Funções de duas ou mais variaveis 01

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Funções de Várias VariáveisFunções de Várias Variáveis
Profa. Alyne Toscano Martins
Curvas de NívelCurvas de Nível
Definição: As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são 
aquelas com equação f(x,y)=k, onde k é uma constante (na imagem de f).
OBS: 1) Uma curva de nível f(x,y)=k é o conjunto de todos os pontos do 
domínio de f nos quais o valor de f é k. Ela mostra onde o gráfico de f tem 
altura k.
2) As curvas de nível f(x,y)=k são apenas cortes do gráfico de f no plano 
horizontal z=k projetados sobre o plano xy.
3) As curvas de nível podem ser dadas também como imagem inversa 
inversa f-1(k)={(x,y)  R2 | f(x,y)=k}
4) O gráfico que apresenta as curvas de nível pode ser chamado de 
mapa de contorno
Exemplo: Utilize o mapa de contorno da função f dado abaixo para 
estimar os valores de f(1,3) e f(4,5).
Funções com três ou mais variáveisFunções com três ou mais variáveis
• Uma função com três variáveis f é uma regra que associa a cada tripla 
ordenada (x,y,z) em um domínio D  R3 um único número real denotado
por f(x,y,z).
Ex: A temperatura T em um ponto da superf’icie terrestre depende da
latitude y, da longitude x e do tempo t, T=f(x,y,t)
SuperfícieSuperfície de de NívelNível
É difícil visualizar uma função f de três variáveis por seu gráfico, uma vez 
que estaríamos em um espaço com 4 dimensões.
Superfícies de Nível são equações da forma f(x,y,z)=k, onde k é uma 
constante. Se um ponto (x,y,z) se move ao longo da superfície de nível 
o valor de f(x,y,z) permanece fixo.
Superfícies de Nível de 
Uma função com n variáveis é uma regra que associa a n-úpla
(x1, x2, …, xn) a um número real z=f(x1, x2, …, xn). Denotamos por Rn o 
conjunto de todas as n-uplas.
Por exemplo, se uma fábrica de alimentos usa n ingredientes diferentes 
para manufaturar um determinado alimento, sendo:
ci : o custo por unidade do i-ésimo ingrediente
xi : número de unidades do i-ésimo ingrediente
Então o custo total C dos ingredientes é uma função de n variáveis:
(*)
Se utilizarmos a notação vetorial x=< x1, x2, …, xn >, podemos escrever 
f(x) ao invés de z=f(x1, x2, …, xn). Com essa notação, (*) pode ser escrito 
por
em que c=< c1, c2, …, cn > e c.x denota o produto escalar entre c e x.