Modelagem sistema massa mola com EDO de segunda ordem-Cálculo Diferencial e Intergal III

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Modelo de um sistema massa mola
1.Introdução
Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular
a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de
variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a
dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial
(ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo
ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possi-
velmente, prever o seu comportamento.
Deve-se ter em mente que a modelagem de um sistema em um conjunto
de equações diferenciais fornece, quase sempre, uma descrição aproximada e
simplificada do processo real. Ainda assim, a modelagem através de equações
diferenciais fornece uma ferramenta poderosa para acessarmos o comporta-
mento geral de vários tipos de sistemas.
Historicamente, as equações diferenciais serviram como ferramenta de cál-
culo das equações de movimento da mecânica newtoniana, das equações de
onda da física ondulatória e do eletromagnetismo e, mais tarde, na formula-
ção da mecânica quântica e da relatividade.
Hoje em dia as equações diferenciais são utilizadas nas mais diversas áreas
do conhecimento. Alguns exemplos de aplicações de equações diferenciais
são: os problemas da dinâmica de populações; de propagação de epidemias;
da datação por carbono radioativo, da exploração de recursos renováveis; da
competição de espécies como, por exemplo, no sistema predador versus presa.
Ainda as equações diferenciais também encontram aplicação em economia;
no sistema financeiro; no comércio; no comportamento de populações huma-
nas, dentre outras.
Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que
mesmo as equações mais simples são capazes de representar sistemas úteis.
Alguns sistemas naturais mais complexos também comportam modelagens
em termos de equações diferenciais bem conhecidas.
Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas
através de equações diferenciais são de suma importância para a Física. O
presente trabalho tem por finalidade modelar um sistema massa mola. No
primeiro modelo não foram consideradas as forças dissipativas como o atrito.
1
No segundo, considerou-se uma forma simplificada de atrito com o ar.
2.Desenvolvimento
2.1.Modelo sem atrito
Considere então uma mola extensível de comprimento l em repouso, que
esteja presa verticalmente em um suporte rígido.
Figura 1: Desenho esquemático da primeira situação do sistema, consiste
em uma mola de massa desprezível, tamanho l e constante de elasticidade k
presa à uma superfície rígida
Prendemos um objeto de massa m à extremidade livre da mola. Isto
provoca uma distensão da mola, para um ponto de equilíbrio, de 5cm de
comprimento.
Figura 2: Desenho esquemático da segunda situação do sistema, onde foi
acrescentado uma massa m na extremidade da mola da figura 1, o que causou
uma distensão de comprimento L.
2
Neste primeiro momento temos apenas a força de tração da mola e a força
peso atuando sobre o objeto. A força de tração da mola, Fm atua para cima,
e é definida pela Lei de Hooke,
~Fm = −k~L, (1)
onde a constante k é uma constante de proporcionalidade chamada constante
elástica da mola. A Lei de Hooke é uma aproximação feita onde não se leva
em consideração qualquer deformação na mola ou outros meios de dissipação
de energia.
A força peso atua verticalmente para baixo, e é definida por,
~P = m~g (2)
O diagrama de forças a seguir representa as forças que atuam no sistema
neste dado instante.
Figura 3: Desenho esquemático representando as forças que atuam na massa
m, sendo
~P a força peso e ~Fm a força da mola.
Quando a massa está em equilíbrio significa que a aceleração da mesma
é igual a zero. Vamos analisa-la pela Segunda Lei de Newton, que diz:∑
~F = m~a (3)
Se ~a = 0, então, ∑
~F = 0 (4)
Para o sistema em questão temos,
~P + ~Fm = 0 (5)
mg − kL = 0 (6)
3
∴ mg = kL (7)
Agora vamos considerar que houve uma perturbação no sistema que produziu
uma oscilação.
Figura 4: Desenho esquemático representando o movimento da massa m em
um dado instante t, sendo l o comprimento da mola, L a distensão inicial e
x uma variável que depende do tempo.
Primeiramente, vamos estudar o comportamento do sistema massa mola
ideal, onde não há atrito e nenhum outro tipo de forças dissipativas.
