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Modelo de um sistema massa mola 1.Introdução Equações diferenciais são ferramentas matemáticas usadas para calcular a evolução de sistemas. O objetivo da modelagem é encontrar a taxa de variação com o tempo das grandezas que caracterizam o problema, ou seja, a dinâmica temporal do sistema de interesse. Resolvendo a equação diferencial (ou sistema de equações diferenciais) que caracteriza determinado processo ou sistema, pode-se extrair informações relevantes sobre os mesmos e, possi- velmente, prever o seu comportamento. Deve-se ter em mente que a modelagem de um sistema em um conjunto de equações diferenciais fornece, quase sempre, uma descrição aproximada e simplificada do processo real. Ainda assim, a modelagem através de equações diferenciais fornece uma ferramenta poderosa para acessarmos o comporta- mento geral de vários tipos de sistemas. Historicamente, as equações diferenciais serviram como ferramenta de cál- culo das equações de movimento da mecânica newtoniana, das equações de onda da física ondulatória e do eletromagnetismo e, mais tarde, na formula- ção da mecânica quântica e da relatividade. Hoje em dia as equações diferenciais são utilizadas nas mais diversas áreas do conhecimento. Alguns exemplos de aplicações de equações diferenciais são: os problemas da dinâmica de populações; de propagação de epidemias; da datação por carbono radioativo, da exploração de recursos renováveis; da competição de espécies como, por exemplo, no sistema predador versus presa. Ainda as equações diferenciais também encontram aplicação em economia; no sistema financeiro; no comércio; no comportamento de populações huma- nas, dentre outras. Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples são capazes de representar sistemas úteis. Alguns sistemas naturais mais complexos também comportam modelagens em termos de equações diferenciais bem conhecidas. Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas através de equações diferenciais são de suma importância para a Física. O presente trabalho tem por finalidade modelar um sistema massa mola. No primeiro modelo não foram consideradas as forças dissipativas como o atrito. 1 No segundo, considerou-se uma forma simplificada de atrito com o ar. 2.Desenvolvimento 2.1.Modelo sem atrito Considere então uma mola extensível de comprimento l em repouso, que esteja presa verticalmente em um suporte rígido. Figura 1: Desenho esquemático da primeira situação do sistema, consiste em uma mola de massa desprezível, tamanho l e constante de elasticidade k presa à uma superfície rígida Prendemos um objeto de massa m à extremidade livre da mola. Isto provoca uma distensão da mola, para um ponto de equilíbrio, de 5cm de comprimento. Figura 2: Desenho esquemático da segunda situação do sistema, onde foi acrescentado uma massa m na extremidade da mola da figura 1, o que causou uma distensão de comprimento L. 2 Neste primeiro momento temos apenas a força de tração da mola e a força peso atuando sobre o objeto. A força de tração da mola, Fm atua para cima, e é definida pela Lei de Hooke, ~Fm = −k~L, (1) onde a constante k é uma constante de proporcionalidade chamada constante elástica da mola. A Lei de Hooke é uma aproximação feita onde não se leva em consideração qualquer deformação na mola ou outros meios de dissipação de energia. A força peso atua verticalmente para baixo, e é definida por, ~P = m~g (2) O diagrama de forças a seguir representa as forças que atuam no sistema neste dado instante. Figura 3: Desenho esquemático representando as forças que atuam na massa m, sendo ~P a