EDO – Lista 5

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Sumário
a) 𝑦′′ + 2𝑦′ − 3𝑦 = 0
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 2𝜆𝑒𝜆𝑡 − 3𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 2𝜆 − 3 = 0
𝜆2 + 2𝜆 − 3 = 0
Raízes da equação
𝜆2 + 2𝜆 − 3 = 0 → 𝜆2 + ณ2
𝑆
𝜆 − ณ3
𝑃
= 0 → 𝜆 + 3 𝜆 − 1 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒
−3𝑡 + 𝑘2𝑒
𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
b) 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 0
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 3𝜆𝑒𝜆𝑡 + 2𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 3𝜆 + 2 = 0
𝜆2 + 3𝜆 + 2 = 0
Raízes da equação
𝜆2 + 3𝜆 + 2 = 0 → 𝜆2 + ณ3
𝑆
𝜆 + ณ2
𝑃
= 0 → 𝜆 + 2 𝜆 + 1 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒
−2𝑡 + 𝑘2𝑒
−𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
c) 6𝑦′′ − 𝑦′ − 𝑦 = 0
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
6𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 𝜆𝑒𝜆𝑡 − 𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 6𝜆2 − 𝜆 − 1 = 0
6𝜆2 − 𝜆 − 1 = 0
Raízes da equação
6𝜆2 − 𝜆 − 1 = 0 → 𝑥 =
1 ± −12 + 4 6
2 6
→ 𝜆 +
1
2
𝜆 −
1
3
= 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒
−
1
2𝑡 + 𝑘2𝑒
1
3𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
d) 2𝑦′′ − 3𝑦′ + 𝑦 = 0
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
2𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 3𝜆𝑒𝜆𝑡 + 𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 2𝜆2 − 3𝜆 + 1 = 0
2𝜆2 − 3𝜆 + 1 = 0
Raízes da equação
2𝜆2 − 3𝜆 + 1 = 0 → 𝑥 =
3 ± −32 − 4 2
2 2
→ 𝜆 − 1 𝜆 −
1
2
= 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒
𝑡 + 𝑘2𝑒
1
2𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
e) 𝑦′′ + 5𝑦′ = 0
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 5𝜆𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 5𝜆 = 0
𝜆2 + 5𝜆 = 0
Raízes da equação
𝜆2 + 5𝜆 = 0 → 𝜆 𝜆 + 5 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒
−5𝑡 + 𝑘2
Passo 1
Passo 2
Passo 3
f) 4𝑦′′ − 9𝑦′ = 0
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
4𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 9𝜆𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 4𝜆2 − 9𝜆 = 0
4𝜆2 − 9𝜆 = 0
Raízes da equação
4𝜆2 − 9𝜆 = 0 → 𝜆 4𝜆 − 9 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒
9
4𝑡 + 𝑘2
Passo 1
Passo 2
Passo 3
g) 𝑦′′ − 9𝑦′ + 9𝑦 = 0
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 9𝜆𝑒𝜆𝑡 − 9𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 𝜆2 − 9𝜆 − 9 = 0
𝜆2 − 9𝜆 − 9 = 0
Raízes da equação
𝜆2 − 9𝜆 − 9 = 0 → 𝑥 =
9 ± −92 + 4 9
2
→ 𝜆 +
9 + 3 13
2
𝜆 +
9 − 3 13
2
= 0
𝑦 = 𝑘1𝑒
9−3 13
2 𝑡 + 𝑘2𝑒
9+3 13
2 𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
h) 𝑦′′ − 2𝑦′ − 2𝑦 = 0
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 2𝜆𝑒𝜆𝑡 − 2𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 𝜆2 − 2𝜆 − 2 = 0
𝜆2 − 2𝜆 − 2 = 0
Raízes da equação
𝜆2 − 2𝜆 − 2 = 0 → 𝑥 =
2 ± −22 + 4 2
2
→ 𝜆 − 1 − 3 𝜆 − 1 + 3 = 0
𝑦 = 𝑘1𝑒
1+ 3 𝑡 + 𝑘2𝑒
1− 3 𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Sumário
a) 𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 0, 𝑦 0 = 1 , 𝑦′ 0 = 1
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 𝜆𝑒𝜆𝑡 − 2𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 𝜆2 − 𝜆 − 2 = 0
𝜆2 − 𝜆 − 2 = 0
Raízes da equação
𝜆2 − 𝜆 − 2 = 0 → 𝜆2 − ณ1
𝑆
𝜆 − ณ2
𝑃
= 0 → 𝜆 + 1 𝜆 − 2 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒
−𝑡 + 𝑘2𝑒
2𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Aplicar dados
ቊ
𝑦 0 = 1
𝑦′ 0 = 1
𝑦 = 𝑘1𝑒
−𝑡 + 𝑘2𝑒
2𝑡 → 𝑦′ = −𝑘1𝑒
−𝑡 + 2𝑘2𝑒
2𝑡
1 = 𝑘1 + 𝑘2 → 1 = −𝑘1 + 2𝑘2
Sistema
ቊ
𝑘1 + 𝑘2 = 1
−𝑘1 + 2𝑘2 = 1
→ 𝑘1 =
1
3 𝑘2 =
2
3
Solução particular
𝑦 =
1
3
𝑒−𝑡 +
2
3
𝑒2𝑡
Passo 4
Passo 5
Passo 6
b) 𝑦′′ + 4𝑦′ + 3𝑦 = 0, 𝑦 0 = 2 , 𝑦′ 0 = −1
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 4𝑒𝜆𝑡 + 3𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 4𝜆 + 3 = 0
