Estimação - Estatística

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Inferência Estatística
Distribuições Amostrais
e Estimação Pontual
Inferência Estatística – consiste em fazer afirmações sobre uma população 
a partir de uma amostra. 
População: Conjunto de indivíduos ou elementos que se deseja
estudar por meio da observação de variáveis de interesse.
Amostra: subconjunto de indivíduos ou elementos que são retirados da
população de estudo e para os quais são observadas as variáveis de 
interesse.
Estimação e testes de hipóteses – duas grandes áreas da inferência 
estatística.
Estimação – consiste em estimar uma quantidade populacional (parâmetro) 
a partir da amostra. 
População
Estatísticas Amostrais
média populacional
proporção populacional
S - desvio padrão populacional
Amostra
Parâmetros populacionais
µ - média populacional
P – proporção populacional
σ - desvio padrão populacional
Estatística é uma função dos elementos da amostra.
X
pˆ
Exemplo: Estimar a proporção de moradores de uma cidade favoráveis a um 
projeto do executivo municipal.
População: opiniões dos eleitores da cidade
Parâmetro populacional de interesse: p , a proporção de opiniões favoráveis ao 
projeto do executivo.
Para conhecer o parâmetro de interesse podemos
• observar toda a população (censo) (frequentemente impraticável)
• observar uma amostra da população (amostragem) 
É natural estimarmos a proporção populacional p pela proporção amostral
amostradatamanhon
Xp
 
amostra na presentes projeto ao favoráveis moradores de número
ˆ ==
pˆ
observado) (obs 20,0
400
80pˆobs ===
é chamado estimador do parâmetro p
400 moradores foram entrevistados, dos quais 80 são favoráveis ao projeto. 
Para esta amostra, o valor observado de pˆ é
 p de pontual estimativa de chamado é 20,0pˆobs =
Estimador de um parâmetro é uma estatística amostral usada para estimá-lo. 
Estimativa de um parâmetro é o valor do estimador observado na amostra. 
Com a amostra de 400 moradores, a proporção de eleitores favoráveis ao projeto 
foi estimada em 0,2 (20% do moradores são favoráveis ao projeto)
Quanto estaremos errando ao estimar a proporção populacional pela proporção 
amostral? Isto é, quão grande é o erro amostral ?
• Diferentes amostras de 400 eleitores podem ser selecionadas.
• Amostras diferentes frequentemente levam a estimativas pontuais diferentes. 
aleatória variáveluma é pˆ
⇓
ppˆ −
Para responder a pergunta acima precisamos saber como se comporta esta 
variável aleatória, isto é qual a sua distribuição de probabilidade?
?S de ãodistribuiç a Qual . deestimador um é S
?pˆ de ãodistribuiç a Qual .p deestimador um é pˆ
?X de ãodistribuiç a Qual . deestimador um é X
σ
µ
Amostra aleatória – As variáveis aleatórias X1, X2, ...., Xn consistem numa 
amostra aleatória de tamanho n se X1, X2, ....e Xn forem independentes, 
todos com a mesma distribuição de probabilidade. 
Xi é a variável aleatória que representa a resposta do i-ésimo elemento da 
amostra
A distribuição de probabilidade de uma estatística amostral pode ser 
obtida considerando todas as possíveis amostras aleatórias de tamanho n, 
com reposição, que podem ser selecionada da população de interesse. 
Esta distribuição é chamada de distribuição amostral. 
Ilustração
55 65 50 60 70
Peso médio: µ = 60 Kg. Proporção de mulheres: p=0.40
População: N=5
Vamos considerar todas as possíveis amostras de
tamanho 2 retiradas com reposição desta população
Valores dos pesos médios amostrais para amostras de 
tamanho 2 obtidas com reposição da população
x2
x1 
50 55 60 65 70
50 50,0 52,5 55,0 57,5 60,0
55 52,5 55,0 57,5 60,0 62,5
60 55,0 57,5 60,0 62,5 65,0
65 57,5 60,0 62,5 65,0 67,5
70 60,0 62,5 65,0 67,5 70,0
x1 – peso do primeiro indivíduo selecionado para a amostra
x2 – peso do primeiro indivíduo selecionado para a amostra
50x50x,50x 21 =⇒==
50 55 60 65 70
0
.
0
5
0
.
1
0
0
.
1
5
0
.
2
0
Distribuição amostral da média para amostras de tamnaho 2 da população: 50,55,60,65,70
média amostral
p
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d
e
Valores da proporção amostral de mulheres para amostras de 
tamanho 2 obtidas com reposição da população
x2
x1 
F F M M M
F 1 1 0,5 0,5 0,5
F 1 1 0,5 0,5 0,5
M 0,5 0,5 0 0 0
M 0,5 0,5 0 0 0
M 0,5 0,5 0 0 0
5,01/2pˆF)(M, amostra 
12/2pˆ F)(F, amostra :Exemplo
==⇒=
==⇒=
F= feminino, M = masculino
55 65 50 60 70
Peso médio: µ = 60 Kg
População: N=5
Desvio-padrão: σσσσ = 7.07 Kg
x )xX(P =
50 1/25
52,5 2/25
55 3/25
57,5 4/25
60 5/25
62,5 4/25
65 3/25
67,5 2/25
70 1/25
Total 1
2 )2 )2 )2 )(n(n(n(n XXXX dededede amostralamostralamostralamostral ãoãoãoãoDistribuiçDistribuiçDistribuiçDistribuiç =
50 :X de Variância 2 =σ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
)X(VAR
2
5025
25
1
x6070
25
2
x605,67
25
3
x6065
25
4
x605,62
25
5
x6060
25
4
x605,57
25
3
x6055
25
2
x605,52
25
1
x6050)X(VAR
22
2222
222
===−+−+
−+−+−+−+
−+−+−=
)X(E60
25
2
x70
25
2
x5,67
25
3
x65
25
4
x5,62
25
5
x60
25
4
x5,57
25
3
x55
25
2
x5,52
25
1
x50)X(E
==




