)32(
 
30) 
  dxx
xe )2(
3
 
31) 
 dxxx
x )( 2ln
ln 
32) 
  dxxx )1(cossec
32
 
33) 
 dxxecxtg
22 cos.
 
34) 
 dxtgxx.cos
 
35) 
  dxxx
22 )1()1(
 
36) 
  dxx t
ex )( 3
3
2
 
37) 
  dxxx3
3
2
16 )()2(8
 
 
 
 
Nos exercícios de 38 à 41, determine a função y, com x

IR, tal que 
38) 





2)0(
' 2
y
xy
dx
dy
 39) 





1)1(
1' 3
y
xxy
dx
dy
 
40) 





1)0(
32'
y
xy
dx
dy
 41) 





0)1(
3'
2
1
y
xy
dx
dy
 
 
42) Encontrar uma primitiva F, da função xxxf  32)( , que satisfaça 1)1( F . 
 
43) Encontrar uma primitiva da função 
1)( 2
1 
x
xf
 que se anule no ponto x = 2. 
 
44) Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade
cxxxsendxxf x  2
2
cos)(
, 
determine 
)(
4
f
. 
 
45) Encontrar uma função f tal que
0)('  xsenxf
 e 
2)0( f
. 
 
46) Uma partícula desloca-se em linha reta e sabe-se que no instante t, t 

0, a velocidade é v (t) = 2t + 1. 
Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição s = 1 (s(0) = 1). Determine a 
posição s (t) da partícula nos instantes t e t = 4. 
 
47) Uma partícula desloca-se com velocidade v (t) = t + 3, t 

0. Sabe-se que s (0) = 2. 
a) Qual a posição da partícula no instante t = 3 
b) Determine a aceleração desta partícula no instante t = 1. 
48) Um balão esférico tem seu volume expandindo-se, no instante t, a uma taxa de 2t
dt
dV 
. Sabendo 
que V (0) = 3, determine seu volume no instante t = 2. 
 
49) Uma partícula se move em linha reta com aceleração a (t) e a condições iniciais dadas, determine a 
função posição. 
a) 





4)0(5)0(
62)( 2
sev
tta
dt
dv
 b) 





2)0(1)0(
1524)( 23
sev
ttta
dt
dv
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) 
kx 
2
2 
2) 
kx 3
 
3) 
kxx 
2
3 2
 
4) 
kxxx 
23
23 
5) 
kxxx  324
 
6) 
kxxxx  7
2
5
35
2 235
 
7) 
k
x
 1
 
8) 
kxx  ln
2
2 
9) 
kx
x
x  2
2
2
1
2
3 
10) 
k
x
x  3
4
3
1
2
 
11) 
kxx x  202
2
73 2
 
12) 
kxx 
2
3
3
2 23 
13) 
kx
xsen

34
3 3 
14) 
kx  cos2
 
15) 
kxsenx  5
3
6 
16) 
kxx  ln2cos7
 
17) 
ke xx 
12
3
3
 
18) 
kexx x  2cos5
 
19) 
kxx
x
 1ln2
 
20) 
kxx 
2
2 
21) 
kex 5
 
22) 
kxx  52
3
3
2 
23) 
kx x  3
ln
5
3 3
5 
24) 
kxx  3
2
3
14
614
3 
25) 
kxxsen  22
 
26) 
kxex sec3
 
27) 
k
xx
x  3
2
3
12
2
 
28) 
kx 2
9
9
2 
29) 
kxxx  96 23
4 3
 
30) 
kx
xe 
33
22 2
3 
31) 
kx 2
ln
 
32) 
kxtgxsen 
 
33) 
kxtg 
 
34) 
kx  cos
 
35) 
kxxx 
3
2
5
35 
36) 
k
x
xe x  2
2
3
2
3
3
2
2
 
37) 
kxxxx  42 2
3
7
2
34
 
38) 
23
3
x
 
39) 
4
1
24
24
 xxx
 
40) 
132  xx
 
41) 
4
11
4
3
2
 xx
 
42) 
10
1
25
3 23
5
 xx
 
43) 
2
31  x
x
 
44) 
8
)22(  
45) 
1cos x
 
 
 
46) 
21)4(1)( 2  settts
 
47) a) 
2
31
2
)1(23)(
2
 setts t
 b) 1 
48) 
3
17
3
)2(3)(
3
 VetV t
 
49) a) 
45)( 2
2
4
 ttts t
 b) 
2)(
2
15
65
245
 tts ttt
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAL INDEFINIDA COM MUDANÇA DE VARIÁVEL E 
POR PARTES 
 