𝜆2 + 4𝜆 + 3 = 0
Raízes da equação
𝜆2 + 4𝜆 + 3 = 0 → 𝜆2 + ณ4
𝑆
𝜆 + ณ3
𝑃
= 0 → 𝜆 + 1 𝜆 + 3 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒
−𝑡 + 𝑘2𝑒
−3𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Aplicar dados
ቊ
𝑦 0 = 2
𝑦′ 0 = −1
𝑦 = 𝑘1𝑒
−𝑡 + 𝑘2𝑒
−3𝑡 → 𝑦′ = −𝑘1𝑒
−𝑡 − 3𝑘2𝑒
−3𝑡
2 = 𝑘1 + 𝑘2 → 1 = 𝑘1 + 3𝑘2 (−1)
Sistema
ቊ
𝑘1 + 𝑘2 = 2
𝑘1 + 3𝑘2 = 1
→ 𝑘1 = −
1
2 𝑘2 =
5
2
Solução particular
𝑦 = −
1
2
𝑒−𝑡 +
5
2
𝑒−3𝑡
Passo 4
Passo 5
Passo 6
c) 6𝑦′′ − 5𝑦′ + 𝑦 = 0, 𝑦 0 = 4 , 𝑦′ 0 = 0
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
6𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 5𝑒𝜆𝑡 + 𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 6𝜆2 − 5𝜆 + 1 = 0
6𝜆2 − 5𝜆 + 1 = 0
Raízes da equação
6𝜆2 − 5𝜆 + 1 = 0 → 𝑥 =
5 ± −52 − 4 6
2 6
→ 𝜆 −
1
2
𝜆 −
1
3
= 0
𝑦 = 𝑘1𝑒
1
2𝑡 + 𝑘2𝑒
1
3𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Aplicar dados
ቊ
𝑦 0 = 4
𝑦′ 0 = 0
𝑦 = 𝑘1𝑒
1
2𝑡 + 𝑘2𝑒
1
3𝑡 → 𝑦′ =
1
2
𝑘1𝑒
1
2𝑡 +
1
3
𝑘2𝑒
1
3𝑡
4 = 𝑘1 + 𝑘2 → 0 =
1
2
𝑘1 +
1
3
𝑘2
Sistema
ቐ
𝑘1 + 𝑘2 = 4
1
2
𝑘1 +
1
3
𝑘2 = 0
→ 𝑘1 = −8 𝑘2 = 12
Solução particular
𝑦 = −8𝑒−
1
2𝑡 + 12𝑒
1
3𝑡
Passo 4
Passo 5
Passo 6
d) 𝑦′′ + 3𝑦′ = 0, 𝑦 0 = −2 , 𝑦′ 0 = 3
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 3𝜆𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 3𝜆 = 0
𝜆2 + 3𝜆 = 0
Raízes da equação
𝜆2 + 3𝜆 = 0 → 𝜆 𝜆 + 3 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒
−3𝑡 + 𝑘2
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Aplicar dados
ቊ
𝑦 0 = −2
𝑦′ 0 = 3
𝑦 = 𝑘1𝑒
−3𝑡 + 𝑘2 → 𝑦
′ = −3𝑘1𝑒
−3𝑡
−2 = 𝑘1 + 𝑘2 → 3 = −3𝑘1
Sistema
ቊ
𝑘1 + 𝑘2 = −2
−3𝑘1 = 3
→ 𝑘1 = −1|𝑘2 = −1
Solução particular
𝑦 = −𝑒−3𝑡 − 1
Passo 4
Passo 5
Passo 6
e) 𝑦′′ + 5𝑦′ + 3𝑦 = 0, 𝑦 0 = 1 , 𝑦′ 0 = 0
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 5𝑒𝜆𝑡 + 3𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 5𝜆 + 3 = 0
𝜆2 + 5𝜆 + 3 = 0
Raízes da equação
𝜆2 + 5𝜆 + 3 = 0 → 𝑥 =
−5 ± 52 − 4 3
2
→ 𝜆 +
5 + 13
2
𝜆 +
5 − 13
2
= 0
𝑦 = 𝑘1𝑒
−5− 13
2 𝑡 + 𝑘2𝑒
−5+ 13
2 𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Aplicar dados
ቊ
𝑦 0 = 1
𝑦′ 0 = 0
𝑦 = 𝑘1𝑒
−5− 13
2 𝑡 + 𝑘2𝑒
−5+ 13
2 𝑡 → 𝑦 =
−5 − 13
2
𝑘1𝑒
−5− 13
2 𝑡 +
−5 + 13
2
𝑘2𝑒
−5+ 13
2 𝑡
1 = 𝑘1 + 𝑘2 → 0 =
−5 − 13
2
𝑘1 +
−5 + 13
2
𝑘2
Sistema
൞
𝑘1 + 𝑘2 = 1
−5 − 13
2
𝑘1 +
−5 + 13
2
𝑘2 = 0
→ 𝑘1 =
13 − 5 13
26 𝑘2 =
13 + 5 13
26
Solução particular
𝑦 =
13 − 5 13
26
𝑒
−5− 13
2 𝑡 +
13 + 5 13
26
𝑒
−5+ 13
2 𝑡
Você pode trabalhar com números decimais sem problema, mas com 
arredondamentos e o tamanho dos números, o resultado se torna incerto.
Passo 4
Passo 5
Passo 6
f) 2𝑦′′ + 𝑦′ − 4𝑦 = 0, 𝑦 0 = 0 , 𝑦′ 0 = 1
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
2𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 𝑒𝜆𝑡 − 4𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 2𝜆2 + 𝜆 − 4 = 0
2𝜆2 + 𝜆 − 4 = 0
Raízes da equação
2𝜆2 + 𝜆 − 4 = 0 → 𝑥 =
−1 ± 12 + 4 2 (4)
4
→ 𝜆 +
1 − 33
4
𝜆 +
1 + 33
4
= 0
𝑦 = 𝑘1𝑒
−1+ 33
4 𝑡 + 𝑘2𝑒
−
1+ 33
4 𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Aplicar dados
ቊ
𝑦 0 = 0
𝑦′ 0 = 1
𝑦 = 𝑘1𝑒
−1+ 33
4 𝑡 + 𝑘2𝑒
−
1+ 33
4 𝑡 → 𝑦 =
−1 + 33
4
𝑘1𝑒
−1+ 33
4 𝑡 −
1 + 33
4
𝑘2 𝑒
−
1+ 33
4 𝑡
0 = 𝑘1 + 𝑘2 → 1 =
−1 + 33
4
𝑘1 −
1 + 33
4
𝑘2Sistema
൞
𝑘1 + 𝑘2 = 0
−1 + 33
4
𝑘1 −
1 + 33
4
𝑘2 = 1
→ 𝑘1 =
2 33
33 𝑘2 = −
2 33
33
Solução particular
𝑦 =
2 33
33
𝑒
−1+ 33
4 𝑡 −
2 33
33
𝑒−
1+ 33
4 𝑡
Passo 4
Passo 5
Passo 6
g) 𝑦′′ + 8𝑦′ − 9𝑦 = 0, 𝑦 1 = 1 , 𝑦′ 1 = 0
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 8𝑒𝜆𝑡 − 9𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 8𝜆 − 9 = 0
𝜆2 + 8𝜆 − 9 = 0
Raízes da equação
𝜆2 + 8𝜆 − 9 = 0 → 𝑥 =
−8 ± 82 + 4 9
2
→ 𝜆 − 1 𝜆 + 9 = 0
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝑡 + 𝑘2𝑒
−9𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Aplicar dados
ቊ
𝑦 1 = 1
𝑦′ 1 = 0
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝑡 + 𝑘2𝑒