força peso e ~Fm a força da mola. Quando a massa está em equilíbrio significa que a aceleração da mesma é igual a zero. Vamos analisa-la pela Segunda Lei de Newton, que diz:∑ ~F = m~a (3) Se ~a = 0, então, ∑ ~F = 0 (4) Para o sistema em questão temos, ~P + ~Fm = 0 (5) mg − kL = 0 (6) 3 ∴ mg = kL (7) Agora vamos considerar que houve uma perturbação no sistema que produziu uma oscilação. Figura 4: Desenho esquemático representando o movimento da massa m em um dado instante t, sendo l o comprimento da mola, L a distensão inicial e x uma variável que depende do tempo. Primeiramente, vamos estudar o comportamento do sistema massa mola ideal, onde não há atrito e nenhum outro tipo de forças dissipativas. Pela segunda Lei de Newton novamente, podemos afirmar que,∑ ~F = m~a⇒ ~P + ~Fm = m~a (8) Como todos dos vetores possuem a mesma direção, vamos considerar apenas o módulo, então, mg − k(L+ x(t)) = ma (9) Note que L é o PVI, ou seja, a condição inicial da mola, que neste caso é de 5cm, e x(t) é o deslocamento da mola no tempo, por isso, a distensão total na mola é de L+ x(t). Então temos que, ma = mg − kL− kx(t) (10) 4 Da equação 6 temos que mg − kL = 0, então ma = −kx(t)⇒ ma+ kx(t) = 0 (11) Sabemos, da cinemática, que a aceleração é dada pela segunda derivada do espaço no tempo, possibilitando-nos reescrever a equação como, mx′′(t) + kx(t) = 0 (12) Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que descreve a posição do sistema massa mola no tempo. Basta agora resolver a EDO. Para isso vamos primeiramente encontrar as raízes da equação característica da EDO. Dividindo tudo por m temos, x′′(t) + k m x(t) = 0 (13) Então a equação característica será, r2 + k m = 0 (14) r2 = − k m (15) r = ± √ − k m ⇒ r = ±i √ k m (16) A EDO em questão possui uma equação característica com raízes complexas conjugadas. Portanto a solução geral desse tipo de equação é dada por, x = c1e λtcosµt+ c2e λtsenµt, (17) se r = λ± iµ. Portanto, para a EDO em questão, x(t) = acos( √ k m t) + bsen( √ k m t) (18) A constante √ k m é a chamada velocidade angular do corpo, ω. Então, x(t) = acosωt+ bsenωt (19) Chamando a = Acosφ e b = −Asenϕ,sendo A e ϕ constantes arbitrárias, podemos reescrever a equação como x(t) = Acosϕcosω0t+ Asenϕsenω0t (20) 5 Como cos(a± b) = cos(a)cos(b)∓ sen(a)sen(b), então a solução é dada por, x(t) = Acos(ω0t+ ϕ) (21) Onde A = √ a2 + b2, cosϕ = a√ a2 + b2 senϕ = − b√ a2 + b2 (22) Vamos agora estudar o balanço de energia do sistema por meio da solução encontrada. Então,a energia cinética do oscilador no instante t é T (t) = 1 2 mv(t)2 (23) T (t) = 1 2 mx′(t)2 (24) T (t) = 1 2 mω2A2sen2(ωt+ ϕ) (25) A energia potencial será U(t) = 1 2 kx(t)2 = 1 2 kA2cos2(ωt+ ϕ) (26) Como ω = √ k m , então k = mω2, portando U(t) = 1 2 kx(t)2 = 1 2 mω2A2cos2(ωt+ ϕ) (27) Somando as duas energias obtemos a energia mecânica total do sistema,E, E = U(t) + T (t) = 1 2 mω2A2 (28) Como k, e A não variam, ω é constante, logo E = contante. O que condiz com a não atuação de forças dissipativas. Interpretação Física dos Parâmetros Pela equação 21, vemos que x(t) oscila entre os valores de −A e A, logo A =| x(t) |mx= amplitude de oscilação. Como cos(ωt + ϕ) é uma função periódica de ωt de período 2pi, vemos que o período de oscilação é τ = 2pi ω = 1 ν (29) onde ν, é a frequência de oscilação, se mede em ciclos por segundo ou hertz (Hz). A grandeza ω = 2piν é a velocidade ou frequência angular, como já 6 foi dito antes e se mede em rad/s ou simplesmente s−1. O argumento do cosseno na 21, θ = ωt+ ϕ (30) chama-se fase do movimento, e ϕ é a constante de fase ou fase inicial,ϕ só é definido a menos de um