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INTEGRAÇÃO NUMÉRICANUMÉRICA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA � 7.1 Introdução � 7.2 Fórmulas de Newton-Cotes � 7.2.1 Regra dos Trapézios � 7.2.2 Regra dos Trapézios Repetida � 7.2.3 Regra 1/3 de Simpson � 7.2.3 Regra 1/3 de Simpson Repetida � 7.2.4 Regra 3/8 de Simpson INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1 INTRODUÇÃO � Se é uma função contínua em . então existe a função primitiva . tal que )(xf ].[ ba )(xF )()( xfxF =′ )()()( aFbFdxxfb a −=⇒ ∫ � Problema 1: Na maioria das vezes pode não ser fácil expressar através das funções ditas elementares. � Problema 2: Em alguns casos temos apenas uma tabela de . Como calcular ? Nestes casos calculamos numericamente!!! )(xF )(xf dxxf b a )(∫ dxxfb a )(∫ INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1 INTRODUÇÃO � Idéia básica. Para calcular numericamente vamos expressar como um polinômio no inter- valo . Deduziremos expressões que têm a forma].[ ba )(xf dxxfb a )(∫ onde Quando escrevemos uma integral na forma (1). estamos implementando o formalismo de Newton-Cotes. (1) )(....)()()( 1100 nn b a xfAxfAxfAdxxf +++=∫ [ ] .,...,2,1 com , nibaxi =∈ INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2 FÓRMULAS DE NEWTON-COTES � No procedimento de Newton-Cotes o polinômio aproxima em pontos de . igualmente espaçados. Se os subintervalos têm comprimento . então as fórmulas fechadas de Newton-Cotes ],[ ba)(xf h . então as fórmulas fechadas de Newton-Cotes para integração têm a forma h ( ) nabhxx xfAxfAxfAxfA dxxfdxxf ii ii n i nn x x b a n /)( onde )(....)()( )()( 1 0 1100 0 −==− =+++ ≈= + = ∑ ∫∫ INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2 FÓRMULAS DE NEWTON-COTES Comentário 1: Os coeficientes das formas fechadas de Newton-Cotes são determinados de acordo como grau do polinômio aproximador de . iA )(xfgrau do polinômio aproximador de . Comentário 2: As formas abertas de Newton-Cotes. construídas de forma análoga às fechadas. diferem pelo fato que )(xf ( ) ., e 0 baxx n ∈ INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS Utilizando a Forma de Lagrange para expressar . que interpola em obtemos: )(1 xp[ ] ,, e 10 baxx ∈)(xf )()( 1 1 dxxpdxxf bx ax b a =≈ ∫∫ = = ( ) ( ) [ ])()( 2 )()( )()( 10 1 0 0 1 1 1 0 0 xfxfhI Idxxf h xx xf h xx dxxpdxxf T T x x axa +=⇒ = − + − − =≈ ∫ ∫∫ = INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS Note que é a área do trapézio de altura e de base . TI 01 xxh −= )(e)( 10 xfxf )(xf )(xf )( 0xf )( 1xf 1xb =0xa = INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS Ao substituir a área sob a curva pela área do trapézio estamos realizando uma aproxima- ção e cometendo um erro. Verifica-se que este )(xf erro é dado por [ ] ( )baccfhE Exfxfhdxxf T T bx ax , onde )( 12 com )()( 2 )( 3 10 1 0 ∈′′−= ++=∫ = = INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA Quando o intervalo é grande. devemos fazer várias subdivisões e aplicar a regra do trapézio repetidas vezes. Sendo [ ]ba, mihxx ii ,....,2,1,0 com 1 ==−+ [ ] ( ) ( )1 3 1 0 0 , onde 12 )()( 2 )()( 1 ++ = = ∈ ′′ −+= =≈⇒ ∑ ∫∑∫ + iii i ii m i x x m i b a xxc cfh xfxfh dxxfdxxf i i INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA O erro cometido em aplicar vezes a regra do trapézio é ( ) ( )bafhmETR , com 12 3 ∈′′−= ξξ m Graficamente 12 h INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA Exemplo1: Considere a integral dxe x∫ 1 0 a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 subintervalos e a regra do trapézio