+




+





+




+




+




+




+




+





=
Para amostras aleatórias de tamanho n de uma população de uma população 
com média µ e variância σ2
n
)XDP( 
n
)XVAR( e )X(E)X(E
2
σ
=
σ
=µ==
Para o exemplo foi fácil encontrar a distribuição amostral da média pois a 
amostra e a população são pequenas.
Para casos gerais e “grandes amostras”, podemos usar o T. C. L 
Teorema Central do Limite
Seja uma amostra aleatória , de uma 
variável aleatória com média µ e desvio padrão σ. 
À medida que n cresce, a distribuição de 
probabilidade de aproxima-se de uma Normal com 
média µ e desvio padrão . nσ
1 2, ,..., nX X X
X
X
/
XZ
n
µ
σ
−
=Ou seja, aproxima-se de uma Normal (0 ;1).
Corolário: para amostras aleatórias de uma população Normal, a distribuição 
amostral da média é exatamente Normal para qualquer tamanho de amostra n 
Ilustração do Teorema Central do Limite
Para vários tamanhos de amostra n, vamos retirar um número 
grande de amostras da população, digamos, 10000 amostras de 
mesmo tamanho n.
Para verificar a distribuição desses valores, construiremos um 
histograma.
1
2
3
Para cada amostra retirada, vamos calcular a média amostral, .
Ao final da retirada das 10000 amostras, teremos 10000 valores de X
X
Importante: Em geral para n ≥ 30 a aproximação da distribuição amostral da média 
pela distribuição Normal é considerada satisfatória. 
Observação: veja os slides “simulação de variáveis aleatórias antes de prosseguir”
tclnormal<-function(n,nsimul,mu,sigma) 
{ 
media<-rep(0,nsimul) 
for(i in 1:nsimul) 
{ 
x<-rnorm(n,mu,sigma) 
media[i] <- mean(x) 
} 
mmedia<-mean(media) # calcula a média das medias
varmedia<-var(media) # calcula a variância das medias
sdmedia<-sd(media) # calcula o desvio padrão das medias
hist(media, xlim=c(mu-3.5*sigma/sqrt(5),mu+3.5*sigma/sqrt(5)), 
xlab=expression(bar(X)),main=paste("Histograma com n",n=deparse(substitute(n)),sep=" ")) 
resultado<-list(mmedia=mmedia,varmedia=varmedia,sdmedia=sdmedia) 
# mmedia é a media das médias amostrais 
# varmedia é a variância das médias amostrais 
# sdmedia é o desvio padrão das médias amostrais 
return(resultado) 
} 
par(mfrow=c(3,2))#divide a janela em 6 células (2 linhas e 3 colunas) 
curve(dnorm(x,40,8),15,65,main = "Distribuição Normal") 
tclnormal(5,10000,40,8) 
tclnormal(10,10000,40,8) 
tclnormal(20,10000,40,8) 
tclnormal(30,10000,40,8) 
tclnormal(50,10000,40,8)
20 30 40 50 60
0
.
0
0
0
.
0
3
Distribuição Normal
x
d
n
o
r
m
(
x
,
 
