EDO – Lista 2 Resolvida

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Sumário
a) 𝑦′ = 1 − 2𝑥 𝑦2 , 𝑦 0 = −
1
6
Variáveis separáveis
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 − 2𝑥 𝑦2 →
𝑑𝑦
𝑦2
= 1 − 2𝑥 𝑑𝑥
Integrar
න
𝑑𝑦
𝑦2
= න 1 − 2𝑥 𝑑𝑥 → −
1
𝑦
= 𝑥 − 𝑥2 + 𝑐
Solução geral
−
1
𝑦
= 𝑥 1 − 𝑥 + 𝑐 → −
1
𝑦
=
𝑥
2
1 − 𝑥 +
𝑐
2
𝑦 = −
1
𝑥
2 1 − 𝑥 +
𝑐
2
Solução PVI
𝑦 0 = −
1
6
−
1
6
= −
1
𝑐
2
→
𝑐
12
= 1 → 𝑐 =
1
12
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
𝑦 = −
1
𝑥
2 1 − 𝑥 +
𝑐
2
→ 𝑦 = −
1
𝑥
2 1 − 𝑥 +
1
24
b) 𝑦′ = 1 − 2𝑥 𝑦 , 𝑦 1 = −2
Variáveis separáveis
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 − 2𝑥 𝑦 →
𝑑𝑦
𝑦
= 1 − 2𝑥 𝑑𝑥
Integrar
න
𝑑𝑦
𝑦
= න 1 − 2𝑥 𝑑𝑥 → ln 𝑦 = 𝑥 − 𝑥2 + 𝑐
Solução geral
ln 𝑦 = 𝑥 1 − 𝑥 + 𝑐 → ln 𝑦 = 𝑥 1 − 𝑥 + 𝑐
𝑦 = 𝑒𝑥 1−𝑥 𝑒𝑐
Solução PVI
𝑦 0 = −
1
6
−2 = 𝑒0𝑒𝑐 → 𝑒𝑐 = −2 → 𝑐 = ln −2 → 𝑐 = ln
1
2
𝑦 = 𝑒𝑥 1−𝑥 𝑒𝑐 → 𝑦 =
1
2
𝑒𝑥 1−𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
c) 𝑥𝑑𝑥 + 𝑦𝑒−𝑥𝑑𝑦 = 0 , 𝑦 0 = 1
Variáveis separáveis
𝑥𝑑𝑥 = −𝑦𝑒−𝑥𝑑𝑦 → 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = −𝑦𝑑𝑦
Integrar
න𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = න−𝑦𝑑𝑦 → 𝑐 + 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 = −
𝑦2
2
Solução geral
−
𝑦2
2
= 𝑒𝑥 𝑥 − 1 + 𝑐 → −𝑦2 = 2𝑒𝑥 𝑥 − 1 + 2𝑐
−𝑦 = 2𝑒𝑥 𝑥 − 1 + 2𝑐
Solução PVI
𝑦 0 = 1
−1 = −2 + 2𝑐 → 𝑐 =
1
2
−𝑦 = 2𝑒𝑥 𝑥 − 1 + 2𝑐 → −𝑦 = 2𝑒𝑥 𝑥 − 1 + 1
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
d)
𝑑𝑟
𝑑𝜃
=
𝑟2
𝜃
, 𝑟 1 = 2
Variáveis separáveis
𝑑𝑟
𝑟2
=
𝑑𝜃
𝜃
Integrar (solução geral)
න
𝑑𝑟
𝑟2
= න
𝑑𝜃
𝜃
→ ln 𝑟2 = ln 𝜃𝑐 → 𝑟 = 𝜃𝑐
Solução PVI
𝑟 1 = 2
2 = 𝑐 → 𝑐 = 4
𝑟 = 4𝜃 → 𝑟 = 2 𝜃
Passo 1
Passo 2
Passo 3
e) 𝑦′ =
2𝑥
𝑦+𝑥2𝑦
, 𝑦 0 = −2
Organizar
𝑑𝑦 𝑦 + 𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑑𝑥 = 0
Fator integrante desconhecido
𝑑𝑦 𝑦 + 𝑥2𝑦 𝜇(𝑦) + 2𝑥𝜇 𝑦 𝑑𝑥 = 0
Vamos transformar esta equação em equação exata, veja que N(x,y) é uma equação 
mais complicada que M(x,y), como queremos sempre o jeito mais fácil iremos 
procurar um fator integrante em relação a y.
Caso não se lembre: 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Derivadas
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 𝜇′ 𝑦 2𝑥
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦𝜇(𝑦)
Forçando igualdade
𝜇′ 𝑦 2𝑥 = 2𝑥𝑦𝜇 𝑦 →
𝜇′ 𝑦
𝜇 𝑦
= 𝑦
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Integrar
න
𝜇′ 𝑦
𝜇 𝑦
= න𝑦𝑑𝑦 → න
𝑑𝜇
𝜇
= න𝑦𝑑𝑦 → ln 𝜇 =
𝑦2
2
Exponencial
𝑒ln 𝜇 = 𝑒
𝑦2
2 → 𝜇 𝑦 = 𝑒
𝑦2
2
Substituir fator integrante desconhecido
𝑑𝑦 𝑦 + 𝑥2𝑦 𝜇 𝑦 + 2𝑥𝜇 𝑦 𝑑𝑥 = 0 → 𝑑𝑦 𝑦 + 𝑥2𝑦 𝑒
𝑦2
2 + 2𝑥𝑒
𝑦2
2 𝑑𝑥 = 0
Sistema
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑒
𝑦2
2
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ(𝑥, 𝑦) = න 2𝑥𝑒
𝑦2
2 𝑑𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑒
𝑦2
2 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Passo 5
Passo 6
Passo 7
Passo 8
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑒
𝑦2
2 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑥2𝑒
𝑦2
2 + 𝑓(𝑦)
→
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑒
𝑦2
2 + 𝑓(𝑦)
𝑦 + 𝑥2𝑦 𝑒
𝑦2
2
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑦𝑥2𝑒
𝑦2
2 + 𝑓′(𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦)
൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑒
𝑦2
2 + 𝑓(𝑦)
𝑒
𝑦2
2 𝑦 + 𝑒
𝑦2
2 𝑥2𝑦 = 𝑦𝑥2𝑒
𝑦2
2 + 𝑓′(𝑦)
→ ൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑒
𝑦2
2 + 𝑓(𝑦)
𝑓′ 𝑦 = 𝑒
𝑦2
2 𝑦
Integrar a função desconhecida
න𝑓′ 𝑦 = න𝑒
𝑦2
2 𝑦 𝑑𝑦 → ൞ 𝑢 =
𝑦2
2
𝑑𝑢 = 𝑦𝑑𝑦
→ 𝑓 𝑦 = 𝑒
𝑦2
2
Função solução
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑒
𝑦2
2 + 𝑒
𝑦2
2 → Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒
𝑦2
2 (𝑥2 + 1)
Passo 9
Passo 10
Solução geral
𝑑Ψ = 0 → Ψ = 𝑐
c = 𝑒
𝑦2
2 𝑥2 + 1 → 𝑒
𝑦2
2 =
𝑐
𝑥2 + 1
Solução PVI
𝑦 0 = −2
𝑐 = 𝑒2 0 + 1 → 𝑐 = 𝑒2
𝑒
𝑦2
2 =
𝑒2
𝑥2 + 1
→ ln 𝑒
𝑦2
2 = ln
𝑒2
𝑥2 + 1
→
𝑦2
2
= ln 𝑒2 − ln 𝑥2 + 1
𝑦2
2
= 2 − ln 𝑥2 + 1 → 𝑦2 = 4 − 2 ln 𝑥2 + 1
𝑦 = 4 − 2 ln 𝑥2 + 1
Passo 11
Passo 12
f) 𝑦′ = 𝑥𝑦3 1 + 𝑥2 −
1
2 , 𝑦 0 = 1
Variáveis separáveis
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑦3 1 + 𝑥2 −
1
2 →
𝑑𝑦
𝑦3
= 𝑥 1 + 𝑥2 −
1
2𝑑𝑥
Integrar
න
𝑑𝑦
𝑦3
= න𝑥 1 + 𝑥2 −
1
2𝑑𝑥
න
𝑑𝑦
𝑦3
= ln 𝑦3
න𝑥 1 + 𝑥2 −
1
2𝑑𝑥 → ቊ𝑢 = 1 + 𝑥
2
