Aula6_SistemasLineares2

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Sistemas Lineares
Parte 2Parte 2
Métodos Diretos
Seja o sistema linear . Este processo de
fatoração consiste em decompor a matriz em
bxA =
A
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração LU
fatoração consiste em decompor a matriz em
um produto de dois ou mais fatores.
Exemplo: Seja , então resolver
é equivalente a resolver e depois
. 
A
bxA =DCA =
byC =
yxD =
Na fatoração a matriz é 
triangular inferior com diagonal unitária 
LULA =
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração LU
triangular inferior com diagonal unitária 
e a matriz é triangular superior.U
Teorema da fatoração LU
Dada uma matriz quadrada nxn. Se 0≠ADet
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração LU
Dada uma matriz quadrada nxn. Se
então existe uma única matriz triangular inferior
, com diagonal principal unitária, e uma
única matriz triangular superior , tais
que 
, e 
0≠ADet
ijmL =
ijuU =
AUL =
∏
=
=
n
i
iiuA
0
det
Exemplo de fatoração LU. Considere 
 =++ 1423 321 xxx  423
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração LU
onde 
Do método de Gauss sem pivoteamento:






=++
=++
=++
3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx










=
234
211
423
A










=
234
211
423
A










− 3/103/10
3/23/10
423










− 3/103/13/4
3/23/13/1
423
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração LU
No último passo foi acrescentados os multiplicadores
Os multiplicadores são definidos como segue: da
equação (linha) j subtraímos a equação (linha) i
multiplicada por , de modo a escalonar a matriz
Continuando o processo: 
ijm
ijm A










=
234
211
423
A










− 3/103/13/4
3/23/13/1
423










−413/4
3/23/13/1
423
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração LU
Assim, as matrizes L e U são










=
113/4
013/1
001
L










−
=
400
3/23/10
423
U AUL =
Resolvendo o sistema por fatoração LU: 




=++
=++
22
1423
321
321
xxx
xxx
bxA =
byL =




=+
=
23/1
1
21
1
yy
y








= 3/5
1
y
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração LU
Continuando









−
=
0
5
3
x


 =++ 3234 321 xxx

 =++ 33/4 321 yyy
yxU =





=−
=+
=++
04
3/53/23/1
1423
3
32
321
x
xx
xxx



 0
� Fatoração LU com pivoteamento parcial.
� Fatoração LU com pivoteamento total.
O pivoteamento pode ser implementado por
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração LU + Pivoteamento
O pivoteamento pode ser implementado por
meio da matriz de permutação. 
Definição: Uma matriz quadrada de ordem n é uma 
matriz de permutação se pode ser obtida da matriz 
identidade de ordem n permutando-se suas linhas 
(ou colunas).
Exemplo de matriz permutação










=
001
100
010
P



 413
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração LU + Pivoteamento
Seja 
Note:










=










•










=
413
562
951
562
951
413
001
100
010
AP








=
562
951A
Definição: Uma matriz quadrada de ordem n é 
definida positiva se .
Definição: A fatoração de Cholesky de uma matriz ,
A
nT xxAx ℜ∈∀> 0
A
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração de Cholesky 
Definição: A fatoração de Cholesky de uma matriz ,
simétrica positiva, é dada por
com uma matriz triangular inferior com elementos da
diagonal estritamente positivos.
A
,:onde nnGGGA T ×=
G
Do teorema LU, temos , onde é uma 
matriz diagonal de ordem n. Ainda, se for simétrica, 
então e a fatoração escreve-se como:
A
DUDLA=
TLU =
TT dLDDLLDLA === donde
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração de Cholesky 
Portanto, 
ii
TT dLDDLLDLA === iidonde
DLG =
Considere a matriz














−−
−−
−−
−−
=
83214
214112
1124
412416
A
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração de Cholesky 
Calculando os fatores L U















 −−
•
















−
−
=
















−−
−−
−−
−−
=
81000
1100
0210
412416
1104/1
0124/3
0014/1
0001
83214
214112
1124
412416
A
Calculando os fatores 
ULA =