−9𝑡 → 𝑦 = 𝑘1𝑒
𝑡 − 9𝑘2𝑒
−9𝑡
1 = 𝑘1𝑒 + 𝑘2𝑒
−9 → 0 = 𝑘1𝑒 − 9𝑘2𝑒
−9
Sistema
൝
𝑒𝑘1 + 𝑒
−9𝑘2 = 1
𝑒𝑘1 − 9𝑒
−9𝑘2 = 0
→ 𝑘1 =
9
8𝑒
|𝑘2 = −
𝑒9
8
Solução particular
𝑦 =
9
8𝑒
𝑒𝑡 −
𝑒9
8
𝑒−9𝑡 → 𝑦 =
9
8
𝑒𝑡−1 −
1
8
𝑒9 1−𝑡
Passo 4
Passo 5
Passo 6
h) 4𝑦′′ − 𝑦′ = 0, 𝑦 −2 = 1 , 𝑦′ −2 = −1
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
4𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 𝜆𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 4𝜆2 − 𝜆 = 0
4𝜆2 − 𝜆 = 0
Raízes da equação
4𝜆2 − 𝜆 = 0 → 𝜆 4𝜆 − 1 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒
1
4𝑡 + 𝑘2
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Aplicar dados
ቊ
𝑦 −2 = 1
𝑦′ −2 = −1
𝑦 = 𝑘1𝑒
1
4𝑡 + 𝑘2 → 𝑦
′ =
1
4
𝑘1𝑒
1
4𝑡
1 = 𝑘1𝑒
−
1
2 + 𝑘2 → −1 =
1
4
𝑘1𝑒
−
1
2
Sistema
𝑘1𝑒
−
1
2 + 𝑘2 = 1
1
4
𝑘1𝑒
−
1
2 = −1
→ 𝑘1 = −4𝑒
1
2|𝑘2 = 5
Solução particular
𝑦 = −4𝑒
3
4𝑡 + 5
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Sumário
𝑦 = 𝑘1𝑒
2𝑡 + 𝑘2𝑒
−3𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑘1𝑒
2𝑡 + 𝑘2𝑒
−3𝑡 → 𝜆 − 2 𝜆 + 3 = 0 → 𝜆2 + 𝜆 − 6 = 0
EDO
𝜆2 + 𝜆 − 6 = 0 → 𝑦′′ + 𝑦′ − 6𝑦 = 0
𝑦 = 𝑘1𝑒
−
𝑡
2 + 𝑘2𝑒
−2𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑘1𝑒
−
1
2𝑡 + 𝑘2𝑒
−2𝑡 → 𝜆 +
1
2
𝜆 + 2 = 0 → 𝜆2 +
5
2
𝜆 + 1 = 0
EDO
𝜆2 +
5
2
𝜆 + 1 = 0 → 𝑦′′ +
5
2
𝑦′ + 𝑦 = 0
Passo 1
Passo 2
Passo 1
Passo 2
Sumário
𝑦′′ − 𝑦′ = 0 , 𝑦 0 =
5
4
𝑦′ 0 = −
3
4
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 𝜆𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 𝜆2 − 𝜆 = 0
𝜆2 − 𝜆 = 0
Raízes da equação
𝜆2 − 𝜆 = 0 → 𝜆 𝜆 − 1 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒
𝑡 + 𝑘2
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Aplicar dados
𝑦 0 =
5
4
𝑦′ 0 = −
3
4
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝑡 + 𝑘2 → 𝑦
′ = 𝑘1𝑒
𝑡
5
4
= 𝑘1 + 𝑘2 → −
3
4
= 𝑘1
Sistema
𝑘1 = −
3
4
|𝑘2 = 2
Solução particular
𝑦 = −
3
4
𝑒𝑡 + 2
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Ponto máximo
Vamos desenhar o gráfico positivo desta solução, para isso necessitamos do ponto 
quando 𝑦 = 0 e 𝑡 = 0.
−
3
4
𝑒𝑡 + 2 = 0 → 𝑒𝑡 =
8
3
→ 𝑡 = ln
8
3
= 1
𝑦 = −
3
4
𝑒0 + 2 → 𝑦 = −
3
4
+ 2 =
5
4
Com esse pontos temos um gráfico inicial.
Passo 7
Lembra-te do gráfico de uma função
exponencial? Bom o problema é que
ela segue ao infinito.
Mas com as configurações dessa equação
conseguimos travar um “limite”nos valores
positivos, logo o valor máximo encontrado
será positivo, pois o valor negativo é infinito.
Agora veja que o maior ponto positivo possível
é aquele a qual está em cima do eixo 𝑦, que é
o valor que encontramos quando y = 0, logo
o ponto máximo positivo é 1.
Eu destaco que minhas respostas 
serão sempre fracionais, pois elas 
são as melhores e mais corretas, 
este é o meu conselho.
Valor máximo
𝑦 = −
3
4
𝑒1 + 2 = −0,04
Valor máximo não significa que ele deve ser positivo
Cuidado com a diferença entre ponto máximo e valor máximo
Passo 8
Sumário
2𝑦′′ − 3𝑦′ + 𝑦 = 0, 𝑦 0 = 2 , 𝑦′ 0 =
1
2
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
2𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 3𝑒𝜆𝑡 + 𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 2𝜆2 − 3𝜆 + 1 = 0
2𝜆2 − 3𝜆 + 1 = 0
Raízes da equação
2𝜆2 − 3𝜆 + 1 = 0 → 𝑥 =
3 ± −32 − 4 2
4
→ 𝜆 − 1 𝜆 −
1
2
= 0
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝑡 + 𝑘2𝑒
1
2𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Aplicar dados
൞
𝑦 0 = 2
𝑦′ 0 =
1
2
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝑡 + 𝑘2𝑒
1
2𝑡 → 𝑦′ = 𝑘1𝑒
𝑡 +
1
2
𝑘2𝑒
1
2𝑡
2 = 𝑘1 + 𝑘2 →
1
2
= 𝑘1 +
1
2
𝑘2
Sistema
ቐ
𝑘1 + 𝑘2 = 2
𝑘1 +
1
2
𝑘2 =
1
2
→ 𝑘1 = −1|𝑘2 = 3
Solução particular
𝑦 = −𝑒𝑡 + 3𝑒
1
2𝑡
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Valor máximo e ponto que a solução se anula
Vamos desenhar o gráfico positivo desta solução, para isso necessitamos do ponto 
quando 𝑦 = 0 e 𝑡 = 0.