múltiplo de 2pi. de forma consistente com a 21. Para o sistema massa mola estabelecido inicialmente, em t = 0, temos que a posição da mola é l + L, então x(0) = l + 5cm, então, x(0) = Acos(ω · 0 + ϕ) = l + 5cm (31) Vamos supor uma diferença de fasede ϕ = 0,então, x(0) = Acos(ω · 0 + 0) = l + 5cm⇒ x(0) = Acos(0) = l + 5cm (32) ∴ A = l + 5cm (33) Portanto a solução da equações diferencial do sistema massa mola em questão é, x(t) = (l + 5cm)cos(ωt) (34) onde ω depende da massa e da constante elástica. No Sistema Internacional (SI) a solução é, x(t) = (l + 0, 05m)cos(ωt) (35) Vamos supor que a massa seja de 10g, no SI 0,01Kg, a constante elástica seja K = 20Kg/m e o comprimento da mola é l = 0, 5m. Para essas condições temos que a solução que descreve o movimento de oscilação da mola é, x(t) = (0, 55)cos( √ 2000t) (36) Com essa equação podemos plotar um gráfico para descrever a dependência da posição no tempo. 7 Figura 5: Gráfico da dependência da posição no tempo, para a m=0,01Kg, l=0,5m e K=20Kg/m Os parâmetros podem ser variados o quanto necessário para modelar qual- quer sistema massa mola parecido com o descrito anteriormente.Vamos agora variar apenas a massa em relação a condição analisada anteriormente. É na- tural pensar que a frequência de oscilação irá diminuir se aumentarmos a massa para m=2kg,então, a equação que descreve o sistema será, x(t) = (0, 55)cos( √ 10t) (37) O gráfico será então, 8 Figura 6: Gráfico da dependência da posição da massa no tempo, para a m=2Kg, l=0,5m e K=20Kg/m Note que, para os dois casos, a amplitude permaneceu constante variando entre 0,55 e -0,55, o que é, novamente, consistente com a teoria de forças não dissipativas utilizadas na modelagem, isto é, não houve dissipação da energia mecânica total. 2.2.Modelo com atrito No mundo real, não idealizado, sabemos que o sistema acima não acontece. Por mais que tentamos, as forças de atrito, mesmo que às vezes desprezíveis, estão sempre dissipando energia no sistema. Então, vamos agora deixar o sistema um pouco mais real, e levar em consideração uma força de arrasto atuando contra o movimento, no mesmo modelo acima. Neste modelo, foi considerada uma forma simples de atrito com o ar, que leva em conta a densidade ρ do objeto, a área A,a velocidade v e uma constante de proporcionalidade c chamada de coeficiente de arrasto. Vamos definir o atrito como: ~Fat = −cρA~v (38) O sinal de menos mostra que a força será sempre contra o movimento, fazendo com que a amplitude do movimento diminua cada vez mais. Novamente, essa é uma forma simples e aproximada da força de atrito. A força de atrito na 9 realidade é um sistema complexo de ser modelado. O diagrama a seguir representa as forças que atuam no sistema: Figura 7: Desenho esquemático representando as forças que atuam na massa m, sendo ~P a força peso, ~Fm a força da mola e ~Fat a força de atrito com o ar ou força de arrasto Aplicando a segunda lei de Newton novamente temos: ~P + ~Fm + ~Fat = m~a (39) Como a aceleração do objeto é diferente de zero, pois ele está em uma osci- lação, a posição da mola irá depender do tempo. Então: ma = mg − k(L+ x(t))− cρAv = mg − kL− kx(t)− cρAv (40) Da equação (6), temos que mg − kL = 0.Como os coeficientes que acompa- nham v são todos constantes podemos substituí-los por uma outra constante que os represente, vamos chama-los α = cρA, ma+ αv + kx(t) = 0 (41) Como dito anteriormente, aceleração pode ser definida como a = x′′(t), e a velocidade como v = x′(t), então temos: mx′′(t) + αx′(t) + kx(t) = 0 (42) Dividindo por m ambos os membros temos: x′′(t) + α m x′(t) + k m x(t) = 0 (43) Como k m = ω2, e chamando α