Metodo de Cross

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Estudo de Vigas Contínuas: 
MÉTODO DE CROSS
UNIVERSIDADE PAULISTA – CAMPUS BRASÍLIA
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: TEORIA DAS ESTRUTURAS
PROFESSORA: NÍVEA ALBUQUERQUE
1
Estudo de Vigas Contínuas
SOLUÇÃO: Criar relações entre o carregamento e a deformação.
Método das Forças
Método das Deformações
Hipóteses Preliminares
Quando as cargas são todas verticais e não há deformações axiais, as reações das vigas contínuas são todas verticais.
n Reações = n Apoios
GH = (n-2) Redundantes
Excesso de reações
nulo
2
Eliminação do Apoio Central
Viga hiperestática: Nº incógnitas > Nº Eq. Estática (Fv=0 e M=0)
A terceira equação é montada a partir do seguinte modelo: 
Supõe-se a eliminação do apoio central; 
Calcula-se a deformação que a viga, agora isostática (estrutura primária: eliminação das redundantes), teria no ponto em que o apoio existia; 
Supõe-se a aplicação de uma força de baixo para cima que anulasse a deformação no ponto em que ocorre o apoio na viga real; 
Determinada a força, define-se a reação que ocorre no apoio inicialmente eliminado, restando apenas duas outras reações, que podem ser determinadas pelas equações da estática.
Quanto maior o número de incógnitas, mais complexas se tornam essas equações  solução do sistema exige o uso de cálculo matricial. 
Método de Cross
Introdução
Processo iterativo para solução de estruturas hiperestáticas desenvolvido pelo Prof. Hardy Cross em 1932. Trata-se de um algoritmo que parte do conhecimento prévio dos momentos fletores em apoios engastados de vigas de um só vão. É aplicável a elementos rígidos que possuem continuidade e nós indeslocáveis.
Libera-se o giro no apoio engastado, transfomando-o em apoio articulado;
Calcula-se o giro que a viga sofre no apoio. 
Determina-se o valor do momento fletor que causa a mesma rotação, de maneira que se reproduza a situação original, ou seja, giro igual a zero, cujo valor é correspondente a momento de engastamento perfeito devido ao carregamento.
(Método da Distribuição dos Momentos)
Método de Cross
Momentos de Engastamento Perfeito
Engaste-Apoio:
Bi-Engastado:
Em Balanço:
MEP
Método de Cross
E quando não há engaste?
Há rotação nos apoios.
Condição de Continuidade da Viga:
O giro é igual, mas com sinal contrário.
Método de Cross
Como os momentos de engastamento perfeito podem ser conhecidos, pode-se considerar os apoios internos das vigas contínuas como inicialmente engastados. Isso pressupõe que não há qualquer espécie de giro.
Na realidade, quando a viga está em equilíbrio, o giro existe, podendo ser horário ou anti horário. 
MEP
MEP
Método de Cross
Como o momento de engastamento de um lado do apoio é normalmente diferente do outro, pois os vãos e carregamentos são normalmente diferentes, significa que o nó considerado engastado não está equilibrado, resultando um momento desequilibrado positivo ou negativo.
Para equilibrar o nó deve-se distribuir a diferença M entre os tramos adjacentes, de maneira que resulte o momento do tramo esquerdo igual ao do direito, a menos dos sinais.
Convenção de Sinais: Lado Esquerdo (-); Lado Direito (+)
M
Método de Cross
Princípio Importante:
“O elemento mais rígido sempre absorve mais esforços.”
Coeficiente de Rigidez
A rigidez de um elemento é proporcional à quantidade de esgastamento e inversamente proporcional ao comprimento.
Usa-se uma redução de 25% na rigidez do tramo que apresenta uma articulação e um engaste
1
2
1
2
Método de Cross
Fator de Distribuição
O FD dos momentos de uma barras com relação ao nó é dado pela razão entre a rigidez da barra e o somatório de cada parcela dos tramos que convergem para o nó. Cada barra tem sempre dois FD. A soma desses fatores entre barras adjacentes a um nó é igual a 1.
