Aula9_Integracao

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INTEGRAÇÃO
NUMÉRICANUMÉRICA
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
� 7.1 Introdução
� 7.2 Fórmulas de Newton-Cotes
� 7.2.1 Regra dos Trapézios
� 7.2.2 Regra dos Trapézios Repetida
� 7.2.3 Regra 1/3 de Simpson
� 7.2.3 Regra 1/3 de Simpson Repetida
� 7.2.4 Regra 3/8 de Simpson 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.1 INTRODUÇÃO
� Se é uma função contínua em . então 
existe a função primitiva . tal que
)(xf ].[ ba
)(xF )()( xfxF =′
)()()( aFbFdxxfb
a
−=⇒ ∫
� Problema 1: Na maioria das vezes pode não ser fácil 
expressar através das funções ditas 
elementares.
� Problema 2: Em alguns casos temos apenas uma
tabela de . Como calcular ?
Nestes casos calculamos numericamente!!! 
)(xF
)(xf dxxf
b
a
)(∫
dxxfb
a
)(∫
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.1 INTRODUÇÃO
� Idéia básica. Para calcular numericamente
vamos expressar como um polinômio no inter-
valo . Deduziremos expressões que têm a forma].[ ba
)(xf
dxxfb
a
)(∫
onde Quando escrevemos 
uma integral na forma (1). estamos implementando o 
formalismo de Newton-Cotes.
(1) )(....)()()( 1100 nn
b
a
xfAxfAxfAdxxf +++=∫
[ ] .,...,2,1 com , nibaxi =∈
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2 FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
� No procedimento de Newton-Cotes o polinômio 
aproxima em pontos de . igualmente 
espaçados. Se os subintervalos têm comprimento
. então as fórmulas fechadas de Newton-Cotes 
],[ ba)(xf
h . então as fórmulas fechadas de Newton-Cotes 
para integração têm a forma
h
( )
nabhxx
xfAxfAxfAxfA
dxxfdxxf
ii
ii
n
i
nn
x
x
b
a
n
/)( onde
)(....)()(
)()(
1
0
1100
0
−==−
=+++
≈=
+
=
∑
∫∫
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2 FÓRMULAS DE NEWTON-COTES
Comentário 1: Os coeficientes das formas fechadas 
de Newton-Cotes são determinados de acordo como
grau do polinômio aproximador de . 
iA
)(xfgrau do polinômio aproximador de . 
Comentário 2: As formas abertas de Newton-Cotes. 
construídas de forma análoga às fechadas. diferem 
pelo fato que 
)(xf
( ) ., e 0 baxx n ∈
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS
Utilizando a Forma de Lagrange para expressar .
que interpola em obtemos:
)(1 xp[ ] ,, e 10 baxx ∈)(xf
)()( 1
1 dxxpdxxf bx
ax
b
a
=≈ ∫∫
=
=
( ) ( )
[ ])()(
2
)()(
)()(
10
1
0
0
1
1
1
0
0
xfxfhI
Idxxf
h
xx
xf
h
xx
dxxpdxxf
T
T
x
x
axa
+=⇒
=




 −
+
−
−
=≈
∫
∫∫
=
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS
Note que é a área do trapézio de altura
e de base .
TI
01 xxh −= )(e)( 10 xfxf
)(xf )(xf
)( 0xf
)( 1xf
1xb =0xa =
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS
Ao substituir a área sob a curva pela área
do trapézio estamos realizando uma aproxima-
ção e cometendo um erro. Verifica-se que este
)(xf
erro é dado por
[ ]
( )baccfhE
Exfxfhdxxf
T
T
bx
ax
, onde )(
12
 com
)()(
2
)(
3
10
1
0
∈′′−=
++=∫
=
=
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA
Quando o intervalo é grande. devemos 
fazer várias subdivisões e aplicar a regra do 
trapézio repetidas vezes. Sendo
[ ]ba,
mihxx ii ,....,2,1,0 com 1 ==−+
[ ] ( ) ( )1
3
1
0
0
, onde
12
)()(
2
)()( 1
++
=
=
∈