repetida. Estime o erro cometido. b) Qual é o número mínimo de subdivisões. de modo que o erro seja inferior a .310− INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA Solucão. a) Fazendo 10 subintervalo no intervalo temos e . Aplicando a regra do trapézio repetida. [ ]2...2221.0 0.19.03.02.01.001 ++++++=∫ eeeeeedxe x ]1,0[ 10,..,2,1 para 1.0 == iixi1.0=h Estimativa do erro: [ ] 719713.1 2...222 2 1.0 1 0 0.19.03.02.01.001 0 =⇒ ++++++= ∫ ∫ dxe eeeeeedxe x x ( ) ( )1,0 com 12 1.010 3 ∈ξ= ξeETR ⇒≤=≤ 003.000227.0 12/01.0 eETR 003.0720.1 1 0 ±=∫ dxex INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA Solucão. b) Para obter erro de temos que 310− ( ) 12 101 onde 12 10 2 3 3 3 ≥⇒=≥ −− eh m hehm Como subintervalos.1603759.151 ≥⇒== mhm 0665.000441.01012h 12 10 onde 12 10 3 2 ≤⇒=×≤ ≥⇒=≥ − h e e m he INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Exemplo 2: Calcular usando a regra do trapézio a integral Considendo , obtemos a Tabela ∫ 2.1 0 cos xdxe x 2.0=h xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 exp(x) 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.320 cos(x) 1.000 0.980 0.921 0.825 0.697 0.540 0.362 exp(x)*cos(x) 1.000 1.197 1.374 1.504 1.551 1.469 1.203 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 Exemplo 2: Logo ( )[ ] 639.1)cos( )()()(2)( 2 )cos( 1 0 6510 1 0 ≅⇒ ++++≈ ∫ ∫ dxxe xfxfxfxfhdxxe x x L xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 exp(x) 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.320 cos(x) 1.000 0.980 0.921 0.825 0.697 0.540 0.362 exp(x)*cos(x) 1.000 1.197 1.374 1.504 1.551 1.469 1.203 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Exemplo 2: Estimativa do erro (considere 3 casas decimais corretas ): ( ) ( )2.1 ,0 com )( 12 3 ∈′′= ξζfhmETR ( ) ( ) )(max)( sendo ,2.1 ,0 com )( 12 2.06 1.2t0 3 tfffETR ′′=′′∈′′= ≤≤ζξζ ( )-30.5x10 12 188.6 )(2max )(max)( 1.2t01.2t0 =−=′′=′′ ≤≤≤≤ tetsentff ζ mm abh 2.1=−= ( ) 3- 2 3- 3 0.5x10.1886 12 2.1 0.5x10.1886 12 2.1 ≤⇒≤= h h hETR 02842.0 0000808.0 0.5x10.1886 12 2.1 23- 2 ≤⇒ ≤⇒≤⇒ h hh INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Exemplo 2: Logo, , e para termos divisões exatas consideraremos , assim 02842.0 ≤h 025.0 =h 48 025.0 2.1 =⇒=⇒ − = mm h ab m INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON Utilizando a Forma de Lagrange para expres- sar . que interpola nos pontos . segue que )(2 xp bhxxhxxx =+=+== 2 e e a 02010 )(xf bhxxhxxx =+=+== 2 e e a 02010 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) )()( )()( 2 1202 10 1 2101 20 0 2010 21 2 xf xxxx xxxx xf xxxx xxxx xf xxxx xxxx xp −− −− + −− −− + + −− −− = INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON ou ainda ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) )(2)()(2)( 2 10 1 20 0 21 2 xfhh xxxx xf hh xxxx xf hh xxxx xp −− + − −− + −− −− = ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ])()(4)( 32 )( )( 2 )( )()( 210102 2 202 1 212 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 xfxfxfhIdxxxxx h xf dxxxxxh xfdxxxxx h xf I Idxxpdxxf S x x x x x x S S bx ax b a ++=⇒−−+ −−−−−= =≈⇒ ∫ ∫∫ ∫∫ = = Regra 1/3 de Simpson INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON De modo análogo à Regra do Trapézio. na Re- gra 1/3 de Simpson estamos realizando uma aproximação e cometendo um erro. Verifica-se que este erro é dado por [ ] ( ) ( )20 5 210 , onde )( 90 com )()(4)( 3 )(2 0 xxccfhE Exfxfxfhdxxf iv S S bx ax ∈−= +++=∫ = = Note o ganho no erro ao passar da aproximação linear para a quadrática INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Novamente. quando