Nota: FD nos apoios extremos:
Fator de Propagação
O FP dos momentos de uma extremidade à outra é dado pela razão entre o momento que surge no nó oposto ao que sofreu o giro pelo momento na extremidade que sofre o giro.
FD=1
FD=1
FD=0
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
Segue o passo-a-passo da aplicação do método, dada a viga abaixo:
Tramo 1
Tramo 2
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
Cálculo do coeficiente de rigidez de cada tramo:
Tramo 1:
Tramo 2:
FDBC
FDBA
FDBA
FDBC
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
Tomando-se os MEPs e os FDs, distribui-se a diferença em cada tramo (momento desequilibrado) proporcionalmente à rigidez de cada tramo.
FDBA
FDBC
FDBA
FDBC
Esse procedimento significa, fisicamente, liberar o nó inicialmente engastado, de forma que alcance a posição de equilíbrio.
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
Soma-se algebricamente (considerando os sinais) os valores dos momentos de cada lado do apoio. Esses valores deverão ser iguais e com sinais contrários, de tal forma que a sua soma resulte zero, condição de equilíbrio. 
FDBA
FDBC
FDBA
FDBC
FDBA
FDBC
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
De posse do momento no apoio interno, determinam-se as reações de apoio, usando as equações da estática. Para isso, considera-se cada tramo como independente, calculando-se inicialmente as reações sem levar em conta o momento no apoio.
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
O momento no apoio interno alivia as reações dos apoios extremos e sobrecarrega as do apoio interno.
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
Após esse procedimento, tem-se automaticamente determinadas as forças cortantes nos apoios para o traçado dos diagramas.
Método de Cross
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
Quando a viga contínua apresenta mais de dois tramos, a liberação dos nós é feita para um nó de cada vez, mantendo os demais perfeitamente engastados.
O nó, depois de equilibrado, volta a ser imobilizado.
O momento distribuído para cada lado do nó é propagado para os nós vizinhos, que permaneceram engastados.
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
O momento propagado provoca alteração no valor do momento desequilibrado, sendo algebricamente somado a este.
Processo de propagação:
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Método de Cross
Exemplo Numérico
Obter o Diagrama de Momentos Fletores e o Diagrama de Esforços Cortantes da viga contínua abaixo, usando o Método de Cross:
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Método de Cross
Exemplo Numérico
1) Cálculo do coeficientes de rigidez de cada tramo:
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Método de Cross
Exemplo Numérico
2) Cálculo dos fatores de distribuição:
Considera-se: E x I = 1
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Método de Cross
Exemplo Numérico
3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito:
Tramo 1
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Método de Cross
Exemplo Numérico
3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito:
Tramo 2
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Método de Cross
Exemplo Numérico
3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito:
Tramo 3
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Método de Cross
Exemplo Numérico
4) Distribuição dos momentos desequilibrados:
OBS 
Para melhorar a precisão, foram alteradas as unidades de momento de tf.m para tf.cm.
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Método de Cross
Exemplo Numérico
5) Transmissão dos momentos equilibrantes aos nós adjacentes:
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OBS 
As iterações continuam até que, em cada nó, a diferença entre os valores absolutos dos momentos do lado esquerdo e direito seja desprezível ( 5% de diferença)
Exemplo Numérico
6) Somatório dos momentos nos nós equilibrados:
Exemplo Numérico
7) Somatório das reações considerando vãos isostáticos independentes:
momentos nos apoios
reações isostáticas
efeitos dos momentos das vigas contínuas
Exemplo Numérico
8) Somatório das reações considerando o efeito dos momentos negativos nos apoios centrais:
Método de Cross
Exemplo Numérico
9) Traçado do DEC:
Método de Cross
Exemplo Numérico
10) Traçado do DMF: