Aula7_interpolacao

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INTERPOLAÇÃO
Interpolação
1. Introdução
2. Conceito de Interpolação
3. Interpolação Polinomial3. Interpolação Polinomial
4. Formas de obter pn(x)
4.1 Resolução de sistema linear
4.2 Forma de Lagrange
4.3 Forma de Newton
Introdução
� A tabela abaixo relaciona calor específico 
da água e temperatura:
Temperatura (°C) 20 25 30 35Temperatura (°C) 20 25 30 35
Calor específico 0.99907 0.99852 0.99826 0.99818
Temperatura (°C) 40 45 50
Calor específico 0.99828 0.99849 0.99878
1. Introdução
� Vamos supor que desejamos saber:
a) o calor específico da água a 32.5°;
b) a temperatura para a qual o calor b) a temperatura para a qual o calor 
específico é 0.99837.
Interpolação
Introdução
� Interpolar uma função f(x) consiste em 
aproximar essa função por uma função 
g(x), escolhida dentro de uma classe de g(x), escolhida dentro de uma classe de 
funções definida a priori e que satisfaça 
algumas propriedades. A função g(x) é 
então usada no lugar da função f(x). 
Introdução
� Situações de interpolação.
a) Quando temos os valores numéricos de uma 
função não conhecida para um conjunto de pontos 
e queremos o valor desta num ponto não tabelado.e queremos o valor desta num ponto não tabelado.
b) Quando uma função conhecida em estudo tem 
uma expressão tal que operações como 
diferenciação e integração são difíceis (ou 
impossíveis).
2. Conceito de Interpolação
� Sejam (n+1) pontos distintos:x0, x1, ..., xn, 
chamados nós da interpolação, e os valores de 
f(x): f(x0), f(x1), ..., f(xn).
� A interpolação de f(x) que veremos consiste � A interpolação de f(x) que veremos consiste 
em obter uma função g(x) tal que: 
g(x0) = f(x0), 
g(x1) = f(x1), 
g(xn) = f(xn).
M
2. Conceito de Interpolação
� Graficamente
f(x)
(x ,f(x )) g(x)
xx0 x1 x2 x3 x4 x5
(x0,f(x0))
(x1,f(x1))
(x2,f(x2))
(x3,f(x3))
(x4,f(x4))
(x5,f(x5))
f(x)
g(x)
2. Conceito de Interpolação
� Consideraremos aqui que g(x) é uma função 
polinomial. Contudo, a função g(x) escolhida 
pode ser: racional, trigonométrica, etc.pode ser: racional, trigonométrica, etc.
� Existem outras formas de interpolação, por 
exemplo via fórmula de Taylor, via polinômios 
de Hermite, etc.
3. Interpolação Polinomial
� Dados os pontos: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)),
queremos aproximar f(x) por um polinômio pn(x), 
de grau menor ou igual a n, tal que
f(xk) = pn(xk), k=0,1,2,..., n
3. Interpolação Polinomial
� Teorema: Existe um único polinômio pn(x), 
de grau menor ou igual a n, tal que f(xk) = pn(xk), 
k=0,1,2,..., n desde que kjjk ≠≠ ,xx
3. Interpolação Polinomial
Demonstração do Teorema:
Seja . 
n
nn xaxaxaaxp ++++= ....)( 2210
Das condições de interpolação:
)(....
.......................
)(....
)(....
2
210
11
2
12110
00
2
02010
n
n
nnnn
n
n
n
n
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa
xfxaxaxaa
=++++
=++++
=++++
3. Interpolação Polinomial
Demonstração do Teorema:
A matriz dos coeficientes é do tipo Vandermonde, 
logo desde que sejam pontos 
nxxxx ,....,,, 210
distintos, então o determinante da matriz dos 
coeficientes é não-nulo. Consequentemente o 
sistema admite solução única.
Conclusão: Existem únicos que 
satisfazem as condições de interpolação.
n210
naaaa ,....,,, 210
4. Formas de obter pn(x)
Há várias maneiras para obter pn(x). 
Discutiremos três possibilidades:Discutiremos três possibilidades:
� Resolução de Sistema Linear
� Forma de Lagrange
� Forma de Newton
4. Formas de obter pn(x)
1. Resolução de Sistema Linear
Exemplo 1: Encontrar o polinômio de grau 
menor ou igual a 2 que interpola os dados da 
tabela abaixo:tabela abaixo:
Temos então:
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
2
2102 )( xaxaaxp ++=
4.1 Resolução de Sistema Linear
Polinômio: 22102 )( xaxaaxp ++=
1421)2()2(
11)0()0(
44)1()1(
2102
02
2102
−=++⇒−==
=⇒==
=+−⇒=−=−
aaafp
afp
aaafp
Resolvendo o sistema linear, obtemos
1421)2()2( 2102 −=++⇒−== aaafp
3/23/7,1 210 =−== aaa e
2
2 3
2
3
71)( xxxp +−= polinômio que interpola 
f(x) em x0, x1 e x2
4.1 Resolução de Sistema Linear
2
2 3
2
3
71)( xxxp +−=
33
4.1 Resolução de Sistema Linear
� Nem sempre a resolução do sistema linear 
para se obter pn(x) é simples e exato.
Exemplo 2: Encontrar o polinômio de grau 
menor ou igual a 3 que interpola os dados menor ou igual a 3 que interpola os dados 
da tabela abaixo:
x 0.1 0.2 0.3 0.4
f(x) 5 13 -4 -8
4.1 Resolução de Sistema Linear
Polinômio: 3322103 )( xaxaxaaxp +++=
13008.004.02.013)2.0()2.0(
5001.001.01.05)1.0()1.0(
32103
32103
=+++⇔==
=+++⇔==
aaaafp
aaaafp
8064.016.04.08)4.0()4.0(
4027.009.03.04)3.0()3.0(
13008.004.02.013)2.0()2.0(
32103
32103
32103
−=+++⇔−==
−=+++⇔−==
=+++⇔==
aaaafp
aaaafp
aaaafp
Sistema de 4 equações 
com 4 incógnitas
4.1 Resolução de Sistema Linear
Resolvendo por eliminação de Gauss, com uma 
aritmética de ponto flutuante com três dígitos:






