AP2 CG 2015 2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Construc¸o˜es Geome´tricas
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis.
Po´lo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • Se a questa˜o apresenta figura, a soluc¸a˜o da questa˜o deve
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- ser feita utilizando a figura fornecida, no espac¸o para
ponsa´vel; ela reservado.
Questa˜o 1 [2,5 pt]Construa o triaˆngulo ABC sendo r a bissetriz do aˆngulo interno em A, s
a bissetriz do aˆngulo externo em C, P pertencente a` reta suporte do lado AB e Q pertencente
a` reta suporte do lado BC.
Soluc¸a˜o: Ache o sime´trico, Q′, de Q em relac¸a˜o a s. Ache o sime´trico, P ′, de P em relac¸a˜o
a r. Ligue os pontos P ′ e Q′, obtendo A e C sobre as retas r e s, respectivamente. Ligue os
pontos C e Q e tambe´m os pontos A e P , que ira˜o se encontrar no ponto B. O triaˆngulo ABC
e´ a soluc¸a˜o.
Questa˜o 2 [2,5 pt]Construa o retaˆngulo de per´ımetro ma´ximo sendo P , Q e R pontos perten-
centes a treˆs lados distintos do retaˆngulo conhecendo-se a diagonal.
Soluc¸a˜o: Trace as semicircunfereˆncias de diaˆmetros PQ e QR. Ligue os centros O e O′ e trace
uma paralela a esse segmento passando por Q, interceptando as semicircunfereˆncias nos pontos
A e B. Ligue estes pontos aos pontos P e R. Com centro em A e raio igual a diagonal dada,
trace um arco que interceptara´ o prolongamento de BR no ponto C. Com centro em B e raio
igual a diagonal dada, trace um arco que interceptara´ o prolongamento de AP no ponto D. O
retaˆngulo ABCD e´ a soluc¸a˜o.
Construc¸o˜es Geome´tricas AP2 – Construc¸o˜es Geome´tricas 2
Questa˜o 3 [2,5 pt]Multiplique o penta´gono ABCDE por 7
5
com centro de homotetia em O.
Soluc¸a˜o: Trace os raios de homotetia dos pontos A, B, C, D e E com centro em O. Multiplique
o ponto A por 7
5
com centro de homotetia em O, obtendo o ponto A′. Pelo ponto A′ trace a
paralela ao lado AB, que interceptara´ o raio de homotetia de B no ponto B′. Trace pelo ponto
B′ a paralela ao lado BC, que interceptara´ o raio de homotetia de C no ponto C ′. Usamos o
mesmo procedimento encontramos D′ e E ′.
Questa˜o 4 [2,5 pt]Dados os focos, P e Q, de uma hipe´rbole e r, uma reta tangente em um de
seus pontos, encontre o ponto de tangeˆncia, os eixos da hipe´rbole e seus ve´rtices.
Soluc¸a˜o:Encontre o sime´trico, Q′, de Q em relac¸a˜o a r. Ligue os pontos P e Q′, obtendo na
intersec¸a˜o com r o pontoM , que e´ o ponto de tangeˆncia. O segmento PQ′ tenha o comprimento
igual ao eixo entre os focos. Divida-o ao meio e partir do ponto me´dio dos focos obtenha sobre
o segmento PQ os pontos A e B que esta˜o a uma distaˆncia do ponto me´dio igual a metade de
PQ′. Os pontos A e B sa˜o os ve´rtices da hipe´rbole. Com centro em B e raio igual a metade do
segmento PQ trac¸amos um arco de circunfereˆncia interceptando a mediatriz do segmento PQ
nos pontos C e D. O segmento CD e´ o eixo transverso da hipe´rbole.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Construc¸o˜es Geome´tricas AP2 – Construc¸o˜es Geome´tricas 3
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