04 Mec II Cinematica VET PROJETIL

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ENGENHARIA MECÂNICA
Disciplina: MECÂNICA II
Assunto: 
CINEMÁTICA VETORIAL 
PROJÉTIL
CINEMÁTICA VETORIAL - PROJÉTIL
CONTEÚDO:
1. Movimento de um Projétil, Características;
2. Lançamento de um Projétil;
3. Lançamento Horizontal;
• 3.1. Leis de Aceleração, Velocidade, Posição;
• 3.2. Equações Paramétricas e da Trajetória; 
4. Lançamento Oblíquo;
• 4.1. Equações Paramétrica e da Trajetória;
• 4.2. Tempo de Vôo;
• 4.3. Altura Máxima Atingida;
• 4.4. Alcance ao Nível do Lançamento.
1 - MOVIMENTO DE PROJÉTEIS: 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Quando uma bola é chutada com um 
determinado ângulo com a horizontal, a mesma 
descreve uma trajetória parabólica.
O QUE ACONTECE COM A VELOCIDADE DA BOLA? 
BOLA V
o
V
y
Até Atingir Valor
SOBE

DIMINUI
Mínimo V
y
no 
Vértice da Parábola
y
max
DESCE

AUMENTA
Máximo x
max
no Solo 
(Alcance da Bola). 
B O L A VELOCIDADE MOVIMENTO P = m . g
S O B E  D I M I N U I RETARDADO

D E S C E  A U M E N T A ACELERADO
POR QUE A VELOCIDADE DA BOLA VARIA?
1º) Para que haja variação da velocidade, 
precisa haver forças atuando;
2º) Desprezando a resistência do ar, a força
P = m . g que atua na bola, age na vertical p/ 
baixo, comunicando à bola: Aceleração da 
Gravidade na Terra: g ≈ 9,80665 m/s2.
Deslocamento da bola - Movimento Bidimensional, 
Galileu sabia disto no século XVI, e baseando-se em 
fatos experimentais, enunciou: 
PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA
DOS MOVIMENTOS
"Quando um móvel realiza um movimento composto 
cada um dos movimentos componentes se realiza 
como se os demais não existissem." 
No caso da bola este princípio se aplica, porque o 
M.R.U. na Direção Horizontal (X), independente 
do M.U.V. na Vertical (Y). 
PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA DOS MOVIMENTOS
Galileu mostra o plano inclinado aos estudantes”. 
Pintura de Giuseppe Bezzuoli, Tribuna di Galileo, 
Museu Zoológico “La Specola”, Florença.
Considerar um barco que movimenta-se em um rio.
Se não houvesse correnteza, a velocidade do barco 
em relação a um observador parado na margem, 
seria VB, porém, com a correnteza, o movimento do 
barco em relação a este observador seria uma 
composição do movimento do rio e do próprio barco, 
de forma que em relação a este observador, o barco 
apresentaria uma VR ≠ VB, o que pode ser observado 
nos exemplos a seguir:
a) Barco Movimenta-se a Favor da Correnteza.
VR - Velocidade do barco em relação ao observador 
parado na margem;
VB - Velocidade do barco;
VC - Velocidade da correnteza.
Vetores atuam na mesma direção e mesmo sentido: 
V
R
= V
B
+ V
C
Barco desce o rio mais rapidamente do que desceria 
se não existisse a correnteza.
b) Barco Movimenta-se Contra a Correnteza.
VB e VC possuem sentidos opostos, logo o módulo da 
velocidade resultante será: VR = VB – VC
Barco passará mais tempo para subir o rio do que 
para descer.
c) Barco Movimenta-se 
Perpendicularmente 
ás Margens.
Neste caso, VB  VC
Barco desloca-se 
na trajetória AB. 
Módulo da VR será 
determinada pelo 
Teorema de Pitágoras: 
V
R
² = V
B
² + V
C
²
Observar-se que VB não tem componente na direção 
de VC, ou seja, a correnteza não terá nenhuma 
influência no tempo que o barco gasta para 
atravessar o rio.
Efeito da Correnteza: deslocar o barco rio abaixo.
Do mesmo modo, sendo nula a componente de B na 
direção da correnteza, a velocidade do barco não 
terá influência no seu movimento rio abaixo. 
Independência de 2 movimentos simultâneos 
constituem o: Princípio da Independência dos 
Movimentos.