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
→
1
2
න
𝑑𝑢
𝑢
=
1
2
2 𝑢 = 1 + 𝑥2 + 𝑐
ln 𝑦3 = 1 + 𝑥2 + 𝑐
Solução geral
𝑒ln 𝑦
3
= 𝑒 1+𝑥
2
𝑒𝑐 → 𝑦 = 𝑒 1+𝑥
2
𝑒𝑐
1
3
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Solução PVI
𝑦 0 = 1
ln 𝑦3 = 1 + 𝑥2 + 𝑐 → 0 = 1 + 𝑐 → 𝑐 = −1
𝑦 = 𝑒 1+𝑥
2
𝑒𝑐
1
3
→ 𝑦 =
𝑒 1+𝑥
2
𝑒
1
3
→ 𝑦 = 𝑒 1+𝑥
2−1
1
3
Passo 4
g) 𝑦′ =
2𝑥
1+2𝑦
, 𝑦 2 = 0
Variáveis separáveis
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥
1 + 2𝑦
→ 𝑑𝑦 1 + 2𝑦 = 2𝑥𝑑𝑥
Integrar (solução geral)
න𝑑𝑦 1 + 2𝑦 = න2𝑥𝑑𝑥 → 𝑦 + 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑐 → 𝑦 1 + 𝑦 = 𝑥2 + 𝑐
Solução PVI
𝑦 2 = 0
0 = 4 + 𝑐 → 𝑐 = −4
𝑦 1 + 𝑦 = 𝑥2 + 𝑐 → 𝑦 1 + 𝑦 = 𝑥2 − 4
Passo 1
Passo 2
Passo 3
h) 𝑦′ =
𝑥(𝑥2+1)
4𝑦3
, 𝑦 0 = −
1
2
Variáveis separáveis
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥(𝑥2 + 1)
4𝑦3
→ 4𝑦3𝑑𝑦 = 𝑥(𝑥2 + 1)𝑑𝑥
Integrar (solução geral)
න4𝑦3𝑑𝑦 = න𝑥(𝑥2 + 1)𝑑𝑥 → 𝑦4 =
𝑥2 + 1 2
4
+ 𝑐 → 𝑦 =
𝑥2 + 1 2
4
+ 𝑐
1
4
Solução PVI
𝑦 0 = −
1
2
𝑦4 =
𝑥2 + 1 2
4
+ 𝑐 → −
1
2
4
=
0 + 1 2
4
+ 𝑐 → 𝑐 =
1
4
−
1
4
→ 𝑐 = 0
𝑦 =
𝑥2 + 1 2
4
+ 𝑐
1
4
→ 𝑦 =
𝑥2 + 1 2
4
1
4
Passo 1
Passo 2
Passo 3
i) 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 + cos 3𝑦 𝑑𝑦 = 0 , 𝑦
𝜋
2
=
𝜋
3
Variáveis separáveis
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = − cos 3𝑦 𝑑𝑦𝑥
Integrar
න𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = න−cos 3𝑦 𝑑𝑦𝑥 → −
1
2
cos 2𝑥 = −
1
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑦 + 𝑐
Solução geral
−
1
2
cos 2𝑥 = −
1
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑦 + 𝑐
1
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑦 =
1
2
cos 2𝑥 + 𝑐
Solução PVI
𝑦
𝜋
2
=
𝜋
3
0 = 0 + 𝑐 → 𝑐 = 0
1
3
𝑠𝑒𝑛 3𝑦 =
1
2
cos 2𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
j) 𝑦′ =
(3𝑥2−𝑒𝑥)
(2𝑦−5)
, 𝑦 0 = 1
Variáveis separáveis
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(3𝑥2 − 𝑒𝑥)
(2𝑦 − 5)
→ (2𝑦 − 5)𝑑𝑦 = (3𝑥2 − 𝑒𝑥)𝑑𝑥
Integrar (solução geral)
න(2𝑦 − 5)𝑑𝑦 = න(3𝑥2 − 𝑒𝑥)𝑑𝑥 → 𝑦 − 5𝑦 = 𝑥3 − 𝑒𝑥 + 𝑐
Solução PVI
𝑦 0 = 1
1 − 5 = 0 − 1 + 𝑐 → 𝑐 = −3
𝑦 − 5𝑦 = 𝑥3 − 𝑒𝑥 + 𝑐 → 𝑦 − 5𝑦 = 𝑥3 − 𝑒𝑥 − 3
Passo 1
Passo 2
Passo 3
k) 𝑦′ =
(𝑒−𝑥−𝑒𝑥)
(3+4𝑦)
, 𝑦 0 = 1
Variáveis separáveis
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(𝑒−𝑥 − 𝑒𝑥)
(3 + 4𝑦)
→ (3 + 4𝑦)𝑑𝑦 = (𝑒−𝑥 − 𝑒𝑥)𝑑𝑥
Integrar (solução geral)
න(3 + 4𝑦)𝑑𝑦 = න(𝑒−𝑥 − 𝑒𝑥)𝑑𝑥 → 3𝑦 + 2𝑦2 = −𝑒−𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑐
Solução PVI
𝑦 0 = 1
3 + 2 = −1 − 1 + 𝑐 → 𝑐 = 7
3𝑦 + 2𝑦2 = −𝑒−𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑐 → 3𝑦 + 2𝑦2 = −𝑒−𝑥 − 𝑒𝑥 + 7
Passo 1
Passo 2
Passo 3
l) 𝑦2 1 − 𝑥2
1
2𝑑𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑦 0 = 0
Variáveis separáveis
𝑦2𝑑𝑦 =
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
1 − 𝑥2
1
2
Integrar
න𝑦2𝑑𝑦 = න
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
1 − 𝑥2
1
2
න𝑦2𝑑𝑦 =
𝑦3
3
න
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
1 − 𝑥2
1
2
→
𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑑𝑢 =
1
1 − 𝑥2
1
2
→ න𝑢𝑑𝑢 =
𝑢2
2
+ 𝑐 =
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 2
2
+ 𝑐
𝑦3
3
=
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 2
2
+ 𝑐
Passo 1
Passo 2
Solução geral
𝑦3
3
=
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 2
2
+ 𝑐 → 𝑦3 = 3
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 2
2
+ 𝑐 → 𝑦 = 3
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 2
2
+ 𝑐
1
3
Solução PVI
𝑦 0 = 0
0 = 3
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 0 2
2
+ 𝑐
1
3
→ 𝑐 = 0
𝑦 = 3
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 2
2
1
3
Passo 3
Passo 4
Sumário
a) 2𝑥 + 3 + 2𝑦 − 2 𝑦′ = 0
Organizar
2𝑥 + 3 + 2𝑦 − 2 𝑦′ = 0 → 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 + 2𝑦 − 2 𝑑𝑦 = 0
Teste
ቊ
𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 3
𝑁 𝑥, 𝑦 = 2𝑦 − 2
→
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 0
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 0
Sistema
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 2𝑥 + 3
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥,𝑦)
→
Ψ(𝑥, 𝑦) = න 2𝑥 + 3 𝑑𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→ ൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Exata!
