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1 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA � 7.1 Introdução � 7.2 Fórmulas de Newton-Cotes � 7.2.1 Regra dos Trapézios � 7.2.2 Regra dos Trapézios Repetida � 7.2.3 Regra 1/3 de Simpson � 7.2.3 Regra 1/3 de Simpson Repetida � 7.2.4 Regra 3/8 de Simpson INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1 INTRODUÇÃO � Se é uma função contínua em . então existe a função primitiva . tal que � Problema 1: Na maioria das vezes pode não ser fácil expressar através das funções ditas elementares. � Problema 2: Em alguns casos temos apenas uma tabela de . Como calcular ? Nestes casos calculamos numericamente!!! )(xf ].[ ba )(xF )()( xfxF =′ )()()( aFbFdxxfb a −=⇒ ∫ )(xF )(xf dxxfb a )(∫ dxxfb a )(∫ INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1 INTRODUÇÃO � Idéia básica. Para calcular numericamente vamos expressar como um polinômio no inter- valo . Deduziremos expressões que têm a forma onde Quando escrevemos uma integral na forma (1). estamos implementando o formalismo de Newton-Cotes. ].[ ba (1) )(....)()()( 1100 nn b a xfAxfAxfAdxxf +++=∫ )(xf dxxfb a )(∫ [ ] .,...,2,1 com , nibaxi =∈ INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2 FÓRMULAS DE NEWTON-COTES � No procedimento de Newton-Cotes o polinômio aproxima em pontos de . igualmente espaçados. Se os subintervalos têm comprimento . então as fórmulas fechadas de Newton-Cotes para integração têm a forma ],[ ba)(xf h ( ) nabhxx xfAxfAxfAxfA dxxfdxxf ii ii n i nn x x b a n /)( onde )(....)()( )()( 1 0 1100 0 −==− =+++ ≈= + = ∑ ∫∫ INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2 FÓRMULAS DE NEWTON-COTES Comentário 1: Os coeficientes das formas fechadas de Newton-Cotes são determinados de acordo como grau do polinômio aproximador de . Comentário 2: As formas abertas de Newton-Cotes. construídas de forma análoga às fechadas. diferem pelo fato que iA )(xf ( )., e 0 baxx n ∈ 2 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS Utilizando a Forma de Lagrange para expressar . que interpola em obtemos: )(1 xp[ ] ,, e 10 baxx ∈)(xf ( ) ( ) [ ])()( 2 )()( )()( 10 1 0 0 1 1 1 0 1 0 xfxfhI Idxxf h xx xf h xx dxxpdxxf T T x x bx ax b a +=⇒ = − + − − =≈ ∫ ∫∫ = = INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS Note que é a área do trapézio de altura e de base . TI 01 xxh −= )(e)( 10 xfxf )(xf )( 0xf )( 1xf 1xb =0xa = INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS Ao substituir a área sob a curva pela área do trapézio estamos realizando uma aproxima- ção e cometendo um erro. Verifica-se que este erro é dado por )(xf [ ] ( )baccfhE Exfxfhdxxf T T bx ax , onde )( 12 com )()( 2 )( 3 10 1 0 ∈′′−= ++=∫ = = INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA Quando o intervalo é grande. devemos fazer várias subdivisões e aplicar a regra do trapézio repetidas vezes. Sendo [ ]ba, mihxx ii ,....,2,1,0 com 1 ==−+ [ ] ( ) ( )1 3 1 0 0 , onde 12 )()( 2 )()( 1 ++ = = ∈ ′′ −+= =≈⇒ ∑ ∫∑∫ + iii i ii m i x x m i b a xxc cfh xfxfh dxxfdxxf i i INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA O erro cometido em aplicar vezes a regra do trapézio é Graficamente ( ) ( )bafhmETR , com 12 3 ∈′′−= ξξ m h INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA Exemplo1: Considere a integral a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 subintervalos e a regra do trapézio repetida. Estime o erro