01 Mec II Princ Fund Dinamica

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ENGENHARIA MECÂNICA
Disciplina:
MECÂNICA II
Assunto:
Conceitos
e 
Princípios 
Fundamentais da 
CINEMÁTICA e DINÂMICA
CONTEÚDO
1 - Introdução;
2 – Conceitos da Dinâmica;
3 – Movimento Tipos e Características;
4 – Geometria Analítica Uni, Bi e 
Tridimensional;
5 – Espaço Euclidiano;
6 - Espaço Não Euclidiano;
7 – Curvatura do Espaço-Tempo;
8 – Sistemas de Coordenadas em
Rotação: Cartesianas, Polares, 
Cilíndricas, Esféricas.
D I V I S Ã O SUB-DIVISÃO
M
E
C
Â
N
I
C
A
Dos 
C O R P O S 
R Í G I D O S (R.C.)
E S T Á T I C A
D I N Â M I C A
Dos 
C O R P O S 
D E F O R M Á V E I S
ELASTICIDADE
PLASTICIDADE
VISCO-
ELASTICIDADE
Dos 
F L U I D O S
COMPRESSÍVEIS
INCOMPRESSÍVEIS
2 – CONCEITOS
Em Mecânica II estuda-se a 
Cinemática da Partícula
(ou Ponto Material)
CORPO 
EM
MOVIMENTO
Não considera sua Dimensão 
Desprezível em relação à amplitude do 
seu movimento;
Rígido, Sem Movimento Relativo
entre as suas partículas,
Sem Deformação;
Não se considera qualquer Rotação em 
torno do seu Centro de Massa (CM). 
Quando for necessário considerar o 
Movimento Rotativo, o móvel será 
analisado como Corpo Rígido (R.C.).
2 - CONCEITOS
MECÂNICA ESTUDA
1 – ESTÁTICA
Equilíbrio 
dos Corpos.
2 - DINÂMICA:
Causas dos 
Movimentos.
2.1. 
CINEMÁTICA
Movimentos 
Sem Considerar 
as Causas.
2.2. 
CINÉTICA
Movimentos Sob 
Ação de Forças.
SISTEMA MECÂNICO
a) Conjunto de C.R. e/ou flexíveis interligados por
juntas cinemáticas e acionados por forças e
momentos.
b) Associação de subsistemas estruturais e
mecânicos com o objetivo de transmitir esforços e
movimento.
c) Podem incluir um conjunto de máquinas e de
mecanismos mais ou menos complexos.
Forças e Momentos Aplicados ao Sistema
podem resultar da ação de molas, amortecedores,
atuadores, ou ainda de forças exteriores
(gravitacionais, de contato e etc.).
MECÂNICA
VELOCIDADE
OBSERVAÇÃO
BAIXA ALTA
ESTÁTICA
MAIS 
APROPRIADA
Quando 
Velocidades e 
Acelerações São 
Consideradas.
DINÂMICA
MAIS
APROPRIADA
Quando Efeitos 
de Inércia das 
Massas em 
Movimento 
Preponderam.
MECANISMO de 4 BARRAS
Barra 2 descreve movimento de rotação em torno de um eixo 
imaginário que passa pelo ponto A.
Barra 4 oscila em torno de D, entre as posições limite C’ e C’’. 
Este é o Mecanismo de Manivela e Barra Oscilante.
Quadrilátero Articulado: Movimento 
Plano de Rotação e Oscilante
Mecanismo Biela-Manivela:
Movimento de Translação Retilínea.
Quando os pontos de uma barra descrevem trajetória 
retas e paralelas entre si. 
Quando os pontos de uma barra 4 descrevem
trajetória curvas e paralelas entre si, temos o
Movimento de Translação Curvilínea.
Movimento de Barra 
4 do Quadrilátero 
Articulado 
exemplifica este tipo 
de movimento, cujo 
raio de curvatura é R.
Movimento Plano Geral ou Misto
Quando nele co-existem as propriedades dos 
Movimentos de Rotação e Translação. 
Nestes casos, o movimento pode ser decomposto 
como a soma de uma Rotação e uma Translação, 
traduzindo a lei de Chasles.
MOVIMENTO ESPACIAL 
ou TRIDIMENSIONAL
a) Movimento Esférico - Cada ponto de uma 
barra que descreve movimento esférico mantém-se a 
uma distância constante de um ponto fixo, como é o 
caso do movimento descrito pela barra 3 do 
mecanismo.
MOVIMENTO ESPACIAL ou TRIDIMENSIONAL
b) Movimento Helicoidal - Os pontos de uma barra
movem-se com Rotação em torno de um eixo fixo e com
Translação na direção desse mesmo eixo.
3 – MOVIMENTO E SUAS CARACTERÍSTICAS
3.1. MOVIMENTO - Deslocamento
de um corpo no Espaço e no Tempo.