01. Entre as cidades A e B existem sempre correntes 
de ar que vão de A p/ B c/ velocidade de 50 km/h. 
Um avião, voando em linha reta, com uma velocidade 
de 150 km/h, em relação ao ar, demora 4h para ir 
de B até A. Qual a distância entre as duas cidades?
Solução:
Como as velocidades têm sentidos contrários, a 
velocidade resultante do avião é:
V
R
= V
av
– V
ar
= 150 – 50 = 100 km/h
Avião percorre a distância entre as 2 cidades em 4 h. 
Então:
S = S
o
+ v.t
S = 0 + 100 x 4 = 400 km (distância entre A e B).
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
Desprezando a resistência do ar;
Considerando força gravítica cte. (P = m . g), 
verifica-se que a resultante das forças que 
atuam sobre um projétil lançado, é constante e 
igual à força gravítica.
A forma da trajetória depende da aceleração 
da gravidade (g) e da velocidade inicial (V
o
) 
com que o projétil é lançado.
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
Como o Sistema Projétil + Terra é um sistema 
conservativo, uma vez que, ao desprezarmos 
todas as forças resistentes, a única força que 
atua no projétil é a força gravítica, a qual é 
conservativa.
Então, um projétil atinge o nível de lançamento 
com uma velocidade de módulo igual vo, 
orientada p/ baixo e formando c/ a horizontal 
um ângulo  = o
DECOMPOSIÇÃO
DO MOVIMENTO
DE UM PROJÉTIL
TRAJETÓRIA DE UM PROJÉTIL
Um Projétil sujeito apenas à aceleração da 
gravidade (g) apresenta Trajetória Parabólica.
1 - MOVIMENTO DE PROJÉTEIS
ANÁLISE VETORIAL
Trajetória da bola de futebol.
Vetores Velocidade, vo, v1, v2, v3, v4, v5 e v6,
tangentes a cada ponto da trajetória. 
X (alcance máximo) e Y (altura máxima da bola).
Vetores velocidade apresentam componentes, 
vx e vy, p/ cada posição, nas direções X e Y. 
a) Direção X  M.U.  Valor da 
componente vx será cte.: v1x=v2x=...=vnx= vx.
b) Direção Y  M.U.V. - Cada componente 
vy terá um valor. 
Vetorialmente:
vy diminui na subida;
vy = 0 no vértice da parábola;
vy aumenta na descida. 
V
x 
= V
o 
= cte.
V
y 
= g.t
Bola lançada de O c/ Vo e  c/ horizontal. 
P/ determinar Vox e Voy, projetar o vetor Vo nas direções X e Y:
V
ox
= V
o
cos;
V
oy
= V
o
sen;
V
1y
= V
1 
sen
1
Vetor Resultante V é soma dos vetores:
V = V
x
+ V
y
Pode-se determinar o módulo do vetor 
velocidade, V, p/ cada posição, sendo 
conhecidos os módulos das componentes, 
Vx e Vy, obtendo: 
V
2
= V
2
x
+ V
2
y
Considerando os vetores velocidade da figura da bola
Vo e V1, e colocando as origens destes vetores
coincidentes ou colocando a origem do vetor oposto,
-Vo, coincidente com a extremidade do vetor V1,
obtém-se a diferença entre 2 vetores velocidade (ΔV)
p/ 2 posições sucessivas.
Fazendo o mesmo procedimento p/ todas as posições,
p/ Δt iguais, observa-se que esta ΔV é Cte., p/
quaisquer 2 posições: a = Δv / Δt = Constante
a = - g (aceleração da gravidade). 
sinal negativo porque a trajetória é orientada
positiva p/ cima e o vetor g atua p/ baixo.
Seja o o ângulo que o vetor vo faz com o eixo x, 
assim temos p/ o movimento ao longo do eixo x.
P/ o movimento ao longo do eixo y temos que 
considerar a Aceleração da Gravidade (g), assim:
S = S
o
+ v.t
Como a escolha da origem é arbitrária podemos 
escolher (xo, yo) = (0, 0), de forma que as 
coordenadas x, y p/ um tempo qualquer t, são dadas 
pelas Equações Paramétricas da Trajetória:
Obtendo-se a derivada primeira em relação a t das 
posições x e y, temos:
LANÇAMENTO HORIZONTAL
Todo corpo lançado horizontalmente c/ velocidade 
V
o
de um ponto O, próximo da superfície da Terra, 
desprezados os atritos do ar, fica sujeito
unicamente à Força Peso, (sempre de direção 
vertical e sentido p/ baixo) e que obedece à 
trajetória da figura abaixo, que é um arco de parábola.
2 - LANÇAMENTO DE UM PROJÉTIL
Composto de 2 movimentos simultâneos e
independentes, s entre si:
M.R.U. conforme Eixo dos XX, V
o
:
S = S
o
+V.t  X = 0+ V
o
.t  X = V
o.t
velocidade constante (a
x
= 0);
M.U.V. conforme Eixo dos YY,c/ Vo = 0
Queda Livre c/ o corpo abandonado da Origem, 
sujeito apenas à g, de direção vertical e sentido p/ 
baixo.
Aceleração constante (a
y
= - g).
S = S
o
+ V.t
X = 0 + V
o
.t 
X = V
o
.t
Equações da Cinemática
S = S
o
+V
o
.t + a.t
2
/2 Y = 0 + 0.t + g.t
2
/2 Y = g.t
2
/2
V
y
= V
oy
+ a.t V
y
= 0 + g.t V
y
= g.t
V
2 
= V
o
2 + 2.a.ΔS V
y
2
= 0
2 + 2.g.Δh V
y
2 = 2.g.Δh
3 - LANÇAMENTO HORIZONTAL
Equações Paramétricas:
Equação da Trajetória:
Tempo de Vôo:
Tempo de vôo de um projétil lançado horizontalmente 
não depende da velocidade com que é lançado.
MOVIMENTO DE PROJÉTEIS
O dispositivo, abaixo, ao ser acionado lança uma 
esfera horizontalmente e, simultaneamente, deixa cair 
outra esfera verticalmente. 
As duas esferas 
atingem o solo 
ao mesmo tempo 
e descrevem 
as trajetórias 
mostradas 
na figura.
LANÇAMENTO HORIZONTAL
LANÇAMENTO HORIZONTAL
À medida que o alvo cai, a flecha também cai, na 
mesma proporção, pois ambos estão sujeitos apenas 
à ação da gravidade g.
Se o arqueiro fizesse mira sobre o alvo e ele não 
caísse erraria o alvo, pois a flecha, à medida que 
avança na horizontal com velocidade cte. V
o
, 
também cai com velocidade V
y
.
Se o instante da queda do alvo e do lançamento da 
flecha for simultâneo, os dois possuirão em cada 
instante, as mesmas velocidades horizontal e vertical;
P/ determinar o instante do encontro, deve-se isolar 
o tempo na equação X = V
o
t  t = X/V
o
e substituí-lo na equação da altura Y = g.t2/2
LANÇAMENTO HORIZONTAL 
Considerar um avião que se desloca na horizontal c/ 
velocidade VH constante num referencial fixo no solo. 
Num dado momento, um pacote é abandonado 
do avião. 
Desprezar a resistência do ar sobre o pacote. 
No referencial R*, fixo no avião, o pacote se desloca 
em queda livre. 
Sua trajetória é uma Linha Reta Vertical.
LANÇAMENTO HORIZONTAL 
No referencial R, fixo no solo, o avião se desloca em 
M.R.U. com velocidade VH. 
Nesse referencial, a trajetória do pacote é uma 
parábola.
Vetor velocidade do pacote em cada instante de 
tempo pode ser considerado como a soma de 2 
vetores componentes: V = V
x
+ V
y
a) V
x
 Vetor Velocidade Horizontal, igual à 
velocidade do avião;
b) VY Vetor Velocidade Vertical, igual à 
velocidade que teria o pacote se o seu movimento 
fosse unicamente de queda livre.
Exemplo: Considerar o referencial R fixo no solo e o 
eixo X com direção vertical, sentido de baixo para 
cima e zero no solo. 
Supor que o avião se desloque a uma altitude de 
320 m com velocidade de módulo igual a 50 m/s. 
Esse também é o valor do módulo da componente 
horizontal da velocidade do pacote. 
O tempo de queda do pacote pode ser calculado 
levando em conta que o seu movimento vertical é de 
queda livre, isto é, um M.R.U.V. com aceleração 
constante de módulo g = 10 m/s².
Considerar que a vo nessa direção é nula. 