cometido. b) Qual é o número mínimo de subdivisões. de modo que o erro seja inferior a . dxe x∫ 1 0 310− 3 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA Solucão. a) Fazendo 10 subintervalo no intervalo temos e . Aplicando a regra do trapézio repetida. Estimativa do erro: [ ] 719713.1 2...222 2 1.0 1 0 0.19.03.02.01.001 0 =⇒ ++++++= ∫ ∫ dxe eeeeeedxe x x ]1,0[ 10,..,2,1 para 1.0 == iixi1.0=h ( ) ( )1,0 com 12 1.010 3 ∈ξ= ξeETR ⇒≤=≤ 003.000227.0 12/01.0 eETR 003.0720.1 1 0 ±=∫ dxex INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2. REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA Solucão. b) Para obter erro de temos que Como subintervalos. 310− 1603759.151 ≥⇒== m h m ( ) 0665.000441.01012h 12 101 onde 12 10 3 2 2 3 3 3 ≤⇒=×≤ ≥⇒=≥ − −− h e e h m hehm INTEGRAÇÃO NUMÉRICA xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 exp(x) 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.320 cos(x) 1.000 0.980 0.921 0.825 0.697 0.540 0.362 exp(x)*cos(x) 1.000 1.197 1.374 1.504 1.551 1.469 1.203 Exemplo 2: Calcular usando a regra do trapézio a integral Considendo , obtemos a Tabela ∫ 2.1 0 cos xdxe x 2.0=h INTEGRAÇÃO NUMÉRICA xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 exp(x) 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.320 cos(x) 1.000 0.980 0.921 0.825 0.697 0.540 0.362 exp(x)*cos(x) 1.000 1.197 1.374 1.504 1.551 1.469 1.203 Exemplo 2: Logo ( )[ ] 639.1)cos( )()()(2)( 2 )cos( 1 0 6510 1 0 ≅⇒ ++++≈ ∫ ∫ dxxe xfxfxfxfhdxxe x x L INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Exemplo 2: Estimativa do erro (considere 3 casas decimais corretas ): ( ) ( )2.1 ,0 com )( 12 3 ∈′′= ξζfhmETR ( ) ( ) )(max)( sendo ,2.1 ,0 com )( 12 2.06 1.2t0 3 tfffETR ′′=′′∈′′= ≤≤ζξζ 188.6 )(2max )(max)( 1.2t01.2t0 =−=′′=′′ ≤≤≤≤ tetsentff ζ mm abh 2.1=−= ( ) 3- 2 3- 3 0.5x10.1886 12 2.1 0.5x10.1886 12 2.1 ≤⇒≤= hhhETR ( )-30.5x10 02842.0 0000808.0 0.5x10.1886 12 2.1 23- 2 ≤⇒ ≤⇒≤⇒ h hh INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Exemplo 2: Logo, , e para termos divisões exatas consideraremos , assim 02842.0 ≤h 025.0 =h 48 025.0 2.1 =⇒=⇒ − = mm h ab m 4 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON Utilizando a Forma de Lagrange para expres- sar . que interpola nos pontos . segue que )(2 xp bhxxhxxx =+=+== 2 e e a 02010 )(xf ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) )()( )()( 2 1202 10 1 2101 20 0 2010 21 2 xf xxxx xxxx xf xxxx xxxx xf xxxx xxxx xp −− −− + −− −− + + −− −− = INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON ou ainda ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ])()(4)( 32 )( )( 2 )( )()( 210102 2 202 1 212 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 xfxfxfhIdxxxxx h xf dxxxxx h xfdxxxxx h xf I Idxxpdxxf S x x x x x x S S bx ax b a ++=⇒−−+ −−−−−= =≈⇒ ∫ ∫∫ ∫∫ = = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) )(2)()(2)( 2 10 1 20 0 21 2 xfhh xxxx xf hh xxxx xf hh xxxx xp −− + − −− + −− −− = Regra 1/3 de Simpson INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON De modo análogo à Regra do Trapézio. na Re- gra 1/3 de Simpson estamos realizando uma aproximação e cometendo um erro. Verifica-seque este erro é dado por [ ] ( ) ( )20 5 210 , onde )( 90 com )()(4)( 3 )(2 0 xxccfhE Exfxfxfhdxxf iv S S bx ax ∈−= +++=∫ = = Note o ganho no erro ao passar da aproximação linear para a quadrática INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Novamente. quando