o intervalo é grande. a solução é fazer várias subdivisões e aplicar a regra 1/3 de Simpson repetidas vezes. Sendo [ ]ba, aplicando Simpson 1/3 em um subintervalo: mihxx ii ,....,2,1,0 com 1 ==−+ [ ] ( )( ) ( )iii i iv iii x x xxc cfh xfxfxfhdxxfi i , onde 90 )()(4)( 3 )( 2 5 12 2 − −− ∈ −++=∫ − INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Considerando todos subintervalos [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) })()(4)(..... )()(4)()()(4)({ 3 )( 52/ 432210 i ivm b a EI cfh xfxfxf xfxfxfxfxfxfhdxxf +=−+++ ++++++≈ ∑ ∫ onde [ ] ( ) 90 })()(4)(..... 1 12 SRSR i i mmm EI cfh xfxfxf +=−+++ ∑ = −− [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 902 })()(4)(.... )()(4)()()(4)({ 3 5 12 432210 −= +++ +++++= −− i iv SR mmm SR cfhmE xfxfxf xfxfxfxfxfxfhI Agora temos m/2 subintervalos INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Exemplo1: Considere a integral dxe x∫ 1 0 a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 subintervalos e a regra 1/3 de Simpson repetida. Estime o erro cometido. b) Qual é o número mínimo de subdivisões. de modo que o erro .310− INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Solucão. a) Fazendo 10 subintervalo no intervalo temos e . Aplicando a regra 1/3 Simpson repetida. [ ]1.01 ]1,0[ 10,..,2,1 para 1.0 == iixi1.0=h Estimativa do erro: [ ] 718282788.1 42...2424 3 1.0 1 0 0.19.08.04.03.02.01.001 0 =⇒ ++++++++= ∫ ∫ dxe eeeeeeeedxe x x ( ) ( )1,0 com 90 1.05 5 ∈ξ= ξeETR ⇒×≤×=≤ −−− 665 1021051.1 18/10 eETR 000002.0718283.1 1 0 ±=∫ dxe x INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Solucão. b) Para obter um erro inferior a 310− ( ) 180 101 onde 902 10 4 3 5 3 ≥⇒=≥ −− eh m hehm Como subintervalos. Note a convergência rápida da regra 1/3 de Simpson 29713.11 ≥⇒== m h m 50728.006622.0h 180902 4 ≤⇒≤ h m INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Exemplo 2: Calcular usando a regra 1/3 Simpson repetida a integral Considendo , obtemos a Tabela ∫ 2.1 0 cos xdxe x 2.0=h xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 exp(x) 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.320 cos(x) 1.000 0.980 0.921 0.825 0.697 0.540 0.362 exp(x)*cos(x) 1.000 1.197 1.374 1.504 1.551 1.469 1.203 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Exemplo 2: Calcular usando a regra 1/3 Simpson repetida a integral [ ])()(4)(2)(4)(2)(4)( 3 )cos( 6543210 1 0 ++++++ ≅∫ xfxfxfxfxfxfxfh dxxe x xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 exp(x) 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.320 cos(x) 1.000 0.980 0.921 0.825 0.697 0.540 0.362 exp(x)*cos(x) 1.000 1.197 1.374 1.504 1.551 1.469 1.203 5908.1)cos( 3 1 0 ≅⇒ ∫ dxxe x INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Exemplo 2: Estimativa do erro (considere 3 casas decimais corretas ): EXERCICIO ( )2.1 ,0 com 90 )( 2 )(5 ∈= ξζ iv SR fhmE ( )-30.5x10 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA EXERCICIOS: 1) Calcular usando as regras: a) dos Trapézios b) 1/3 Simpson com 8 subintervalos. Estime o erro cometido da integral: ∫ 10 6 log xdx∫6 xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 xi f(xi) INTEGRAÇÃO NUMÉRICA EXERCICIOS: 2) Determine os resultados com três casas decimais das funções elementares, utilizando as regras: a) dos Trapézios b) 1/3 Simpson com 8 subintervalos. O que pode concluir sobre a regra ∫ 2 0 )( dxxf com 8 subintervalos. O que pode concluir sobre a regra de Simpson? 