 −−
•












−
=












−−
−−
−−
=
1100
0210
412416
0124/3
0014/1
0001
214112
1124
412416
UDLDL e
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração de Cholesky 















−







 −−
−−
81000
1100
1104/1
0124/3
83214
214112
TLDLA =















 −−
•
















•
















−
−
=
1000
1100
0210
4/14/34/11
81000
0100
0010
00016
1104/1
0124/3
0014/1
0001
Enfim,
TLDDLA =













 −−
•














•














•














−
=
1100
0210
4/14/34/11
0100
0010
0004
0100
0010
0004
0124/3
0014/1
0001
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração de Cholesky 
Ou ainda, 























− 1000900090001104/1
TGGA =













 −−
•














−
−
=
9000
1100
0210
1314
9101
0123
0011
0004
Teorema da Fatoração de Cholesky
Se é uma matriz simétrica positiva definida, 
então existe uma única matriz triangular inferior
A
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração de Cholesky 
então existe uma única matriz triangular inferior
com diagonal estritamente positiva, tal que G
TGGA =
Resolução de sistemas lineares é semelhante
ao método LU. Seja , então resolver
é equivalente a resolver e
depois .
TGGA =
bxA = byG =
yxGT =
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração de Cholesky 
depois .yxGT =
�Fatoração de Cholesky: Primeiro verificar se 
a matriz é simétrica e definida positiva. Em 
caso positivo, continuar com o método de 
Cholesky.
�OBS:
MÉTODOS DIRETOS
Fatoração de Cholesky 
�OBS:
� A fatoração LU realiza cerca de n3/3 operações 
� A fatoração de Cholesky requer aproximadamente 
a metade das operações necessárias para a 
fatoração LU, da ordem de n3/6 operações.
Sistemas Lineares
Parte 3 Parte 3 
Métodos Iterativos
� Métodos diretos: eliminação por Gauss, 
fatoração LU, fatoração de Cholesky, ... 
Fornecem solução de qualquer sistema. Para 
minimizar problemas de arredondamento, 
adota-se o pivoteamento.
MÉTODOS ITERATIVOS
Introdução
adota-se o pivoteamento.
� Métodos iterativos: podem ser mais rápidos e 
necessitar de menos memóriado computador. 
Fornecem sequências que convergem para a 
solução sob certas condições. 
� Seja um sistema linear de ordem . A 
idéia é generalizar o método do ponto fixo, 
escrevendo o sistema linear na forma
bxA =
gxCx +=
n
MÉTODOS ITERATIVOS
Introdução
onde é uma matriz de ordem e é um 
vetor coluna . 
� Dado um vetor aproximação inicial , cons-
truímos iterativamente:
gxCx +=
C n g
1×n
)0(x
gxCx += )1()2(
gxCx += )0()1(
Se a sequência , , ....., 
convergir
)0(x
α=+= − gxCx kk
grandek
)1()(lim
)(kx)1(x
MÉTODOS ITERATIVOS
Introdução
Então é a solução do sistema linear
α== xbxA com
grandek
α
Se a sequência estiver suficientemente 
próximo de paramos o processo.
� Dada um precisão , quando
)(kx
ε
)1( −kx
MÉTODOS ITERATIVOS
Teste de Parada
� Dada um precisão , quando
então é a solução do sistema linear.
� Computacionalmente, um número máximo 
de iterações também é critério de parada.
ε<−= −
≤≤
1
1
)( k
i
k
i
ni
k xxMAXd
ε
)(kx
Seja o sistema linear
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
=++++
=++++
......
......
22323222121
11313212111
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Jacobi
Se podemos isolar 
por separação da diagonal.
nnnnnnn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
=++++
=++++
......
.........................................................
......
332211
22323222121
niaii ...1para0 =≠
gxCx +=
Iterativamente, o sistema reescreve-se 
como:
( ))(1)(313)(2121
11
)1(
1 ......
1 k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
+
−−−−=
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Jacobi
( )
( ))(11,)(22)(11)1(
)(
2
)(
323
)(
1212
22
)1(
2
11
......
1
.........................................................
......
1
k
nnn
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
a
−−
+
+
−−−−=
−−−−=
Desta forma temos , onde
e