Determinado em todos os seus pontos ou 
partes constituintes quando em qualquer 
instante for possível caracterizar a:
a) Posição (S);
b) Velocidade (v);
c) Aceleração (a).
Em relação a um referencial previamente definido.
3.2. MOVIMENTO ABSOLUTO
- Considerado como um modelo ideal. 
- Trata do movimento de um corpo com relação a 
um sistema de referência em estado de repouso.
3.3. MOVIMENTO RELATIVO
Movimento está associado às variações das
posições dos corpos de instante para instante
relativamente a referenciais fixos.
Exemplo: O piloto de um avião em movimento:
a) Permanece sempre na mesma posição se o
Referencial for o assento;
b) Muda de posição a todo instante se o
Referencial for a Terra.
1ª Lei de Newton (Inércia)
Todo corpo isento da ação de forças
externas ou sujeito a um sistema de forças
de resultante nula (R = 0), estará em
repouso ou em M.R.U.
p/ o movimento relativo a um observador
inercial, o sistema de referência que ele utiliza
recebe o nome de Sistema Inercial de
Referência.
Referencial Inercial – Sistema de
Coordenadas em que vale a 1ª Lei de Newton.
QUE É REFERENCIAL INERCIAL?
Qualquer referencial que está parado ou
movimentando-se com velocidade constante (a = 0).
Se uma pessoa está observando um carro passando 
numa estrada, e esta pessoa está parada em relação 
à estrada, esta pessoa é um Referencial Inercial.
REFERENCIAL NÃO-INERCIAL
Qualquer referencial que possua algum 
tipo de aceleração (a ≠ 0). 
Se a pessoa estiver observando o mesmo 
acontecimento, mas em um outro veículo 
que descreve uma curva, esta pessoa é 
um Referencial Não-Inercial pois ela 
possui uma aceleração (centrípeta).
MOTOQUEIRO: REFERENCIAL NÃO-INERCIAL
Se medirmos a massa de uma pessoa com uma 
balança dentro de um elevador, haverá diferença, se o 
elevador estiver acelerado, quando o mesmo estiver 
subindo () ou descendo ().
Referencial 
Acelerado 
no Elevador
Explique as 4 situações enfrentadas pela menina.
ACELERAÇÃO de um corpo em queda livre, 
em relação a um referencial (avião) que 
também está em queda livre, é nula.
MOVIMENTO DO BARCO 
DIVIDIDO EM 3 COMPONENTES:
1 - Movimento do Barco em relação às águas do
rio, supondo que as águas estejam paradas,
movimento este realizado em virtude da ação do
motor do barco;
2 – Correnteza – Velocidade das águas
(Arrastamento) em relação às margens.
3 - Movimento Absoluto do barco em relação as
margens do rio. Vetorialmente esta velocidade é a
Resultante dos movimentos do rio e do barco.
01. Entre as cidades A e B existem sempre correntes 
de ar que vão de A p/ B c/ velocidade de 50 km/h. 
Um avião, voando em linha reta, com uma velocidade 
de 150 km/h, em relação ao ar, demora 4h para ir 
de B até A. Qual a distância entre as duas cidades?
Solução:
Como as velocidades têm sentidos contrários, a 
velocidade resultante do avião é:
V
R
= V
av
– V
ar
= 150 – 50 = 100 km/h
Avião percorre a distância entre as 2 cidades em 4 h. 
Então:
S = S
o
+ v.t
S = 0 + 100 x 4 = 400 km (distância entre A e B).
MOVIMENTO BIDIMENSIONAL 
Galileu sabia disto no século XVI, e baseando-se em 
fatos experimentais, enunciou: 
PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA
DOS MOVIMENTOS
"Quando um móvel realiza um movimento composto 
cada um dos movimentos componentes se realiza 
como se os demais não existissem e no mesmo 
intervalo de tempo." 
PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA DOS MOVIMENTOS
Galileu mostra o plano inclinado aos estudantes”. 
Pintura de Giuseppe Bezzuoli, Tribuna di Galileo, 
Museu Zoológico “La Specola”, Florença.
Considerar um barco que movimenta-se em um rio.
Se não houvesse correnteza, a velocidade do barco 
em relação a um observador parado na margem, 
seria VB, porém, com a correnteza, o movimento do 
barco em relação a este observador seria uma 
composiçãodo movimento do rio e do próprio barco, 
de forma que em relação a este observador, o barco 
apresentaria uma VR ≠ VB, o que pode ser observado 
nos exemplos a seguir:
a) Barco Movimenta-se a Favor da Correnteza.
VR - Velocidade do barco em relação ao observador 
parado na margem;
VB - Velocidade do barco;
VC - Velocidade da correnteza.
Vetores atuam na mesma direção e mesmo sentido: 
V
R
= V
B
+ V
C
Barco desce o rio mais rapidamente do que desceria 
se não existisse a correnteza.
b) Barco Movimenta-se Contra a Correnteza.