Passo 1
Passo 2
Passo 3
൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑥2 + 3𝑥 + 𝑓(𝑦)
→
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 + 𝑓(𝑦)
2𝑦 − 2
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑓′(𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦)
Integrar função desconhecida
න𝑓′(𝑦) = න 2𝑦 − 2 𝑑𝑦 → 𝑓 𝑦 = 𝑦2 − 2𝑦
Função solução
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 + 𝑦2 − 2𝑦
Solução geral
𝑑Ψ = 0 → Ψ = 𝑐
𝑐 = 𝑥2 + 3𝑥 + 𝑦2 − 2𝑦
𝑦2 − 2𝑦 = 𝑐 − 𝑥2 − 3𝑥
𝑦 𝑦 − 2 = −𝑥 𝑥 + 3 + 𝑐
Passo 4
Passo 5
Passo 6
b) 2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑥 − 2𝑦 𝑦′ = 0
Organizar
2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑥 − 2𝑦 𝑦′ = 0 → 2𝑥 + 4𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 − 2𝑦 𝑑𝑦 = 0
Teste
ቊ
𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 4𝑦
𝑁 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 2𝑦
→
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 4
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 2
Não é Exata!
Passo 1
Passo 2
c) 3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 2 𝑑𝑥 + 6𝑦2 − 𝑥2 + 3 𝑑𝑦 = 0
Teste
൝
𝑀 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 2
𝑁 𝑥, 𝑦 = 6𝑦2 − 𝑥2 + 3
→
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= −2𝑥
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= −2𝑥
Sistema
൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥2𝑦 + 2𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑥2 − 𝑥2𝑦 + 2𝑥 + 𝑓(𝑦)
→
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥2𝑦 + 2𝑥 + 𝑓(𝑦)
6𝑦2 − 𝑥2 + 3
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= −𝑥2 + 𝑓′(𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦)
Exata!
Passo 1
Passo 2
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 2
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ(𝑥, 𝑦) = න 3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 2 𝑑𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→ ൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥2𝑦 + 2𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Integrar função desconhecida
න𝑓′(𝑦) = න 6𝑦2 + 3 𝑑𝑦 → 𝑓 𝑦 = 2𝑦3 + 3𝑦
Função solução
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥2𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦3 + 3𝑦
Solução geral
𝑑Ψ = 0 → Ψ = 𝑐
𝑐 = 𝑥2 − 𝑥2𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦3 + 3𝑦
2𝑦3 + 3𝑦 = 𝑐 − 𝑥2 + 𝑥2𝑦 − 2𝑥
𝑦 2𝑦2 + 3 = −𝑥 𝑥 − 𝑥𝑦 + 2 + 𝑐
Passo 4
Passo 5
Passo 6
d) 2𝑥𝑦2 + 2𝑦 + 2𝑥2𝑦 + 2𝑥 𝑦′ = 0
Organizar
2𝑥𝑦2 + 2𝑦 + 2𝑥2𝑦 + 2𝑥 𝑦′ = 0 → 2𝑥𝑦2 + 2𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥2𝑦 + 2𝑥 𝑑𝑦 = 0
Teste
൝
𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦2 + 2𝑦
𝑁 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2𝑦 + 2𝑥
→
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 4𝑥𝑦 + 2
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 4𝑥𝑦 + 2
Sistema
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦2 + 2𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ(𝑥, 𝑦) = න 2𝑥𝑦2 + 2𝑦 𝑑𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→ ൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦2 + 2𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Exata!
Passo 1
Passo 2
Passo 3
൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦2 + 2𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑥2𝑦2 + 2𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦)
→
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦2 + 2𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦)
2𝑥2𝑦 + 2𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 2𝑦𝑥2 + 2𝑥 + 𝑓′(𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦)
→ 𝑓 𝑦 = 0
Função solução
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦2 + 2𝑦𝑥
Solução geral
𝑑Ψ = 0 → Ψ = 𝑐
𝑐 = 𝑥2𝑦2 + 2𝑦𝑥
2𝑦 = 𝑐 − 𝑥2𝑦2
𝑦 =
𝑐
2
−
𝑥2𝑦2
2
Passo 4
Passo 5
e)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑎𝑥+𝑏𝑦
𝑏𝑥+𝑐𝑦
Organizar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
𝑏𝑥 + 𝑐𝑦
→ 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 𝑑𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑑𝑥 = 0
Teste
ቊ
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦
→
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 𝑏
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑏
Sistema
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ(𝑥, 𝑦) = න 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑑𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ 𝑥, 𝑦 =
𝑎𝑥2
2
+ 𝑏𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Exata!
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Ψ 𝑥, 𝑦 =
𝑎𝑥2
2
+ 𝑏𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑎𝑥2
2
+ 𝑏𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦)
→
Ψ 𝑥, 𝑦 =
𝑎𝑥2
2
+ 𝑏𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝑏𝑥 + 𝑐𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑏𝑥 + 𝑓′(𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦)
Integrar a função desconhecida
න𝑓′ 𝑦 = න𝑐𝑦𝑑𝑦 → 𝑓 𝑦 =
𝑐𝑦2
2
Função solução
Ψ 𝑥, 𝑦 =
𝑎𝑥2
2
+ 𝑏𝑦𝑥 +
𝑐𝑦2
2
Solução geral
𝑑Ψ = 0 → Ψ = 𝑐
𝑐 =
𝑎𝑥2
2
+ 𝑏𝑦𝑥 +
𝑐𝑦2
2
𝑐𝑦2 = −𝑎𝑥2 − 2𝑏𝑦𝑥
𝑦 = −
𝑎𝑥2
𝑐
−
2𝑏𝑦𝑥
𝑐
Passo 4
Passo 5
Passo 6
f)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑎𝑥−𝑏𝑦
𝑏𝑥−𝑐𝑦
Organizar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑎𝑥 − 𝑏𝑦
𝑏𝑥 − 𝑐𝑦
→ 𝑏𝑥 − 𝑐𝑦 𝑑𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 𝑑𝑥 = 0
Teste
ቊ
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦
𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑏𝑥 − 𝑐𝑦
→
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= −𝑏
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑏
Não é Exata!
Passo 1
Passo 2
g) 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) − 2𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑦 = 0
Teste
ቊ
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) − 2𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
→
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 𝑒𝑥 cos 𝑦 − 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑒𝑥 cos 𝑦 − 2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Sistema
Exata!
Passo 1
Passo 2
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) − 2𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ(𝑥, 𝑦) = න 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) − 2𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→ ൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑓(𝑦)
→
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑓(𝑦)
𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 2cos(𝑥) + 𝑓′(𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦)
→ 𝑓 𝑦 = 0
Função solução
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥)
Solução geral
𝑑Ψ = 0 → Ψ = 𝑐
𝑐 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 𝑐 − 2𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑛 𝑦 =
𝑐 − 2𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑒𝑥
Passo 4
Passo 5
h) 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 3𝑦 𝑑𝑥 − 3𝑥 − 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Teste
ቊ
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 + 3𝑦
𝑁 𝑥, 𝑦 = −3𝑥 + 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦
→
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 3
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑒𝑥 sen 𝑦 − 3
Não é Exata!
Passo 1
i) 𝑦𝑒𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 2𝑒𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥𝑒𝑥 cos 2𝑥 − 3 𝑑𝑦 = 0
Teste
ቊ
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑒𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 2𝑒𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 2𝑥
𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 cos 2𝑥 − 3
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 𝑦𝑥𝑒𝑥𝑦 cos 2𝑥 + 𝑒𝑥𝑦 cos 2𝑥 − 2𝑥𝑒𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 𝑒𝑥 cos 2𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝑥 𝑒𝑥 cos 2𝑥 − 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 2𝑥
não é Exata!