−−
−−
=
.................................
/.......0/
/....../0
2222221
1111112
n
n
aaaa
aaaa
C










=
ab
ab
g
.......
/
/
222
111
gxCx +=
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Jacobi
Do método de Gauss-Jacobi, dado ,
Obtemos , ....., através da relação
recursiva







 −− 0.......//
.................................
21 nnnnnn aaaa





 nnn ab /
.......
)0(x
)1(x )1( +kx
gxCx kk +=+ )()1(
Exemplo: Seja o sistema linear
Seja com . Portanto,




−= 6.1
7.0
)0(x 05.0=ε





=++
−=++
=++
61032
85
7210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Jacobi
Seja com . Portanto,






−=
6.0
6.1)0(x 05.0=ε










−−
−−
−−
=
010/35/1
5/105/1
10/110/20
C










−=










−=
6.0
6.1
7.0
10/6
5/8
10/7
g
Substituindo
94.06.0)6.1(3.0)7.0(2.06.03.02.0
86.16.1)6.0(2.0)7.0(2.06.12.02.0
96.07.0)6.0(1.0)6.1(2.07.01.02.0
)0(
2
)0(
1
)1(
3
)0(
3
)0(
1
)1(
2
)0(
3
)0(
2
)1(
1
=+−−−=+−−=
−=−−−=−−−=
=+−−−=+−−=
xxx
xxx
xxx
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Jacobi
Segue . Calculando 










−=
94.0
86.1
96.0
)1(x
94.06.0)6.1(3.0)7.0(2.06.03.02.0 213 =+−−−=+−−= xxx
05.034.0
05.026.0
05.026.0
)0(
3
)1(
3
)1(
3
)0(
2
)1(
2
)1(
2
)0(
1
)1(
1
)1(
1
>=−=
>=−=
>=−=
xxd
xxd
xxd
Continuando com 










−=
966.0
98.1
978.0
)2(x
( ) ( ) ε>=−= 12.012)2( ii xxMAXd
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Jacobi
Segue é a solução, pois
critério de parada
ε>=−=
≤≤
12.0
1
ii
ni
xxMAXd










−=
998.0
999.1
999.0
)3(x
ε<=−=
≤≤
032.0)2()3(
1
)3(
ii
ni
xxMAXd
� Nos métodos iterativos são necessários 
critérios que garantam a convergência.
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Jacobi – Critério de Convergência
� Um critério para a convergência do 
Método de Gauss-Jacobi é dado pelo: 
1) Critério das linhas.
� Teorema – Critério das linhas
Dado o sistema , seja bxA = ||/)||( kk
n
kjk aa∑
=
=α
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Jacobi – Convergência: critério das linhas
Se , então o método de Gauss-
Jacobi gera uma série convergente para a
solução do sistema independentemente da 
escolha de .
1
kj
j
∑
≠
=
1max
1
<α=α
≤≤ knk
)0(x
� Exemplo:Considere o sistema já estudado










=
1032
151
1210
A





=++
−=++
=++
61032
851
7210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Jacobi – Convergência: critério das linhas
Critério das linhas:
Logo, convergência OK!
13.0
10
12
1 <=
+
=α
 =++ 61032 321 xxx
15.0
10
32
3 <=
+
=α14.0
5
11
2 <=
+
=α
15.0max
1
<=α=α
≤≤ knk
� Obs1: O sistema converge pelo método de Gauss-
Jacobi. No entanto, . Isto mostra que o Teorema das 
linhas é apenas suficiente para convergência.