VB e VC possuem sentidos opostos, logo o módulo da 
velocidade resultante será: VR = VB – VC
Barco passará mais tempo para subir o rio do que 
para descer.
Movimento de um barco que atravessa um rio, com
correnteza, do ponto A até a margem, ponto B.
c) Barco Movimenta-se 
Perpendicularmente 
ás Margens.
Neste caso, VB  VC
Barco desloca-se 
na trajetória AB. 
Módulo da VR será 
determinada pelo 
Teorema de Pitágoras: 
V
R
² = V
B
² + V
C
²
Observar-se que VB não tem componente na direção 
de VC, ou seja, a correnteza não terá nenhuma 
influência no tempo que o barco gasta para 
atravessar o rio.
Efeito da Correnteza: deslocar o barco rio abaixo.
Do mesmo modo, sendo nula a componente de B na 
direção da correnteza, a velocidade do barco não 
terá influência no seu movimento rio abaixo. 
Independência de 2 movimentos simultâneos 
constituem o: Princípio da Independência dos 
Movimentos.
3 – MOVIMENTO E SUAS CARACTERÍSTICAS
Hipótese válida p/ problemas de Engenharia Civil
e Mecânica;
Não serve p/ Engenharia Aeroespacial
Intergaláctica, que utiliza os conceitos da
Mecânica Einsteineana Relativista.
Problemas que serão estudados, o Tempo é a
Variável Independente, sendo todas as outras
variáveis e características expressas à custa dele
e que existirá sempre:
a) uma Origem Espacial Euclidiana;
b) uma Origem Temporal Cronológica.
4 - GEOMETRIA ANALÍTICA UNIDIMENSIONAL 
(R), o gráfico de uma equação envolvendo x 
representa um ponto na reta x.
Como todos os pontos estão 
sobre a mesma reta, se diz:
Sistema Unidimensional ou
Sistema Coordenado Linear.
4 – NA GEOMETRIA ANALÍTICA 
BIDIMENSIONAL 
(R²), o gráfico de uma equação envolvendo 
x e y representa uma curva no plano xy.
4 – NA GEOMETRIA ANALÍTICA 
TRIDIMENSIONAL (R³)
o gráfico de 
uma equação 
envolvendo 
x, y e z
representa uma 
superfície 
no espaço xyz.
Intercessão 
de 3 Planos 
Ortogonais
Intercessão 
de 2 Planos 
Ortogonais
3 Planos 
Paralelos
Intercessão
de 2 Planos
Não Paralelos
COORDENADA 
CARTESIANA
Ponto P(x
1
,y
1
,z
1
)
Resulta da 
Interseção 
de 3 Planos 
Definidos por:
x = x
1
, 
y = y
1
, 
z = z
1
. 
Ponto é determinado pela sua distância 
entre as coord. de origem e 2 ângulos.
ROBÔ DE COORDENADAS CARTESIANAS
Coordenadas 
Cartesianas 
Especificam 
um ponto 
P(X, Y, Z)
do espaço
Move-se em 
Linhas Retas.
5 – ESPAÇO EUCLIDIANO
Em mecânica utiliza-se essencialmente o 
Espaço Euclidiano Tridimensional, podendo 
no entanto, em alguns casos, recorrer à 
Geometria Não Euclidiana, como é o caso 
das Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
(Não Cartesianas).
Na Mecânica II consideram-se válidas as 
hipóteses fundamentais da Mecânica Racional 
de Newton: Espaço tem 3 Dimensões, é 
absoluto e imutável;
• Tempo também é absoluto e imutável;
SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONAIS
COORDENADAS CILÍNDRICAS
Ponto P(r
1
, 
1
, z
1
) resulta da interseção de:
- Uma superfície cilíndrica de raio r1 c/ eixo em zz;
- Um meio plano que contém o Eixo zz e que faz 
um ângulo 1 c/ o Plano xz;
- Um plano paralelo a xy c/ z = z
1
.
2 das 3 coordenadas são comprimentos (r e z) e 
portanto h
1
= h
2
= 1. 
No entanto,  é um ângulo que requer o 
coeficiente métrico h
2
= r de modo a converter 
dl
2
em dr
2
COORDENADAS 
CILÍNDRICAS
Elemento de volume no ponto (r, , z) que
resulta das variações infinitesimais dr, d e dz.
COORDENADAS CILÍNDRICAS da Partícula
Obtidas trocando-se 2 das 3 coordenadas 
retangulares pelas coordenadas polares 
correspondentes, por exemplo substituir (x, y)
por (r, ) e manter a coordenada z: (r, , z).
Transformação entre Coordenadas 
Retangulares e Cilíndricas:
x = r cos  ;
y = r sen  ;
z = z .
ROBÔ DE COORDENADAS CILÍNDRICAS
Combina 2 
Movimentos 
Lineares c/ 
1 Movimento 
Rotacional 
na Coluna. 
Descreve
um Cilindro.
SISTEMA ESFÉRICO 
DE COORDENADAS
Sistema de referenciamento p/
localização de um ponto qualquer em
um espaço esférico através de um
conjunto de 3 COORDENADAS
ESFÉRICAS (r, , ) definidas por
convenção não norte-americana.
Em COORDENADAS ESFÉRICAS
Comprimento: r(u1);
Ângulos: θ e  (u2 e u3). 
São necessários os coeficientes métricos h2 e h3
para converter dθ e d em comprimentos.
As expressões p/ 
as áreas diferenciais 
e volume diferencial 
que resultam das 
variações diferenciais 
dr, dθ e d são:
SISTEMA ESFÉRICO DE COORDENADAS
(u1,u2, u3) = (r, θ, )
Coordenadas Esféricas c/ ponto P(r
1
, θ
1
, 
1
)
resulta da intersecção de:
- Superfície Esférica c/ centro na origem e raio r1;
- Cone Circular com o vértice na origem, eixo 
coincidente com zz e que faz um ângulo θ1 com zz;
- Meio Plano que contém o eixo zz e que faz um 
ângulo 1 com o plano xz.
SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONAIS
Relações 
Entre 
Sistemas de 
Coordenadas 
C O O R D E N A D A S
CARTE-
SIANAS
(x, y, z)
CILÍN-
DRICAS
(r, , z)
ESFÉRICAS
(r, θ, )
Vetores 
de Base
â
u1
â
x
â
r
â
r
â
u2
â
x
âθ â
â
u3
â
x
â
z
âθ
Coefi-
cientes 
Métricos
h
1
1 1 1
h
2
1 r r
h
3
1 1 r sen θ
Elem. Área dA dx·dy r·d·dr r²senθdd
Vol. Difer. dV dx.dy.dz r.drddz r²senθdθddr
SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS
ROBÔ DE COORDENADAS ESFÉRICAS
Semelhante ao 
braço humano. 
Robô PUMA
(Programmable 
Universal 
Machine for 
Assembly).
Projetado 
Inicialmente 
p/ Indústria 
Automobilística.
“GEOMETRIA EUCLIDIANA” - Estudo das 
relações entre ângulos e distâncias no espaço.
ESPAÇO EUCLIDIANO:
a) É Uniforme (Homogêneo e Isotrópico).
HOMOGÊNEO - Suas propriedades são as mesmas 
em qualquer local definido sobre ele.
ISOTRÓPICO - Suas propriedades não dependem 
da direção em que são consideradas.
b) Tem uma Geometria de Congruência. 
Isto é, nele todas as formas espaciais são invariantes 
sob translação e/ou rotação. 
Se o raio da circunferência e diâmetro de um círculo é 
 este raio é o mesmo em todos os pontos para todos 
os círculos.
Duas Figuras Congruentes: Possuem a mesma 
forma e tamanho. 
Dois conjuntos de pontos geométricos congruentes: 
Se, e somente se, um pode ser transformado no outro 
por isometria, ou seja, uma combinação de 
translações, rotações e reflexões.
Dois Ângulos Congruentes: Se, sobrepostos um 
sobre o outro, todos os seus elementos coincidem. 
Nos paralelogramos, os lados paralelos são 
congruentes, e os dois ângulos opostos pelo vértice 
são sempre congruentes. 
Num Triângulo Equilátero: Todos os lados e 
ângulos são congruentes.
No Triângulo Isóscele: Apenas os lados iguais e 
os ângulos da base são congruentes.
Existem outros ESPAÇOS NÃO EUCLIDIANOS
Exemplo: Espaço-Tempo Quadridimensional
(descrito pela Teoria da Relatividade) quando a
gravidade estápresente não é euclidiano.
GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA baseia-se
num axioma distinto da Geometria Euclidiana.
Modificando o axioma das paralelas, que postula
que por um ponto exterior a uma reta passa
exatamente uma reta paralela à inicial, obtêm-se:
 GEOMETRIA ELÍPTICA onde não há nenhuma
reta paralela à inicial.
 GEOMETRIA HIPERBÓLICA (“Sela”) onde há
uma infinidade de retas paralelas à inicial que passam
no mesmo ponto.
6 – ESPAÇO NÃO EUCLIDIANO
De todos os possíveis Espaços Não-
Euclidianos existem somente 2 que são 
uniformes (homogêneos e isotrópicos)
GEOMETRIA
DESCOBERTO no Século XIX 
Pelos MATEMÁTICOS
1º HIPERBÓLICA
Johann Carl Friedrich Gauss, 
alemão, (1777 – 1855)
Nicolai Ivanovich Lobachevski, 
russo, (1792 – 1856)
Húngaro János Bolyai (1802 - 1860)
2º ESFÉRICA
Georg Friedrich Bernhard Riemann, 
alemão, (1826 – 1866).