 ′′
−+=
=≈⇒
∑
∫∑∫
+
iii
i
ii
m
i
x
x
m
i
b
a
xxc
cfh
xfxfh
dxxfdxxf i
i
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA
O erro cometido em aplicar vezes a regra do 
trapézio é 
( ) ( )bafhmETR , com 12
3
∈′′−= ξξ
m
Graficamente
12
h
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA
Exemplo1: Considere a integral dxe x∫
1
0
a) Calcule uma aproximação para a integral 
utilizando 10 subintervalos e a regra do 
trapézio repetida. Estime o erro cometido.
b) Qual é o número mínimo de subdivisões. de 
modo que o erro seja inferior a .310−
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA
Solucão. a) Fazendo 10 subintervalo no intervalo
temos e .
Aplicando a regra do trapézio repetida.
[ ]2...2221.0 0.19.03.02.01.001 ++++++=∫ eeeeeedxe x
]1,0[
10,..,2,1 para 1.0 == iixi1.0=h
Estimativa do erro: 
[ ]
719713.1
2...222
2
1.0
1
0
0.19.03.02.01.001
0
=⇒
++++++=
∫
∫
dxe
eeeeeedxe
x
x
( ) ( )1,0 com 
12
1.010 3
∈ξ= ξeETR
⇒≤=≤ 003.000227.0 12/01.0 eETR 003.0720.1
1
0
±=∫ dxex
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA
Solucão. b) Para obter erro de temos que 310−
( )
 
12
101 onde 
12
10
2
3
3
3 ≥⇒=≥ −− eh
m
hehm
Como subintervalos.1603759.151 ≥⇒== mhm
0665.000441.01012h
 
12
10 onde 
12
10
3
2 ≤⇒=×≤
≥⇒=≥
−
h
e
e
m
he
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Exemplo 2: Calcular usando a regra do trapézio a 
integral
Considendo , obtemos a Tabela
∫
2.1
0
cos xdxe x
2.0=h
xo x1 x2 x3 x4 x5 x6
x 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200
exp(x) 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.320
cos(x) 1.000 0.980 0.921 0.825 0.697 0.540 0.362
exp(x)*cos(x) 1.000 1.197 1.374 1.504 1.551 1.469 1.203
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
xo x1 x2 x3 x4 x5 x6
Exemplo 2: Logo
( )[ ]
639.1)cos(
)()()(2)(
2
)cos(
1
0
6510
1
0
≅⇒
++++≈
∫
∫
dxxe
xfxfxfxfhdxxe
x
x
L
xo x1 x2 x3 x4 x5 x6
x 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200
exp(x) 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.320
cos(x) 1.000 0.980 0.921 0.825 0.697 0.540 0.362
exp(x)*cos(x) 1.000 1.197 1.374 1.504 1.551 1.469 1.203
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Exemplo 2: Estimativa do erro (considere 3 casas decimais 
corretas ):
( ) ( )2.1 ,0 com )(
12
3
∈′′= ξζfhmETR
( ) ( )
 )(max)( sendo ,2.1 ,0 com )(
12
2.06
1.2t0
3
tfffETR ′′=′′∈′′= ≤≤ζξζ
( )-30.5x10
12
188.6 )(2max )(max)(
1.2t01.2t0
=−=′′=′′
≤≤≤≤
tetsentff ζ
mm
abh 2.1=−=
( )
3-
2
3-
3
0.5x10.1886
12
2.1
 0.5x10.1886
12
2.1
≤⇒≤= h
h
hETR
 02842.0 
0000808.0 0.5x10.1886
12
2.1
 
23-
2
≤⇒
≤⇒≤⇒
h
hh
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Exemplo 2: Logo, , e para termos divisões 
exatas consideraremos , assim 
 02842.0 ≤h
 025.0 =h
48
025.0
2.1
 =⇒=⇒
−
= mm
h
ab
m
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON
Utilizando a Forma de Lagrange para expres-
sar . que interpola nos pontos
. segue que 
)(2 xp
bhxxhxxx =+=+== 2 e e a 02010
)(xf
bhxxhxxx =+=+== 2 e e a 02010
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) )()(
)()(
2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
2
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xp
−−
−−
+
−−
−−
+
+
−−
−−
=
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON
ou ainda
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) )(2)()(2)( 2
10
1
20
0
21
2 xfhh
xxxx
xf
hh
xxxx
xf
hh
xxxx
xp
−−
+
−
−−
+
−−
−−
=
( )( ) ( )( )
( )( ) [ ])()(4)(
32
)(
)(
2
)(
)()(
210102
2
202
1
212
0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
xfxfxfhIdxxxxx
h
xf
dxxxxxh
xfdxxxxx
h
xf
I
Idxxpdxxf
S
x
x
x
x
x
x
S
S
bx
ax
b
a
++=⇒−−+
−−−−−=
=≈⇒
∫
∫∫
∫∫
=
=
Regra 1/3 de Simpson
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON
De modo análogo à Regra do Trapézio. na Re-
gra 1/3 de Simpson estamos realizando uma 
aproximação e cometendo um erro. Verifica-se 
que este erro é dado por
[ ]
( ) ( )20
5
210
, onde )(
90
 com
)()(4)(
3
)(2
0
xxccfhE
Exfxfxfhdxxf
iv
S
S
bx
ax
∈−=
+++=∫
=
=
Note o ganho no erro ao passar da aproximação linear para a quadrática
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA
Novamente. quando o intervalo é grande.
a solução é fazer várias subdivisões e aplicar a
regra 1/3 de Simpson repetidas vezes. Sendo
[ ]ba,
aplicando Simpson 1/3 em um subintervalo:
mihxx ii ,....,2,1,0 com 1 ==−+
[ ] ( )( )
( )iii
i
iv
iii
x
x
xxc
cfh
xfxfxfhdxxfi
i
, onde
90
)()(4)(
3
)(
2
5
12
2
−
−−
∈








−++=∫
−
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA
Considerando todos subintervalos 
[ ] [ ]
[ ] ( ) ( ) })()(4)(.....
)()(4)()()(4)({
3
)(
52/
432210
i
ivm
b
a
EI
cfh
xfxfxf
xfxfxfxfxfxfhdxxf
+=−+++
++++++≈
∑
∫
onde
[ ] ( ) 
90
})()(4)(.....
1
12 SRSR
i
i
mmm EI
cfh
xfxfxf +=−+++ ∑
=
−−
[ ] [ ]
[ ]
( ) ( )
 
902
})()(4)(....
)()(4)()()(4)({
3
5
12
432210






−=
+++
+++++=
−−
i
iv
SR
mmm
SR
cfhmE
xfxfxf
xfxfxfxfxfxfhI
Agora temos m/2 subintervalos
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA
Exemplo1: Considere a integral dxe x∫
1
0
a) Calcule uma aproximação para a integral 
utilizando 10 subintervalos e a regra 1/3 de 
Simpson repetida. Estime o erro cometido.
b) Qual é o número mínimo de subdivisões. de 
modo que o erro .310−
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA
Solucão. a) Fazendo 10 subintervalo no intervalo
temos e .
Aplicando a regra 1/3 Simpson repetida.
[ ]1.01
]1,0[
10,..,2,1 para 1.0 == iixi1.0=h
Estimativa do erro:
[ ]
718282788.1 
42...2424
3
1.0
1
0
0.19.08.04.03.02.01.001
0
=⇒
++++++++=
∫
∫
dxe
eeeeeeeedxe
x
x
( ) ( )1,0 com 
90
1.05 5
∈ξ= ξeETR
⇒×≤×=≤ −−− 665 1021051.1 18/10 eETR 000002.0718283.1
1
0
±=∫ dxe x
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA
Solucão. b) Para obter um erro inferior a 310−
( )
 