Nos exercícios de 1 à 34, calcule as integrais indefinidas, usando o método da mudança de variáveis: 
1) 
 dxe
x64
 
2) 
  dxxsen )2(
 
3) 

 dxe x45
 
4) 
  dxxxsen )5(cos)3(
 
5) 
 dxex
x324
 
6) 
  dxxx
532 )1(
 
7) 
  dxxxx )22()32(
102 
8) 
  dxxx )2(cos.2
2 
9)  dxx xln10 
10) 
 dxxsenx )(.
2
 
11) 
 dxxxsen )(cos).(
4
 
12) 
 dxx
xsen
)(cos
)(
5
 
13) 

dx
x
xxsen
)cos(
)cos(5)(2 
14) 
 dxxsen
x )(. 2
2
 
15) 
  dxx43
 
16) 
  dxxx
32 1
 
17)   dxx 14 5 
18)    dxxe x )42cos(5
 
19) 
  dxx
x
3
2
1
 
20) 
 
 dx
xx
x
3
2 13 
21)   dxx
x
e
e
1
5 
22)  dxx
e x
2
1
 
23)  dxx
x2ln 
24) 
 dxxx 2)3(ln
3 
25) 

 dxx x 1
2
2 
26) 
  dxee
xx 522 )2(
 
27)   dxxsen
x
3
cos 
28) 
  dxx )35(sec
2
 
29)   dxx 2)2(
1 
30) 
 dxee
xx )2cos(
 
31) 
  dxxx
2345
 
32) 
  dxxx
243
 
33) 
  dxxx 7
1
)2( 32
 
34)   dxx
x
5 2 1
 
  dxx
x
e
e
)2cos( 3
3 resp. 
ketge xx  )]2()2ln[sec( 33
3
1
 
Nos exercícios de 35 à 56, calcule as integrais indefinidas, usando o método de integração por partes: 
35) 
 dxxx cos.
 
36) 
 dxex
x.3
 
37) 
 dxxx ln.2
 
38) 
 dxxsenx.
 
39) 
 dxxln5
 
40) 
 dxxln
 
41) 
 dxex
x3.
 
42) 
 dxxx )2cos(.3
 
43) 

 dxex x.2
 
44) 
 dxxx )2ln(.
 
45) 
 dxxsenx .
2
 
46) 
 dxxe
x cos
 
47) 
 dxxx ln.
2
 
48) 
 dxxsenx )5(.
 
49) 
  dxxx )2cos().1(
 
50) 
 dxxsen
3
 
51) 
 dxe x
x )cos( 2
 
52) 
 dxxx ln.
 
53) 
 dxxx
2cos.
 
54)  dxe xx
1
3 .1 
55) 
 senxdxe
x2 
56) 
 dxxe
x )4cos(3
 
 
 dxxsenx.
 
GABARITO 
 
32) 
k
xe 
3
2 6 
33) 
kx  )2cos(
 
34) kxe  
4
5 4 
35) 
kxsenx 
5
)5(
3
)3cos( 
36) kxe 
3
4
3 
37) 
kx 
18
)1( 63 
38) kxx 11 )32(
112 
39) 
kxsen  )2( 2
 
40) 
kx 2)(ln5
 
41) kx 
2
)cos( 2 
42) kxsen 5 )(
5 
43) kx 
4
)(cos 4 
44) 
kxx  5)ln(cos2
 
45) kx 
4
)cos( 2 
46) 
kx  )4ln(3
 
47) kx 
9
)1(2 2
3
348) 
k
x


4
)14ln(5 
49) 
k
xe x  
2
)42sin(
5
5 
50) 
k
x


3
)1ln( 3 
51) 
kxx  )ln( 3
 
52) 
kex  )1ln(5
 
53) ke x  1 
54) 
kx 2)(ln
 
55) 
k
x

)3ln(
3
 
56) kx 
2ln
2
2 
57) 
ke x  62
12
1 )2(
 
58) 
kxsen  )3ln(
 
59) 
kxtg  )35(
5
1
 
60) 
k
x



2
1
 
61) 
kesen x )2(
2
1 
62) 
kx  2
3
)34( 2
9
5 
63) 
kx  2
3
)13( 2
9
1 
64) 
kx  7
8
)2( 3
24
7 
65) 
kx  5
4
)1( 2
8
5 
66) 
kxxx  cossin
 