4
0
,
 
8
)
Histograma com n 5
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
30 35 40 45 50
0
1
0
0
0
Histograma com n 10
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
30 35 40 45 50
0
5
0
0
1
5
0
0
Histograma com n 20
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
30 35 40 45 50
0
1
0
0
0
Histograma com n 30
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
30 35 40 45 50
0
1
0
0
0
2
5
0
0
Histograma com n 50
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
30 35 40 45 50
0
1
0
0
0
tclpois<-function(n,nsimul,lambda) 
{ 
media<-rep(0,nsimul) 
for(i in 1:nsimul) 
{ 
x<-rpois(n,lambda) 
media[i] <- mean(x) 
} 
mmedia<-mean(media) # calcula a média das medias
varmedia<-var(media) # calcula a variância das medias
sdmedia<-sd(media) # calcula o desvio padrão das medias
hist(media, xlim=c(lambda-3.5*sqrt(lambda/5),lambda+3.5*sqrt(lambda/5)), 
xlab=expression(bar(X)),main=paste("Histograma com n",n=deparse(substitute(n)),sep=" ")) 
resultado<-list(mmedia=mmedia,varmedia=varmedia,sdmedia=sdmedia) 
# mmedia é a media das médias amostrais 
# varmedia é a variância das médias amostrais 
# sdmedia é o desvio padrão das médias amostrais 
return(resultado) 
} 
par(mfrow=c(3,2)) #divide a janela em 6 células (2 linhas e 3 colunas) 
plot(0:30,dpois(0:30,15),type="h" ,ylab="P(X = x) ",main = "Distribuição de Poisson") 
tclpois(5,1000,15) 
tclpois(10,1000,15) 
tclpois(20,1000,15) 
tclpois(30,1000,15) 
tclpois(50,1000,15)
0 5 10 15 20 25 30
0
.
0
0
0
.
0
6
Distribuição de Poisson
0:30
P
(
X
 
=
 
x
)
 
Histograma com n 5
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
10 12 14 16 18 20
0
1
0
0
2
0
0
Histograma com n 10
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
10 12 14 16 18 20
0
5
0
1
5
0
Histograma com n 20
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
10 12 14 16 18 20
0
1
0
0
2
5
0
Histograma com n 30
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
10 12 14 16 18 20
0
1
0
0
2
5
0
Histograma com n 50
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
10 12 14 16 18 20
0
1
5
0
3
0
0
20 30 40 50 60
0
.
0
0
0
.
0
3
Distribuição Normal
x
d
n
o
r
m
(
x
,
 
4
0
,
 
8
)
Histograma com n 5
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
30 35 40 45 50
0
1
0
0
0
Histograma com n 10
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
30 35 40 45 50
0
5
0
0
1
5
0
0
Histograma com n 20
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
30 35 40 45 50
0
1
0
0
0
Histograma com n 30
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
30 35 40 45 50
0
1
0
0
0
2
5
0
0
Histograma com n 50
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
30 35 40 45 50
0
1
0
0
0
tclexp<-function(n,nsimul,lambda) 
{ 
media<-rep(0,nsimul) 
for(i in 1:nsimul) 
{ 
x<-rexp(n,lambda) 
media[i] <- mean(x) 
} 
mu = 1/lambda
mmedia<-mean(media) # calcula a média das medias
varmedia<-var(media) # calcula a variância das medias
sdmedia<-sd(media) # calcula o desvio padrão das medias
hist(media, xlim=c(mu-3.5*mu/sqrt(5),mu+3.5*mu/sqrt(5)), 
xlab=expression(bar(X)),main=paste("Histograma com n",n=deparse(substitute(n)),sep=" ")) 
resultado<-list(mmedia=mmedia,varmedia=varmedia,sdmedia=sdmedia) 
# mmedia é a media das médias amostrais 
# varmedia é a variância das médias amostrais 
# sdmedia é o desvio padrão das médias amostrais 
return(resultado) 
} 
par(mfrow=c(3,2)) #divide a janela em 6 células (2 linhas e 3 colunas) 
curve(dexp(x,0.10),0,30,main = "Distribuição Exponencial") 
tclexp(5,1000,0.10) 
tclexp(10,1000,0.10) 
tclexp(20,1000,0.10) 
tclexp(30,1000,0.10) 
tclexp(50,1000,0.10)
0 5 10 15 20 25 30
0
.
0
2
0
.
0
8
Distribuição Exponencial
x
d
e
x
p
(
x
,
 