−𝑒𝑡 + 3𝑒
1
2𝑡 = 0 → 𝑒𝑡 −1 + 3𝑒−
𝑡
2 = 0 → 𝑒−
𝑡
2 =
1
3
→ −
𝑡
2
= ln
1
3
→ 𝑡 = −2 ln
1
3
= 2,2
𝑦 = −𝑒0 + 3𝑒0 → 𝑦 = −1 + 3 = 2
MASSSS, aqui temos uma coisa muito importante que não deve ser despercebida, 
temos duas funções somadas aí. Isso quer dizer que a trajetória da função terá 
algumas curvas a mais em meio ao gráfico e isso pode se tornar um ponto máximo 
que esteja fora dos eixos.
Para este caso usamos o método do Cálculo I, a análise por pontos críticos e 
concavidades.
Passo 7
Ponto crítico (primeira derivada)
−𝑒𝑡 +
3
2
𝑒
1
2𝑡 = 0 → 𝑒𝑡 −1 +
3
2
𝑒−
𝑡
2 = 0 → 𝑒−
𝑡
2 =
2
3
→ −
𝑡
2
= ln
2
3
→ 𝑡 = −2 ln
2
3
= 0,81
Temos um ponto crítico, basta analisar se o mesmo é máximo
Usamos a segunda derivada (concavidade) para a análise e temos:
𝑓′′ 𝑡 > 0 , 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑓′′ 𝑡 < 0 , 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑓′′ 𝑡 = 0 , 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜
Veredito
−𝑒0,81 +
3
4
𝑒
0,81
2 < 0
Eis que 0,81 é o ponto máximo
Nota: esse é o ponto máximo positivo, o negativo é infinito.
Passo 8
Passo 9
Valor máximo
𝑦 = −𝑒0,81 + 3𝑒
0,81
2 = 2,25
Valor máximo não significa que ele deve ser positivo
Cuidado com a diferença entre ponto máximo e valor máximo
Passo 10
Sumário
𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 0, 𝑦 0 = 𝛼 , 𝑦′ 0 = 2
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 𝑒𝜆𝑡 − 2𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 𝜆2 − 𝜆 − 2 = 0
𝜆2 − 𝜆 − 2 = 0
Raízes da equação
𝜆2 − 𝜆 − 2 = 0 → 𝑥 =
1 ± −12 + 4 2
2
→ 𝜆 − 2 𝜆 + 1 = 0
𝑦 = 𝑘1𝑒
2𝑡 + 𝑘2𝑒
−𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Aplicar dados
ቊ
𝑦 0 = 𝛼
𝑦′ 0 = 2
𝑦 = 𝑘1𝑒
2𝑡 + 𝑘2𝑒
−𝑡 → 𝑦′ = 2𝑘1𝑒
2𝑡 − 𝑘2𝑒
−𝑡
𝛼 = 𝑘1 + 𝑘2 → 2 = 2𝑘1 − 𝑘2
Sistema
ቊ
𝑘1 + 𝑘2 = 𝛼
2𝑘1 − 𝑘2 = 2
→ 𝑘1 =
𝛼 + 2
3
|𝑘2 =
2𝛼 + 10
3
Solução particular
𝑦 =
𝛼 + 2
3
𝑒2𝑡 +
2𝛼 + 10
3
𝑒−𝑡
Valor de α
𝑦 = 0, 𝑡 → +∞
𝛼 + 2
3
𝑒2𝑡 = 0 →
𝛼 + 2
3
= 0 → 𝛼 + 2 = 0 → 𝛼 = −2
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Passo 7
Veja que se 𝑡 estiver negativo a função 𝑒 irá tender a zero.
Sumário
4𝑦′′ − 𝑦′ = 0 , 𝑦 0 = 2 𝑦′ 0 = 𝛽
Solução geral
𝑦 = 𝑘1𝑒
𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒
𝜆𝑡
Equação característica
𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡
4𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 𝜆𝑒𝜆𝑡 = 0
𝑒𝜆𝑡 4𝜆2 − 𝜆 = 0
4𝜆2 − 𝜆 = 0
Raízes da equação
4𝜆2 − 𝜆 = 0 → 𝜆 4𝜆 − 1 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒
1
4𝑡 + 𝑘2
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Aplicar dados
ቊ
𝑦 0 = 2
𝑦′ 0 = 𝛽
𝑦 = 𝑘1𝑒
1
4𝑡 + 𝑘2 → 𝑦
′ = 𝑘1𝑒
1
4𝑡
2 = 𝑘1 + 𝑘2 → 𝛽 = 𝑘1
Sistema
𝑘1 = 𝛽|𝑘2 = 2 − 𝛽
Solução particular
𝑦 = 𝛽𝑒
1
4𝑡 − 𝛽 + 2
Valor de β
𝑦 = 0, 𝑡 → +∞
𝛽𝑒
1
4𝑡 − 𝛽 + 2 = 0 → 𝑒
1
4𝑡 = 𝛽 − 2 → 𝑒
1
4𝑡 =
𝛽 − 2
𝛽
→𝑒
1
4𝑡 = 1 −
2
𝛽
→ −
2
𝛽
= 𝑒
1
4𝑡 − 1
2
𝛽
= 1 − 𝑒
1
4𝑡 →
𝛽
2
= 1 − 𝑒
1
4𝑡 → 𝛽 = 2 − 2𝑒
1
4𝑡
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Passo 7
Quando 𝑡 estiver positivo a função 𝑒 irá tender ao infinito, então dependendo do valor 𝑡 teremos um valor 
para 𝛽, você não pode simplesmente substituir o +∞ por que você não pode trabalhar matematicamente 
com um número tendendo ao infinito.