−=−
=+
33
3
21
21
xx
xx
1max
1
=α=α
≤≤ knk
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Jacobi – Convergência: critério das linhas
linhas é apenas suficiente para convergência.
� Obs2: O sistema
� Contudo, o sistema 
Equivalente converge
pelo critério das linhas
6860
3225
231
321
321
321
−=++
=++
−=++
xxx
xxx
xxx
4max
1
=α=α
≤≤ knk
6860
231
3225
321
321
321
−=++
−=++
=++
xxx
xxx
xxx
18.0max
1
<=α=α
≤≤ knk
Seja o sistema linear
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
=++++
=++++
......
......
22323222121
11313212111
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Seidel
Se podemos isolar 
por separação da diagonal.
nnnnnnn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
=++++
=++++
......
.........................................................
......
332211
22323222121
niaii ...1para0 =≠
gxCx +=
Iterativamente, o sistema reescreve-se 
como:
( ))(1)(313)(2121
11
)1(
1 ......
1+
−−−−=
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Seidel
( )
( ))1(11,)1(22)1(11)1(
)(
2
)(
323
)1(
1212
22
)1(
2
11
......
1
.........................................................
......
1
+
−−
+++
++
−−−−=
−−−−=
k
nnn
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
xaxaxab
a
x
a
Comentário: Gauss-Jacobi X Gauss-Seidel
� O Método de Gauss-Seidel é uma variação do 
Método de Gauss-Jacobi, pois para 
)1( +k
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Seidel
calcular utilizamos os valores 
já calculados e os valores restantes 
)1( +k
jx
)1(
1
)1(
3
)1(
2
)1(
1 ,.....,,,
+
−
+++ k
j
kkk
xxxx
)1()1(
2
)1(
1 ,.....,,
++
+
+
+
k
n
k
j
k
j xxx
Exemplo:Seja o sistema linear
Seja com. Portanto,



=
0
)0(





=++
=++
=++
0633
6143
5115
321
321
321
xxx
xxx
xxx
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Seidel
Seja com . Portanto,








=
0
0)0(x 05.0=ε
( )
( )
( ))1(2)1(1)1(3
)(
3
)1(
1
)1(
2
)(
3
)(
2
)1(
1
5.05.00
25.075.05.1
2.02.01
+++
++
+
−−=
−−=
−−=
kkk
kkk
kkk
xxx
xxx
xxx
Logo, a primeira iteração fornece
( )
( )
( )
75.0025.0175.05.125.075.05.1
10012.02.01
)0(
3
)1(
1
)1(
2
)0(
3
)0(
2
)1(
1
=×−×−=−−=
=−−=−−=
xxx
xxx
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Seidel
( )
( ) 88.075.05.015.05.05.00
75.0025.0175.05.125.075.05.1
)1(
2
)1(
1
)1(
3
312
−=×−×−=−−=
=×−×−=−−=
xxx
xxx










−
=
88.0
75.0
1
)1(x
ε>=−−=−
ε>=−=−
ε>=−=−
88.0088.0
75.0075.0
101
)0(
3
)1(
3
)0(
2
)1(
2
)0(
1
)1(
1
xx
xx
xx
Logo, a segunda iteração fornece
( )
( )
( )
95.025.075.05.1
03.12.02.01
)1(
3
)2(
1
)2(
2
)1(
3
)1(
2
)2(
1
=−−=
=−−=
xxx
xxx
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Seidel
( )
( ) 99.05.05.00
95.025.075.05.1
)2(
2
)2(
1
)2(
3
312
−=−−=
=−−=
xxx
xxx










−
=
99.0
95.0
03.1
)2(x
ε>=−
ε>=−
ε<=−
11.0
2.0
03.0
)1(
3
)2(
3
)1(
2
)2(
2
)1(
1
)2(
1
xx
xx
xx
Logo, a terceira iteração fornece
( )
( )
( )
99.025.075.05.1
01.12.02.01
)2(
3
)3(
1
)3(
2
)2(
3
)2(
2
)3(
1
=−−=
=−−=
xxx
xxx
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Seidel
( )
( ) 00.15.05.00
99.025.075.05.1
)3(
2
)3(
1
)3(
3
312
−=−−=
=−−=
xxx
xxx










−
=
00.1
99.0
01.1
)3(x
ε<=−
ε<=−
ε<=−
01.0
04.0
02.0
)2(
3
)3(
3
)2(
2
)3(
2
)2(
1
)3(
1
xx
xx
xx
Logo, após a terceira iteração








−
== 99.0
01.1
)3(xx
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Seidel
é solução do sistema considerado com erro 
menor do que .