67) 
kexe xx 33
 
68) 
kxx x 
2
2 2ln
 
69) 
kxxx  sincos
 
70) 
kxxx 5ln5
 
71) 
kxxx ln
 
72) kxx exe  93 33 
73) 
k
xxx

4
)2cos(3
2
)2sin(3 
74) 
kexe xx   22
 
75) 
kx
xx

42
)2ln( 22 
76) 
kxxxxx  cos2sin2cos2
 
77) kxexe xx 2 cossin 
78) 
kxxx 
93
ln 33 
79) 
kxsenxx  )5()5cos(
25
1
5
 
80) 
kxxsenx  )2cos()2( 4
1
2
1
 
81) 
kxxxsen  3
3
22 coscos
 
82)   ksen xxex  )cos(2)(
225
2 
83) 
kxxxxx 
9
4
3
2 ln
 
84) 
  kxxxsenx  )2cos()2(
2
12
4
1
 
85) kee xx
x

11
1 
86)   kxesenxe xx  cos2 22
5
1
 
87) 
  kxexsene xx  )4cos()4( 3
4
33
25
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAL POR FRAÇÕES PARCIAIS 
 
2) Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando o método das frações parciais: 
a)   dxx
x
42
 
b)   dxxx
x
652
 
c)  
 dx
x
x
1
12
2
 
d) 
 
 dx
x
x
2)1(
3 
e)  
 dx
xx
xx
32
13
2
2 
f) 
 
 dx
x
x
3
2
)2(
1 
g)  
 dx
xx
x
2
3 
h)  
 dx
xx
xx
2
2 1 
i)  
 dx
xx
xx
12
1
2
3 
j)  
 dx
xx
xx
34
1
2
3 
k)  
 dx
x
x
9
3
2
3 
l)   dxxx 2
1
2
 
m) 
3 2
2
3 3
x
x x x
dx
  
 
n) 3
3 2
4
2 2 1
x
x x x
dx
  
 
o) 3
4 2
3 1
4
x x
x x
dx 

 
 
 
GABARITO: 
 
a) 
k
xx


2
)2ln(
2
)2ln( 
b) 
kxx  )3ln(3)2ln(2
 
c) 
k
xx  
2
)1ln(
2
)1ln(3 
d) 
kx
x

1
4)1ln(
 
e) 
kx
xx


4
)3ln(19
4
)1ln( 
f) 
kx
xx

 2)2(2
5
2
4)2ln(
 
g) 
kxx  )1ln(4ln3
 
h) 
kxxx  )1ln(3ln
 
i) 
kxx
x
x 
1
3
2
)1ln(42
2 
j) 
kx
xxx  
2
)3ln(31
2
)1ln(3
2
4
2 
k) 
kxxx  )3ln(4)3ln(5
2
2
 
l) 
kxx   3
)2ln(
3
)1ln( 
m) ln( 1) 3ln( 1) ln( 3)
4 8 8
x x x
k
   
 
n) 2ln( 1) ln(2 1)
3 3
2 2ln( 1)
x x
x x k
      
 
o) 13ln( 2) 15ln( 2) 3ln( )1
16 16 4 4
x x x
x
k
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAIS COM SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
Expressão no integrando Substituição Interpretação Geométrica 
22 xa 
 senax . 
 
 
22 xa 
 tan.ax  
 
 
 
22 ax 
 sec.ax  
 
 
 
 
Identidades: 
 
 
 
 
Derivadas Integrais 
xyxtgy 2sec'
 
  kxxdxtg secln
 
xtgxyxy .sec'sec 
 
  kxtgxxdx seclnsec
 
 
1) Calcule as integrais dadas abaixo, utilizando a substituição trigonométrica: 
a) 


dx
x 16
1
2
 
b) 


dx
x
x
2
2
4
 
c) 


dx
xx 25
1
22
 
d) 


dx
xx 24
1
 
e) 


dx
x 9
1
2
 
f) 


dx
x 225
1
 
g) 
  dxxx
216
 
h) 


dx
xx 29
1
 
i) 
dx
x
x


2
2
3
4 
j) 


dx
x 249
1
 
 
k) 
dx
x
x

 93 2
2 
l) 
dx
xx

 3
1
24
 
m) 

1623 xx
dx
 
 
GABARITO: 
 
a) kx
x 
44
162ln 
b) 
  ksen xxx   2
4
2
1 22
 
c) 
k
x
x 
25
252 
 
d) 
k
xx
x  24
2
1
2
ln 
 
e) 
kxx 
33
92ln 
 
f) 
  ksen x  5
1
 
g) k
x





 
3
16
3
2
 
 
 
 
1cos22  xxsen
 
basensenbaba  coscos)cos(
 
xtgx 22 1sec 
 
2
)2cos(
2
12 xxsen 
 
absenbasenbasen coscos)( 
 
2
)2cos(
2
12cos
x
x 
 
x 
a 

 
x 
a 

 
x 
a 

 
INTEGRAL DEFINIDA 
1) Calcule as seguintes integrais definidas: 
a) 
 
1
0
)3( dxx
 
b) 



dxxsen )6(
 
c) 

2
1
4dx
 
d) 
 
2
0
3 )13( dxxx
 
e) 
 
1
0 2
13 )5( dxx
 
f) 
 
2
1
13 )( 3 dxxx x
 
g) 
 
1
0
2 )2( dxxe x
 
h) 
 
2
2
)3(cos

 dxxsenx
 
i) 
 
2
1
52 )( dxxex
 
j) 
 
2
1
2 )13( dxxx
 
 
2) Calcule as seguintes integrais definidas, usando o método da mudança de variáveis: 
a) 


1
1
4 dxe x
 
b)   
3
0
)3cos(3

dxx 
c) 
 
1
0 1
2
2 dxx
x 
d) 
 
1
0
1
1 dx
x
 
e)   
2
0
2
1
2
1 )2cos(

dxx 
f)   
4
0
)4cos(6)2(4

dxxxsen
 
g) 

1
1
3 4dxex x
 
h) 
 
1
0
32 )1( dxxx
 
i) 
 
1
0
72 )3( dxxx
 
j)   
2
0 2
3

dxsen x 
 
3) Calcule as seguintes integrais definidas, usando o método de integração por partes: 
a) 
 
1
0
.6 dxex x
 
b) 

2
1
)ln(8 dxx
 
c) 


0
.3 dxsenxx
 
d) 
 
2
0
)5cos(.4

dxxx
 
e) 

3
1
)4ln(.2 dxxx
 
f) 
 


2 )(. dxxsenx 
 
GABARITO: 
1. a) 7/2 b) 0 c) 12 d) 8 e) 3/4 f) 45/8 g) 3,1 h) 2 i) – 21,96 j) 47/6 
2. a) 13,64 b) 

 c) ln2 d) ln2 e) 
4

 f) 2 g) 0 h) 1/2 i) 3685,93 j) 1,75 
3. a) – 6 b) 3,09 c) 
3
 d) – 1,09 e) 16,97 f) 
3
 
 
CÁLCULO DE ÁREAS 
Nos exercícios de 1 à 12, calcule a área da região hachurada: 
 
 
1) 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 3 
xxy 42 
 
x 
y 
1 3 
2
1
x
y 
 
x 
y 
–1 0 3 
652 23  xxxy
 
x 
y 
2xy 
 
xy 
 
1 x 
y 
xy ln
 
1 
2
1
 
4 x 
y 
2xy 
 
xxy 42 
 
y 
x 
4
 
2
 
xseny 
 
xy cos
 
y 
x 
–1 0 2 
1 xy
 
xey 
 
y 
x 
9) 10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) 12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) 
3
22 2) 
3
2 3) 
6
59 4)
3
1 5) 
3
8 6) 2,7 
7) 0,82 8) 4,35 9) 28,6 10) 22 11) 
2
9
 12) 
2ln
 
 
13) 1,44 
 
2 
2
xy 
 
6 xy
 
3xy 
 
y 
x 
2 1 
2
1
 
1 
x
y 1
 
y 
x 
12  xy
 1 xy 
yx 
2
2
 xy
 
8
2
2
 xy
 
y 
x 
1 2 0 
2xy 
 
xy 
 
x 
y 
OUTRAS APLICAÇÕES 
 
Nos exercícios de 14 à 24, resolva as seguintes integrais: 
14) 
2 2
1
a x
dx

 
15) 
2
1
5 x
dx

 
16) 
2
2
2 5x
dx

 
17) 
41
x
x
dx

 
18) 
2
1
1
x
x
dx

 
19) 
2
2
5 ( 2)x
dx
 
 
20) 
2
2 3
1 4
x
x
dx

 
21) 
2
1
2 2x x
dx
 
 
22) 
2
1
4 8x x
dx
 
 
23) 
24cos xdx
 
24) 
3(2 )cossen x xdx
 
 
 