Pela segunda Lei de Newton novamente, podemos afirmar que,∑
~F = m~a⇒ ~P + ~Fm = m~a (8)
Como todos dos vetores possuem a mesma direção, vamos considerar apenas
o módulo, então,
mg − k(L+ x(t)) = ma (9)
Note que L é o PVI, ou seja, a condição inicial da mola, que neste caso é de
5cm, e x(t) é o deslocamento da mola no tempo, por isso, a distensão total
na mola é de L+ x(t). Então temos que,
ma = mg − kL− kx(t) (10)
4
Da equação 6 temos que mg − kL = 0, então
ma = −kx(t)⇒ ma+ kx(t) = 0 (11)
Sabemos, da cinemática, que a aceleração é dada pela segunda derivada do
espaço no tempo, possibilitando-nos reescrever a equação como,
mx′′(t) + kx(t) = 0 (12)
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que descreve a posição
do sistema massa mola no tempo. Basta agora resolver a EDO. Para isso
vamos primeiramente encontrar as raízes da equação característica da EDO.
Dividindo tudo por m temos,
x′′(t) +
k
m
x(t) = 0 (13)
Então a equação característica será,
r2 +
k
m
= 0 (14)
r2 = − k
m
(15)
r = ±
√
− k
m
⇒ r = ±i
√
k
m
(16)
A EDO em questão possui uma equação característica com raízes complexas
conjugadas. Portanto a solução geral desse tipo de equação é dada por,
x = c1e
λtcosµt+ c2e
λtsenµt, (17)
se r = λ± iµ.
Portanto, para a EDO em questão,
x(t) = acos(
√
k
m
t) + bsen(
√
k
m
t) (18)
A constante
√
k
m
é a chamada velocidade angular do corpo, ω. Então,
x(t) = acosωt+ bsenωt (19)
Chamando a = Acosφ e b = −Asenϕ,sendo A e ϕ constantes arbitrárias,
podemos reescrever a equação como
x(t) = Acosϕcosω0t+ Asenϕsenω0t (20)
5
Como cos(a± b) = cos(a)cos(b)∓ sen(a)sen(b), então a solução é dada por,
x(t) = Acos(ω0t+ ϕ) (21)
Onde
A =
√
a2 + b2, cosϕ =
a√
a2 + b2
senϕ = − b√
a2 + b2
(22)
Vamos agora estudar o balanço de energia do sistema por meio da solução
encontrada. Então,a energia cinética do oscilador no instante t é
T (t) =
1
2
mv(t)2 (23)
T (t) =
1
2
mx′(t)2 (24)
T (t) =
1
2
mω2A2sen2(ωt+ ϕ) (25)
A energia potencial será
U(t) =
1
2
kx(t)2 =
1
2
kA2cos2(ωt+ ϕ) (26)
Como ω =
√
k
m
, então k = mω2, portando
U(t) =
1
2
kx(t)2 =
1
2
mω2A2cos2(ωt+ ϕ) (27)
Somando as duas energias obtemos a energia mecânica total do sistema,E,
E = U(t) + T (t) =
1
2
mω2A2 (28)
Como k, e A não variam, ω é constante, logo E = contante. O que condiz
com a não atuação de forças dissipativas.
Interpretação Física dos Parâmetros
Pela equação 21, vemos que x(t) oscila entre os valores de −A e A, logo
A =| x(t) |mx= amplitude de oscilação. Como cos(ωt + ϕ) é uma função
periódica de ωt de período 2pi, vemos que o período de oscilação é
τ =
2pi
ω
=
1
ν
(29)
onde ν, é a frequência de oscilação, se mede em ciclos por segundo ou hertz
(Hz). A grandeza ω = 2piν é a velocidade ou frequência angular, como já
6
foi dito antes e se mede em rad/s ou simplesmente s−1. O argumento do
cosseno na 21,
θ = ωt+ ϕ (30)
chama-se fase do movimento, e ϕ é a constante de fase ou fase inicial,ϕ só
é definido a menos de um múltiplo de 2pi. de forma consistente com a 21.