Passo 1
j)
𝑦
𝑥+6𝑥
𝑑𝑥 + ln 𝑥 − 2 𝑑𝑦 = 0
Teste
ቐ
𝑀 𝑥, 𝑦 =
𝑦
𝑥 + 6𝑥
𝑁 𝑥, 𝑦 = ln 𝑥 − 2
→
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
1
𝑥 + 6𝑥
𝜕𝑁
𝜕𝑥
=
1
𝑥
Não é Exata!
Passo 1
k) 𝑥 ln 𝑦 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 ln 𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0
Teste
ቊ
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ln 𝑦 + 𝑥𝑦
𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑦 ln 𝑥 + 𝑥𝑦
→
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝑥
𝑦
+ 𝑥 →
𝑥 + 𝑥𝑦
𝑦
𝜕𝑁
𝜕𝑥
=
𝑦
𝑥
+ 𝑦 →
𝑦 + 𝑥𝑦
𝑥
Não é Exata!
Passo 1
l)
𝑥𝑑𝑥
𝑥2+𝑦2
3
2
= −
𝑦𝑑𝑦
𝑥2+𝑦2
3
2
Organizar
𝑥𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑦2
3
2
= −
𝑦𝑑𝑦
𝑥2 + 𝑦2
3
2
→ 𝑥2 + 𝑦2
3
2𝑥𝑑𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2
3
2𝑦𝑑𝑦 = 0
Teste
൞
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2
3
2𝑥
𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2
3
2𝑦
→
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 3𝑥𝑦 𝑥2 + 𝑦2
1
2
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 3𝑥𝑦 𝑥2 + 𝑦2
1
2
Sistema
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 𝑥2 + 𝑦2
3
2𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ(𝑥, 𝑦) = න 𝑥2 + 𝑦2
3
2𝑥 𝑑𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ 𝑥, 𝑦 =
1
5
𝑥2 + 𝑦2
5
2 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Exata!
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Ψ 𝑥, 𝑦 =
1
5
𝑥2 + 𝑦2
5
2 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
1
5
𝑥2 + 𝑦2
5
2 + 𝑓(𝑦)
→
Ψ 𝑥, 𝑦 =
1
5
𝑥2 + 𝑦2
5
2 + 𝑓(𝑦)
𝑥2 + 𝑦2
3
2𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑦 𝑥2 + 𝑦2
3
2 + 𝑓′(𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦)
→ 𝑓 𝑦 = 0
Função solução
Ψ 𝑥, 𝑦 =
1
5
𝑥2 + 𝑦2
5
2
Solução geral
𝑑Ψ = 0 → Ψ = 𝑐
𝑐 =
1
5
𝑥2 + 𝑦2
5
2
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑘
𝑦 = 𝑘 − 𝑥2
Passo 4
Passo 5
Sumário
a) 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 𝑑𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦 = 0
Fator integrante transformado: 𝜇 𝑥
𝑀 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2
𝜇 𝑥 = 𝑒
׬
𝜕𝑀
𝜕𝑦
−
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑁 = ׬
3𝑥2+2𝑥+3𝑦2−2𝑥
𝑥2+𝑦2
= 3 ׬
𝑥2+𝑦2
𝑥2+𝑦2
= 3 ׬ 𝑑𝑥 = 3𝑥
= 𝑒3𝑥
𝜇 𝑥 = 𝑒3𝑥
Multiplicando fator integrante
3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 𝑒3𝑥𝑑𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑒3𝑥𝑑𝑦 = 0
Sistema
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 𝑒3𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ(𝑥, 𝑦) = න 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 𝑒3𝑥𝑑𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Passo 1
Passo 2
Passo 3
න 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 𝑒3𝑥𝑑𝑥 →
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3
.
6𝑥𝑦 + 2𝑦
∙
4 6𝑦
∙
→
+
∙
→
−
∙
→
+
∙
𝑒3𝑥
3
𝑒3𝑥
9
∙
∙
𝑒3𝑥
27
∙
න 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 𝑒3𝑥𝑑𝑥 =
1
3
3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 𝑒3𝑥 −
1
9
6𝑥𝑦 + 2𝑦 𝑒3𝑥 +
2
9
𝑦𝑒3𝑥
න 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 𝑒3𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑦𝑒3𝑥 +
2
3
𝑥𝑦𝑒3𝑥 +
𝑦3
3
𝑒3𝑥 −
2
3
𝑥𝑦𝑒3𝑥 −
2
9
𝑦𝑒3𝑥 +
2
9
𝑦𝑒3𝑥
න 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦 + 𝑦3 𝑒3𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑦𝑒3𝑥 +
𝑦3
3
𝑒3𝑥 → 𝑥2𝑦 +
𝑦3
3
𝑒3𝑥
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 +
𝑦3
3
𝑒3𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 +
𝑦3
3
𝑒3𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑥2𝑦 +
𝑦3
3
𝑒3𝑥 + 𝑓(𝑦)
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 +
𝑦3
3
𝑒3𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝑥2 + 𝑦2 𝑒3𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑥2 + 𝑦2 𝑒3𝑥 + 𝑓′(𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦)
→ 𝑓 𝑦 = 0
Função solução
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 +
𝑦3
3
𝑒3𝑥
Passo 4
Solução geral
𝑑Ψ = 0 → Ψ = 𝑐
c = 𝑥2𝑦 +
𝑦3
3
𝑒3𝑥
𝑦3𝑒3𝑥
3
= 𝑐 − 𝑥2𝑦𝑒3𝑥
𝑦 =
3𝑐
𝑒𝑥
− 3𝑥2𝑦
Passo 5
b) 𝑦′ = 𝑒2𝑥 + 𝑦 − 1
Organizar
𝑦′ = 𝑒2𝑥 + 𝑦 − 1 → 𝑦′ − 𝑦 = 𝑒2𝑥 − 1
Fator integrante
𝜇 𝑥 = 𝑒׬ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = ׬ −1𝑑𝑥 = −𝑥 = 𝑒−𝑥
Multiplicar o fator integrante
𝑒−𝑥𝑦′ + (−𝑒−𝑥)𝑦 = 𝑒2 − 𝑒−𝑥
Simplificar
𝑒−𝑥𝑦′ + (−𝑒−𝑥)𝑦 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦′𝑒−𝑥 + (−𝑒−𝑥)𝑦
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑥
[𝑦𝑒−𝑥]
𝑑
𝑑𝑥
𝑦𝑒−𝑥 = 𝑒2 − 𝑒−𝑥 → 𝑦𝑒−𝑥 = න𝑒2 𝑑𝑥 − න𝑒−𝑥 𝑑𝑥
Integrar
න𝑒2𝑑𝑥 = 𝑒2𝑥
−න𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
𝑦𝑒−𝑥 = 𝑒2𝑥 + 𝑒−𝑥 + 𝑐
Solução geral
𝑦 = 𝑒𝑥+2𝑥 + 1 + 𝑐
Passo 6
c) 𝑑𝑥 +
𝑥
𝑦
− 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Fator integrante transformado: 𝜇 𝑦
𝑀 𝑥, 𝑦 = 1 𝑁 𝑥, 𝑦 =
𝑥
𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝜇 𝑦 = 𝑒
׬
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑀 = ׬
1
𝑦 = ln 𝑦 = 𝑒ln 𝑦 = 𝑦
Multiplicando fator integrante
𝑦𝑑𝑥 + 𝑦
𝑥
𝑦
− 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 = 0 → 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥 − 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Sistema
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ(𝑥, 𝑦) = න𝑦𝑑𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→ ൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Passo 1
Passo 2
Passo 3
൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦)
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝑥 − 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑥 + 𝑓′(𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦)
