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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP2 – Construc¸o˜es Geome´tricas – 2012/2 Nome: Matr´ıcula: Po´lo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. Po´lo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • Todas as questo˜es devera˜o ser resolvidas sobre as figuras • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- dadas. ponsa´vel; Questa˜o 1 [2,5 pt]Determine os pontos P , Q e R, tais que P ∈ s, R ∈ λ, P e Q sejam sime´tricos em relac¸a˜o a r e R e Q sejam sime´tricos em relac¸a˜o a t. Soluc¸a˜o: Encontre a reta s′ sime´trica de s em relac¸a˜o a r. Encontre a circunfereˆncia λ′ sime´trica de λ em relac¸a˜o a t. As intersec¸a˜o entre λ′ e s′ sa˜o os pontos Q1 e Q2, resultando em duas soluc¸o˜es. Para encontrar os pontos P e R basta trac¸ar as perpendiculares por esses pontos em relac¸a˜o as retas r e t, respectivamente. Questa˜o 2 [2,5 pt]Construa o trape´zio sendo dadas as duas bases e as duas diagonais. Soluc¸a˜o:Construa sobre uma reta qualquer os segmentos AB e BP de comprimentos iguais as bases maior e menor, respectivamente. Com centro em A e raio igual a diagonal 1 trace um arco. Com centro em P e raio igual a diagonal 2 trace outro arco, que interceptara´ o primeiro no ponto C. Com centro C e raio igual a BP trace um arco. Com centro em B e raio igual a diagonal 2 trace outro arco, interceptando o anterior no ponto D. O quadrila´tero ABCD e´ o trape´zio procurado. Construc¸o˜es Geome´tricas AP2 – Construc¸o˜es Geome´tricas – 2012/1 2 Questa˜o 3 [2,5 pt]Construa o retaˆngulo de per´ımetro ma´ximo sendo P , Q e R pontos perten- centes a treˆs lados distintos do retaˆngulo conhecendo-se a diagonal. Soluc¸a˜o: Trace as semicircunfereˆncias de diaˆmetros PQ e QR. Ligue os centros O e O′ e trace uma paralela a esse segmento passando por Q, interceptando as semicircunfereˆncias nos pontos A e B. Ligue estes pontos aos pontos P e R. Com centro em A e raio igual a diagonal dada, trace um arco que interceptara´ o prolongamento de BR no ponto C. Com centro em B e raio igual a diagonal dada, trace um arco que interceptara´ o prolongamento de AP no ponto D. O retaˆngulo ABCD e´ a soluc¸a˜o. Questa˜o 4 [2,5 pt]De uma elipse sa˜o dados os diaˆmetros menor e maior. Determine a distaˆncia focal. Resolva graficamente. Soluc¸a˜o: Os diaˆmetros maior e menor de uma elipse correspondem aos eixos da elipse. Con- siderando a o semi-eixo maior, b o semi-eixo menor e c a metade da distaˆncia focal, temos que a2 = b2 + c2. Esta propriedade tambe´m valera´ para o eixo maior, o eixo menor e a distaˆncia focal, pois formariam triaˆngulo semelhantes. Assim, basta construir um triaˆngulo retaˆngulo ABC onde a hipotenusa AB e´ o eixo maior e um dos catetos AC e´ o eixo menor. Assim, o cateto BC e´ a distaˆncia focal. Sobre uma reta construa uma segmento AB de comprimento igual ao eixo maior. Construa uma circunfereˆncia de diaˆmetro AB. Com centro em A e raio igual ao eixo menor marque um ponto C sobre a circunfereˆncia. O segmento BC e´ a distaˆncia focal. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Construc¸o˜es Geome´tricas AP2 – Construc¸o˜es Geome´tricas – 2012/1 3 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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