180
101 onde 
902
10
4
3
5
3 ≥⇒=≥ −− eh
m
hehm
Como subintervalos.
Note a convergência rápida da regra 1/3 de Simpson
29713.11 ≥⇒== m
h
m
50728.006622.0h
180902
4 ≤⇒≤ h
m
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Exemplo 2: Calcular usando a regra 1/3 Simpson 
repetida a integral
Considendo , obtemos a Tabela
∫
2.1
0
cos xdxe x
2.0=h
xo x1 x2 x3 x4 x5 x6
x 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200
exp(x) 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.320
cos(x) 1.000 0.980 0.921 0.825 0.697 0.540 0.362
exp(x)*cos(x) 1.000 1.197 1.374 1.504 1.551 1.469 1.203
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Exemplo 2: Calcular usando a regra 1/3 Simpson 
repetida a integral
[ ])()(4)(2)(4)(2)(4)(
3
)cos(
6543210
1
0
++++++
≅∫
xfxfxfxfxfxfxfh
dxxe x
xo x1 x2 x3 x4 x5 x6
x 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200
exp(x) 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.320
cos(x) 1.000 0.980 0.921 0.825 0.697 0.540 0.362
exp(x)*cos(x) 1.000 1.197 1.374 1.504 1.551 1.469 1.203
5908.1)cos(
3
1
0
≅⇒ ∫ dxxe x
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Exemplo 2: Estimativa do erro (considere 3 casas decimais 
corretas ): EXERCICIO
( )2.1 ,0 com 
90
)(
2
)(5
∈= ξζ
iv
SR
fhmE
( )-30.5x10
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
EXERCICIOS: 1) Calcular usando as regras:
a) dos Trapézios 
b) 1/3 Simpson
com 8 subintervalos. Estime o erro cometido da integral: 
∫
10
6
log xdx∫6
xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
xi
f(xi)
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
EXERCICIOS: 2) Determine os resultados com três casas 
decimais das funções elementares, utilizando as 
regras:
a) dos Trapézios 
b) 1/3 Simpson
com 8 subintervalos. O que pode concluir sobre a regra 
∫
2
0
)( dxxf
com 8 subintervalos. O que pode concluir sobre a regra 
de Simpson?
2.667Simpson
4.000Trapézio
 2.667exata
1
1
1)( 242 xesenxx
x
xxxf +
+
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
EXERCICIOS: 3) Calcule as integrais pela Regra do Trapézio e 
pela Regra de Simpson usando seis subintervalos
e
4) Calcule o valor de com três casas decimais exatas, usando 
∫
4
1
 dxx
pi
∫ +
6.0
1 x1
 
dx
4) Calcule o valor de com três casas decimais exatas, usando 
a relação:
5) Dado a tabela abaixo, calcule a integral , com 
o menor erro possível. 
pi
∫ +=
1
0 21
 