● Qual das Geometrias, a Euclidiana 
ou a Não-Euclidiana, Descreve 
Realmente o Espaço?
● Que é Geometria Não-Euclidiana?
● É Importante a Geometria 
Não-Euclidianas?
Em uma região bastante pequena do espaço essa
nova geometria era praticamente Euclidiana mas em
grandes regiões as duas geometrias eram
essencialmente diferentes.
Supor que a Terra é perfeitamente esférica e que ela
é habitada por "seres planos", que se arrastam
sobre a superfície terrestre, têm apenas 2 dimensões
e que não percebem o sentido de “altura”.
O método usado por estas criaturas para identificar
"linhas retas" consiste em estender linhas através da
superfície conectando 2 pontos quaisquer.
Para essas criaturas essa linha parece ser uma reta à
medida que elas se movem ao longo delas uma vez
que as direções de chegada ou de partida dessas
criaturas em qualquer ponto sobre a linha tem ângulo
zero entre elas.
Com esta definição os "seres planos" encontram que
todas as linhas retas se interceptam e que movendo-
se ao longo de qualquer linha reta eles finalmente
retornam ao seu ponto de partida.
Eles descobrem que a soma dos 3 ângulos internos
de qualquer triângulo que eles desenham sobre a
Terra não dá 180º como na Geometria Euclidiana.
A soma desses 3 ângulos internos sempre excede
2 Ângulos Retos (90º + 90º)  i  > 180º.
Geometrias Não-Euclidianas são definidas 
sobre a superfície de uma Esfera ou de um 
Hiperbolóide.
A geometria da superfície da Terra é não-euclidiana. 
Por exemplo, a soma dos ângulos de um triângulo 
formado por linhas de latitude - que se encontram no 
Pólo Norte - e uma seção do equador será sempre 
maior que 180° porque as linhas de latitude cruzam o 
equador em ângulos de 90°.
A noção de linhas paralelas 
de acordo com o 5º 
postulado de Euclides neste 
caso não tem qualquer 
sentido pois qualquer arco 
de um grande círculo que 
passa através de um ponto 
C, não situado sobre AB, 
necessariamente irá 
interceptar AB e até mesmo 
em 2 pontos. 
A soma dos ângulos de um 
triângulo (A, B, C) formado 
por 3 arcos que se 
interceptam de 3 grandes 
círculos é Sempre  180º.
ILUSTRAÇÃO
BI-DIMENSIONAL 
da GEOMETRIA 
SOBRE a ESFERA
Charada resolvida c/ a GEOMETRIA NÃO 
EUCLEDIANA: Partindo de um ponto da Terra, um 
caçador andou 10 km p/ Sul, 10 km p/ Leste e 10 km p/ 
Norte, voltando assim ao ponto de partida. 
Aí encontrou um Urso. Qual a Cor do Urso?
A superfície da Terra é curva. 
Andando 10 km segundo as
3 direções perpendiculares, 
o caçador só voltará ao pt. 
de partida se iniciar a sua 
caminhada no Pólo Norte. 
Como a história ocorre no 
Pólo Norte, só pode ser 
um Urso Polar e, por isso
um Urso Branco.
c/ a Geometria 
Não Euclediana, 
surge uma nova 
solução para 
este problema.
A dificuldade 
em solucionar 
este problema 
passa pelo fato
de pensarmos 
na Geometria 
sobre um plano.
COMPARANDO OS 3 ESPAÇOS UNIFORMES
ESPAÇO
Através
de um 
Ponto Dado
Soma dos Âng. 
Interiores de 
um Triângulo
Circunferência 
de um Círculo
EUCLI-
DIANO
Pode Traçar 
Somente 1 
Paralela a uma 
Linha Reta.
Igual a 
2 Âng. Retos 
(i  = 180º)
Igual a 
 Vezes Seu 
(C
o
=  . D) 
ESFÉRICO
Não Pode 
Traçar 
Nenhuma 
Paralela a um 
Ponto Dado.
> 2 
Âng. Retos 
(i  > 180º)
<  Vezes 
Seu 
(C
o
<  . D)
HIPER-
BÓLICO
Pode Traçar 
+ de 1 Paralela
a Linha Reta.
< 2 
Âng. Retos
(i  < 180º)
>  Vezes 
Seu 
(C
o
>  . D)
COMO DISTINGUIR AS 3 GEOMETRIAS:
1 - Colocar uma folha de papel sobre uma superfície 
plana. O papel irá cobrir a superfície suavemente. 
2 - Cobrir uma superfície esférica com uma folha de 
papel do mesmo tamanho. 
Formar-se-á vincos no papel, indicando que próximo 
a qualquer ponto dado sobre a superfície da esfera a 
área do papel é maior do que a área que você está 
tentando cobrir. 
3 - Quando você cobrir a superfície de uma “sela”
com a mesma folha de papel verá que o inverso 
acontece: a área do papel passa a ser insuficiente 
para cobrir a superfície próxima a qualquer ponto 
sobre ele e o papel se rasga.