o intervalo é grande. a solução é fazer várias subdivisões e aplicar a regra 1/3 de Simpson repetidas vezes. Sendo aplicando Simpson 1/3 em um subintervalo: [ ]ba, mihxx ii ,....,2,1,0 com 1 ==−+ [ ] ( )( ) ( )iii i iv iii x x xxc cfh xfxfxfhdxxfi i , onde 90 )()(4)( 3 )( 2 5 12 2 − −− ∈ −++=∫ − INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Considerando todos subintervalos onde [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 90 })()(4)(..... )()(4)()()(4)({ 3 )( 52/ 1 12 432210 SRSR i ivm i mmm b a EI cfh xfxfxf xfxfxfxfxfxfhdxxf +=−+++ ++++++≈ ∑ ∫ = −− [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 902 })()(4)(.... )()(4)()()(4)({ 3 5 12 432210 −= +++ +++++= −− i iv SR mmm SR cfhmE xfxfxf xfxfxfxfxfxfhI Agora temos m/2 subintervalos INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Exemplo1: Considere a integral a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 subintervalos e a regra 1/3 de Simpson repetida. Estime o erro cometido. b) Qual é o número mínimo de subdivisões. de modo que o erro . dxe x∫ 1 0 310− 5 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Solucão. a) Fazendo 10 subintervalo no intervalo temos e . Aplicando a regra 1/3 Simpson repetida. Estimativa do erro: [ ] 718282788.1 42...2424 3 1.0 1 0 0.19.08.04.03.02.01.001 0 =⇒ ++++++++= ∫ ∫ dxe eeeeeeeedxe x x ]1,0[ 10,..,2,1 para 1.0 == iixi1.0=h ( ) ( )1,0 com 90 1.05 5 ∈ξ= ξeETR ⇒×≤×=≤ −−− 665 1021051.1 18/10 eETR 000002.0718283.1 1 0 ±=∫ dxe x INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA Solucão. b) Para obter um erro inferior a Como subintervalos. Note a convergência rápida da regra 1/3 de Simpson 310− 29713.11 ≥⇒== m h m ( ) 50728.006622.0h 180 101 onde 902 10 4 4 3 5 3 ≤⇒≤ ≥⇒=≥ −− h e h m hehm INTEGRAÇÃO NUMÉRICA xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 exp(x) 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.320 cos(x) 1.000 0.980 0.921 0.825 0.697 0.540 0.362 exp(x)*cos(x) 1.000 1.197 1.374 1.504 1.551 1.469 1.203 Exemplo 2: Calcular usando a regra 1/3 Simpson repetida a integral Considendo , obtemos a Tabela ∫ 2.1 0 cos xdxe x 2.0=h INTEGRAÇÃO NUMÉRICA xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 exp(x) 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.320 cos(x) 1.000 0.980 0.921 0.825 0.697 0.540 0.362 exp(x)*cos(x) 1.000 1.197 1.374 1.504 1.551 1.469 1.203 Exemplo 2: Calcular usando a regra 1/3 Simpson repetida a integral [ ] 5908.1)cos( )()(4)(2)(4)(2)(4)( 3 )cos( 1 0 6543210 1 0 ≅⇒ ++++++ ≅ ∫ ∫ dxxe xfxfxfxfxfxfxfh dxxe x x INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Exemplo 2: Estimativa do erro (considere 3 casas decimais corretas ): EXERCICIO ( )2.1 ,0 com 90 )( 2 )(5 ∈= ξζ iv SR fhmE ( )-30.5x10 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA EXERCICIOS: 1) Calcular usando as regras: a) dos Trapézios b) 1/3 Simpson com 8 subintervalos. Estime o erro cometido da integral: ∫ 10 6 log xdx xo x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 xi f(xi) 6 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA EXERCICIOS: 2) Determine os resultados com três casas decimais das funções elementares, utilizando as regras: a) dos Trapézios b) 1/3 Simpson com 8 subintervalos. O que pode concluir sobre a regra de Simpson? ∫ 2 0 )( dxxf 2.667Simpson 4.000Trapézio 2.667exata 1 1 1)( 242 xesenxx x xxxf + + INTEGRAÇÃO NUMÉRICA EXERCICIOS: 3) Calcule as