4 x
dxpi
∫
30.0
15.0
(x) dxf
204.1347.1514.1897.1)(
30.026.022.015.0
xf
x
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON X TRAPÉZIO
1. A convergência da regra 1/3 de Simpson é 
mais rápida do que a convergência da regra do 
Trapézio.
As demais fórmulas fechadas de integração de 2. As demais fórmulas fechadas de integração de 
Newton-Cotes trabalham com polinômios de 
graus n=3 e n=4....
3. Para um n qualquer a fórmula de Newton –
Cotes é apresentada no próximo slide.
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON X TRAPÉZIO
Fórmula de Newton-Cotes para n qualquer
Lagrange de forma utilizando )()(
00
∫∫ ==≈
=
=
nn
n
x
x
xb
xa
dxxpdxxf
[ ]
 )( 
)(....)()(
)()(...)()()()(
)()(...)()()()(
0
000
0
1100
1100
1100
∫
∫∫∫
∫
=⇒
+++=
=+++=
=+++=
n
nnn
n
x
x
ii
nn
x
x
nn
x
x
x
x
nn
x
x
dxxLA
xfAxfAxfA
dxxLxfdxxLxfdxxLxf
dxxLxfxLxfxLxf
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.4. REGRA 3/8 DE SIMPSON
Utilizando a Forma de Lagrange para expressar .
que interpola nos pontos:
segue que 
)(3 xp
bhxxhxxhxxx =+=+=+== 3 e 2 e e a 0302010
)(xf
segue que ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( ) )( 
)()(
)()( 
3
231303
210
2
321202
310
1
312101
320
0
3'2010
321
3
xf
xxxxxx
xxxxxx
xf
xxxxxx
xxxxxx
xf
xxxxxx
xxxxxx
xf
xxxxxx
xxxxxx
xp
−−−
−−−
+
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
=
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.4. REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA
Integrando
)()( 8/38/38/33
3 EIEdxxpdxxf SSS
bxb
+=+=⇒ ∫∫
=
=
[ ])()(3)(3)(
8
3
)()(
32108/3
8/38/38/33
0
xfxfxfxfhI
EIEdxxpdxxf
S
SSS
axa
+++=
+=+=⇒ ∫∫
=
Regra 3/8 de Simpson
( ) ( )cfhE ivS 58/3 80
3
−= ( )30 , onde xxc∈
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
7.2.4. REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA
Considerando todos subintervalos 
[ ]
[ ] ....)()(3)(3)( 
)()(3)(3)({
8
3)(
7654
3210
b
a
xfxfxfxf
xfxfxfxfhdxxf
+++++
++++≈∫
Enfim. o erro cometido pela regra 3/8 de Simpson é
[ ]
[ ]})()(3)(3)( 
....)()(3)(3)( 
123
7654
mmmm xfxfxfxf
xfxfxfxf
++++
+++++
−−−
( ) ( ) ],[ onde 
80
3
3
5
8/3 baccfhmE iiivSR −=
Neste caso temos m/3 
subintervalos
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
Observações
� Como o termo do erro para a regra dos trapézios 
envolve a segunda derivada, a regra forneceo 
resultado exato quando aplicado a qualquer função 
cuja segunda derivada seja identicamente numa.
� Como o termo do erro para a regra de Simpson 
envolve a quarta derivada, a regra fornece o 
resultado quando aplicado a qualquer polinômio de 
grau menor ou igual a três.
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
� Veremos nesta aula a Regra ou Fórmula da 
Quadratura de Gauss.
� As fórmulas de Newton-Cotes integram polinômios 
interpoladores e os erros envolvem a (n+1)-ésima ou interpoladores e os erros envolvem a (n+1)-ésima ou 
(n+2)-ésima derivadas. Assim, elas são exatas para 
polinômios de grau < n+1 ou <n+2, respectivamente.
� A Fórmula da Quadratura de Gauss integra 
exatamente polinômios de grau<2n+2
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
� Como nos Métodos de Newton-Cotes 
escrevemos uma integral como
( ) ( ) ( )nnb
a
xfAxfAxfAdxxfI +++== ∫ ....)( 1100
onde os coeficientes e os pontos para
i=0,1,2,..,n devem ser determinados de 
modo a obter a melhor precisão possível.
Característica: Partição não-regular
a∫
iA ix
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
� Comecemos o desenvolvimento para dois 
pontos:
( ) ( )1100)( xfAxfAdxxfI b
a
+== ∫
� Por simplicidade tomemos o intervalo [-1,1]. 
Note que sempre é possível passar do 
intervalo [a,b] --> [-1,1] através da 
transformação:
[ ]
dtabdttxdx
tabtabtx
)(
2
1)(
1,1 para )(
2
1)(
2
1)(
−=′=
−∈++−=
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
� Segue 1
1
1
1
)(
2
1)(
2
1)(
2
1)( onde
)()())(()(
abtabfabtF
dttFdttxtxfdxxfI b
a






++−−=
=′== ∫∫∫
−−
onde os parâmetros devem ser 
determinados de modo que a integral seja exata 
para polinômios de graus inferiores a 3.
( ) ( )110011 )(
)(
2
)(
2
)(
2
)( onde
tFAtFAdttFI
abtabfabtF
+==⇒




