AP2 CG 2014 1 ghabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Construc¸o˜es Geome´tricas – 2014/1
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis.
Po´lo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • Se a questa˜o apresenta figura, a soluc¸a˜o da questa˜o deve
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- ser feita utilizando a figura fornecida, no espac¸o para
ponsa´vel; ela reservado.
Questa˜o 1 [2,5 pt]Construa o triaˆngulo retaˆngulo ABC, de hipotenusa AB, inscrito no
triaˆngulo DEF , com A ∈ DE, B ∈ EF , C ∈ DF , AB = ` e AB//DF .
Soluc¸a˜o: Marque sobre o lado DF um ponto P tal que DP = `. Pelo ponto P trace uma reta
paralela ao lado DE, que interceptara´ o lado EF no ponto B. Com centro em B e raio ` trace
um arco que interceptara´ o lado no ponto A. Construa a semicircunfereˆncia de diaˆmetro AB
que interceptara´ o lado DF nos pontos C e C ′. Os triaˆngulo ABC e ABC ′ sa˜o as soluc¸o˜es do
problema.
Construc¸o˜es Geome´tricas AP2 – Construc¸o˜es Geome´tricas 2
Questa˜o 2 [2,5 pt]Construa o trape´zio sendo dadas as duas bases e as duas diagonais.
Soluc¸a˜o:Construa sobre uma reta qualquer os segmentos AB e BP de comprimentos iguais as
bases maior e menor, respectivamente. Com centro em A e raio igual a diagonal 1 trace um
arco. Com centro em P e raio igual a diagonal 2 trace outro arco, que interceptara´ o primeiro
no ponto C. Com centro C e raio igual a BP trace um arco. Com centro em B e raio igual a
diagonal 2 trace outro arco, interceptando o anterior no ponto D. O quadrila´tero ABCD e´ o
trape´zio procurado.
Questa˜o 3 [2,5 pt]Encontre os pontos A ∈ λ e B ∈ r, tais que OA
OB
=
3
5
.
Soluc¸a˜o: Devemos multiplicar a circunfereˆncia λ por
5
3
. Incialmente, multiplicamos o centro
C. Para isso, trace por A uma reta qualquer e marque cinco segmentos de comprimentos iguais.
Ligue a extremidade do terceiro com C por uma reta e, pela extremidade do quinto segmento,
trace uma reta paralela a esta reta. A reta paralela interceptara´ a reta
←→
OC no ponto C ′. A
reta que passa pela terceira extremidade e pelo ponto C intercepta λ no ponto P . A reta
←→
OP
intercepta a paralela no ponto P ′ que e´ o resultado da multiplicac¸a˜o de P . Construimos a
circunfereˆncia λ′ de centro em C ′ passando por P ′, que e´ o resultado da multiplicac¸a˜o de λ por
5
3
. A circunfereˆncia λ′ intercepta a reta r nos pontos B1 e B2. As retas
←−→
OB1 e
←−→
OB2 interceptam
a circunfereˆncia λ nos pontos A1 e A2, respectivamente. Os pares (A1, B1) e (A2, B2) sa˜o as
soluc¸o˜es do problema.
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Construc¸o˜es Geome´tricas AP2 – Construc¸o˜es Geome´tricas 3
Questa˜o 4 [2,5 pt]Encontre os focos e os ve´rtices da elipse, sabendo que r e´ a reta suporte do
eixo focal, P e Q sa˜o pontos que pertencem aos raios focais, distintos, do ponto da elipse cuja
tangente e´ a reta t.
Sugesta˜o: Lembre que a reta tangente num ponto da elipse e´ uma bissetriz das retas suportes
dos raios focais. Utilize a simetria de um dos pontos dados em relac¸a˜o a` tangente para encontrar
os raios focais.
Soluc¸a˜o: Ache o sime´trico, Q′, de Q em relac¸a˜o a t. A reta
←→
PQ′ intercepta t no ponto A,
que e´ o ponto de tangeˆncia, e intercepta a reta r no ponto F , que e´ o primeiro foco. A reta←→
AQ intercepta a reta r no ponto F ′, que e´ o segundo foco. Marque no prolongamento de FA o
ponto R, tal que AR = AF ′. O segmento FR tem comprimento igual ao eixo maior da elipse.
Encontre o ponto me´dio, O, entre os focos. Divida o segmento FR ao meio, obtendo o ponto
M . Com centro em O e raio igual a FM trace os arcos de circunfereˆncia que interceptara˜o a
reta r nos pontos B e C, que sa˜o os primeiros ve´rtices. Com centro em F e raio igual a FM
trace os arcos de circunfereˆncia que interceptara˜o a mediatriz do segmento FF ′ nos pontos D e
E, que sa˜o os dois u´ltimos ve´rtices.
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Construc¸o˜es Geome´tricas AP2 – Construc¸o˜es Geome´tricas 4
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