Quando comparamos a geometria euclidiana (opera 
c/ espaço bidimensional) com a geometria não-
euclidiana (opera c/ espaço tridimensional):
a) São diferentes (princípios, conceitos, objetos, 
demonstrações);
b) São diversas e não-sucessivas.
G E O D É S I C A S
A luz segue curvas geodésicas.
A luz não se move uniformemente ao longo de
linhas retas, não porque ela está sujeita a
alguma força, mas porque o espaço-tempo
é “curvo”.
Isso é muito importante por que mostra que o
conceito de força foi substituído pelo conceito
geométrico de curvatura do espaço-tempo.
A teoria da relatividade geral trata, em geral,
com espaços-tempo “curvos”.
Entretanto essas linhas curvas têm uma
característica comum com as linhas retas.
G E O D É S I C A S
Linhas retas são as trajetórias mais curtas
conectando 2 pontos de um espaço plano.
Movimentos nos espaços-tempo “curvos”
percorrem as linhas curvas (geodésicas) mais
curtas entre 2 pontos.
Sobre a superfície de uma esfera só podemos
traçar curvas.
De todas as curvas que conectam 2 pontos a
mais curta é o arco de um grande círculo.
GEODÉSICAS sobre a superfície de uma
esfera são os Arcos de Grandes Círculos.
Movimentos das partículas e da luz são curvos.
QUAL A IMPORTÂNCIA DA 
GEOMETRIA DO ESPAÇO?
A teoria relativística da gravitação se
apóia inteiramente na idéia de que a
geometria do espaço em qualquer local
no Universo está diretamente relacionada
com a intensidade do campo gravitacional
naquele local.
Quanto + intenso o campo gravitacional,
+ forte a curvatura correspondente.
TIPO de 
UNIVERSO
C A R A C T E R Í S T I C A
CURVATURA 
POSITIVA
Se expandirá até uma certa 
separação entre as galáxias e então 
contrairá de volta até um espaço 
zero. Este é o Universo Fechado
CURVATURA 
ZERO
Corresponde a um universo que se 
expande para sempre, diminuindo 
sua velocidade à medida que faz 
isso. Este é o Universo 
Espacialmente Plano.
CURVATURA 
NEGATIVA
Corresponde a um universo que se 
expandirá para sempre. 
Este é o Universo Aberto.
6 – CURVATURA DO ESPAÇO-TEMPO
Espaço-Tempo - Sistema de Coordenadas utilizado 
como base para o estudo da Relatividade Especial
e Relatividade Geral (em física). 
Tempo e Espaço Tridimensional são concebidos, em 
conjunto, como uma única Variedade de 4 Dimensões a 
que se dá o nome de Espaço-Tempo. 
Um ponto, no Espaço-Tempo, pode ser designado como 
um acontecimento. 
Cada acontecimento tem 4 Coordenadas (t, x, y, z); ou, 
Coordenadas Angulares,t, r, θ, e  que dizem o local e a 
hora em que o acontecimento ocorreu, ocorre ou 
ocorrerá.
No Espaço-Tempo:
a) Não é possível a um 
corpo se mover nas 
dimensões espaciais sem 
se deslocar no tempo.
b) Estamos sempre 
em movimento no tempo, 
mesmo quando não nos 
movemos espacialmente.
“O tempo não pára...” 
(Cazuza.)
“Nada do que foi será...” 
(L.Santos.) 
6 - CURVATURA DO 
ESPAÇO-TEMPO
6 - CURVATURA DO ESPAÇO-TEMPO
Imaginemos um observador, parado, no espaço profundo, 
em um Movimento Geodésico (linha reta diretamente p/ 
o futuro). 
Se agora colocarmos instantaneamente ao seu lado uma 
massa suficientemente grande, a deformação que esta 
massa causará no Espaço-Tempo em sua vizinhança irá 
curvar e alterar as coordenadas originais do Espaço-
Tempo no local. 
O efeito é que aquele movimento que era apenas uma 
linha reta na direção temporal agora passará a ocorrer 
também nas novas coordenadas espaciais. 
A linha se curva e se enrola em torno do corpo enquanto 
ele se move na direção do tempo futuro. 
6 - CURVATURA DO
ESPAÇO-TEMPO
O observador começa a 
se mover espacialmente 
devido à distorção da 
geometria causada pela 
massa, não devido à 
presença de uma força. 
Isto era o efeito que se 
costumava chamar de 
Gravidade mas que, à luz 
desta teoria, é uma 
Distorção da geometria do 
Espaço-Tempo devido à 
presença de uma massa em 
rotação.
Conceito de CURVATURA DO ESPAÇO-TEMPO
● Como se fosse uma deformação causada por uma 
bola pesada numa membrana elástica. 