++−−=
∫
−
1010 ,,, ttAA
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
� Sejam
Note que qualquer polinômio de grau 3
3
3
2
210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF ====
)()()()()( 33221103 tFatFatFatFatP o +++=
é combinação das funções acima. Assim, 
impomos que a fórmula da quadratura 
Gaussiana seja exata para estes polinô-
mios, segue: 
)()()()()( 33221103 tFatFatFatFatP o +++=
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
[ ] [ ]
)()(
)()()(
1
1 33
1
1 22
1
1 11
1
1 003
1
1
dttFadttFa
dttFadttFadttP
++++=
=++
++=
∫∫
∫∫∫
−−
−−−
como esperado, a fórmula é exata para 
este polinômios:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
)()( 
)()()()(
)()()()(
131030
13103031210202
11101011010000
tPAtPA
tFAtFAatFAtFAa
tFAtFAatFAtFAa
+=
=++++
++++=
( ) ( )110011 )( tFAtFAdttFI +== ∫−
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
� Considerando
podemos determinar as incógnitas
3
3
2
210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF ====
através de
Que gera um sistema linear 4X4. Vejamos 
3,2,1,0 para 1100
1
1
=+== ∫
−
ktAtAdttI kkk
1010 ,,, ttAA
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
Obtemos o sistema
20
111 1
10
0
11
0
00
1
1
0
=+⇒+=⇒=
=+⇒+=⇒=
∫
∫
−
AAtAtAdttk
03
3/22
01
3
11
3
00
3
11
3
00
1
1
3
2
01
2
00
2
01
2
00
1
1
2
1100
1
11
1
00
1
1
1
=+⇒+=⇒=
=+⇒+=⇒=
=+⇒+=⇒=
∫
∫
∫
−
−
−
tAtAtAtAdttk
tAtAtAtAdttk
tAtAtAtAdttk
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
Resolvendo o sistema, obtemos
3/3e1 1010 −=−=== ttAA
de modo que podemos escrever a Fórmu-
la de Quadratura Gaussiana, que é exata 
para polinômios de graus inferiores a 3, 
como








+







−== ∫
− 3
3
3
3)(1
1
FFdttFIGauss
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
Para 3 pontos, a fórmula da quadratura 
gaussiana é exata para polinômios de 
graus inferiores e iguais a 5. Então,
Analogamente, qualquer polinômio de 
grau 5 pode ser escrito em termos de 
( ) ( ) ( )22110011 )( tFAtFAtFAdttFI ++== ∫−
5
5
4
4
3
3
2
210 )(,)(,)(,)(,)(,1)( ttFttFttFttFttFtF ======
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
� Agora podemos determinar as incógnitas
através do sistema linear 
6X6 abaixo:
210210 ,,,,, tttAAA
Escrevendo explicitamente o sistema,
5,4,3,2,1,0 para 221100
1
1
=++== ∫
−
ktAtAtAdttI kkkk
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
01
20
1
221100
1
22
1
11
1
00
1
1
1
210
0
22
0
11
0
00
1
1
0
=++⇒++=⇒=
=++⇒++=⇒=
∫
∫
∫
−
−
tAtAtAtAtAtAdttk
AAAtAtAtAdttk
05
5/24
03
3/22
5
22
5
11
5
00
5
22
5
11
5
00
1
1
5
4
21
4
11
4
00
4
22
4
11
4
00
1
1
4
3
22
3
11
3
00
3
22
3
11
3
00
1
1
3
2
21
2
11
2
00
2
22
2
11
2
00
1
1
2
=++⇒++=⇒=
=++⇒++=⇒=
=++⇒++=⇒=
=++⇒++=⇒=
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−
tAtAtAtAtAtAdttk
tAtAtAtAtAtAdttk
tAtAtAtAtAtAdttk
tAtAtAtAtAtAdttk
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
Resolvendo o sistema, obtemos
0e
5
3
,
9
8
e
9
5
120120 =−=−==== tttAAA
de modo que podemos escrever a Fórmu-
la de Quadratura Gaussiana, que é exata 
para polinômios de graus inferiores a 5, 
como
( ) 