Sumário
a) 𝑡2𝑦′′ + 2𝑡𝑦′ − 1 = 0 , 𝑡 > 0
Substituir e organizar
𝑡2𝑣′ + 2𝑡𝑣 − 1 = 0 → 𝑣′ +
2
𝑡
𝑣 =
1
𝑡2
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = ׬
2
𝑡 =2 ln 𝑡 = 𝑒ln 𝑡
2
= 𝑡2
Multiplicar fator integrante
𝑡2𝑣′ + 2𝑡𝑣 = 1
Simplificar
𝑡2𝑣′ + 2𝑡𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑡2𝑣′ + 2𝑡𝑣
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑣𝑡2]
𝑑
𝑑𝑡
𝑣𝑡2 = 1 → 𝑣𝑡2 = න𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
𝑣 = 𝑦′
Solução geral
𝑣𝑡2 = 𝑡 + 𝑐 → 𝑣 =
1
𝑡
+
𝑐
𝑡2
Retornar valores
𝑣 = 𝑦′ → 𝑣′ = 𝑦′′
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
𝑡
+
𝑐
𝑡2
Integrar
𝑦 = න
𝑑𝑡
𝑡
+ 𝑐න
𝑑𝑡
𝑡2
→ 𝑦 = ln 𝑘𝑡 −
𝑐
𝑡
Passo 5
Passo 6
Passo 7
b) 𝑡𝑦′′ + 𝑦′ = 1 , 𝑡 > 0
Substituir e organizar
𝑡𝑣′ + 𝑣 = 1 → 𝑣′ +
1
𝑡
𝑣 =
1
𝑡
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = ׬
1
𝑡 =ln 𝑡 = 𝑒ln 𝑡 = 𝑡
Multiplicar fator integrante
𝑡𝑣′ + 𝑣 = 1
Simplificar
𝑡𝑣′ + 𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑡𝑣′ + 1𝑣
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑣𝑡]
𝑑
𝑑𝑡
𝑣𝑡 = 1 → 𝑣𝑡 = න𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Solução geral
𝑣𝑡 = 𝑡 + 𝑐 → 𝑣 = 1 +
𝑐
𝑡
Retornar valores
𝑣 = 𝑦′ → 𝑣′ = 𝑦′′
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 1 +
𝑐
𝑡
Integrar
𝑦 = න𝑑𝑡 + 𝑐න
𝑑𝑡
𝑡
→ 𝑦 = 𝑡 + 𝑐 ln 𝑘𝑡
Passo 5
Passo 6
Passo 7
c) 𝑦′′ − 𝑡 𝑦′ 2 = 0
Substituir e organizar
𝑣′ − 𝑡𝑣2 = 0
Bernoulli
𝑢 = 𝑣1−𝑛 = 𝑣−1 → 𝑢′ = −𝑣−2𝑣′
−𝑣−2𝑣′ + 𝑣−2𝑡𝑣2 = 0
𝑢′ + 𝑡 = 0
Integração
𝑢′ = −𝑡 → 𝑢 = −
𝑡2
2
𝑢 =
1
𝑣
→ 𝑣 =
1
𝑢
→ 𝑣 = −
2
𝑡2
𝑣 = 𝑦′
𝑦′ = −
2
𝑡2
→ 𝑦 =
2
𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
d) 2𝑡2𝑦′′ + 𝑦′ 3 = 2𝑡𝑦′ , 𝑡 > 0
Substituir e organizar
2𝑡2𝑣′ + 𝑣3 = 2𝑡𝑣 → 𝑣′ +
1
2𝑡2
𝑣3 −
1
𝑡
𝑣 = 0
Bernoulli
𝑢 = 𝑣1−𝑛 = 𝑣−2 → 𝑢′ = −2𝑣−3𝑣′
−2𝑣−3𝑣′ −
1
𝑡2
𝑣−3𝑣3 +
2
𝑡
𝑣−3𝑣 = 0
𝑢′ +
2
𝑡
𝑢 −
1
𝑡2
= 0
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =2 ׬
1
𝑡𝑑𝑡 =2 ln 𝑡 = 𝑡2
Multiplicar fator integrante
𝑡2𝑢′ + 2𝑡𝑢 = 1
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Simplificar
𝑡2𝑢′ + 2𝑡𝑢 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑡2𝑢′ + 2𝑡𝑢
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑢𝑡2]
𝑑
𝑑𝑡
𝑢𝑡2 = 1 → 𝑢𝑡2 = 𝑡
Solução geral
𝑢𝑡2 = 𝑡 → 𝑢 =
1
𝑡
Integração
𝑢 =
1
𝑣2
→ 𝑣2 =
1
𝑢
→ 𝑣2 = 𝑡 → 𝑣 = 𝑡
1
2
𝑣 = 𝑦′
𝑦′ = 𝑡
1
2 → 𝑦 =
2𝑡
3
2
3
+ 𝑐
Passo 5
Passo 6
Passo 7
e) 𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑒−𝑡
Substituir e organizar
𝑣′ + 𝑣 = 𝑒−𝑡
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = ׬ 𝑑𝑡 = 𝑡 = 𝑒𝑡
Multiplicar fator integrante
𝑒𝑡𝑣′ + 𝑒𝑡𝑣 = 1
Simplificar
𝑒𝑡𝑣′ + 𝑒𝑡𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑒𝑡𝑣′ + 𝑒𝑡𝑣
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑣𝑒𝑡]
𝑑
𝑑𝑡
𝑣𝑒𝑡 = 1 → 𝑣𝑒𝑡 = 𝑡 + 𝑐
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Solução geral
𝑣𝑒𝑡 = 𝑡 + 𝑐 → 𝑣 = 𝑒−𝑡𝑡 + 𝑒−𝑡𝑐
Retornar valores
𝑣 = 𝑦′ → 𝑣′ = 𝑦′′
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑒−𝑡𝑡 + 𝑒−𝑡𝑐
Integrar
𝑦 = න𝑒−𝑡𝑡𝑑𝑡 + 𝑐න𝑒−𝑡𝑑𝑡 → 𝑦 = −𝑡𝑒−𝑡 − 𝑒−𝑡 − 𝑒−𝑡𝑐 + 𝑘
𝑦 = −𝑒−𝑡 𝑡 + 1 + 𝑐 + 𝑘
Passo 5
Passo 6
Passo 7
f) 𝑡2𝑦′′ = 𝑦′ 2 , 𝑡 > 0
Substituir e organizar
𝑡2𝑣′ − 𝑣2 = 0 → 𝑣′ −
1
𝑡2
𝑣2 = 0
Bernoulli
𝑢 = 𝑣1−𝑛 = 𝑣−1 → 𝑢′ = −𝑣−2𝑣′
−𝑣−2𝑣′ + 𝑣−2
1
𝑡2
𝑣2 = 0
𝑢′ +
1
𝑡2
= 0
Integração
𝑢′ = −
1
𝑡2
→ 𝑢 =
1
𝑡
𝑢 =
1
𝑣
→ 𝑣 =
1
𝑢
→ 𝑣 = 𝑡
𝑣 = 𝑦′
𝑦′ = 𝑡 → 𝑦 =
𝑡2
2
+ 𝑐
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Sumário
a) 𝑦𝑦′′ + 𝑦′ 2 = 0
Substituir e organizar