(Comparação “fantasiosa”, pois mostra apenas a 
curvatura espacial de um Espaço de 2 Dimensões, 
sem levar em consideração o efeito do tempo).
Quanto maior for a massa do objeto, maior será a 
curvatura da membrana. Na relatividade geral, os 
fenômenos que na mecânica clássica se considerava 
serem o resultado da ação da força da Gravidade, 
são entendidos como representando um movimento 
inercial num Espaço-Tempo Curvo. 
A Massa da Terra Encurva o Espaço-Tempo
e isso faz c/ que tenhamos tendência p/ cair em 
direção ao seu centro ( idem o Sol).
CURVATURA DO ESPAÇO-TEMPO SOL
6 - CURVATURA DO ESPAÇO-TEMPO
Não existe nenhuma “Força da Gravidade” atuando à 
distância, mas sim uma Deformação Geométrica do 
espaço encurvado pela presença nele de massa, 
energia ou momento. 
GEODÉSICA - É a trajetória que segue no Espaço-
Tempo um objeto em queda livre, ou seja, livre da ação 
de forças externas. 
Por isso, a trajetória orbital de um planeta em volta de 
uma estrela é a projeção num Espaço 3D de uma 
Geodésica da geometria 4D do Espaço-Tempo em torno 
da estrela.
Se uma bola de beisebol fosse colocada sobre um 
lençol, devido ao peso ela rolaria para o meio do 
lençol, fazendo com que ele se curvasse naquele 
ponto. Então, se uma bola de gude fosse colocada 
na beira do mesmo lençol ela viajaria na direção da 
bola de beisebol por causa da curva.
Imagine um lençol dobrado, deixando um espaço 
entre as partes de cima e de baixo. 
Colocar uma bola
1
no lado de cima fará com que 
uma curvatura se forme. 
Se uma bola
2
de massa igual a bola
1
fosse 
colocada na parte de baixo do lençol, em um ponto 
correspondente ao ocupado pela bola1 na parte de 
cima, eventualmente a bola
2
encontraria a bola
1
. 
E assim os buracos de minhoca podem ser formar.
Solução descoberta 
por Albert Einstein e seu 
colega Nathan Rosen, 
que publicaram o 
resultado em 1935.
VIAGEM NO TEMPO
Como tudo isso se relaciona com a viagem no tempo?
Conforme discutimos anteriormente, a teoria da
relatividade diz que, à medida que a velocidade de
um objeto se aproxima da velocidade da luz, o
tempo desacelera.
Os cientistas descobriram que mesmo na velocidade
de uma nave espacial, os astronautas podem viajar
alguns nanossegundos para o futuro.
Para entender isto, imagine 2 pessoas:
um indivíduo A e um indivíduo B.
O indivíduo A fica na Terra, enquanto o indivíduo B
decola num foguete espacial, cujos relógios estão em
perfeita sincronia.
VIAGEM NO TEMPO
Quanto mais próximo da velocidade da luz viajar o
foguete do indivíduo B, mais devagar passará o
tempo para ele (em relação ao indivíduo A).
Se o indivíduo B viajar durante poucas horas a 50%
da velocidade da luz e retornar à Terra, ficará óbvio
para ambos que o indivíduo A envelheceu bem mais
rápido do que o indivíduo B.
Esta diferença no envelhecimento se dá porque o
tempo passou muito mais rápido para o indivíduo A
do que para o indivíduo B, que estava viajando mais
próximo da velocidade da luz.
Muitos anos podem ter se passado p/ o indivíduo A,
enquanto o indivíduo B experimentou um lapso de
tempo de poucas horas.
Fonte:
1 - www.miniweb.com.br/ciencias;
2 - www.faraday.physics.utoronto.ca/pvb/harrison;
3 – www.upscale.utoronto.ca/pvb/harisson;
4 - K. Schwarzschild, "no campo gravitacional de um ponto de 
massa na teoria de Einstein," Anais da Academia Prussiana de 
Ciências, 424 (1916);
5 - RW Fuller e JA Wheeler, "Causalidade e multiplicai-
Conectado Espaço-Tempo", Phys. Rev. 128, 919 (1962);
6 - MS Morris et al., "Buracos de minhoca, máquinas do tempo 
e a condição de energia fraca", Phys. Rev. Lett. 61, 1446 
(1988);
7 - L. Flamm, "Comentários sobre teoria da gravidade de 
Einstein," Physikalische Zeitschrift 17, 448 (1916);
8 – www.ciencia.hsw.uol.com.br> Ciência;
9 - http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/c/c2/Lambda-
Cold_Dark_Matter%2C_Accelerated_Expansion_of_the_Univer
se%2C_Big_Bang-Inflation.jpg.
Na cosmologia, MATÉRIA ESCURA é uma forma 
postulada de matéria que só interage 
gravitacionalmente (ou muito pouco de outra forma). 
Sua presença pode ser inferida a partir de efeitos 
gravitacionais sobre a matéria visível, como estrelas 
e galáxias. 