Para o sistema massa mola estabelecido inicialmente, em t = 0, temos que a
posição da mola é l + L, então x(0) = l + 5cm, então,
x(0) = Acos(ω · 0 + ϕ) = l + 5cm (31)
Vamos supor uma diferença de fasede ϕ = 0,então,
x(0) = Acos(ω · 0 + 0) = l + 5cm⇒ x(0) = Acos(0) = l + 5cm (32)
∴ A = l + 5cm (33)
Portanto a solução da equações diferencial do sistema massa mola em questão
é,
x(t) = (l + 5cm)cos(ωt) (34)
onde ω depende da massa e da constante elástica. No Sistema Internacional
(SI) a solução é,
x(t) = (l + 0, 05m)cos(ωt) (35)
Vamos supor que a massa seja de 10g, no SI 0,01Kg, a constante elástica seja
K = 20Kg/m e o comprimento da mola é l = 0, 5m. Para essas condições
temos que a solução que descreve o movimento de oscilação da mola é,
x(t) = (0, 55)cos(
√
2000t) (36)
Com essa equação podemos plotar um gráfico para descrever a dependência
da posição no tempo.
7
Figura 5: Gráfico da dependência da posição no tempo, para a m=0,01Kg,
l=0,5m e K=20Kg/m
Os parâmetros podem ser variados o quanto necessário para modelar qual-
quer sistema massa mola parecido com o descrito anteriormente.Vamos agora
variar apenas a massa em relação a condição analisada anteriormente. É na-
tural pensar que a frequência de oscilação irá diminuir se aumentarmos a
massa para m=2kg,então, a equação que descreve o sistema será,
x(t) = (0, 55)cos(
√
10t) (37)
O gráfico será então,
8
Figura 6: Gráfico da dependência da posição da massa no tempo, para a
m=2Kg, l=0,5m e K=20Kg/m
Note que, para os dois casos, a amplitude permaneceu constante variando
entre 0,55 e -0,55, o que é, novamente, consistente com a teoria de forças não
dissipativas utilizadas na modelagem, isto é, não houve dissipação da energia
mecânica total.
2.2.Modelo com atrito
No mundo real, não idealizado, sabemos que o sistema acima não acontece.
Por mais que tentamos, as forças de atrito, mesmo que às vezes desprezíveis,
estão sempre dissipando energia no sistema. Então, vamos agora deixar o
sistema um pouco mais real, e levar em consideração uma força de arrasto
atuando contra o movimento, no mesmo modelo acima.
Neste modelo, foi considerada uma forma simples de atrito com o ar,
que leva em conta a densidade ρ do objeto, a área A,a velocidade v e uma
constante de proporcionalidade c chamada de coeficiente de arrasto. Vamos
definir o atrito como:
~Fat = −cρA~v (38)
O sinal de menos mostra que a força será sempre contra o movimento, fazendo
com que a amplitude do movimento diminua cada vez mais. Novamente, essa
é uma forma simples e aproximada da força de atrito. A força de atrito na
9
realidade é um sistema complexo de ser modelado.
O diagrama a seguir representa as forças que atuam no sistema:
Figura 7: Desenho esquemático representando as forças que atuam na massa
m, sendo
~P a força peso, ~Fm a força da mola e ~Fat a força de atrito com o ar
ou força de arrasto
Aplicando a segunda lei de Newton novamente temos:
~P + ~Fm + ~Fat = m~a (39)
Como a aceleração do objeto é diferente de zero, pois ele está em uma osci-
lação, a posição da mola irá depender do tempo. Então:
ma = mg − k(L+ x(t))− cρAv = mg − kL− kx(t)− cρAv (40)
Da equação (6), temos que mg − kL = 0.Como os coeficientes que acompa-
nham v são todos constantes podemos substituí-los por uma outra constante
que os represente, vamos chama-los α = cρA,
ma+ αv + kx(t) = 0 (41)
Como dito anteriormente, aceleração pode ser definida como a = x′′(t), e a
velocidade como v = x′(t), então temos:
mx′′(t) + αx′(t) + kx(t) = 0 (42)
Dividindo por m ambos os membros temos:
x′′(t) +
α
m
x′(t) +
k
m
x(t) = 0 (43)
Como
k
m
= ω2, e chamando α
m
de γ, temos que a EDO será:
x′′(t) + γx′(t) + ω2x(t) = 0 (44)
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A equação (44) é uma equação diferencial que descreve a posição do objeto
no tempo. De forma semelhante ao feito anteriormente devemos encontrar
uma solução para essa EDO. A equação característica é dada por:
r2 + γr + ω2 = 0 (45)
As raízes serão dadas pela fórmula de Bhaskara,
r = −γ
2
±
√
γ2
4
− ω2 (46)
A partir desse resultado podemos fazer algumas análises. A solução dessa
EDO dependerá do valor de
γ2
4
− ω2. Para cada valor teremos um tipo de
comportamento. São eles: amortecimento super crítico, amortecimento crí-
tico e amortecimento subcrítico.