m de γ, temos que a EDO será: x′′(t) + γx′(t) + ω2x(t) = 0 (44) 10 A equação (44) é uma equação diferencial que descreve a posição do objeto no tempo. De forma semelhante ao feito anteriormente devemos encontrar uma solução para essa EDO. A equação característica é dada por: r2 + γr + ω2 = 0 (45) As raízes serão dadas pela fórmula de Bhaskara, r = −γ 2 ± √ γ2 4 − ω2 (46) A partir desse resultado podemos fazer algumas análises. A solução dessa EDO dependerá do valor de γ2 4 − ω2. Para cada valor teremos um tipo de comportamento. São eles: amortecimento super crítico, amortecimento crí- tico e amortecimento subcrítico. (a)Amortecimento supercrítico ( γ 2 > ω) Neste caso a raiz será real e a solução geral neste caso será: x = aer1t + ber2t (47) x = ae(− γ 2 + √ γ2 4 −ω2)t + be(− γ 2 − √ γ2 4 −ω2)t (48) Vamos chamar de β = √ γ2 4 − ω2, para facilitar as análises, então, x = e− γ 2 t(aeβt + be−βt) (49) então x(t) é sempre a soma de duas exponenciais decrescentes.O movimento não é mais periódico, prevalecendo o amortecimento. Figura 8: Gráfico representando a curva de um amortecimento supercrítico. 11 (b)Amortecimento crítico( γ 2 = ω) Se β = 0, teremos duas raízes iguais, então a solução geral será, x = (a+ bt)e −γt 2 (50) que decai mais rapidamente, para tempos grandes, que o amortecimento su- percrítico. Figura 9: Gráfico representando a curva de um amortecimento crítico. (C)Amortecimento Subcrítico( γ 2 < ω) Neste caso, as raízes são complexas conjugadas, e solução, semelhantemente ao sistema sem atrito, é dada por x(t) = e −γ 2 t(acos(ωt) + (bsen(ωt) (51) Chamando a = Acosϕ e b = −Asenϕ, temos, x(t) = Ae −γ 2 tcos(ωt+ ϕ) (52) 12 Figura 10: Gráfico representando o amortecimento subcrítico. De forma semelhante ao modelo sem atrito, temos que, para ϕ = 0, A = l + 5cm, então a solução para o PVI é, x(t) = (l + 0, 05m)e −γ 2 tcos(ωt+ ϕ) (53) Considera um bloco de madeira,ρ = 785Kg/m3,de área A = 3, 8m2 e massa m = 1Kg preso em uma mola de constate k = 25N/m e comprimento l = 0, 5m, oscilando no ar, c = 1x10−4m/s. Nessas condições α = 0, 3Kg/s, ω = 5rad/s γ = 0, 3s−1 ,então a a solução para o PVI será, x(t) = (0.55m)e−0.3tcos(5t) (54) O gráfico para essa situação é dado por, 13 Figura 11: Gráfico representando o amortecimento subcrítico para a situação inicial estabelecida. As curvas em cinza representam o decaimento exponen- cial da amplitude do oscilador, dada por x(t) = (0, 55)e−0,3t, para a curva de cima, e x(t) = −(0, 55)e−0,3t para a curva de baixo. A curva em alaranjado mostra a evolução do sistema no tempo dada pela 54. Note que a amplitude sempre diminui com tempo, até que seja zero. Isso condiz com a teoria dissipativa utilizada neste modelo. A figura (ultima), compara as soluções dos três tipos para as mesmas condi- ções iniciais, mostra que a solução com amortecimento crítico é aquela que retorna ao equilíbrio mais rapidamente. Por isso, este tipo de amortecimento é empregado quando desejamos amortecer o movimento o mais depressa pos- sível, como acontece em galvanômetros(instrumento utilizado para medir cor- rente elétrica) ou em balanças de precisão, para tornar mais rápida a leitura do instrumento. 14 Figura 12: Gráfico representando os três tipos de amortecimentos discutidos. 3.Referências (1)http : //bdm.unb.br/bitstream/10483/4686/1/2013LucasRangelThomas.pdf acesso em 30/08/2016; (2)Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems-William E. Boyce, Grafton-10 a Edição. (3)Curso de Física Básica- Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor- H. Moysés Nussenzveig- 3 a Edição. 15
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