++







−== ∫
− 5
3
9
50
9
8
5
3
9
5)(1
1
FFFdttFIGauss
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
Exemplo 1: Calcule utilizando 
quadratura gaussiana para 2 e 3 pontos.
dxeI x3
3
1∫=
x
=Solução: Temos no intervalo [1,3].
Fazendo a mudança de variáveis
xexf 3)( =
[ ] [ ]
2t3eF(t) e1)(
1,1 temos3,1 para
2)(
2
1)(
2
1)(
+
==′=⇒
−∈∈
+=++−=
dtdttxdx
tx
tabtabtx
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
Então, seguem os valores exato e apro-
ximados para n=2 e n=3 pontos
1018.523 :Exato
3
== ∫ dxeI x
( )
1004.52
9
53
9
83
9
53 
5
3
9
50
9
8
5
3
9
5)(3:3n
9309.5133 
3
3
3
3)(3:2n
1018.523 :Exato
25
3
225
3
1
1
3
1
2
3
32
3
3
1
1
3
1
1
=++=
=







++







−==≈=
=+=
=







+







−==≈=
==





 +




 +−
−








+







+−
−
∫∫
∫∫
∫
eee
FFFdttFIdxe
ee
FFdttFIdxe
dxeI
Gauss
x
Gauss
x
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
A tabela abaixo compara o Método da 
Quadratura Gaussiana com o Método de 
Simpson 1/3 para dxeI x3
3
1∫=
Exato Gauss 
n=2
Gauss 
n=3
Simpson
n=3
Simpson
n=5
Simpson
n=7
Valor 52.1018 51.9309 52.1004 52.3601 52.1194 52.1053
Erro 0.1709 0.0014 0.2583 0.0176 0.0035
1∫
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
Exemplo 2: Calcule utilizando 
quadratura gaussiana para 2 pontos.
dxeI x−∫=
10
0
x−
=Solução: Temos no intervalo [0,10].
Fazendo a mudança de variáveis
xexf −=)(
[ ] [ ]
5-5t-eF(t) e5)(
1,1 temos10,0 para
55)(
2
1)(
2
1)(
==′=⇒
−∈∈
+=++−=
dtdttxdx
tx
tabtabtx
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
Então, seguem os valores exato e aproximado 
para n=2 são:
3
35
3
35)(5:2n
999955.0 :Exato
110
10
0
=





+





−==≈=
==
−−
∫∫
∫
FFdttFIdxe
dxeI
Gauss
x
x
O erro verdadeiro:
� O Método do Trapézio necessitaria de n=16 pontos para atingir 
este erro. Através de Simpson 1/3 seriam necessários n=9 
pontos.
606102.055 
3
5
3
5)(5:2n
5
3
355
3
35
10
=+=
=





+





−==≈=








−−







−
−
∫∫
ee
FFdttFIdxe Gauss
393853.0606102.0999955.0Erro =−=
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
Conclusão 1: As fórmulas da quadratura gaussiana produzem 
melhores resultados que aquelas dos métodos de Newton-
Cotes com partição regulares (trapézio, Simpson,...)
Conclusão 2: Quando aumentamos o número de pontos todos 
métodos melhoram a precisão.métodos melhoram a precisão.
Conclusão 3: Se o intervalo for grande, com no caso Trapézio e 
Simpson Repetidas, podemos criar subintervalos e aplicar 
quadratura gaussiana em cada intervalo
Problema: Se não tivermos f(x) e sim uma tabela de dados 
experimentais, então o método da quadratura gaussiana não é 
aplicável.
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
 := r eeee
( )−x2
 = d⌠
⌡

0
1
eeee
( )−x2
x 0.7468241328
> r := exp(-x^2);
> Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1));
M
A0
 = d⌠
⌡

0
1
eeee
( )−x2
x 0.74682413281242702540
 = d⌠
⌡

0
1
eeee
( )−x2
x 0.74682413281242702540
> Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1, digits=20, method=_Dexp));
> Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1, digits=20, method=_Gquad));
A
P
L
E
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.3 Quadratura Gaussiana
Exercício: Considere a integral
a) Estime I por Trapézio quando h=1/4.
b) Estime I por Simpson 1/3 quando h=1/4.
dxeI x
21
0
−∫=
b) Estime I por Simpson 1/3 quando h=1/4.
c) Estime I por Gauss quando n=2 e n=3.
Dado: 
74682.0
21
0
==
−∫ dxeI x