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Aula7_interpolacao

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são de grau n.
IMPORTANTE: Como os yi são dados, devemos no 
Método de Lagrange determinar os .
)(.......)()()( 1100 xLyxLyxLyxp nnn +++=
)(xLk
)(xLk
4.2 Forma de Lagrange
� Queremos que as condições sejam 
satisfeitas, ou seja, iin
yxp =)(
iinniiin yxLyxLyxLyxp =+++= )(.......)()()( 1100
� Solução 
Note que e 
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )nkkkkkkk
nkk
k
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL
−−−−−
−−−−−
=
+−
+−
.......................
.......................)(
1110
1110
iinniiin yxLyxLyxLyxp =+++= )(.......)()()( 1100
1)( =kk xL kise0)( ≠=ik xL
4.2 Forma de Lagrange
� Logo, 
� Enfim, a forma de Lagrange para o polinômio 
iiiiikk
n
k
in yxLyxLyxp ===∑
=
)()()(
0
� Enfim, a forma de Lagrange para o polinômio 
interpolador é: 
com )()(
0
xLyxp kk
n
k
n ∑
=
=
( )
( )C
C
n
kj
j
jk
n
kj
j
j
k
xx
xx
xL
≠
=
≠
=
−
−
=
0
0
)(
4.2 Forma de Lagrange - Exemplo
� Seja a tabela:
� Devemos interpolar os 3 pontos com uma forma de 
Lagrange. Segue:
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
)()()()()( 221100
2
0
2 xLyxLyxLyxLyxp kk
k
++==∑
=
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 3
2
2101
20)(
2
2010
21
0
xxxx
xxxx
xxxx
xL −=
−−−−
−−
=
−−
−−
=
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 2
2
2010
21)(
2
2101
20
1
−
−−
=
++
−+
=
−−
−−
=
xxxx
xxxx
xxxx
xL
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 60212
01)(
2
1202
10
2
xxxx
xxxx
xxxx
xL +=
−+
−+
=
−−
−−
=
4.2 Forma de Lagrange - Exemplo
� Enfim, a forma de Lagrange da interpolação:
222
2 )1(
2124)( xxxxxxxp 


 +
−+



−
−−
+



−
=
Mesmo resultado a resolução do sistema linear!!!
Isto já era esperado, pois o polinômio interpolador é 
ÚNICO
2
2
2
3
2
3
71)( 
6
)1(
2
1
3
4)(
xxxp
xp
+−=