integrais pela Regra do Trapézio e pela Regra de Simpson usando seis subintervalos e 4) Calcule o valor de com três casas decimais exatas, usando a relação: 5) Dado a tabela abaixo, calcule a integral , com o menor erro possível. ∫ 4 1 dxx pi ∫ + 6.0 1 x1 dx ∫ += 1 0 21 4 x dxpi ∫ 30.0 15.0 (x) dxf 204.1347.1514.1897.1)( 30.026.022.015.0 xf x INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON X TRAPÉZIO 1. A convergência da regra 1/3 de Simpson é mais rápida do que a convergência da regra do Trapézio. 2. As demais fórmulas fechadas de integração de Newton-Cotes trabalham com polinômios de graus n=3 e n=4.... 3. Para um n qualquer a fórmula de Newton – Cotes é apresentada no próximo slide. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.3. REGRA 1/3 DE SIMPSON X TRAPÉZIO Fórmula de Newton-Cotes para n qualquer [ ] )( )(....)()( )()(...)()()()( )()(...)()()()( Lagrange de forma utilizando )()( 0 000 0 00 1100 1100 1100 ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ =⇒ +++= =+++= =+++= ==≈ = = n nnn n nn x x ii nn x x nn x x x x nn x x n x x xb xa dxxLA xfAxfAxfA dxxLxfdxxLxfdxxLxf dxxLxfxLxfxLxf dxxpdxxf INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.4. REGRA 3/8 DE SIMPSON Utilizando a Forma de Lagrange para expressar . que interpola nos pontos: segue que )(3 xp bhxxhxxhxxx =+=+=+== 3 e 2 e e a 0302010 )(xf ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) )( )()( )()( 3 231303 210 2 321202 310 1 312101 320 0 3'2010 321 3 xf xxxxxx xxxxxx xf xxxxxx xxxxxx xf xxxxxx xxxxxx xf xxxxxx xxxxxx xp −−− −−− + + −−− −−− + −−− −−− + −−− −−− = INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.4. REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA Integrando [ ])()(3)(3)( 8 3 )()( 32108/3 8/38/38/33 3 0 xfxfxfxfhI EIEdxxpdxxf S SSS bx ax b a +++= +=+=⇒ ∫∫ = = Regra 3/8 de Simpson ( ) ( )cfhE ivS 58/3 80 3 −= ( )30 , onde xxc∈ 7 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.4. REGRA 3/8 DE SIMPSON REPETIDA Considerando todos subintervalos Enfim. o erro cometido pela regra 3/8 de Simpson é [ ] [ ] [ ]})()(3)(3)( ....)()(3)(3)( )()(3)(3)({ 8 3)( 123 7654 3210 mmmm b a xfxfxfxf xfxfxfxf xfxfxfxfhdxxf ++++ +++++ ++++≈ −−− ∫ ( ) ( ) ],[ onde 80 3 3 5 8/3 baccfh mE ii iv SR −= Neste caso temos m/3 subintervalos INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Observações � Como o termo do erro para a regra dos trapézios envolve a segunda derivada, a regra fornece o resultado exato quando aplicado a qualquer função cuja segunda derivada seja identicamente numa. � Como o termo do erro para a regra de Simpson envolve a quarta derivada, a regra fornece o resultado quando aplicado a qualquer polinômio de grau menor ou igual a três. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Veremos nesta aula a Regra ou Fórmula da Quadratura de Gauss. � As fórmulas de Newton-Cotes integram polinômios interpoladores e os erros envolvem a (n+1)-ésima ou (n+2)-ésima derivadas. Assim, elas são exatas para polinômios de grau < n+1 ou <n+2, respectivamente. � A Fórmula da Quadratura de Gauss integra exatamente polinômios de grau<2n+2 INTEGRAÇÃONUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Como nos Métodos de Newton-Cotes escrevemos uma integral como onde os coeficientes e os pontos para i=0,1,2,..,n devem ser determinados de modo a obter a melhor precisão possível. Característica: Partição não-regular ( ) ( ) ( )nnb a xfAxfAxfAdxxfI +++== ∫ ....)