− 00.1
05.0=ε
� Nos métodos iterativos são necessários 
critérios que garantam a convergência.
� Convergência para o Método de Gauss-Seidel:
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-SEIDEL – Critério de Convergência
� Convergência para o Método de Gauss-Seidel:
1) Critério das linhas (já visto)
2) Critério de Sassenfeld
� Os critérios acima estabelecem condições 
suficientes para a convergência.
� Sejam 
e 
∑
=
=
+++
=β
n
j
jn
a
a
a
aaa
2 11
1
11
11312
1 ||
||
||
|||||| K
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Seidel – Convergência: critério de Sassenfeld
e 
niaaa
a
aaaaa
ii
n
ij
ijj
i
j
ij
ii
iniiiiiii
i
K
KK
,3,2||/|||| 
||
||||||||||
1
1
1
1112211
=







+=
+++++
=
∑∑
+=
−
=
+−−
β
ββββ
� Seja
Se β < 1, o método de Gauss-Seidel gera 
}{max
1 ini
β=β
≤≤
MÉTODOS ITERATIVOS
Método de Gauss-Seidel – Convergência: critério de Sassenfeld
Se β < 1, o método de Gauss-Seidel gera 
uma sequência convergente para 
qualquer . 
Quanto menor β, mais rápida será a 
convergência.
)0(x
Seja o sistema:







−=+++
=++−−
−=−−+
=+−+
5.22.03.01.0
0.12.02.01.0
6.21.02.02.0
2.01.01.05.0
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
7.01/]1.01.05.0[||/|]||||[|||/]||[ 1114131211
4
2
11 =++=++==β ∑
=
aaaaaa
j
j
MÉTODOS ITERATIVOS - Exemplos
274.01/]358.02.044.02.07.01.0[ 
||/]|||||[|||/|]|||[
358.01/]2.044.02.07.01.0[ 
||/|]||||[|||/|]|||[
44.01/]1.02.07.02.0[ 
||/|]||||[|||/|]|||[
4434324214144
4
14
4
14
1
44
333423213133
4
13
3
13
1
33
22242312122
4
12
2
12
1
22
=⋅+⋅+⋅=
=β+β+β=+β=β
=+⋅+⋅=
=+β+β=+β=β
=++⋅=
=++β=+β=β
∑∑
∑∑
∑∑
+=
−
=
+=
−
=
+=
−
=
aaaaaaa
aaaaaaa
aaaaaaa
j
jj
j
j
j
jj
j
j
j
jj
j
j
� Então, 17.0}{max
1
<=β=β
≤≤ ini
MÉTODOS ITERATIVOS - Exemplos
de modo que o método de Gauss-Seidel 
converge. 
2. Seja o sistema:
Neste caso,





=+
=+−
=++
33 
1 
932
31
32
321
xx
xx
xxx
122/]31[ >=+=β
MÉTODOS ITERATIVOS - Exemplos
Neste caso,
Trocando a 1ª equação pela terceira, 
Nesta disposição: 
122/]31[1 >=+=β





=++
=+−
=+
932
1 
33 
321
32
31
xxx
xx
xx
131/]30[1 >=+=β
2. Agora se trocarmos a 1ª coluna pela 
terceira, 





=++
=+−
=+
923
1 
3 3
123
23
13
xxx
xx
xx
MÉTODOS ITERATIVOS - Exemplos
Nesta disposição: 
 =++ 923 123 xxx
3/22//)3/1(1)3/1(3[
3/11/]0)3/1(1[
3/13/]11[
3
2
1
=⋅+⋅=β
=+⋅=β
=+=β
13/2}{max
1
<=β=β
≤≤ ini
Garantia de 
convergência
3. Seja o sistema:
� O método de Gauss-Seidel gera uma sequência 
convergente, apesar do critério das linhas não ser 