−+


 −
+



=
Exercícios: entregar no dia da 
Prova
� 1a) Mostre que o polinômio interpolador para os dados 
da tabela é 
x 0.1 0.6 0.8
f(x) 1.221 3.320 4.953
xxxp 667.5231.0141.1)(2 ++=
� 1b) Determinar usando o polinômio 
interpolador dado em a).
)2.0(2p
f(x) 1.221 3.320 4.953
� 2) Encontre o polinômio interpolador de ordem 2
(Parábola) que ajusta os pontos abaixo utilizando o
método de eliminação de Gauss para triangularizar o
sistema de equações.
x 3 9 20
f(x) 1.5 4.5 6
� 3) Considere a tabela de dados experimentais ao lado:
Escreva o polinômio interpolador de Lagrange de
ordem 2 para esse conjunto de pontos. Calcule
� e .
f(x) 1.5 4.5 6
x 1.1 2.2 3.5
f(x) 10 29 90
)5.1(2p
)5.2(2p
� 4) Considerando um função do tipo ,
escreva o polinômio interpolador de Lagrange de
ordem 3 passando que passa pelos pontos 1, 2, 3
e 4. Calcule e .)1.1(3p
)1ln(5)( ++= xxxf
=x
)2.1(3p
4.2 Forma de Newton
� A forma de Newton para o polinônio pn(x), que 
interpola f(x) em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn , é 
a seguinte:
� No Método de Newton, os valores de são dados 
por diferenças divididas de ordem k.
( ) ( )( )
( )( ) ( )110
102010
....... 
.......)(
−
−−−+
++−−+−+=
nn
n
xxxxxxd
xxxxdxxddxp
kd
4.2 Forma de Newton
Operador Diferenças Divididas
Seja f(x) definida em (n+1) pontos distintos x0, 
x1, ..., xn. O operador diferenças divididas é dado:
)(][ 00 xfxf =
)()(][][ xfxfxfxf −−
01
01
01
01
10
)()(][][],[
xx
xfxf
xx
xfxf
xxf
−
−
=
−
−
=
02
1021
210
],[],[],,[
xx
xxfxxf
xxxf
−
−
=
03
210321
3210
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxf
xxxxf
−
−
=
4.2 Forma de Newton
Operador Diferenças Divididas
Seja f(x) definida em (n+1) pontos distintos x0, 
x1, ..., xn. O operador diferenças divididas é dado:
03
210321
3210
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxf
xxxxf
−
−
=
0
121021
210
],....,,,[],...,,[],...,,,[
xx
xxxxfxxxf
xxxxf
n
nn
n
−
−
=
−
4.2 Forma de Newton - Operador Diferenças Divididas
Construímos a tabela:
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem n
x0
x
],[ 10 xxf
],,[ xxxf
][ 0xf
][xf
)(][ 00 xfxf =
x1
x2
..... ...... ...... .........
xn
],[ 21 xxf
],,[ 210 xxxf][ 1xf
][ 2xf
][ nxf
],[ 32 xxf
],[ 1 nn xxf −
],,[ 321 xxxf
],..,,[ 10 nxxxf
4.2 Forma de Newton
1. Mostra-se que é simétrica nos 
argumentos, ou seja,
],...,,,[ 210 kxxxxf
],[],[ 0110 xxfxxf =
.......],,[],,[ == xxxfxxxf
2. Mostra-se que a forma de Newton para o polinômio 
de ordem n que interpola f(x) é
.......],,[],,[ 201210 == xxxfxxxf
],..,,,[))....()((... 
...],,[))((],[)(][)(
210110
210101000
nn
n
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
−
−−−++
+−−+−+=
4.2 Forma de Newton - Exemplo
� Sejam os dados:
� Tabela
x -1 0 1
f(x) 1 1 0
2 3
-1 -2
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 4
-1 F[x0]=1
F[x0,x1]=0
0 1 F[x0,x1,x2]=-1/2
-1 1/6
1 0 0 -1/24
-1 0
2 -1 0
-1
3 -2
4.2 Forma de Newton - Exemplo
� Sejam os dados:
� Tabela
x -1 0 1
f(x) 1 1 0
2 3
-1 -2
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 4
-1 F[x0]=1
F[x0,x1]=0
0 1 F[x0,x1,x2]=-1/2
-1 1/6
1 0 0 -1/24
-1 0
2 -1 0
-1
3 -2
4.2 Forma de Newton - Exemplo
� Dados:
� A forma de Newton que interpola estes pontos é dada 
x -1 0 1
f(x) 1 1 0
2 3
-1 -2
por
)2)(1)(1()24/1( 
)1)(1()6/1()1()2/1(1)(
)24/1()2)(1)(0)(1( 
)6/1()1)(0)(1( 
)2/1()0)(1(0)1(1)(
−−+−+
+−+++−+=
−−−−++
+−−++
+−−++++=
xxxx
xxxxxxp
xxxx
xxx
xxxxp
n
n
4.2 Forma de Newton
� A forma de Newton para o polinônio pn(x), que 
interpola f(x) em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn , é 
a seguinte:
� No Método de Newton, os valores de são dados 
por diferenças divididas de ordem k.
( ) ( )( )
( )( ) ( )110
102010
....... 
.......)(
−
−−−+
++−−+−+=
nn
n
xxxxxxd
xxxxdxxddxp
kd
1) Considere a tabela de dados experimentais ao lado:
Escreva o polinômio interpolador de Newton de ordem
2 para esse conjunto de pontos. Calcule
e .
)5.1(2p
)5.2(2p
Exercícios: entregar no dia da 
Prova
x 1.1 2.2 3.5
f(x) 10 29 90
� 2) Considerando um função do tipo ,
escreva o polinômio interpolador de Newton de ordem
3 passando que passa pelos pontos 1, 2, 3 e 4.
Calcule e .)1.1(3p
)1ln(5)( ++= xxxf
=x
)2.1(3p

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