→ 𝑓′ 𝑦 = −𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑦)
Integrar função desconhecida
−න𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑦 →
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣
𝑦 →
+
−𝑐𝑜𝑠(𝑦)
1 →
−
−sen(𝑦)
→ 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦
Função solução
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑥 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦
Passo 4
Passo 5
Solução geral
𝑑Ψ = 0 → Ψ = 𝑐
c = 𝑦𝑥 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝑦𝑥 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 𝑐 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦
Passo 5
d) 𝑦𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 − 𝑒−2𝑦 𝑑𝑦 = 0
Fator integrante transformado: 𝜇 𝑦
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑦 𝑁 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 − 𝑒−2𝑦
𝜇 𝑦 = 𝑒
׬
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑀 = ׬
2𝑦−1
𝑦 =− ׬
𝑑𝑦
𝑦 +׬ 2𝑑𝑦 =− ln 𝑦 +2𝑦 = 𝑒
ln
1
𝑦 𝑒2𝑦
𝜇 𝑦 =
𝑒2𝑦
𝑦
Multiplicando fator integrante
𝑒2𝑦
𝑦
𝑦𝑑𝑥 +
𝑒2𝑦
𝑦
2𝑥𝑦 − 𝑒−2𝑦 𝑑𝑦 = 0 → 𝑒2𝑦𝑑𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑦 −
1
𝑦
𝑑𝑦 = 0
Sistema
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 𝑒2𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ(𝑥, 𝑦) = න𝑒2𝑦𝑑𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→ ൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒2𝑦𝑥 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Passo 1
Passo 2
Passo 3
൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒2𝑦𝑥 + 𝑓 𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→ ൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒2𝑦𝑥 + 𝑓 𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑒2𝑦𝑥 + 𝑓 𝑦
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒2𝑦𝑥 + 𝑓 𝑦
2𝑥𝑒2𝑦 −
1
𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 2𝑒2𝑦𝑥 + 𝑓′(𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦)
→൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒2𝑦𝑥 + 𝑓 𝑦
𝑓′ 𝑦 = −
1
𝑦
→ 𝑓 𝑦 = − ln 𝑦
Função solução
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒2𝑦𝑥 − ln 𝑦
Solução geral
𝑑Ψ = 0 → Ψ = 𝑐
c = 𝑒2𝑦𝑥 − ln 𝑦
ln 𝑦 = 𝑒2𝑦𝑥 − 𝑐
Passo 4
Passo 5
e) 𝑒𝑥𝑑𝑥 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑦 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑦) 𝑑𝑦 = 0
Fator integrante transformado: 𝜇 𝑦
𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑦 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑦
𝜇 𝑦 = 𝑒
׬
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑀 = ׬
𝑒𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑦
𝑒𝑥
= ׬ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑦 = ׬
cos 𝑦
𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝑑𝑦 → ቊ
𝑢 =𝑠𝑒𝑛(𝑦)
𝑑𝑢 =cos 𝑦 𝑑𝑦
= ln 𝑠𝑒𝑛 𝑦
= 𝑒ln 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝜇 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑦
Multiplicar fator integrante
𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑦 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑦) 𝑑𝑦 = 0
𝑒𝑥 sen 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0
Sistema
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ(𝑥, 𝑦) = න𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→ ൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Passo 1
Passo 2
Passo 3
൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 𝑓 𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→ ൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 𝑓 𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 𝑓 𝑦
൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 𝑓 𝑦
𝑒𝑥 cos 𝑦 + 2𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑒𝑥 cos 𝑦 + 𝑓′(𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦)
→൝
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 𝑓 𝑦
𝑓′ 𝑦 = 2𝑦 → 𝑓 𝑦 = 𝑦2
Função solução
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 𝑦2
Solução geral
𝑑Ψ = 0 → Ψ = 𝑐
c = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 𝑦2
Passo 4
Passo 5
f) 4
𝑥3
𝑦2
+
3
𝑦
𝑑𝑥 + 3
𝑥
𝑦2
+ 4𝑦 𝑑𝑦 = 0
Fator integrante transformado: 𝜇 𝑦
𝑀 𝑥, 𝑦 = 4
𝑥3
𝑦2
+
3
𝑦 𝑁 𝑥, 𝑦 = 3
𝑥
𝑦2
+ 4𝑦
𝜇 𝑦 = 𝑒
׬
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑀 = ׬
3
𝑦2
+
8𝑥3
𝑦3
+
3
𝑦2
4𝑥3
𝑦2
+
3
𝑦
=׬
8𝑥3
𝑦3
+
6
𝑦2
4𝑥3
𝑦2
+
3
𝑦
= ׬
8𝑥3+6𝑦
𝑦3
4𝑥3+3𝑦
𝑦2
= ׬
8𝑥3+6𝑦
𝑦3
.
𝑦2
4𝑥3+3𝑦
=׬
2 4𝑥3+3𝑦
𝑦 4𝑥3+3𝑦
=2 ln 𝑦
𝜇 𝑦 = 𝑒ln 𝑦
2
= 𝑦2
Multiplicar o fator integrante
𝑦2 4
𝑥3
𝑦2
+
3
𝑦
𝑑𝑥 + 𝑦2 3
𝑥
𝑦2
+ 4𝑦 𝑑𝑦 = 0 → 4𝑥3 + 3𝑦 𝑑𝑥 + 3𝑥 + 4𝑦3 𝑑𝑦 = 0
Passo 1
Passo 2
Sistema
𝜕Ψ
𝜕𝑥
= 4𝑥3 + 3𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→
Ψ(𝑥, 𝑦) = න(4𝑥3 + 3𝑦)𝑑𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
→ ൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥4 + 3𝑥𝑦 + 𝑓(𝑦)
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥4 + 3𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦
𝜕Ψ
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑥4 + 3𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦
൞
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥4 + 3𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦
3𝑥 + 4𝑦3
𝜕Ψ
𝜕𝑦
= 3𝑥 + 𝑓′(𝑦)
𝑁(𝑥,𝑦)
→൝
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥4 + 3𝑥𝑦 + 𝑓 𝑦
𝑓′ 𝑦 = 4𝑦3 → 𝑓 𝑦 = 𝑦4
Passo 3
Função solução
Ψ 𝑥, 𝑦 = 𝑥4 + 3𝑥𝑦 + 𝑦4
Solução geral
𝑑Ψ = 0 → Ψ = 𝑐
c = 𝑥4 + 3𝑥𝑦 + 𝑦4
𝑦4 + 3𝑥𝑦 = 𝑐 − 𝑥4
Passo 4
Passo 5
Sumário
Nesta questão, um pouco mais para o final, a coisa começa a complicar então há 
integrais de chumbo grosso que não dá para mostrar o passo a passo.