𝑦𝑣′ + 𝑣2 = 0 → 𝑦 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑣2 = 0 →÷ 𝑣 → 𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑣 = 0
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
1
𝑦
𝑣 = 0
Fator integrante
𝜇 𝑦 = 𝑒
׬ 𝑝 𝑦 𝑑𝑦 = ׬
1
𝑦 =ln 𝑦 = 𝑒ln 𝑦 = 𝑦
Multiplicar fator integrante
𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑣 = 0
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Simplificar
𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 1𝑣
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑣𝑦]
𝑑
𝑑𝑡
𝑣𝑦 = 0 → 𝑣𝑦 = න0𝑑𝑡
Retornar valores
𝑣𝑦 = 𝑐 →
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑦 = 𝑐 → 𝑦𝑑𝑦 = 𝑐𝑑𝑡
Integrar
න𝑦𝑑𝑦 = 𝑐න𝑑𝑡 →
𝑦2
2
= 𝑐𝑡 + 𝑘
𝑦2 = 2 𝑐𝑡 + 𝑘
𝑦 = 2 𝑐𝑡 + 𝑘
Passo 4
Passo 5
Passo 6
b) 𝑦′′ + 𝑦′ = 0
Substituir e organizar
𝑣′ + 𝑣 = 0 → 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑣 = 0 → ÷ 𝑣 →
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 1 = 0
Variáveis separáveis
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= −1 → 𝑑𝑣 = −𝑑𝑦 → 𝑣 = −𝑦
Retornar valores
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −𝑦 → −
𝑑𝑦
𝑦
= 𝑑𝑡 → − ln𝑦 = 𝑡 → 𝑦 = 𝑒−𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
c) 𝑦′′ + 𝑦 𝑦′ 3 = 0
Substituir e organizar
𝑣′ + 𝑦𝑣3 = 0 → 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑦𝑣3 = 0 →÷ 𝑣 →
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑦𝑣2 = 0
Integração
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑦𝑣2 = 0 →
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= −𝑦𝑣2 →
𝑑𝑣
−𝑣2
= 𝑦𝑑𝑦 →
1
𝑣
=
𝑦2
2
+ 𝑐
𝑣 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑦
=
𝑦2
2
+ 𝑐 → 𝑑𝑡 =
𝑦2
2
+ 𝑐 𝑑𝑦 →
𝑦3
6
+ 𝑦𝑐 = 𝑡 + 𝑘
Passo 1
Passo 2
d) 2𝑦2𝑦′′ + 2𝑦 𝑦′ 2 = 1
Variação de parâmetro
2𝑦2𝑦′′ + 2𝑦 𝑦′ 2 = 0
Substituir e organizar
2𝑦2𝑣′ + 2𝑦𝑣2 = 0 → 2𝑦2 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 2𝑦𝑣2 = 0 → 2𝑦2
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 2𝑦𝑣 = 0
2𝑦2
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 2𝑦𝑣 = 0 →
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
1
𝑦
𝑣 = 0
Fator integrante
𝜇 𝑦 = 𝑒
׬ 𝑝 𝑦 𝑑𝑦 = ׬
1
𝑦 =ln 𝑦 = 𝑒ln 𝑦 = 𝑦
Multiplicar fator integrante
𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑣 = 0
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Simplificar
𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 1𝑣
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑣𝑦]
𝑑
𝑑𝑦
𝑣𝑦 = 0 → 𝑣𝑦 = 𝑐
Valor de c
𝑐′ 𝑦 = 𝑞 𝑦 𝜇 𝑦 → 𝑐′ 𝑦 = 𝑦 → 𝑐 𝑦 =
𝑦2
2
𝑣𝑦 =
𝑦2
2
→ 𝑣 =
𝑦
2
Retornar valores
𝑣 =
𝑦
2
→
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑦
2
→ 𝑑𝑦
2
𝑦
= 𝑑𝑡 → 2ln 𝑦 = 𝑡 + 𝑘
𝑦2 = 𝑒𝑡𝑘 → 𝑦2 − 𝑒𝑡𝑘 = 0
Passo 4
Passo 5
Passo 6
e) 𝑦𝑦′′ − 𝑦′ 3 = 0
Substituir e organizar
𝑣′ −
1
𝑦
𝑣3 = 0 → 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
1
𝑦
𝑣3 = 0 →÷ 𝑣 →
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
1
𝑦
𝑣2 = 0
Integração
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
1
𝑦
𝑣2 = 0 →
𝑑𝑣
𝑑𝑦
= −
1
𝑦
𝑣2 →
𝑑𝑣
−𝑣2
=
𝑑𝑦
𝑦
→
1
𝑣
= ln𝑦 + 𝑐
𝑣 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= ln 𝑦 + 𝑐 → 𝑑𝑡 = ln 𝑦 + 𝑐 𝑑𝑦 → 𝑦 ln 𝑦 − 𝑦 + 𝑦𝑐 = 𝑡 + 𝑘
Passo 1
Passo 2
f) 𝑦′′ + 𝑦′ 2 = 2𝑒−𝑦
Variação de parâmetro
𝑦′′ + 𝑦′ 2 = 0
Substituir e organizar
𝑣′ + 𝑣2 = 0 → 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑣2 = 0 →
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑣 = 0
Fator integrante