0
.
1
)
Histograma com n 5
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
-5 0 5 10 15 20 25
0
2
0
0
4
0
0
Histograma com n 10
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
-5 0 5 10 15 20 25
0
1
0
0
2
5
0
Histograma com n 20
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
-5 0 5 10 15 20 25
0
1
0
0
Histograma com n 30
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
-5 0 5 10 15 20 25
0
1
0
0
2
0
0
Histograma com n 50
X
F
r
e
q
u
e
n
c
y
-5 0 5 10 15 20 25
0
1
0
0
2
5
0
Propriedades dos estimadores
• Em média a média amostral é igual a média populacional.
• A média amostral aproxima-se da média populacional quando n cresce.
OBS: o desvio padrão da média amostral é chamado de erro padrão da média.
Exemplo: Suponha que o tempo de vida de um dispositivo tem distribuição 
exponencial com média igual a 50 horas. Se uma amostra aleatória de 40 dispositivos 
é observada, qual a probabilidade do tempo média de duração dos dispositivos da 
amostra seja menor do que 60 horas?
X – tempo de vida do dispositivo
X ~ Exp(1/50) E(X) = DP(X) = 50
Como n = 40 ≥ 30 podemos usar o T.C.L 
6,0)26,1Z(P
40
50
5060ZP
40
50
5060ZP)60X(P
40
5050,N ãodistribuiç menteaproximada temX
=<=










−
<=










−
<=<






amostral medía pela alpopulacion média a estimarmos ao errando estamos quanto o
estimação, de amostral erro X µ−
6477,0)3792,0Z(P
40
50
03ZP)3-XP(
horas? 3 a igualou menor ser estimação de amostral erro do adeprobabilid a Qual
=<=








−≤=≤µ





 σµ−





 σµ
n
,0N menteaproximada é X
n
,N menteaproximada é X
Com probabilidade igual a 0,95, qual o erro amostral máximo de estimação 
em valor absoluto com uma amostra de tamanho 40?
estimação? de erro oreduzir parafazer podemos que O 
0,95. a igual adeprobabilid com horas 15,49
a igual é estimação de máximo erro o 40 a igual amostra de tamanhoCom
49,15
40
50
 x 1,96E 
40
50
0E
 
n
0E96,1z
975,0)zZ(P
40
50
0EZP
n
0EZP)EX(P
 9725.0)EX(P e 025.0)EX(P Logo
95,0)EXE(P que talE valor o Qual
975,0
025,0
==⇒
−
=
σ
−
==
=<=










−
<=










σ
−
<=<µ−
=<µ−=−<µ−
=<µ−<−
Qual o valor de n tal que com probabilidade 0,95 o erro amostral de estimação 
seja no máximo igual a 5 horas?
40
50
 x 1,96E =
Vimos que com probabilidade 0,95 o erro amostral máximo com n = 40 é
Para um tamanho de amostra n, temos
n
50
 x 1,96E =
Fazendo E =5, temos
38516,384
5
05 x ,961
n
2
≈=





=
Caso geral: Qual o valor de n tal que com probabilidade 1 - α o erro amostral de 
estimação seja de no máximo E?
2
2/
2/
2/
E
 x z
nz
n
E
)zZ(P
n
EZP
 2/1)EX(P 1)EXE(P