Assim, a equação horária da posição:
x(t) = x(0) + v(0)t - 1/2 g.t²
permite escrever: 
0 = 320 m + 1/2 (−10 m/s² ) t²
320 m = 5 m/s² t²  t² = 64s²  t = 64 = 8 s
Pacote leva 8 s para chegar ao solo. 
O módulo da velocidade vertical do pacote quando ele 
chega ao solo pode ser obtido da equação horária da 
velocidade: vy = v(0) - g.t 
Então: vy = (−10 m/s²)(8s) = − 80 m/s 
Sinal negativo indica que a velocidade vertical do 
pacote tem sentido contrário ao do eixo vertical do 
referencial. 
Assim, ao chegar ao solo:
a) A componente horizontal da velocidade 
do pacote tem módulo de Vx = 50 m/s;
b) A componente vertical da velocidade do 
pacote tem módulo de Vy = 80m/s. 
O pacote chega ao solo com uma 
velocidade de módulo: 
V = Vx + Vy = (50 m/s)² + (80m/s)² 
V = 94,33 m/s
4 - LANÇAMENTO OBLÍQUO
Quando uma bola é tacada em uma partida de 
golfe, observamos que ela realiza movimento 
parabólico (Lançamento Oblíquo.)
LANÇAMENTO OBLÍQUO
A velocidade de lançamento forma com a horizontal 
um ângulo distinto de 0o <   90o.
Vo pode ser decomposta em 2 componentes: 
Vox (velocidade no eixo dos X) e
Voy (velocidade no eixo dos Y):
LANÇAMENTO OBLÍQUO resulta da 
composição de 2 movimentos independentes:
a) Movimento Horizontal – Uniforme, 
porque Vox é constante (desprezando-se a 
resistência do ar).
b) Movimento Vertical – Velocidade é 
variável  Corpo sujeito à g.
- Na subida: Movimento Retardado
(V
y
e g sentidos ); 
- Na descida: Movimento Acelerado 
(V
y
e g sentidos ).
LANÇAMENTO
OBLÍQUO
Equações 
Paramétricas:
Equação da 
Trajetória:
LANÇAMENTO OBLÍQUO
Com: voy = vo Sen
Tempo de 
Subida:
Tempo 
de Vôo:
Tempo necessário p/ atingir à MÁXIMA DISTÂNCIA é o dobro 
do tempo necessário p/ atingir à MÁXIMA ALTURA, como 
poderíamos deduzir a partir da análise da simetria do problema
4.5. ALCANCE HORIZONTAL
x = R; xo = 0; vox = vo Cos o
y = 0; yo = 0; voy = vo Sen o
4.5. ALCANCE HORIZONTAL
Movimento em X: R = (vo Coso).t
Movimento em Y: 0 = (vo Seno).t - (1/2).g.t
2
P/ Cada Alcance Horizontal, 
Há 2 Ângulos de Lançamento:
(vo
2 sen21) / g = (vo
2 sen22) / g 
sen21 = sen22  21 =  - 22 
(21 + 22)/4 = /4 
(1 + 2) / 2 = /4
 / 4 = 45º
Condições:
a) vo1 = vo2
b) R (1) = R (2)
Importante: o alcance é o mesmo p/ diferentes 
corpos, lançados c/ a mesma Vo e c/ ângulos de 
lançamento complementares (cuja soma = 90º).
Condição
p/ Projétil 
Atingir 
Alvo:
roA = vop.t
rp = rA
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
Tiro No Alvo 
Em Queda Livre
A figura ilustra um problema clássico do 
movimento em duas dimensões: o macaco e o 
caçador. 
Neste exe., o projétil (bola azul) 
e o macaco (bola amarela). 
Macaco cai no instante em que o projétil é 
lançado. 
Desprezar os efeitos da resistência do ar.
O ângulo com que a bola azul é lançada é
tgo = H / D = Voy / Vox ,
H - é a altura;
D - a distância até a segunda bola.
Vamos analisar o problema conceitualmente. 
Com determinados conceitos e princípios é possível 
obter resultados e consequências para o problema.
Vamos supor que não exista a aceleração de queda, 
isso exige um certo esforço mental, sabemos que a 
aceleração gravitacional atua na vertical e para baixo 
sobre todos os corpos. 
Porém, vamos seguir essa linha. 
Como se comportaria o sistema composto pela bola 
amarela e bola azul? 