No modelo cosmológico mais aceito, o ɅCDM, que 
tem obtido grande sucesso na descrição da formação 
da estrutura em larga escala do universo, a 
componente de matéria escura é fria, isto é, não-
relativístiva. 
Nesse contexto, a MATÉRIA ESCURA compõe cerca 
de 21% da densidade de energia do universo. 
O restante seria constituído de ENERGIA ESCURA, 
74% e a MATÉRIA BARIÔNICA, 5%.
UNIVERSO EM EXPANSÃO APÓS O BIG BANG.
Os candidatos teóricos mais populares à 
matéria escura não-bariônica são: 
- Áxions;
- Neutrinos Estéreis;
- WIMP (Weak Interacting Massive Parcticle) -
partículas massivas que interagem fracamente. 
É possível que uma pequena parte da matéria 
escura seja bariônica, existente em forma 
Objetos Massivos Compactos (MACHOS) que 
por emitirem pouca radiação são difíceis de 
serem detectados.
Lambda-CDM, expansão acelerada do Universo. A linha do 
tempo neste esquema se estende desde a era Big Bang / 
inflação 13,7 Gyr atrás até o presente tempo cosmológico.
DARK MATTER & DARK ENERGY 
Dark Matter is matter that emits or reflects minimal to 
no light, but does have a gravitational influence. 
Evidence for Dark Matter appears to be present in:
• the motion of stars in galaxies.
• the orbits of galaxies in galaxy clusters.
• the temperature of intracluster gas in galaxy clusters.
• the gravitational lensing of distant galaxies.
Some possible types of Dark Matter include:
• Massive Compact Halo Objects (MACHOS) - These 
are large objects, like brown dwarfs and Jupiter-sized 
planets, that exist in the halos of galaxies.
DARK MATTER & DARK ENERGY
• Weakly Interacting Massive Particles (WIMP)
These are subatomic particles that have extremely 
small masses, but exist in great quantities. 
Neutrinos are an example of a such a particle.Dark Energy is the term used for a possible unseen 
influence that may be causing the universal expansion 
to accelerate. 
Recent observations of supernovae have produced a 
value for an acceleration that implies a universe that is 
about 74% Dark Energy.
A assinatura das ondas de matéria é expressa pela 
relação "p = h /  ", que significa:
"na mecânica quântica (h), partícula (p) se 
comporta como onda () e vice-versa".
 = h / m.v ; p = m.v ;
 - Comprimento da onda associada à partícula de 
massa m que se move a uma velocidade v;
h - Constante de Planck (6.626×10−34 J.s);
m.v - Módulo do vetor ou Quantidade de 
Movimento da partícula. 
Observe que à medida que a m ou v aumenta, 
diminui consideravelmente .
Gráfico mostra uma onda de matéria atingindo o chapéu de Schrodinger. 
A onda no interior do contêiner é amplificada, mas ela nunca pode ser vista, 
parecendo que algo está saindo do nada.
LIVRO dos ESPÍRITOS, por Allan Kardec, analisa o seguinte:
22. Define-se geralmente a matéria como sendo o que tem extensão, 
o que é capaz de nos impressionar os sentidos, que é impenetrável. 
São exatas estas definições? ”Do vosso ponto de vista, elas o são, 
porque não falais senão do que conheceis. 
Mas a matéria existe em estados que ignorais. 
Pode ser tão etérea e sutil, que nenhuma impressão vos cause aos 
sentidos. Contudo, é sempre matéria. Para vós, porém, não o seria.”
29. A ponderabilidade é um atributo essencial da matéria?
”Da matéria como a entendeis, sim; não, porém, da matéria 
considerada como fluido universal. A matéria etérea e sutil que 
constitui esse fluido vos é imponderável. Nem por isso, entretanto, 
deixa de ser o princípio da vossa matéria pesada.”
36. O vácuo absoluto existe em alguma parte no espaço 
universal? ”Não, não há o vácuo. O que te parece vazio está 
ocupado por matéria que te escapa aos sentidos e aos 
instrumentos.” Fluido Universal é o “princípio sem o qual a matéria 
estaria em perpétuo estado de divisão e nunca adquiriria as 
qualidades que a gravidade lhe dá”.
Satélites LEO (Low Earth Orbit). 
Orbita a Terra a distância de 160-2000 km. 
Velocidade: 1 volta / 90 min. 
Satélites MEO (Medium Earth Orbit). 
Órbitas medianamente cerca de 10.000 km. 
Satélites HEO (Highly Elliptical Orbit). 
Satélites GEO. Velocidade de traslação igual a 
velocidade de rotação da Terra. 
Para que a Terra e o satélite igualem suas velocidades é 
necessário que este último se encontre a uma distância 
fixa de 35.800 km sobre el ecuador. 
Por isso se chaman satélites GEOESTACIONÁRIOS. 