( 1100 iA ix INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Comecemos o desenvolvimento para dois pontos: � Por simplicidade tomemos o intervalo [-1,1]. Note que sempre é possível passar do intervalo [a,b] --> [-1,1] através da transformação: [ ] dtabdttxdx tabtabtx )( 2 1)( 1,1 para )( 2 1)( 2 1)( −=′= −∈++−= ( ) ( )1100)( xfAxfAdxxfI b a +== ∫ INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Segue onde os parâmetros devem ser determinados de modo que a integral seja exata para polinômios de graus inferiores a 3. ( ) ( )110011 1 1 1 1 )( )( 2 1)( 2 1)( 2 1)( onde )()())(()( tFAtFAdttFI abtabfabtF dttFdttxtxfdxxfI b a +==⇒ ++−−= =′== ∫ ∫∫∫ − −− 1010 ,,, ttAA 8 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Sejam Note que qualquer polinômio de grau 3 é combinação das funções acima. Assim, impomos que a fórmula da quadratura Gaussiana seja exata para estes polinô- mios, segue: 3 3 2 210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF ==== )()()()()( 33221103 tFatFatFatFatP o +++= INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana como esperado, a fórmula é exata para este polinômios: [ ] [ ] [ ] [ ] )()( )()()()( )()()()( )()( )()()( 131030 13103031210202 11101011010000 1 1 33 1 1 22 1 1 11 1 1 003 1 1 tPAtPA tFAtFAatFAtFAa tFAtFAatFAtFAa dttFadttFa dttFadttFadttP += =++++ ++++= =++ ++= ∫∫ ∫∫∫ −− −−− ( ) ( )110011 )( tFAtFAdttFI +== ∫− INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Considerando podemos determinar as incógnitas através de Que gera um sistema linear 4X4. Vejamos 3,2,1,0 para 1100 1 1 =+== ∫ − ktAtAdttI kkk 3 3 2 210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF ==== 1010 ,,, ttAA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Obtemos o sistema 03 3/22 01 20 3 11 3 00 3 11 3 00 1 1 3 2 01 2 00 2 01 2 00 1 1 2 1100 1 11 1 00 1 1 1 10 0 11 0 00 1 1 0 =+⇒+=⇒= =+⇒+=⇒= =+⇒+=⇒= =+⇒+=⇒= ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − tAtAtAtAdttk tAtAtAtAdttk tAtAtAtAdttk AAtAtAdttk INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Resolvendo o sistema, obtemos de modo que podemos escrever a Fórmu- la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 3, como 3/3e1 1010 −=−=== ttAA + −== ∫ − 3 3 3 3)(1 1 FFdttFIGauss INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Para 3 pontos, a fórmula da quadratura gaussiana é exata para polinômios de graus inferiores e iguais a 5. Então, Analogamente, qualquer polinômio de grau 5 pode ser escrito em termos de ( ) ( ) ( )22110011 )( tFAtFAtFAdttFI ++== ∫− 5 5 4 4 3 3 2 210 )(,)(,)(,)(,)(,1)( ttFttFttFttFttFtF ====== 9 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana � Agora podemos determinar as incógnitas através do sistema linear 6X6 abaixo: Escrevendo explicitamente o sistema, 5,4,3,2,1,0 para 221100 1 1 =++== ∫ − ktAtAtAdttI kkkk 210210 ,,,,, tttAAA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana 05 5/24 03 3/22 01 20 5 22 5 11 5 00 5 22 5 11 5 00 1 1 5 4 21 4 11 4 00 4 22 4 11 4 00 1 1 4 3 22 3 11 3 00 3 22 3 11 3 00 1 1 3 2 21 2 11 2 00 2 22 2 11 2 00 1 1 2 221100 1 22 1 11 1 00 1 1 1 210 0 22 0 11 0 00 1 1 0 =++⇒++=⇒= =++⇒++=⇒= =++⇒++=⇒= =++⇒++=⇒= =++⇒++=⇒= =++⇒++=⇒= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − − − tAtAtAtAtAtAdttk tAtAtAtAtAtAdttk tAtAtAtAtAtAdttk tAtAtAtAtAtAdttk tAtAtAtAtAtAdttk AAAtAtAtAdttk INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Resolvendo