A bola azul seguiria uma trajetória reta, velocidade 
constante, atingindo bola amarela em um instante de 
tempo t. 
Observe que a bola amarela permaneceria na 
mesma posição.
Entretanto, a aceleração gravitacional existe. 
E, ao atingir a distância D no tempo t, ambas estão 
em queda livre percorrendo em y uma distância de 
queda de 1/2 g.t².
Logo, a bola azul irá chocar-se c/ a bola amarela,
independente da velocidade de lançamento, desde 
que percorra a distância D.
Vejamos agora o problema utilizando as equações da 
cinemática. 
Ao percorrer a distância D
no tempo t, a bola azul estará
na posição dada por:
O eixo y está orientado p/ cima. 
Logo, a aceleração gravitacional g é negativa.
Neste mesmo instante de tempo t, a bola amarela
encontra-se em uma posição dada por y = H- gt²/2 .
Logo, sabendo que Voy / Vox = H / D, chega-se 
facilmente a conclusão que ambas encontram-se na 
mesma posição. 
Assim, o caçador ao mirar no macaco sempre o 
atingirá mesmo que este caia do galho.Em uma indústria de mineração, uma correia com a 
velocidade constante de vo = 10 m/s.
Determine o ângulo  e altura h p/ que areia lançada 
pela correia caia na posição B no tempo de t = 1,5 s.
x = xo + vox.t
7,5 m = 0 + 10 m/s x cos x 1,5 s 
7,5 = 15 cos cos = 7,5 / 15 = 0,5; 
 = 60º sen 60º = 0,866;
y = yo + voy.t – g.t²/2
y = 10m/s x sen60º x1,5s – [9,81m/s²x(1,5s)²]/2
y = 10 x 0,866 x 1,5 – (9,81 x 2,25)/2
y = h = 13 – 11 = 2 m
Uma bola é lançada da rampa, como mostra a figura, 
com uma velocidade de v = 12 m/s. 
Estando essa rampa situada a uma altura de h = 6 m
do chão. Determinar:
a) O tempo que a bola demora para atingir o chão;
b) A que distância, d, da rampa. 
r(t) = ro + vo.t + (1/2).a.t
2
ro = (0,0) considerando o sistema de eixos c/ 
ortogonais em A;
vo = (12, 0); a = (0, -9,81);
(x, y) = (0, 0) + (12, 0) t + 1/2.t2 (0, -9,81)
Equações Paramétricas: 
x = 12 t e Y = -9,81.t² /2
Eliminado o parâmetro t: t = x / 12
y = (-9,81/2) * (x²/144) = (-9,81*x²/288)
y = 0,0341x²  y = 6  x = d
x = 6 * 288/9,81 = 13,3 m
t = 13,3 / 12 = 1,108 s
Fonte:
2002 by John Wiley & Sons;
 2004 by Pearson Education;
 2007 by Chiu-King Ng;
 Walter Fendt 2000, CEPA 2001;
Copyrigth  2004 David M. Harrison;
SMF  2006-2008, Simple Machines LLC;
Prof. Luiz Ferraz Netto (feira de ciência) -
leobarretos@uol.com.br;
Mostre que o movimento de qualquer projétil lançado 
no espaço num campo gravítico com aceleração 
a = (0, - g) apresenta um valor constante para a 
componente horizontal da velocidade desde que se 
despreze qualquer tipo de resistência aerodinâmica e 
atritos.
Vetor velocidade instantânea de um projétil que 
apresenta um movimento uniformemente variado (a = 
constante) é dado por: v(t) = vo + t * a
Neste caso tem-se:
vo = (vox, voy)
a = (0, - g)
Logo: v(t) = (vox, voy) + t (0, - g)
Ou seja: vx = vox + 0
vy = voy + t(-g) = voy – t.g
Portanto vx(t) = vox, Δt > 0
Bibliografia:
Tipler, P. A. Física 1, 4ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2000.
Zemansky, F., Zemansky, M. W. and Young, H. D. Física. Vol. 1. Rio de Janeiro: LTC 
Editora, 1997. 
http://educar.sc.usp.br/fisica/proj.html
http://www.biocristalografia.df.ibilce.unesp.br/walter/fis_geral/proj/projetil2.html
Data da Consulta: 18/10/2012;
http://alfaconnection.net/pag_avsf/mov0403.htm