Funções de duas variaveis - Limite e Continuidade 03

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Funções de Várias Variáveis Funções de Várias Variáveis --
Limite e ContinuidadeLimite e Continuidade
Profa. Alyne Toscano Martins
LimitesLimites
Vamos comparar o comportamento das funções
Quando x e y se aproximam de 0 [e portanto o ponto (x,y) se aproxima da 
origem].
Observando os valores das tabelas temos que:
e não existe
Em geral, usamos a notação 
para indicar que os valores de f(x,y) se aproximam do número L quando 
o ponto (x,y) se aproxima do ponto (a,b) ao longo de qualquer caminho
contido no domínio da função.
Em outras palavras, podemos tornar os valores de f(x,y) tão próximos 
de L quanto quisermos tomando os pontos (x,y) suficientemente 
próximos do ponto (a,b), mas não iguais a (a,b).
Definição
Outras Notações:
quando
e
Exemplo 2:
Exemplo 3:
OBS:
1) Se para algum caminho C o limite não existir então o limite de f(x,y) 
não existe.
2) Mesmo que para dois caminhos diferente tenhamos o mesmo valor de 
limite para f(x,y), não podemos garantir que o limite existe.
Teorema do Confronto
Se f(x,y) ≤ g(x,y)≤ h(x,y), lim(x,y)→(x0, y0) f(x,y) = L e lim(x,y)→(x0, y0) h(x,y) = L 
então lim(x,y)→(x0, y0) g(x,y) = L.
Resultado
Se g(x,y) é limitada e lim(x,y)→(x0, y0) f(x,y) = 0 então
lim(x,y)→(x0, y0) f(x,y). g(x,y) = 0.
OBS: g(x,y) é limitada se existe M>0 tal que |g(x,y)|≤ M para todo 
(x,y) Dom(g)
Vamos agora olhar o caso em que o limite existe.
As propriedades do Limite já estudadas por nós para funções de uma 
variável podem ser estendidas para funções de várias variáveis. O limite 
da soma é a soma dos limites, o limite do produto é o produto dos limites, e 
assim por diante. Em particular as seguintes equações são verdadeiras:
ContinuidadeContinuidade
Definição
Ou seja,
Exemplo 8:
Funções com três ou mais variáveis