a)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥+𝑦
𝑥
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
𝑡𝑥 + 𝑡𝑦
𝑡𝑥
→
𝑡 𝑥 + 𝑦
𝑡𝑥
→
𝑥 + 𝑦
𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
𝑥 + 𝑢𝑥
𝑥
→
𝑥 1 + 𝑢
𝑥
→ 1 + 𝑢
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1 + 𝑢 − 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න𝑑𝑢 = න
𝑑𝑥
𝑥
→ 𝑢 = ln 𝑥𝑐
Solução geral
𝑦
𝑥
= ln 𝑥𝑐 → 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥𝑐
Passo 4
Passo 5
Passo 6
b) 2𝑦𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑦
𝑥
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
2𝑡𝑦
𝑡𝑥
→
2𝑡𝑦
𝑡𝑥
→
2𝑦
𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
2𝑢𝑥
𝑥
→
2𝑢𝑥𝑥
→ 2𝑢
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑢 − 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑢
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
𝑑𝑢
𝑢
=
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න
𝑑𝑢
𝑢
= න
𝑑𝑥
𝑥
→ ln 𝑢 = ln 𝑥𝑐 → 𝑢 = 𝑥𝑐
Solução geral
𝑦
𝑥
= 𝑥𝑐 → 𝑦 = 𝑥2𝑐
Passo 4
Passo 5
Passo 6
c)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2
𝑥2
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
𝑡2𝑥2 + 𝑡2𝑥𝑦 + 𝑡2𝑦2
𝑡2𝑥2
→
𝑡2(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2)
𝑡2𝑥2
→
𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2
𝑥2
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
𝑥2 + 𝑥2𝑢 + 𝑢2𝑥2
𝑥2
→
𝑥2 1 + 𝑢 + 𝑢2
𝑥2
→ 1 + 𝑢 + 𝑢2
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1 + 𝑢 + 𝑢2 − 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1 + 𝑢2
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
𝑑𝑢
1 + 𝑢2
=
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න
𝑑𝑢
1 + 𝑢2
= න
𝑑𝑥
𝑥
→ 𝑡𝑎𝑛−1(𝑢) = ln 𝑥𝑐
Solução geral
𝑡𝑎𝑛−1
𝑦
𝑥
= ln 𝑥𝑐 → 𝑡𝑔 𝑡𝑎𝑛−1
𝑦
𝑥
= 𝑡𝑔 ln 𝑥𝑐 →
𝑦
𝑥
= 𝑡𝑔 ln 𝑥𝑐
𝑦 = 𝑥𝑡𝑔 ln 𝑥𝑐
Passo 4
Passo 5
Passo 6
d)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2+3𝑦2
2𝑥𝑦
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
𝑡2𝑥2 + 3𝑡2𝑦2
2𝑡2𝑥𝑦
→
𝑡2 𝑥2 + 3𝑦2
2𝑡2𝑥𝑦
→
𝑥2 + 3𝑦2
2𝑥𝑦
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
𝑥2 + 3𝑢2𝑥2
2𝑥2𝑢
→
𝑥2 1 + 3𝑢2
𝑥2
→ 1 + 3𝑢2
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1 + 3𝑢2 − 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1 + 3𝑢2 − 𝑢
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
𝑑𝑢
1 + 3𝑢2 − 𝑢
=
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න
𝑑𝑢
1 + 3𝑢2 − 𝑢
= න
𝑑𝑥
𝑥
→ ln 𝑥𝑐 =
2𝑡𝑎𝑛−1
6𝑢 − 1
11
11
Solução geral
ln 𝑥𝑐 =
2𝑡𝑎𝑛−1
6𝑦 − 1
𝑥 11
11
→ 2𝑡𝑎𝑛−1
6𝑦 − 1
𝑥 11
= ln |𝑥𝑐| 11
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Resolução muito longa
e)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4𝑦−3𝑥
2𝑥−𝑦
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
4𝑡𝑦 − 3𝑡𝑥
2𝑡𝑥 − 𝑡𝑦
→
𝑡 4𝑦 − 3𝑥
𝑡(2𝑥 − 𝑦)
→
4𝑦 − 3𝑥
2𝑥 − 𝑦
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
4𝑢𝑥 − 3𝑥
2𝑥 − 𝑢𝑥
→
𝑥 4𝑢 + 3
𝑥(2 − 𝑢)
→
4𝑢 + 3
2 − 𝑢
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
4𝑢 + 3
2 − 𝑢
− 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
4𝑢 + 3
2 − 𝑢 − 𝑢
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
(2 − 𝑢)𝑑𝑢
2𝑢 + 3 − 𝑢2
=
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න
(2 − 𝑢)𝑑𝑢
−𝑢 − 1 𝑢 − 3
= න
𝑑𝑥
𝑥
න
(2 − 𝑢)𝑑𝑢
−𝑢 − 1 𝑢 − 3
→
𝐴
−𝑢 − 1
+
𝐵
𝑢 − 3
→ 2 − 𝑢 = 𝐴 𝑢 − 3 + 𝐵 −𝑢 − 1
ቊ
𝑢 = −1; 3 = −4𝐵
𝑢 = 3;−1 = −4𝐴
𝐵 = −
3
4 𝐴 =
1
4 → න
−
3
4
−𝑢 − 1
+
1
4
𝑢 − 3
𝑑𝑢 =
3
4
ln −𝑢 − 1 +
1
4
ln 𝑢 − 3
න
𝑑𝑥
𝑥
= ln 𝑥𝑐
Passo 4
Passo 5
Solução geral
3
4
ln −𝑢 − 1 +
1
4
ln 𝑢 − 3 = ln 𝑥𝑐
3
4
ln −𝑢 − 1 +
1
4
ln 𝑢 − 3 − ln 𝑥𝑐 = 0
ln
−𝑢 − 1
3
4 𝑢 − 3
1
4
𝑥𝑐
= 0
−
𝑦
𝑥 − 1
3
4 𝑦
𝑥 − 3
1
4
𝑥𝑐
= 0
Passo 6
f)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
4𝑥+3𝑦
2𝑥+𝑦
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = −
4𝑡𝑥 + 3𝑡𝑦
2𝑡𝑥 + 𝑡𝑦
→ −
𝑡 4𝑥 + 3𝑦
𝑡(2𝑥 + 𝑦)
→ −
4𝑥 + 3𝑦
2𝑥 + 𝑦
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = −
4𝑥 + 3𝑢𝑥
2𝑥 + 𝑢𝑥
→ −
𝑥 4 + 3𝑢
𝑥 2 + 𝑢
→ −
4 + 3𝑢
2 + 𝑢
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −
4 + 3𝑢
2 + 𝑢
− 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
−
4 + 3𝑢
2 + 𝑢 − 𝑢
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
(2 + 𝑢)𝑑𝑢
4 + 5𝑢 + 𝑢2