××××
××××
+−−
+−−
2210
1210
1013.0108.0104.0102.01
105.0101.0101.0101.01
Lembrete de aritmética de ponto fixo: 
β é a base; e é o expoente;
e t é o número de dígitos na mantissa.









 ×−×××
×−×××
××××
+−
+−−
1100
1110
108.01064.01016.0104.01
104.01027.0109.0103.01
1013.0108.0104.0102.01
e
tddd β×± ).0( 21 K
4.1 Resolução de Sistema Linear
� Obter p3(x) usando aritmética de ponto 
flutuante com três dígitos e eliminação de 
Gauss:
42 )10115.0(1066.0)( xxp ×+×−=
� Para x=0.4
3424
42
3
)10633.0()10505.0(
)10115.0(1066.0)(
xx
xxp
×+×−
×+×−=
 
8)4.0(
10)4.0(3
−=
−=
f
p )4.0()4.0(3 fp ≠
4.1 Resolução de Sistema Linear
Resolvendo por Eliminação de Gauss com 10 dígitos, utilizando o 
programa do Maple:
> with(LinearAlgebra):
A2 := 
<<1,1,1,1>|<0.1*10^(0),0.2*10^(0),0.3*10^(0),0.4*10^(0)>|<0.1*10^(<<1,1,1,1>|<0.1*10^(0),0.2*10^(0),0.3*10^(0),0.4*10^(0)>|<0.1*10^(
-1),0.4*10^(-1),0.9*10^(-1),0.16*10^(0)>|<0.1*10^(-2),0.8*10^(-
2),0.27*10^(-1),0.64*10^(-1)>>;
 := A2






1 0.1 0.01000000000 0.001000000000
1 0.2 0.04000000000 0.008000000000
1 0.3 0.09000000000 0.02700000000
1 0.4 0.16 0.06400000000
4.1 Resolução de Sistema Linear
> b2 := <5,13,-4,-8>;
> GaussianElimination(A);


, , ,1. 0.100000000000000004 0.0100000000000000002 0.00100000000000000002
, , ,0. 0.300000000000000042 0.149999999999999994 0.0630000000000000004
> ReducedRowEchelonForm(<A2|b2>);

 

, , ,0. 0.300000000000000042 0.149999999999999994 0.0630000000000000004
, , ,0. 0. -0.0199999999999999970 -0.0139999999999999986
, , ,0. 0. 0. -0.00200000000000001176