 σ
=⇒=
σ
<=










σ
<α−=<µ−⇒α−=<µ−<−
α
α
α
Distribuição amostral da proporção
Considere uma amostra aleatória de tamanho n de variáveis aleatórias independentes 
Bernouli (x = 1 se sucesso, X = 0 se fracasso) com probabilidade de sucesso igual a p. 
Distribuição exata da proporção - Binomial
Exemplo: Suponha que em certa população 10% das pessoas estão 
desempregadas. Se uma amostra aleatória de 200 pessoas é escolhida desta 
população, qual a probabilidade da proporção amostral de desempregado ser maior 
do que 12%?
( )
( )
( ) 1430,0
200
)10.01(10,0
0,10-0,1225ZP 
200
5,012,0pˆP0,12pˆP
decontinuida de correção Com
1729,00,9428)Z(P
200
)10.01(10,0
0,10-0,12ZP0,12pˆP
5)186p)-n(1 e 5 24 (np Normal pela oaproximaçã a Usando
0.1449)24X(P
0,10)p200,Binomial(n é X onde )24X(P)12,0 x 200X(P0,12pˆP
 Binomial modelo o Usando
=












−
>=




 +>=>
=>=












−
>≈>
≥=≥=
=>
==>=>=>
Qual o tamanho amostral necessário para que com probabilidade ou igual 1 - α o 
erro amostral cometido ao estimar uma proporção p pela proporção amostral seja 
de no máximo E?
resultado) este ostreM:Exercício( 
E
)p1(pz
n 2
2
2/ −≥ α
Situação mais desfavorável: p =0,5
n depende de p. p é desconhecido
O que fazer?
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
.
0
0
0
.
0
5
0
.
1
0
0
.
1
5
0
.
2
0
0
.
2
5
p
p
*
(
1
-
p
)
2
2
2/
E4
z
n α≥
2S amostral variânciada amostral ãoDistribuiç
Gama ãodistribuiç da particular caso :Quadrado-Qui ãoDistribuiç
liberdade de graus 1-n com Quadrado-Qui ãodistribuiç tem
 
S)1n(
aleatóriaX variávela Então
 ).,Normal( ãodistribuiç um de aleatória amostra uma X,...,X,X Seja
2
2
2
n21
σ
−
=
σµ
( )
2k VAR(X)k E(X)
liberdade de graus os sãok onde
0x seex
(k;2)2
1f(x) :densidade fução 2/x1k/2k/2
==
>
Γ
=
−−
( )
 deestimador um é 
1n
XX
S 2
n
1i
2
i
2
σ
−
−
=
∑
=
0 1 2 3 4 5 6 7
0
.
0
0
.
5
1
.
0
1
.
5
função densidade de probabilidade - Qui-quadrado com 1 graus de liberdade
x
f
(
x
)
0 5 10 15 20 25 30
0
.
0
0
0
.
0
2
0
.
0
4
0
.
0
6
0
.
0
8
0
.
1
0
0
.
1
2
função densidade de probabilidade - Qui-quadrado com 7 graus de liberdade
x
f
(
x
)
0 10 20 30 40
0
.
0
0
0
.
0
2
0
.
0
4
0
.
0
6
0
.
0
8
função densidade de probabilidade - Qui-quadrado com 12 graus de liberdade
x
f
(
x
)
0 10 20 30 40 50 60
0
.
0
0
0
.
0
1
0
.
0
2
0
.
0
3
0
.
0
4
0
.
0
5
0
.
0
6
função densidade de probabilidade - Qui-quadrado com 20 graus de liberdade
x
f
(
x
)
Exemplo: Suponha que os preços de um produto praticados no mercado sigam 
um distribuição Normal com média 100 e desvio padrão igual a 20. 
a) Para uma amosta de tamanho 20 é observada, qual a probabilidade da 
variância amostral ser menor do que 430?
( ) )425,20X(P
400
304 x 19S)1n(P430SP 22
2
2
<=








<
σ
−
=<
( ) 95,0aSP 2 =<
( )
g.l 19 com quadrado-Qui ãodistribuiç da 0,95 ordem de percentil
400
a19
400
a x 19XP
400
a x 19a)1n(PaSP 22
2
=





 <=





<
σ
−
=<
Usando o R: > pchisq(20.425,19)[1] 0.6305769
b) Encontre o valor da variância amostral ta que 
Usando o R > qchisq(0.95,19)
[1] 30.14353
634.52
19
14,30 x 400
a14,30
400
a19
==⇒=