= −
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න
(2 + 𝑢)𝑑𝑢
𝑢 + 1 𝑢 + 4
= −න
𝑑𝑥
𝑥
න
(2 + 𝑢)𝑑𝑢
𝑢 + 1 𝑢 + 4
→
𝐴
𝑢 + 1
+
𝐵
𝑢 + 4
→ 𝑢 + 2 = 𝐴 𝑢 + 4 + 𝐵 𝑢 + 1 → ቊ
𝑢 = −4;−2 = −3𝐵
𝑢 = −1; 1 = 3𝐴
𝐵 =
2
3 𝐴 =
1
3 → න
1
3
𝑢 + 1
+
2
3
𝑢 + 4
𝑑𝑢 =
1
3
ln 𝑢 + 1 +
2
3
ln 𝑢 + 4
−න
𝑑𝑥
𝑥
= − ln 𝑐𝑥
Solução geral
1
3
ln
𝑦
𝑥
+ 1 +
2
3
ln
𝑦
𝑥
+ 4 = − ln 𝑐𝑥 → ln 𝑢 + 1
1
3 𝑢 + 4
2
3 𝑐𝑥 = 0
Passo 4
Passo 5
Passo 6
g)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥+3𝑦
𝑥−𝑦
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
𝑡𝑥 + 3𝑡𝑦
𝑡𝑥 − 𝑡𝑦
→ −
𝑡 𝑥 + 3𝑦
𝑡(𝑥 − 𝑦)
→
𝑥 + 3𝑦
𝑥 − 𝑦
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
𝑥 + 3𝑢𝑥
𝑥 − 𝑢𝑥
→ −
𝑥 1 + 3𝑢
𝑥 1 − 𝑢
→
1 + 3𝑢
1 − 𝑢
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1 + 3𝑢
1 − 𝑢
− 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1 + 3𝑢
1 − 𝑢 − 𝑢
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
(1 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑢2 + 2𝑢 + 1
=
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න
(1 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑢 + 1 2
= න
𝑑𝑥
𝑥
න
(1 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑢 + 1 2
→
𝐴
𝑢 + 1 2
+
𝐵
𝑢 + 1
→ න
2
𝑢 + 1 2
−
1
𝑢 + 1
𝑑𝑢
2න
𝑑𝑢
𝑢 + 1 2
−න
𝑑𝑢
𝑢 + 1
→ 𝑢, 𝑑𝑢 → −
𝑢 + 1 ln 𝑢 + 1 + 2
𝑢 + 1
න
𝑑𝑥
𝑥
= ln 𝑥
Solução geral
−
𝑢 + 1 ln 𝑢 + 1 + 2
𝑢 + 1
= ln 𝑥𝑐 →
𝑥
𝑦
𝑥 + 1 ln
𝑦
𝑥 + 1 + 2
𝑦 + 1
= ln 𝑥𝑐
Passo 4
Passo 5
Passo 6
h) (𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦2)𝑑𝑥 − 𝑥2𝑑𝑦 = 0 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2+3𝑥𝑦+𝑦2
𝑥2
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
𝑡2𝑥2 + 3𝑡2𝑥𝑦 + 𝑡2𝑦2
𝑡2𝑥2
→
𝑡2(𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦2)
𝑡2𝑥2
→
𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦2
𝑥2
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
𝑥2 + 3𝑢𝑥2 + 𝑢2𝑥2
𝑥2
→
𝑥2 1 + 3𝑢 + 𝑢2
𝑥2
→ 1 + 3𝑢 + 𝑢2
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1 + 3𝑢 + 𝑢2 − 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1 + 2𝑢 + 𝑢2
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
𝑑𝑢
1 + 2𝑢 + 𝑢2
=
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න
𝑑𝑢
𝑢 + 1 2
= න
𝑑𝑥
𝑥
න
𝑑𝑢
𝑢 + 1 2
→ 𝑠 = 𝑢 + 1 𝑑𝑠 = 𝑑𝑢 → න−
𝑑𝑠
𝑠2
= −
1
𝑠2
→ −
1
𝑢 + 1
ln 𝑥𝑐 = −
1
𝑢 + 1
Solução geral
ln 𝑥𝑐 = −
1
𝑢 + 1
→ ln 𝑥𝑐 = −
𝑥
𝑦 + 1
→ 𝑦 = −
𝑥
ln 𝑥𝑐
− 1
Passo 4
Passo 5
Passo 6
i)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4𝑥2𝑦−𝑦3
𝑥3−2𝑥𝑦2
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
4𝑡3𝑥2𝑦 − 𝑡3𝑦3
𝑡3𝑥3 − 2𝑡3𝑥𝑦2
→
𝑡3(4𝑥2𝑦 − 𝑦3)
𝑡3 𝑥3 − 2𝑥𝑦2
→
4𝑥2𝑦 − 𝑦3
𝑥3 − 2𝑥𝑦2
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
4𝑥3𝑢 − 𝑥3𝑢3
𝑥3 − 2𝑥3𝑢2
→ −
𝑥3 4𝑢 − 𝑢3
𝑥3 1 − 2𝑢2
→
4𝑢 + 𝑢3
1 − 2𝑢2
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
4𝑢 + 𝑢3
1 − 2𝑢2
− 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
4𝑢 + 𝑢3
1 − 2𝑢2
− 𝑢
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
(1 − 2𝑢2)𝑑𝑢
𝑢 𝑢 + 3 𝑢 − 1
=
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න
(1 − 2𝑢2)𝑑𝑢
𝑢 𝑢 + 3 𝑢 − 1
= න
𝑑𝑥
𝑥
න
(1 − 2𝑢2)𝑑𝑢
𝑢 𝑢 + 3 𝑢 − 1
→
𝐴
𝑢 + 3
+
𝐵
𝑢 − 1
+
𝐶
𝑢
→ න −
1
3𝑢
−
17
12 𝑢 + 3
−
1
4 𝑢 − 1
𝑑𝑢
න
𝑑𝑥
𝑥
= ln 𝑥𝑐
Passo 4
Passo 5
−
1
3
න
𝑑𝑢
𝑢
−
17
12
න
𝑑𝑢
𝑢 + 3
−
1
4
න
𝑑𝑢
𝑢 − 1
→ 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜 𝑢, 𝑑𝑢 → −
1
4
ln 𝑢 − 1 −
ln 𝑢
3
−
17
12
ln 𝑢 + 3
Solução geral
−
1
4
ln 𝑢 − 1 −
ln 𝑢
3
−
17
12
ln 𝑢 + 3 = ln 𝑥𝑐
−
14
ln
𝑦
𝑥
− 1 −
ln
𝑦
𝑥
3
−
17
12
ln
𝑦
𝑥
+ 3 = ln 𝑥𝑐
ln
𝑦
𝑥
− 1
−
1
4 𝑦
𝑥
−
1
3 𝑦
𝑥
+ 3
−
17
12
= ln 𝑥𝑐
𝑦
𝑥
− 1
−
1
4 𝑦
𝑥
−
1
3 𝑦
𝑥
+ 3
−
17
12
= 𝑥𝑐
Passo 6
j)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦4+2𝑥𝑦3−3𝑥2𝑦2−2𝑥3𝑦
2𝑥2𝑦2−2𝑥3𝑦−2𝑥4
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
𝑡4𝑦4 + 2𝑡4𝑥𝑦3 − 3𝑡4𝑥2𝑦2 − 2𝑡4𝑥3𝑦
2𝑡4𝑥2𝑦2 − 2𝑡4𝑥3𝑦 − 2𝑡4𝑥4
→
𝑡4(𝑦4 + 2𝑥𝑦3 − 3𝑥2𝑦2 − 2𝑥3𝑦)
𝑡4 2𝑥2𝑦2 − 2𝑥3𝑦 − 2𝑥4
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
𝑢4𝑥4 + 2𝑥4𝑢3 − 3𝑥4𝑢2 − 2𝑥4𝑢
2𝑥4𝑢2 − 2𝑥4𝑢 − 2𝑥4
→ −
𝑥4 𝑢4 + 2𝑢3 − 3𝑢2 − 2𝑢
𝑥4 2𝑢2 − 2𝑢 − 2
→
𝑢4 + 2𝑢3 − 3𝑢2 − 2𝑢
2𝑢2 − 2𝑢 − 2
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑢4 + 2𝑢3 − 3𝑢2 − 2𝑢
2𝑢2 − 2𝑢 − 2
− 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑢4 + 2𝑢3 − 3𝑢2 − 2𝑢