1. 0. 0. -0.346944695151993368 10 -17 -65.9999999884832818
0. 1. 0. 0.433680868950833714 10 -16 1151.66666655149902
-0. -0. 1. -0.867361737988403548 10 -16 -5049.99999999999546
-0. -0. -0. 1. 6333.33333333332667
4.1 Resolução de Sistema Linear
� Note que no processo de eliminação de 
Gauss, a matriz escalonada tem números 
muito próximos de zero. Isto gera problemas muito próximos de zero. Isto gera problemas 
de arredondamento!!!!
4.2 Forma de Lagrange
� Sejam (n+1) pontos distintos:x0, x1, ..., xn, chamados 
nós da interpolação, e os valores de yi= f(xi): f(x0), f(x1), 
..., f(xn) para i=1,2,...,n.
� A interpolação de f(x) que veremos consiste em 
obter uma função p (x) tal que:obter uma função pn(x) tal que:
onde os polinômiossão de grau n.
IMPORTANTE: Como os yi são dados, devemos no 
Método de Lagrange determinar os .
)(.......)()()( 1100 xLyxLyxLyxp nnn +++=
)(xLk
)(xLk
4.2 Forma de Lagrange
� Queremos que as condições sejam 
satisfeitas, ou seja, iin
yxp =)(
iinniiin yxLyxLyxLyxp =+++= )(.......)()()( 1100
� Solução 
Note que e 
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )nkkkkkkk
nkk
k
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xL
−−−−−
−−−−−
=
+−
+−
.......................
.......................)(
1110
1110
iinniiin yxLyxLyxLyxp =+++= )(.......)()()( 1100
1)( =kk xL kise0)( ≠=ik xL
4.2 Forma de Lagrange
� Logo, 
� Enfim, a forma de Lagrange para o polinômio 
iiiiikk
n
k
in yxLyxLyxp ===∑
=
)()()(
0
� Enfim, a forma de Lagrange para o polinômio 
interpolador é: 
com )()(
0
xLyxp kk
n
k
n ∑
=
=
( )
( )C
C
n
kj
j
jk
n
kj
j
j
k
xx
xx
xL
≠
=
≠
=
−
−
=
0
0
)(
4.2 Forma de Lagrange - Exemplo
� Seja a tabela:
� Devemos interpolar os 3 pontos com uma forma de 
Lagrange. Segue:
x -1 0 2
f(x) 4 1 -1
)()()()()( 221100
2
0
2 xLyxLyxLyxLyxp kk
k
++==∑
=
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 3
2
2101
20)(
2
2010
21
0
xxxx
xxxx
xxxx
xL −=
−−−−
−−
=
−−
−−
=
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 2
2
2010
21)(
2
2101
20
1
−
−−
=
++
−+
=
−−
−−
=
xxxx
xxxx
xxxx
xL
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 60212
01)(
2
1202
10
2
xxxx
xxxx
xxxx
xL +=
−+
−+
=
−−
−−
=
4.2 Forma de Lagrange - Exemplo
� Enfim, a forma de Lagrange da interpolação:
222
2 )1(
2124)( xxxxxxxp 


 +
−+



−
−−
+



−
=
Mesmo resultado a resolução do sistema linear!!!
Isto já era esperado, pois o polinômio interpolador é 
ÚNICO
2
2
2
3
2
3
71)( 
6
)1(
2
1
3
4)(
xxxp
xp
+−=