𝜇 𝑦 = 𝑒׬ 𝑝 𝑦 𝑑𝑦 = ׬ 𝑑𝑦 =𝑦 = 𝑒𝑦
Multiplicar fator integrante
𝑒𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑒𝑦𝑣 = 0
Simplificar
𝑒𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑒𝑦𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑒𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝑒𝑦𝑣
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑣𝑒𝑦]
𝑑
𝑑𝑦
𝑣𝑒𝑦 = 0 → 𝑣𝑒𝑦 = 𝑐
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Valor de c
𝑐′ 𝑦 = 𝑞 𝑦 𝜇 𝑦 → 𝑐′ 𝑦 = 2𝑒−𝑦𝑒𝑦 → 𝑐 𝑦 = 2𝑦
𝑣𝑦 = 2𝑦 → 𝑣 = 2
Retornar valores
𝑣 = 2 →
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2 → 𝑑𝑦
1
2
= 𝑑𝑡 →1
2
𝑦 = 𝑡 + 𝑘
Passo 6
Passo 7
Sumário
a) 𝑡2𝑦′ + 2𝑡𝑦 − 𝑦3 = 0 , 𝑡 > 0
Organizar
𝑦′ +
2
𝑡
𝑦 =
1
𝑡2
𝑦3
Substituição
𝑣 = 𝑦−2 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑣′ = −2𝑦−3𝑦′
Multiplicar polinômio
−2𝑦−3𝑦′ − 2𝑦−3
2
𝑡
𝑦 = −2𝑦−3
1
𝑡2
𝑦3
𝑣′ −
4
𝑡
𝑣 = −
2
𝑡2
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = −4 ׬
1
𝑡 = −4 ln 𝑡 = ln 𝑡
−4
= 𝑒ln 𝑡
−4
= 𝑡−4
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Multiplicar fator integrante
𝑣′ −
4
𝑡
𝑣 = −
2
𝑡2
→ 𝑡−4𝑣′ − 𝑡−4
4
𝑡
𝑣 = −𝑡−4
2
𝑡2
𝑡−4𝑣′ − 4𝑡−5𝑣 = −2𝑡−6
Simplificar
𝑡−4𝑣′ − 4𝑡−5𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑡−4𝑣′ + −4𝑡−5𝑣
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑣𝑡−4]
𝑑
𝑑𝑡
𝑣𝑡−4 = −2𝑡−6 → 𝑣𝑡−4 = න−2𝑡−6𝑑𝑡
Integrar
න−2𝑡−6𝑑𝑡 → −2න𝑡−6𝑑𝑡 = −
2𝑡−5
−5
+ 𝑐 =
2
5𝑡5
+ 𝑐
Passo 5
Passo 6
Passo 7
Solução geral
𝑣𝑡−4 =
2
5𝑡5
+ 𝑐
𝑣 =
2
5𝑡
+ 𝑐𝑡4 =
2 + 5𝑐𝑡5
5𝑡
Retornar valores
𝑣 =
1
𝑦2
→ 𝑦2 =
1
𝑣
𝑦2 =
5𝑡
2 + 𝑐𝑡5
→ 𝑦 =
5𝑡
2 + 𝑐𝑡5
Passo 8
Passo 9
b) 𝑦′ − 𝑟𝑦 + 𝑘𝑦2 = 0 , 𝑟 > 0, 𝑘 > 0
Substituição
𝑣 = 𝑦−1 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑣′ = −𝑦−2𝑦′
Multiplicar polinômio
−𝑦−2𝑦′ + 𝑦−2𝑟𝑦 = 𝑦−2𝑘𝑦2
𝑣′ + 𝑟𝑣 = 𝑘
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑟 ׬ 𝑑𝑡 =𝑟𝑡 = 𝑒𝑟𝑡
Multiplicar fator integrante
𝑒𝑟𝑡𝑣′ + 𝑒𝑟𝑡𝑟𝑣 = 𝑒𝑟𝑡𝑘
Simplificar
𝑒𝑟𝑡𝑣′ + 𝑒𝑟𝑡𝑟𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑒𝑟𝑡𝑣′ + 𝑟𝑒𝑟𝑡𝑣
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑣𝑒𝑟𝑡]
𝑑
𝑑𝑡
𝑣𝑒𝑟𝑡 = 𝑒𝑟𝑡𝑘 → 𝑣𝑒𝑟𝑡 = න𝑒𝑟𝑡𝑘 𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Integrar
න𝑒𝑟𝑡𝑘 𝑑𝑡 → 𝑘න𝑒𝑟𝑡 𝑑𝑡 =
𝑘
𝑟
𝑒𝑟𝑡 + 𝑐
Solução geral
𝑣𝑒𝑟𝑡 =
𝑘
𝑟
𝑒𝑟𝑡 + 𝑐 → 𝑣 =
𝑘
𝑟
+ 𝑐𝑒−𝑟𝑡
Retornar valores
𝑣 =
1
𝑦
→ 𝑦 =
1
𝑣
𝑣 =
𝑘
𝑟
+
𝑐
𝑒𝑟𝑡
→
1
𝑦
=
𝑘
𝑟
+
𝑐
𝑒𝑟𝑡
=
𝑘𝑒𝑟𝑡 + 𝑐𝑟
𝑟𝑒𝑟𝑡
𝑦 =
𝑟𝑒𝑟𝑡
𝑘𝑒𝑟𝑡 + 𝑐𝑟
Passo 6
Passo 7
Passo 8
c) 𝑦′ = 𝜖𝑦 − 𝜎𝑦3 , 𝜖 > 0, 𝜎 > 0
Substituição
𝑣 = 𝑦−2 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑣′ = −𝑦−3𝑦′
Multiplicar polinômio
−𝑦−3𝑦′ + 𝑦−3𝜖𝑦 = 𝑦−3𝜎𝑦3
𝑣′ + 𝜖𝑣 = 𝜎
Fator integrante
𝜇 𝑡 = 𝑒׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =𝜖 ׬ 𝑑𝑡 =𝜖𝑡 = 𝑒𝜖𝑡
Multiplicar fator integrante
𝑒𝜖𝑡𝑣′ + 𝑒𝜖𝑡𝜖𝑣 = 𝑒𝜖𝑡𝜎
Simplificar
𝑒𝜖𝑡𝑣′ + 𝑒𝜖𝑡𝜖𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑒𝜖𝑡𝑣′ + 𝜖𝑒𝜖𝑡𝑣
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑡
[𝑣𝑒𝜖𝑡]
𝑑
𝑑𝑡
𝑣𝑒𝜖𝑡 = 𝑒𝜖𝑡𝜎 → 𝑣𝑒𝜖𝑡 = න𝑒𝜖𝑡𝜎𝑑𝑡
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Integrar
න𝑒𝜖𝑡𝜎𝑑𝑡 → 𝜎න𝑒𝜖𝑡 𝑑𝑡 =
𝜎
𝜖
𝑒𝜖𝑡 + 𝑐
Solução geral
𝑣𝑒𝜖𝑡 =
𝜎
𝜖
𝑒𝜖𝑡 + 𝑐 → 𝑣 =
𝜎
𝜖
+
𝑐
𝑒𝜖𝑡
Retornar valores
𝑣 =
1
𝑦2
→ 𝑦2 =
1
𝑣
𝑣 =
𝜎
𝜖
+
𝑐
𝑒𝜖𝑡
→
1
𝑦2
=
𝜎
𝜖
+
𝑐
𝑒𝜖𝑡
=
𝜎𝑒𝜖𝑡 + 𝑐𝜖
𝜖𝑒𝜖𝑡
𝑦2 =
𝜖𝑒𝜖𝑡
𝜎𝑒𝜖𝑡 + 𝑐𝜖
→ 𝑦 =
𝜖𝑒𝜖𝑡
𝜎𝑒𝜖𝑡 + 𝑐𝜖
Passo 6
Passo 7
Passo 8
Sumário
𝑊 𝑡 = 𝑡𝑠𝑒𝑛2 𝑡
Ora, lembre-se que se o Wronskiano for igual a zero teremos que as soluções serão 
LD e caso for diferente teremos que as soluções serão L.I.