2𝑢2 − 2𝑢 − 2
− 𝑢
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
𝑢2(𝑢2 + 1)𝑑𝑢
2 𝑢2 − 𝑢 − 1
=
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න
𝑢2(𝑢2 + 1)𝑑𝑢
2 𝑢 − 1 𝑢 − 1
= න
𝑑𝑥
𝑥
න
(1 − 2𝑢2)𝑑𝑢
𝑢 𝑢 + 3 𝑢 − 1
=
𝑢3
6
+
𝑢2
4
+
3
4
ln 2𝑢2 − 2𝑢 − 1 +
5𝑢
4
−
11𝑡𝑎𝑛ℎ−1
2𝑢 − 1
3
4 3
න
𝑑𝑥
𝑥
= ln 𝑥𝑐
Solução geral
𝑢3
6
+
𝑢2
4
+
3
4
ln 2𝑢2 − 2𝑢 − 1 +
5𝑢
4
−
11𝑡𝑎𝑛ℎ−1
2𝑢 − 1
3
4 3
= ln 𝑥𝑐
𝑦3
𝑥36
+
𝑦2
𝑥24
+
3
4
ln 2
𝑦
𝑥
2
−
2𝑦
𝑥
− 1 +
5𝑦
4𝑥
−
11𝑡𝑎𝑛ℎ−1
2𝑦
𝑥 − 1
3
4 3
= ln 𝑥𝑐
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Resolução muito longa
k)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥2−3𝑦2
2𝑥𝑦
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
𝑡2𝑥2 − 3𝑡2𝑦2
2𝑡2𝑥𝑦
→
𝑡2 𝑥2 − 3𝑦2
𝑡2(2𝑥𝑦)
→
𝑥2 − 3𝑦2
2𝑥𝑦
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
𝑥2 − 3𝑥2𝑢2
2𝑥2𝑢
→
𝑥2 1 − 3𝑢2
𝑥2(2𝑢)
→
1 − 3𝑢2
2𝑢
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1 − 3𝑢2
2𝑢
− 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1 − 3𝑢2
2𝑢 − 𝑢
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
2𝑢𝑑𝑢
1 − 5𝑢2
=
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න
2𝑢𝑑𝑢
1 − 5𝑢2
= න
𝑑𝑥
𝑥
න
2𝑢𝑑𝑢
1 − 5𝑢2
→ 𝑠 = 1 − 5𝑢2 𝑑𝑠 = −10𝑢𝑑𝑢 → −
1
5
න
𝑑𝑠
𝑠
= −
1
5
ln 1 − 5𝑢2
න
𝑑𝑥
𝑥
= ln 𝑥𝑐
Solução geral
−
1
5
ln 1 − 5𝑢2 = ln 𝑥𝑐 → 1 − 5𝑢2 −
1
5 = 𝑥𝑐 → 1 −
5𝑦2
𝑥2
−
1
5
= 𝑥𝑐
Passo 4
Passo 5
Passo 6
l)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥𝑦
𝑥2−3𝑦2
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
2𝑡2𝑥𝑦
𝑡2𝑥2 − 3𝑡2𝑦2
→
𝑡2(2𝑥𝑦)
𝑡2 𝑥2 − 3𝑦2
→
2𝑥𝑦
𝑥2 − 3𝑦2
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
2𝑥2𝑢
𝑥2 − 3𝑥2𝑢2
→
𝑥2(2𝑢)
𝑥2 1 − 3𝑢2
→
2𝑢
1 − 3𝑢2
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
2𝑢
1 − 3𝑢2
− 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
2𝑢
1 − 3𝑢2
− 𝑢
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
(1 − 3𝑢2)𝑑𝑢
𝑢 + 3𝑢3
=
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න
1 − 3𝑢2𝑑𝑢
𝑢 1 + 3𝑢2
= න
𝑑𝑥
𝑥
1
2
න
𝑑𝑠
𝑠
− 3න
𝑑𝑠
3𝑠 + 1
→ 𝑟 = 3𝑠 + 1 𝑑𝑟 = 3𝑑𝑠
1
2
ln 𝑠 − ln 𝑟 →
1
2
ln 𝑢2 − ln 3𝑠 + 1 →
1
2
ln 𝑢2 − ln 3𝑢2 + 1
න
𝑑𝑥
𝑥
= ln 𝑥𝑐
Passo 4
Passo 5
න
1 − 3𝑢2𝑑𝑢
𝑢 1 + 3𝑢2
→ 𝑠 = 𝑢2 𝑑𝑠 = 2𝑢𝑑𝑢 →
1
2
න
1 − 3𝑠
𝑠 1 + 3𝑠
𝑑𝑢 →
𝐴
𝑠
+
𝐵
3𝑠 + 1
→
1
2
න
1
𝑠
−
6
3𝑠 + 1
𝑑𝑠
Solução geral
1
2
ln 𝑢2 − ln 3𝑢2 + 1 = ln 𝑥𝑐
𝑢
3𝑢2 + 1
= 𝑥𝑐 →
𝑦
𝑥 3
𝑦
𝑥
2
+ 1
= 𝑥𝑐
Passo 6
m)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑦2−𝑥2
2𝑥𝑦
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
3𝑡2𝑦2 − 𝑡2𝑥2
2𝑡2𝑥𝑦
→
𝑡2 3𝑦2 − 𝑥2
𝑡2(2𝑥𝑦)
→
3𝑦2 − 𝑥2
2𝑥𝑦
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
3𝑥2𝑢2 − 𝑥2
2𝑥2𝑢
→
𝑥2 3𝑢2 − 1
𝑥2(2𝑢)
→
3𝑢2 − 1
2𝑢
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
3𝑢2 − 1
2𝑢
− 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
3𝑢2 − 1
2𝑢 − 𝑢
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
2𝑢𝑑𝑢
𝑢2 − 1
=
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න
2𝑢𝑑𝑢
𝑢2 − 1
= න
𝑑𝑥
𝑥
න
2𝑢𝑑𝑢
𝑢2 − 1
→ 𝑠 = 𝑢2 − 1 𝑑𝑠 = 2𝑢𝑑𝑢 → න
𝑑𝑠
𝑠
= ln 𝑢2 − 1
න
𝑑𝑥
𝑥
= ln 𝑥𝑐
Solução geral
ln 𝑢2 − 1 = ln 𝑥𝑐 → 𝑢2 − 1 = 𝑥𝑐 → 𝑦 = 𝑥3𝑐 + 𝑥2
Passo 4
Passo 5
Passo 6
n)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥𝑦
3𝑦2−𝑥2
Teste de homogeneidade
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
2𝑡2𝑥𝑦
3𝑡2𝑦2 − 𝑡2𝑥2
→
𝑡2(2𝑥𝑦)
𝑡2 3𝑦2 − 𝑥2
→
2𝑥𝑦
3𝑦2 − 𝑥2
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
2𝑥2𝑢
3𝑥2𝑢2 − 𝑥2
→
𝑥2(2𝑢)
𝑥2 3𝑢2 − 1
→
2𝑢
3𝑢2 − 1
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
2𝑢
3𝑢2 − 1
− 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
2𝑢
3𝑢2 − 1
− 𝑢
𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Variáveis separáveis
(3𝑢2 − 1)𝑑𝑢
3𝑢 − 3𝑢3
=
𝑑𝑥
𝑥
Integrar
න
(3𝑢2 − 1)𝑑𝑢
𝑢(3 − 3𝑢2)
= න
𝑑𝑥
𝑥
1
6
න
𝑑𝑠
𝑠
+
1
3
න
𝑑𝑠
𝑠 − 1
→ 𝑟 = 𝑠 − 1 𝑑𝑟 = 𝑑𝑠
1
6
ln 𝑠 +
1
3
ln 𝑟 →
1
6
ln 𝑢2 +
1
3
ln 𝑠 − 1 →
1
6
ln 𝑢2 +
1
3
ln 𝑢2 − 1
න
𝑑𝑥
𝑥
= ln 𝑥𝑐
Passo 4
Passo 5
න
(3𝑢2 − 1)𝑑𝑢
3𝑢(1 − 𝑢2)
→ 𝑠 = 𝑢2 𝑑𝑠 = 2𝑢𝑑𝑢 → −
1
6
න
1 − 3𝑠
𝑠 𝑠 − 1
𝑑𝑢 →
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 − 1
→ −
1
6
න −
1
𝑠
−
2
𝑠 − 1
𝑑𝑠
Solução geral
1
6
ln 𝑢2 +
1
3
ln 𝑢2 − 1 = ln 𝑥𝑐
𝑢
2
6 𝑢2 − 1
1
3 = 𝑥𝑐 →
𝑦
𝑥
2
6 𝑦2
𝑥2
− 1
1
3
= 𝑥𝑐
Passo 6
Helder Guerreiro