2.667Simpson 4.000Trapézio 2.667exata 1 1 1)( 242 xesenxx x xxxf + + INTEGRAÇÃO NUMÉRICA EXERCICIOS: 3) Calcule as integrais pela Regra do Trapézio e pela Regra de Simpson usando seis subintervalos e 4) Calcule o valor de com três casas decimais exatas, usando ∫ 4 1 dxx pi ∫ + 6.0 1 x1 dx 4) Calcule o valor de com três casas decimais exatas, usando a relação: 5) Dado a tabela abaixo, calcule a integral , com o menor erro possível. pi ∫ += 1 0 21 4 x dxpi ∫ 30.0 15.0 (x) dxf 204.1347.1514.1897.1)( 30.026.022.015.0 xf x INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON X TRAPÉZIO 1. A convergência da regra 1/3 de Simpson é mais rápida do que a convergência da regra do Trapézio. As demais fórmulas fechadas de integração de 2. As demais fórmulas fechadas de integração de Newton-Cotes trabalham com polinômios de graus n=3 e n=4.... 3. Para um n qualquer a fórmula de Newton – Cotes é apresentada no próximo slide. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON X TRAPÉZIO Fórmula de Newton-Cotes para n qualquer Lagrange de forma utilizando )()( 00 ∫∫ ==≈ = = nn n x x xb xa dxxpdxxf [ ] )( )(....)()( )()(...)()()()( )()(...)()()()( 0 000 0 1100 1100 1100 ∫ ∫∫∫ ∫ =⇒ +++= =+++= =+++= n nnn n x x ii nn x x nn x x x x nn x x dxxLA xfAxfAxfA dxxLxfdxxLxfdxxLxf dxxLxfxLxfxLxf INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.4. REGRA 3/8 DE SIMPSON Utilizando a Forma de Lagrange para expressar . que interpola nos pontos: segue que )(3 xp bhxxhxxhxxx =+=+=+== 3 e 2 e e a 0302010 )(xf segue que ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) )( )()( )()( 3 231303 210 2 321202 310 1 312101 320 0 3'2010 321 3 xf xxxxxx xxxxxx xf xxxxxx xxxxxx xf xxxxxx xxxxxx xf xxxxxx xxxxxx xp −−− −−− + + −−− −−− + −−− −−− + −−− −−− = INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.4. REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA Integrando )()( 8/38/38/33 3 EIEdxxpdxxf SSS bxb +=+=⇒ ∫∫ = = [ ])()(3)(3)( 8 3 )()( 32108/3 8/38/38/33 0 xfxfxfxfhI EIEdxxpdxxf S SSS axa +++= +=+=⇒ ∫∫ = Regra 3/8 de Simpson ( ) ( )cfhE ivS 58/3 80 3 −= ( )30 , onde xxc∈ INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.4. REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA Considerando todos subintervalos [ ] [ ] ....)()(3)(3)( )()(3)(3)({ 8 3)( 7654 3210 b a xfxfxfxf xfxfxfxfhdxxf +++++ ++++≈∫ Enfim. o erro cometido pela regra 3/8 de Simpson é [ ] [ ]})()(3)(3)( ....)()(3)(3)( 123 7654 mmmm xfxfxfxf xfxfxfxf ++++ +++++ −−− ( ) ( ) ],[ onde 80 3 3 5 8/3 baccfhmE iiivSR −= Neste caso temos m/3 subintervalos INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Observações � Como o termo do erro para a regra dos trapézios envolve a segunda derivada, a regra forneceo resultado exato quando aplicado a qualquer função cuja segunda derivada seja identicamente numa. � Como o termo do erro para a regra de Simpson envolve a quarta derivada, a regra fornece o resultado quando aplicado a qualquer polinômio de grau menor ou igual a três. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Veremos nesta aula a Regra ou Fórmula da Quadratura de Gauss. � As fórmulas de Newton-Cotes integram polinômios interpoladores e os erros envolvem a (n+1)-ésima ou interpoladores e os erros envolvem a (n+1)-ésima ou (n+2)-ésima derivadas. Assim, elas são exatas para polinômios de grau < n+1 ou <n+2, respectivamente. � A Fórmula da Quadratura de Gauss integra exatamente polinômios de grau<2n+2 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Como nos Métodos de Newton-Cotes escrevemos uma integral como ( ) ( ) ( )nnb a xfAxfAxfAdxxfI +++== ∫ ....)