(a)Amortecimento supercrítico (
γ
2
> ω)
Neste caso a raiz será real e a solução geral neste caso será:
x = aer1t + ber2t (47)
x = ae(−
γ
2
+
√
γ2
4
−ω2)t + be(−
γ
2
−
√
γ2
4
−ω2)t
(48)
Vamos chamar de β =
√
γ2
4
− ω2, para facilitar as análises, então,
x = e−
γ
2
t(aeβt + be−βt) (49)
então x(t) é sempre a soma de duas exponenciais decrescentes.O movimento
não é mais periódico, prevalecendo o amortecimento.
Figura 8: Gráfico representando a curva de um amortecimento supercrítico.
11
(b)Amortecimento crítico(
γ
2
= ω)
Se β = 0, teremos duas raízes iguais, então a solução geral será,
x = (a+ bt)e
−γt
2
(50)
que decai mais rapidamente, para tempos grandes, que o amortecimento su-
percrítico.
Figura 9: Gráfico representando a curva de um amortecimento crítico.
(C)Amortecimento Subcrítico(
γ
2
< ω)
Neste caso, as raízes são complexas conjugadas, e solução, semelhantemente
ao sistema sem atrito, é dada por
x(t) = e
−γ
2
t(acos(ωt) + (bsen(ωt) (51)
Chamando a = Acosϕ e b = −Asenϕ, temos,
x(t) = Ae
−γ
2
tcos(ωt+ ϕ) (52)
12
Figura 10: Gráfico representando o amortecimento subcrítico.
De forma semelhante ao modelo sem atrito, temos que, para ϕ = 0,
A = l + 5cm, então a solução para o PVI é,
x(t) = (l + 0, 05m)e
−γ
2
tcos(ωt+ ϕ) (53)
Considera um bloco de madeira,ρ = 785Kg/m3,de área A = 3, 8m2 e massa
m = 1Kg preso em uma mola de constate k = 25N/m e comprimento
l = 0, 5m, oscilando no ar, c = 1x10−4m/s. Nessas condições α = 0, 3Kg/s,
ω = 5rad/s γ = 0, 3s−1 ,então a a solução para o PVI será,
x(t) = (0.55m)e−0.3tcos(5t) (54)
O gráfico para essa situação é dado por,
13
Figura 11: Gráfico representando o amortecimento subcrítico para a situação
inicial estabelecida. As curvas em cinza representam o decaimento exponen-
cial da amplitude do oscilador, dada por x(t) = (0, 55)e−0,3t, para a curva de
cima, e x(t) = −(0, 55)e−0,3t para a curva de baixo. A curva em alaranjado
mostra a evolução do sistema no tempo dada pela 54.
Note que a amplitude sempre diminui com tempo, até que seja zero. Isso
condiz com a teoria dissipativa utilizada neste modelo.
A figura (ultima), compara as soluções dos três tipos para as mesmas condi-
ções iniciais, mostra que a solução com amortecimento crítico é aquela que
retorna ao equilíbrio mais rapidamente. Por isso, este tipo de amortecimento
é empregado quando desejamos amortecer o movimento o mais depressa pos-
sível, como acontece em galvanômetros(instrumento utilizado para medir cor-
rente elétrica) ou em balanças de precisão, para tornar mais rápida a leitura
do instrumento.
14
Figura 12: Gráfico representando os três tipos de amortecimentos discutidos.
3.Referências
(1)http : //bdm.unb.br/bitstream/10483/4686/1/2013LucasRangelThomas.pdf
acesso em 30/08/2016;
(2)Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems-William
E. Boyce, Grafton-10
a
Edição.
(3)Curso de Física Básica- Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor- H. Moysés
Nussenzveig- 3
a
Edição.
15