 
RESPOSTAS 
14) 
1 ( )x
a a
arctg k
 
15) 
1
5 5
( )xarctg k
 
16) 10 10
10 2
( )xarctg k
 
17) 21
2
( )arctg x k
 
18) 21 1
2 2 2
ln(4 ) ( )xx arctg k  
 
19) 
22
5 5
( )xarctg k 
 
20) 2 31
4 2
ln(1 4 ) (2 )x arctg x k  
 
21) 
( 1)arctg x k 
 
22) 
21
2 2
( )xarctg k 
 
23) (2 )
2 4
sen xx k 
 
 
Nos exercícios de 25 à 30, encontre a área limitada pelas curvas dadas. 
25) 
25 3y x e y x   
 9/2 
26) 
21 3y x e y  
 32/3 
27) 
1
2
; 2x x y e y x    
 1/3 
28) 
2 3 3y x e y x   
 1/6 
29) 
2 1y x x e y x    
 4/3 
30) 
2 2 6 1y x e y x   
 36 
 
 
 
31) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x de modo que, em cada instante t, a velocidade é o dobro 
da posição. 
a) Determine a função posição s (t), sabendo que s (0) = 3. tetS 23)(  
b) Determine a posição da partícula no instante t = 5. 66.079,39 
 
31) Sabendo que a população de uma cidade dobra em 50 anos, em quanto anos será ela o triplo, 
admitindo que a razão de crescimento é proporcional ao número de habitantes? 79,24 
 
32) A cidade de Rio Verde tinha uma população de 25.000 habitantes em 1960 e uma população de 
30.000 em 1970. Admitindo que a razão de crescimento é proporcional ao número de habitantes, 
que população seus planejadores podem esperar para o ano de 2011? 63.352 
32) Uma cultura de bactérias começa com 500 bactérias e cresce a uma taxa proporcional ao número 
presente. Depois de 3 horas existem 8.000 bactérias. 
a) Calcule o número de bactérias depois de 4 horas. 20.158 
b) Quando essa população alcançará 30.000 bactérias? 4,4 h 
 
33) Conhecemos de observações experimentais, que a temperatura superficial de um objeto varia numa 
taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei de 
resfriamento de Newton. Portanto, se T (t) é a temperatura do objeto no tempo t e Ta é a 
temperatura ambiente constante, temos a relação 
)( adt
dT TTk 
. Usand-o estes dados, 
considere uma substância colocada numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar 30º C e 
resfriando a substância de 100º C para 70º C em 15 minutos. Encontre o momento em que a 
temperatura da substância será de 40º C. 52,56 
 
33) Suponha que a temperatura de uma xícara de café recém-passado seja de 90º C. Um minuto mais 
tarde a temperatura já diminuiu para 85º C numa sala a 20º C. Que período de tempo decorrerá 
(considerando a lei de resfriamento de Newton seja válida) até que a temperatura do café atinja 65º 
C. 2,12 
 
34) Determinar o tempo necessário para que uma certa quantia de dinheiro se duplique colocada a 5% 
ao ano, continuamente acumulados. Sugestão: 
x
dt
dx 05,0
 . 13,86 
 
34) Uma pessoa deposita R$ 20.000,00 em uma conta poupança que paga 8% ao ano de juros 
compostos continuamente. Determine: 
a) O saldo da conta após 3 anos. 25.424,98 
b) O tempo necessário para que a quantia inicial se triplique. 13,73 
 
35) Suponha que o corpo de uma vítima de assassinato em Rio Verde foi descoberto. O perito da 
polícia chegou à 1:00 h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver, que era 
de 34,8º C. Uma hora mais tarde ele tomou novamente a temperatura e encontrou 34,1º C. A 
temperatura do quarto onde se encontrava a vítima era constante a 20º C. Use a lei do resfriamento 
de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de 
uma pessoa viva é de 36,5º C. aprox. 22:45 h 
 
OBS: as substâncias radioativas decaem a uma taxa proporcional à massa remanescente, isto é, se m(t) é 
a massa remanescente da massa inicial 
0m
 da substância depois de um tempo t, então 
km
dt
dm 
. 
 
36) Gilmar acordou no domingo às 08:00 hs da manhã. Pensando nos preparativos para o almoço, 
lembrou de colocar a coca-cola na geladeira para gelar. No momento em que colocou a garrafa na 
geladeira ela estava a uma temperatura de 26 ºC. Dentro do refrigerador a temperatura era de 2 ºC. 
Depois de trinta minutos, abriu a porta da geladeira e notou que a temperatura da coca-cola era 15 
ºC. 
a) Qual é a temperatura da coca-cola depois de uma hora na geladeira? 
b) Quanto tempo demoraria a coca-cola atingir a temperatura de 8 ºC? 
 