Não temos valores aqui, hora de usar a lógica.
Assumindo que as funções acima sejam L.D.
𝑡𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 0
Analise isso.
Se essa equação é igual a zero, ou 𝑡 ou 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 são iguais a zero:
ቐ
𝑡 = 0
𝑜𝑢
𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 0
Com esta afirmação temos que UMA FUNÇÂO DEPENDE DA OUTRA, se uma for zero 
a outra também será zero. Com isso afirmamos que as funções são Linearmente 
Dependentes.
Sumário
𝑊 𝑡 = 𝑡2 − 4
Novamente aqui não se usa cálculos, use a lógica que você desenvolveu em álgebra 
linear II.
Assumindo que as funções acima sejam L.D.
𝑡2 − 4 = 0
Analise isso.
De uma coisa tenha certeza, quatro nunca será igual a zero, mas e 𝑡?
Ora, assumiremos que 𝑡 = 0, logo.
02 − 4 = 0 → −4 = 0
Absurdo, contradição matemática.
Com isso temos o seguinte, UMA FUNÇÃO É INDEPENDENTE DA OUTRA, se uma for 
zero a outra não será zero. Com isso confirmamos que as funções são Linearmente 
Independentes.
Vou refrescar sua memória sobre Linearidade de álgebra linear II.
Primeiro temos a combinação linear nula de elementos:
𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 = 0
Para que estes sejam Linearmente Independentes todos os coeficientes 𝑎1, 𝑎2
devem ser iguais a zero.
Para que sejam Linearmente Dependentes nem todos os coeficientes devem ser 
iguais a zero.
Isso implica que, existem combinações (espaços vetoriais) que só irão zerar se você 
multiplicar por zero, ou seja, uma função vai zerar e a outra não, então só 
multiplicando por zero mesmo, isso é independência linear.
Mas existem outras que não há total necessidade de multiplicar por zero, pois uma 
função dependerá da outra e quando uma for zero a outra também seguirá o mesmo 
rumo.
Sumário
Vamos testar usando Wronskiano.
Se a questão fala que 𝑦1, 𝑦2 é L.I. então quer dizer que
𝑊 𝑦1, 𝑦2 =
𝑦1 𝑦2
𝑦1
′ 𝑦2
′ = 𝑦1𝑦2
′ − 𝑦2𝑦1
′ ≠ 0
Então com a adição das constantes
𝑊 𝑐1𝑦1, 𝑐2𝑦2 =
𝑐1𝑦1 𝑐2𝑦2
𝑐1𝑦1
′ 𝑐2𝑦2
′ = 𝑐1𝑦1𝑐2𝑦2
′ − 𝑐2𝑦2𝑐1𝑦1
′ = 𝑐1𝑐2 𝑦1𝑦2
′ − 𝑦2𝑦1
′
Logo
𝑐1𝑐2 𝑦1𝑦2
′ − 𝑦2𝑦1
′ = 0
Esta afirmação não pode existir, 𝑐1 e 𝑐2 são constantes não nulas e 𝑦1𝑦2
′ − 𝑦2𝑦1
′ é 
diferente de zero. Com isso temos:
𝑐1𝑦1, 𝑐2𝑦2 são L.I.
Sumário
𝑊 𝑦3, 𝑦4 =
𝑦3 𝑦4
𝑦3
′ 𝑦4
′ = 𝑦3𝑦4
′ − 𝑦3𝑦4
′
𝑦3𝑦4
′ − 𝑦3𝑦4
′ → 𝑦1 + 𝑦2 𝑦1
′ − 𝑦2
′ + −𝑦1
′ − 𝑦2
′ 𝑦1 − 𝑦2
𝑦1𝑦1
′ − 𝑦1𝑦2
′ + 𝑦2𝑦1
′ − 𝑦2𝑦2
′ − 𝑦1𝑦1
′ + 𝑦2𝑦1
′ − 𝑦1𝑦2
′ + 𝑦2𝑦2
′
2𝑦2𝑦1
′ − 2𝑦1𝑦2
′
2 𝑦2𝑦1
′ − 𝑦1𝑦2
′
Temos então
2 𝑦2𝑦1
′ − 𝑦1𝑦2
′ = 0
Esta afirmação não pode ser feita por 2 nuca será zero e 𝑦2𝑦1
′ − 𝑦1𝑦2
′ é L.I.
Sumário
𝑊 𝑦3, 𝑦4 =
𝑦3 𝑦4
𝑦3
′ 𝑦4
′ = 𝑦3𝑦4
′ − 𝑦3𝑦4
′
𝑦3𝑦4
′ − 𝑦3𝑦4
′ → 𝑎1𝑦1 + 𝑎2𝑦2 𝑏1𝑦1
′ − 𝑏2𝑦2
′ + −𝑎1𝑦1
′ − 𝑎2𝑦2
′ 𝑏1𝑦1 − 𝑏2𝑦2
𝑎1𝑏1𝑦1𝑦1
′ − 𝑎1𝑏2𝑦1𝑦2
′ + 𝑎2𝑏1𝑦2𝑦1
′ − 𝑎2𝑏2𝑦2𝑦2
′ − 𝑎1𝑏1𝑦1𝑦1
′ + 𝑎1𝑏2𝑦2𝑦1
′ − 𝑎2𝑏1𝑦1𝑦2
′ + 𝑎2𝑏2𝑦2𝑦2
′
2𝑎2𝑏1𝑦2𝑦1
′ − 2𝑎1𝑏2𝑦1𝑦2
′
2 𝑎2𝑏1𝑦2𝑦1
′ − 𝑎1𝑏2𝑦1𝑦2
′
Temos então
2 𝑎2𝑏1𝑦2𝑦1
′ − 𝑎1𝑏2𝑦1𝑦2
′ = 0
A condição para que estas funções sejam L.I. é que os coeficientes 𝑎1, 𝑏1, 𝑎2, 𝑏2 sejam não 
nulos, dessa forma teremos nossas funções L.I. pois, 2 nunca será zero e 𝑦2𝑦1
′ − 𝑦1𝑦2
′ é L.I.
Helder Guerreiro