−=−
=+
33
3
21
21
xx
xx
MÉTODOS ITERATIVOS - Exemplos
convergente, apesar do critério das linhas não ser 
satisfeito.
� Pelo critério de Sassenfeld 
3/13/11
11/1
2
1
=⋅=β
==β O critério de Sassenfeld 
não é satisfeito.
O critério de Sassenfeld também é 
suficiente, mas não necessário.
Seja o sistema:
Método de Gauss-Jacobi:



−=−
=+
33
3
21
21
xx
xx
( )
)(
2
)1(
1 3
kk
xx −=
+
MÉTODOS ITERATIVOS - Comparações
Método de Gauss-Jacobi:
Temos a sequência:
( ))(1)1(2 331 kk xx −=+






=





=





=





=





=
3/4
3/4
,
3/5
1
,
2
2
,
1
3
,
0
0 )4()3()2()1()0( xxxxx
Seja o sistema:
Método de Gauss-Seidel:



−=−
=+
33
3
21
21
xx
xx
)()1( 3+ −= kk xx
MÉTODOS ITERATIVOS - Comparações
Método de Gauss-Seidel:
Temos a sequência: 
( ))1(1)1(2
)(
2
)1(
1
3
3
1
3
++
−=
−=
kk
kk
xx
xx






=





=





=





=
9/14
3/5
,
3/4
1
,
2
3
,
0
0 )3()2()1()0( xxxx
� Comentário1: As duas sequências convergem para a 
solução exata do sistema . Vejamos,
a) Gauss-Jacobi :
b) Gauss-Seidel:
� Comentário 2: A convergência do Método de Gauss-
( )5.15.1=∗x
( )56.167.1)3( =GSx
( )33.133.1)4( =GJx
MÉTODOS ITERATIVOS - Comparações
� Comentário 2: A convergência do Método de Gauss-
Seidel é mais rápida, por construção do método.
� Comentário 3: Embora a ordem das equações num 
sistema linear não mude a solução exata, as sequências
geradas pelos Métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel 
dependem fundamentalmente da disposição das equações
1) Convergência: 
� Os Métodos Diretos são processos finitos 
portanto fornecem solução para qualquer 
MÉTODOS DIRETOS E ITERATIVOS 
Comparações
portanto fornecem solução para qualquer 
sistema linear não-singular. 
� Os Métodos Iterativos têm convergência 
assegurada sob certas condições.
2) Esparsidade da Matriz : 
Em problemasreais, como a discretização de EDO’s pelo
Método de Elementos Finitos ou Diferenças Finitas, as 
matrizes dos coeficientes tornam-se esparsas. A forma de 
armazenamento destes dados tira proveito da esparsidade.
A
MÉTODOS DIRETOS E ITERATIVOS 
Comparações
� Métodos diretos em sistemas esparsos provocam o 
preenchimento da matriz e no processo de Eliminação 
(escalonamento) geram elementos não-nulos, onde originalmente 
tínhamos elementos nulos. Técnicas especiais de pivoteamento 
reduzem este preenchimento. Fatoramento LU dão bons 
resultados. Algumas situações estes métodos não são possíveis.
� Métodos iterativos não alteram a estrutura da matriz dos 
coeficientes. Vantagem.
3) Erros de Arredondamento
� Métodos Diretos têm problemas de 
arredondamento. Técnicas de Pivoteamento 
MÉTODOS DIRETOS E ITERATIVOS 
Comparações
arredondamento. Técnicas de Pivoteamento 
amenizam tais erros.
� Métodos iterativos têm menos erros de 
arredondamento, quando a convergência 
estiver assegurada. 
� Fazer exercícios 3, 5, 9,14, 22, 29 do 
LISTA DE EXERCÍCIOS
livro texto.