o sistema, obtemos de modo que podemos escrever a Fórmu- la de Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de graus inferiores a 5, como 0e 5 3 , 9 8 e 9 5 120120 =−=−==== tttAAA ( ) ++ −== ∫ − 5 3 9 50 9 8 5 3 9 5)(1 1 FFFdttFIGauss INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Exemplo 1: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 e 3 pontos. Solução: Temos no intervalo [1,3]. Fazendo a mudança de variáveis dxeI x3 3 1∫= xexf 3)( = [ ] [ ] 2t3eF(t) e1)( 1,1 temos3,1 para 2)( 2 1)( 2 1)( + ==′=⇒ −∈∈ +=++−= dtdttxdx tx tabtabtx INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Então, seguem os valores exato e apro- ximados para n=2 e n=3 pontos ( ) 1004.52 9 53 9 83 9 53 5 3 9 50 9 8 5 3 9 5)(3:3n 9309.5133 3 3 3 3)(3:2n 1018.523 :Exato 25 3 225 3 1 1 3 1 2 3 32 3 3 1 1 3 1 3 1 =++= = ++ −==≈= =+= = + −==≈= == + +− − + +− − ∫∫ ∫∫ ∫ eee FFFdttFIdxe ee FFdttFIdxe dxeI Gauss x Gauss x x INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana A tabela abaixo compara o Método da Quadratura Gaussiana com o Método de Simpson 1/3 para Exato Gauss n=2 Gauss n=3 Simpson n=3 Simpson n=5 Simpson n=7 Valor 52.1018 51.9309 52.1004 52.3601 52.1194 52.1053 Erro 0.1709 0.0014 0.2583 0.0176 0.0035 dxeI x3 3 1∫= 10 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Exemplo 2: Calcule utilizando quadratura gaussiana para 2 pontos. Solução: Temos no intervalo [0,10]. Fazendo a mudança de variáveis dxeI x−∫= 10 0 xexf −=)( [ ] [ ] 5-5t-eF(t) e5)( 1,1 temos10,0 para 55)( 2 1)( 2 1)( ==′=⇒ −∈∈ +=++−= dtdttxdx tx tabtabtx INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Então, seguem os valores exato e aproximado para n=2 são: O erro verdadeiro: � O Método do Trapézio necessitaria de n=16 pontos para atingir este erro. Através de Simpson 1/3 seriam necessários n=9 pontos. 606102.055 3 35 3 35)(5:2n 999955.0 :Exato 5 3 355 3 35 1 1 10 0 10 0 =+= = + −==≈= == −− − − − − ∫∫ ∫ ee FFdttFIdxe dxeI Gauss x x 393853.0606102.0999955.0Erro =−= INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Conclusão 1: As fórmulas da quadratura gaussiana produzem melhores resultados que aquelas dos métodos de Newton- Cotes com partição regulares (trapézio, Simpson,...) Conclusão 2: Quando aumentamos o número de pontos todos métodos melhoram a precisão. Conclusão 3: Se o intervalo for grande, com no caso Trapézio e Simpson Repetidas, podemos criar subintervalos e aplicar quadratura gaussiana em cada intervalo Problema: Se não tivermos f(x) e sim uma tabela de dados experimentais, então o método da quadratura gaussiana não é aplicável. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 QuadraturaGaussiana := r eeee ( )−x2 = d⌠ ⌡ 0 1 eeee ( )−x2 x 0.7468241328 = d⌠ ⌡ 0 1 eeee ( )−x2 x 0.74682413281242702540 = d⌠ ⌡ 0 1 eeee ( )−x2 x 0.74682413281242702540 > r := exp(-x^2); > Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1)); > Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1, digits=20, method=_Dexp)); > Int(r, x = 0..1) = evalf(Int(r, x=0..1, digits=20, method=_Gquad)); M A P L E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.3 Quadratura Gaussiana Exercício: Considere a integral a) Estime I por Trapézio quando h=1/4. b) Estime I por Simpson 1/3 quando h=1/4. c) Estime I por Gauss quando n=2 e n=3. Dado: dxeI x 21 0 −∫= 74682.0 21 0 == −∫ dxeI x
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