−+


 −
+



=
Exercícios: entregar no dia da 
Prova
� 1a) Mostre que o polinômio interpolador para os dados 
da tabela é 
x 0.1 0.6 0.8
f(x) 1.221 3.320 4.953
xxxp 667.5231.0141.1)(2 ++=
� 1b) Determinar usando o polinômio 
interpolador dado em a).
)2.0(2p
f(x) 1.221 3.320 4.953
� 2) Encontre o polinômio interpolador de ordem 2
(Parábola) que ajusta os pontos abaixo utilizando o
método de eliminação de Gauss para triangularizar o
sistema de equações.
x 3 9 20
f(x) 1.5 4.5 6
� 3) Considere a tabela de dados experimentais ao lado:
Escreva o polinômio interpolador de Lagrange de
ordem 2 para esse conjunto de pontos. Calcule
� e .
f(x) 1.5 4.5 6
x 1.1 2.2 3.5
f(x) 10 29 90
)5.1(2p
)5.2(2p
� 4) Considerando um função do tipo ,
escreva o polinômio interpolador de Lagrange de
ordem 3 passando que passa pelos pontos 1, 2, 3
e 4. Calcule e .)1.1(3p
)1ln(5)( ++= xxxf
=x
)2.1(3p
4.2 Forma de Newton
� A forma de Newton para o polinônio pn(x), que 
interpola f(x) em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn , é 
a seguinte:
� No Método de Newton, os valores de são dados 
por diferenças divididas de ordem k.
( ) ( )( )
( )( ) ( )110
102010
....... 
.......)(
−
−−−+
++−−+−+=
nn
n
xxxxxxd
xxxxdxxddxp
kd
4.2 Forma de Newton
Operador Diferenças Divididas
Seja f(x) definida em (n+1) pontos distintos x0, 
x1, ..., xn. O operador diferenças divididas é dado:
)(][ 00 xfxf =
)()(][][ xfxfxfxf −−
01
01
01
01
10
)()(][][],[
xx
xfxf
xx
xfxf
xxf
−
−
=
−
−
=
02
1021
210
],[],[],,[
xx
xxfxxf
xxxf
−
−
=
03
210321
3210
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxf
xxxxf
−
−
=
4.2 Forma de Newton
Operador Diferenças Divididas
Seja f(x) definida em (n+1) pontos distintos x0, 
x1, ..., xn. O operador diferenças divididas é dado:
03
210321
3210
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxf
xxxxf
−
−
=
0
121021
210
],....,,,[],...,,[],...,,,[
xx
xxxxfxxxf
xxxxf
n
nn
n
−
−
=
−
4.2 Forma de Newton - Operador Diferenças Divididas
Construímos a tabela:
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem n
x0
x
],[ 10 xxf
],,[ xxxf
][ 0xf
][xf
)(][ 00 xfxf =
x1
x2
..... ...... ...... .........
xn
],[ 21 xxf
],,[ 210 xxxf][ 1xf
][ 2xf
][ nxf
],[ 32 xxf
],[ 1 nn xxf −
],,[ 321 xxxf
],..,,[ 10 nxxxf
4.2 Forma de Newton
1. Mostra-se que é simétrica nos 
argumentos, ou seja,
],...,,,[ 210 kxxxxf
],[],[ 0110 xxfxxf =
.......],,[],,[ == xxxfxxxf
2. Mostra-se que a forma de Newton para o polinômio 
de ordem n que interpola f(x) é
.......],,[],,[ 201210 == xxxfxxxf
],..,,,[))....()((... 
...],,[))((],[)(][)(
210110
210101000
nn
n
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
−
−−−++
+−−+−+=
4.2 Forma de Newton - Exemplo
� Sejam os dados:
� Tabela
x -1 0 1
f(x) 1 1 0
2 3
-1 -2
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 4
-1 F[x0]=1
F[x0,x1]=0
0 1 F[x0,x1,x2]=-1/2
-1 1/6
1 0 0 -1/24
-1 0
2 -1 0
-1
3 -2
4.2 Forma de Newton - Exemplo
� Sejam os dados:
� Tabela
x -1 0 1
f(x) 1 1 0
2 3
-1 -2
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 4
-1 F[x0]=1
F[x0,x1]=0
0 1 F[x0,x1,x2]=-1/2
-1 1/6
1 0 0 -1/24
-1 0
2 -1 0
-1
3 -2
4.2 Forma de Newton - Exemplo
� Dados:
� A forma de Newton que interpola estes pontos é dada 
x -1 0 1
f(x) 1 1 0
2 3
-1 -2
por
)2)(1)(1()24/1( 
)1)(1()6/1()1()2/1(1)(
)24/1()2)(1)(0)(1( 
)6/1()1)(0)(1( 
)2/1()0)(1(0)1(1)(
−−+−+
+−+++−+=
−−−−++
+−−++
+−−++++=
xxxx
xxxxxxp
xxxx
xxx
xxxxp
n
n
4.2 Forma de Newton
� A forma de Newton para o polinônio pn(x), que 
interpola f(x) em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn , é 
a seguinte:
� No Método de Newton, os valores de são dados 
por diferenças divididas de ordem k.
( ) ( )( )
( )( ) ( )110
102010
....... 
.......)(
−
−−−+
++−−+−+=
nn
n
xxxxxxd
xxxxdxxddxp
kd
1) Considere a tabela de dados experimentais ao lado:
Escreva o polinômio interpolador de Newton de ordem
2 para esse conjunto de pontos. Calcule
e .
)5.1(2p
)5.2(2p
Exercícios: entregar no dia da 
Prova
x 1.1 2.2 3.5
f(x) 10 29 90
� 2) Considerando um função do tipo ,
escreva o polinômio interpolador de Newton de ordem
3 passando que passa pelos pontos 1, 2, 3 e 4.
Calcule e .)1.1(3p
)1ln(5)( ++= xxxf
=x
)2.1(3p