 
37) O nuclídeo radioativo tório 234 desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se 
100mg deste material reduzirem-se a 82,04mg em uma semana, determine: 
a) Uma expressão que determine a quantidade presente em qualquer instante. 
 
tetM 02828,0100)( 
 
b) O tempo necessário para que a massa do material decaia à metade do seu valor original. 
 22,5 mg 
38) A meia-vida do rádio-226 é de 1590 anos. 
a) Uma amostra de rádio-226 tem uma massa de 200mg. Encontre uma fórmula para a 
massa que permanece após t anos. 
tetM 0004359,0200)( 
 
b) Calcule a massa após 1000 anos. 129,4 
c) Quando a massa será reduzida a 30mg? Aprox. 4361 
 
39) Os cientistas podem determinar a idade de um objeto antigo por um método chamado datação de 
carbono-14. O bombardeamento da atmosfera superior por raios cósmicos converte nitrogênio 
em um isótopo radioativo de carbono, 
C14
, com uma meia vida de cerca de 5.730 anos. A 
vegetação absorve o dióxido de carbono pela atmosfera e os animais assimilam o 
C14
 através 
das cadeias alimentares. Quando uma planta ou animal morre, ele para de repor seu carbono, e a 
quantidade de 
C14
 diminui através do decaimento radioativo. Portanto o nível de radioatividade 
também deve decair exponencialmente. Um pedaço de tecido foi descoberto tendo cerca de 74% 
de 
C14
 radioativo em relação às plantas terrestres nos dias de hoje. Estime a idade do tecido. 
 2500 
 
40) Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e um indutor L, ligados em série, 
conforme abaixo, com uma força eletromotriz V constante. Fechado o interruptor S em t = 0, 
segue-se, de uma das leis de Kirchhoff para circuitos elétricos que, se t > 0, a corrente satisfaz a 
equação diferencial 
VRIL
dt
dI 
 . Suponha 
12R
 e 
4L
. Se uma pilha 
fornecer uma voltagem constante de 60 V e o interruptor for fechado quanto t = 0, então a 
corrente começa com 
0)0( I
. Determine: 
a) A corrente I em função de t. 
)1(5)( 3tetI 
 
b) A corrente depois de 1 segundo. 4,75 
c) O valor limite da corrente. 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41) Suponha que a resistência R e a indutância L permaneçam a mesma como no exercício anterior, 
mas, em vez de uma pilha, use um gerador que produz uma voltagem variável de 
voltstsenV )30(60
. Encontre I(t). 
  tettsen 310150105 )30cos(10)30(

 
 
 
 
R 
L 
S 
V 
INTEGRAL IMPRÓPRIA 
1) Encontrar a área sob a curva xey  , 0x . 
2) Investigar a integral imprópria 


7 )5(
1
2 dxx
. 
3) A integral imprópria 
 
05 dxe x
converge? Justifique. 
Nos exercícios de 27 à 37, investigue a convergência ou divergência das integrais impróprias. 
4) 
 
0
dxex
 
5) 



 dxex x
2 
6) 


1
ln xdx
 
7) 


e xx
dx
2)(ln
 
8) 


4
dxex
 
9) 



dxex x
 
10) 


1
3x
dx 
11) 


1 x
dx 
12) 



0
2 dxex x
 
13) 

 
dx
x
x
24
3
)3(
4 
14) 



0
54 dxxe x
 
 
15) Suponha que engenheiros de produção estimaram que um determinado poço produzirá gás natural a 
uma taxa de 
tetf 2,0700)( 
milhares de metros cúbicos mensais, onde t é o tempo desde o 
início da produção. Qual é a estimativa da quantidade total de gás natural que poderá ser extraída 
desse poço? 
 
16) Engenheiros da Petrobrás estimaram que um poço de petróleo pode produzir óleo a uma taxa de 
tt eetP 1,004,0 8080)(  
 milhares de barris por mês, onde t representa o tempo, medido em 
meses, a partir do momento em que foi feita a estimativa. Determine o potencial de produção de óleo 
desse poço a partir dessa data. 
 
RESPOSTAS 
 
1) 1 
2) 
2
1
 
3) 
5
1
 
4) 1 
5) 0 
6) diverge 
7) 1 
8) diverge 
9) diverge 
10) 
2
1
 
11) diverge 
12) 
4
1
 
13) ? 
14) ? 
15) 3500 
16) ?