( 1100 onde os coeficientes e os pontos para i=0,1,2,..,n devem ser determinados de modo a obter a melhor precisão possível. Característica: Partição não-regular a∫ iA ix INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Comecemos o desenvolvimento para dois pontos: ( ) ( )1100)( xfAxfAdxxfI b a +== ∫ � Por simplicidade tomemos o intervalo [-1,1]. Note que sempre é possível passar do intervalo [a,b] --> [-1,1] através da transformação: [ ] dtabdttxdx tabtabtx )( 2 1)( 1,1 para )( 2 1)( 2 1)( −=′= −∈++−= INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Segue 1 1 1 1 )( 2 1)( 2 1)( 2 1)( onde )()())(()( abtabfabtF dttFdttxtxfdxxfI b a ++−−= =′== ∫∫∫ −− onde os parâmetros devem ser determinados de modo que a integral seja exata para polinômios de graus inferiores a 3. ( ) ( )110011 )( )( 2 )( 2 )( 2 )( onde tFAtFAdttFI abtabfabtF +==⇒ ++−−= ∫ − 1010 ,,, ttAA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Sejam Note que qualquer polinômio de grau 3 3 3 2 210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF ==== )()()()()( 33221103 tFatFatFatFatP o +++= é combinação das funções acima. Assim, impomos que a fórmula da quadratura Gaussiana seja exata para estes polinô- mios, segue: )()()()()( 33221103 tFatFatFatFatP o +++= INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana [ ] [ ] )()( )()()( 1 1 33 1 1 22 1 1 11 1 1 003 1 1 dttFadttFa dttFadttFadttP ++++= =++ ++= ∫∫ ∫∫∫ −− −−− como esperado, a fórmula é exata para este polinômios: [ ] [ ] [ ] [ ] )()( )()()()( )()()()( 131030 13103031210202 11101011010000 tPAtPA tFAtFAatFAtFAa tFAtFAatFAtFAa += =++++ ++++= ( ) ( )110011 )( tFAtFAdttFI +== ∫− INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Considerando podemos determinar as incógnitas 3 3 2 210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF ==== através de Que gera um sistema linear 4X4. Vejamos 3,2,1,0 para 1100 1 1 =+== ∫ − ktAtAdttI kkk 1010 ,,, ttAA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Obtemos o sistema 20 111 1 10 0 11 0 00 1 1 0 =+⇒+=⇒= =+⇒+=⇒= ∫ ∫ − AAtAtAdttk 03 3/22 01 3 11 3 00 3 11 3 00 1 1 3 2 01 2 00 2 01 2 00 1 1 2 1100 1 11 1 00 1 1 1 =+⇒+=⇒= =+⇒+=⇒= =+⇒+=⇒= ∫ ∫ ∫ − − − tAtAtAtAdttk tAtAtAtAdttk tAtAtAtAdttk INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Resolvendo o sistema, obtemos 3/3e1 1010 −=−=== ttAA de modo que podemos escrever a Fórmu- la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 3, como + −== ∫ − 3 3 3 3)(1 1 FFdttFIGauss INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Para 3 pontos, a fórmula da quadratura gaussiana é exata para polinômios de graus inferiores e iguais a 5. Então, Analogamente, qualquer polinômio de grau 5 pode ser escrito em termos de ( ) ( ) ( )22110011 )( tFAtFAtFAdttFI ++== ∫− 5 5 4 4 3 3 2 210 )(,)(,)(,)(,)(,1)( ttFttFttFttFttFtF ====== INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Agora podemos determinar as incógnitas através do sistema linear 6X6 abaixo: 210210 ,,,,, tttAAA Escrevendo explicitamente o sistema, 5,4,3,2,1,0 para 221100 1 1 =++== ∫ − ktAtAtAdttI kkkk INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana 01 20 1 221100 1 22 1 11 1 00 1 1 1 210 0 22 0 11 0 00 1 1 0 =++⇒++=⇒= =++⇒++=⇒= ∫ ∫ ∫ − − tAtAtAtAtAtAdttk AAAtAtAtAdttk 05 5/24 03 3/22 5 22 5 11 5 00 5 22 5 11 5 00 1 1 5 4 21 4 11 4 00 4 22 4 11 4 00 1 1 4 3 22 3 11 3 00 3 22 3 11 3 00 1 1 3 2 21 2 11 2 00 2 22 2 11 2 00 1 1 2 =++⇒++=⇒= =++⇒++=⇒= =++⇒++=⇒= =++⇒++=⇒= ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − tAtAtAtAtAtAdttk tAtAtAtAtAtAdttk tAtAtAtAtAtAdttk tAtAtAtAtAtAdttk INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Resolvendo o sistema, obtemos 0e 5 3 , 9 8 e 9 5 120120 =−=−==== tttAAA de modo que podemos escrever a Fórmu- la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 5, como ( ) ++ −== ∫ − 5 3 9 50 9 8 5 3 9 5)(1 1 FFFdttFIGauss INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Exemplo 1: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 e 3 pontos. dxeI x3 3 1∫= x =Solução: Temos no intervalo [1,3]. Fazendo a mudança de variáveis xexf 3)( = [ ] [ ] 2t3eF(t) e1)( 1,1 temos3,1 para 2)( 2 1)( 2 1)( + ==′=⇒ −∈∈ +=++−= dtdttxdx tx tabtabtx INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Então, seguem os valores exato e apro- ximados para n=2 e n=3 pontos 1018.523 :Exato 3 == ∫ dxeI x ( ) 1004.52 9 53 9 83 9 53 5 3 9 50 9 8 5 3 9 5)(3:3n 9309.5133 3 3 3 3)(3:2n 1018.523 :Exato 25 3 225 3 1 1 3 1 2 3 32 3 3 1 1 3 1 1 =++= = ++ −==≈= =+= = + −==≈= == + +− − + +− − ∫∫ ∫∫ ∫ eee FFFdttFIdxe ee FFdttFIdxe dxeI Gauss x Gauss x INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana A tabela abaixo compara o Método da Quadratura Gaussiana com o Método de Simpson 1/3 para dxeI x3 3 1∫= Exato Gauss n=2 Gauss n=3 Simpson n=3 Simpson n=5 Simpson n=7 Valor 52.1018 51.9309 52.1004 52.3601 52.1194 52.1053 Erro 0.1709 0.0014 0.2583 0.0176 0.0035 1∫ INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Exemplo 2: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 pontos. dxeI x−∫= 10 0 x− =Solução: Temos no intervalo [0,10]. Fazendo a mudança de variáveis xexf −=)( [ ] [ ] 5-5t-eF(t) e5)( 1,1 temos10,0 para 55)( 2 1)( 2 1)( ==′=⇒ −∈∈ +=++−= dtdttxdx tx tabtabtx INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Então, seguem os valores exato e aproximado para n=2 são: 3 35 3 35)(5:2n 999955.0 :Exato 110 10 0 = + −==≈= == −− ∫∫ ∫ FFdttFIdxe dxeI Gauss x x O erro verdadeiro: � O Método do Trapézio necessitaria de n=16 pontos para atingir este erro. Através de Simpson 1/3 seriam necessários n=9 pontos. 606102.055 3 5 3 5)(5:2n 5 3 355 3 35 10 =+= = + −==≈= −− − − ∫∫ ee FFdttFIdxe Gauss 393853.0606102.0999955.0Erro =−= INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Conclusão 1: As fórmulas da quadratura gaussiana produzem melhores resultados que aquelas dos métodos de Newton- Cotes com partição regulares (trapézio, Simpson,...) Conclusão 2: Quando aumentamos o número de pontos todos métodos melhoram a precisão.métodos melhoram a precisão. Conclusão 3: Se o intervalo for grande, com no caso Trapézio e Simpson Repetidas, podemos criar subintervalos e aplicar quadratura gaussiana em cada intervalo Problema: Se não tivermos f(x) e sim uma tabela de dados experimentais, então o método da quadratura gaussiana não é aplicável. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana := r eeee ( )−x2 = d⌠ ⌡ 0 1 eeee ( )−x2 x 0.7468241328 > r := exp(-x^2); > Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1)); M A0 = d⌠ ⌡ 0 1 eeee ( )−x2 x 0.74682413281242702540 = d⌠ ⌡ 0 1 eeee ( )−x2 x 0.74682413281242702540 > Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1, digits=20, method=_Dexp)); > Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1, digits=20, method=_Gquad)); A P L E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Exercício: Considere a integral a) Estime I por Trapézio quando h=1/4. b) Estime I por Simpson 1/3 quando h=1/4. dxeI x 21 0 −∫= b) Estime I por Simpson 1/3 quando h=1/4. c) Estime I por Gauss quando n=2 e n=3. Dado: 74682.0 21 0 == −∫ dxeI x
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