05 Mec II DINAMICA dos CORPOS RIGIDOS

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ENGENHARIA MECÂNICA
Disciplina: MECÂNICA II
Assunto:
DINÂMICA DOS
CORPOS RÍGIDOS
Conteúdo:
DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS
1 - Princípios Fundamentais da Dinâmica;
2 - Tipos de Problemas da Dinâmica;
3 - Equação do Movimento;
4 - Aplicação da 2ª Lei de Newton;
5 - Coeficiente de Proporcionalidade;
6 - Coeficiente de Resistência da Matéria;
7 - Princípio da Ação Independente das Forças;
8 - Máquina de Atwood.
Conteúdo:
1 - PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA
a) 1º Princípio da Inércia ou de Galileu;
b) 2º Principio Fundamental da Dinâmica;
c) 3º Princípio Fundamental da Dinâmica
(igualdade da ação e reação);
d) 4º Princípio Fundamental da Dinâmica
(Independência do Efeito das Forças Simultâneas)
e) Tipos de Problemas da Dinâmica;
f) Equação do Movimento.
TEORIA SOBRE OS MOVIMENTOS DOS CORPOS 
PRINCÍPIOS DA DINÂMICA
(ou Leis de Newton)
* Princípio da Inércia
(ou 1ª Lei de Newton);
* Princípio Fundamental da Dinâmica 
(ou 2ª Lei de Newton);
* Princípio da Ação e Reação
(ou 3ª Lei de Newton).
PRINCÍPIOS DA DINÂMICA
O estudo da Dinâmica assenta em princípios básicos 
designados por Princípios Fundamentais da 
Dinâmica (ou da Mecânica), encarados como 
postulados em consequência dos trabalhos de 
Galileu, Kepler e Newton.
DINÂMICA: Estuda a relação entre força e 
movimento. 
Sua Essência: Analisar os movimentos dos corpos 
e suas causas. previamente estudados.
CINEMÁTICA: Estuda os movimentos sem se 
preocupar com as suas causas.
PRINCÍPIOS DA DINÂMICA
1º - Princípio da Inércia ou de Galileu:
Todo o corpo tende a permanece no seu estado de 
Repouso ou M.R.U. se nenhuma causa exterior atuar 
sobre ele.
Logo não há diferença fundamental entre:
Repouso e M.R.U., que são 2 faces da mesma 
realidade mecânica newtoniana.
Então M.R.U. é um estado natural dos corpos. 
Por isso a Dinâmica só analisará as perturbações a 
partir de tal estado natural.
1º - PRINCÍPIO DA INÉRCIA:
A Inércia varia de corpo para corpo em 
função de suas respectivas massas:
F1 = m1 x a1 = 50 kg x 6 m/s² = 300 N
a1 = F1 / m1 = 300 N / 50 kg = 6 m/s²
v1= a1 x t1 = 6 m/s² x 10 s = 60 m/s 
F2 = m2 x a2 = 30 kg x 10 m/s² = 300 N
a2 = F2 / m2 = 300 N / 30 kg = 10 m/s²
v2 = a2 x t2 = 10 m/s² x 10 s = 100 m/s
CORPO 1 c/ CORPO 2 c/
GRANDE 
MASSA1
GRANDE 
INÉRCIA1
F1 = F2
a1 < a2
v1 < v2
PEQUENA 
MASSA2
PEQUENA 
INÉRCIA2
Corpo de Massa1 Mais Lento  MAIOR INÉRCIA 
Assim a partícula desloca-se segundo uma 
linha reta com a mesma direção e o mesmo 
sentido da força.
Determinando a posição da partícula em vários 
instantes, verifica-se que a aceleração tem uma 
intensidade constante a1. 
Repetindo esta experiência c/ as forças 
F2, F3, com diferentes intensidades ou 
direções, conclui-se que em cada instante 
a partícula se move na direção da força 
atuante, e que as intensidades 
a1, a2, a3  intensidades F1,F2, F3, então:
O valor constante que se obtém para m = F / a 
é uma propriedade da partícula que não se 
altera, a qual é a:
Inércia da partícula  Resistência em alterar 
a sua velocidade.
Massa m é usada como uma medida dessa 
inércia e, por isso, 2° Princípio Fundamental 
da Dinâmica pode ser expresso por:
Notas A:
Conhecida a massa m do corpo e a sua 
lei de aceleração a(t) numa dada 
categoria de movimento, a lei de força 
F(t) obtém-se multiplicando o escalar m
pelo vetor a(t);
Lei de Força = Massa x Lei de Aceleração: 
F(t) = m . a(t)
2ª LEI de NEWTON (Lei Fund. da DINÂMICA)
Quando um corpo de Massa (m) é atuado por uma 
Força (F), ou por um sistema de forças (∑F) cuja 
resultante não seja nula (FR ≠ 0), adquire uma 
Aceleração (a) que lhe é proporcional, sendo a
Constante de Proporcionalidade a massa (m)
(massa inercial).
● Quando uma Força Resultante (FR), externa atua 
sobre um corpo, ele acelera.
● Aceleração possui a mesma direção e o mesmo 
sentido da FR.
● Vetor Força Resultante = Ao produto da massa do 
corpo pelo vetor aceleração do corpo.
V
1
= a
1
x t
1
= 10 m/s² x 2s = 20 m/s
F
1
= m
1
.a
1
= 50kgx10m/s² = 500kgf
m
1
= m
2
e t
1
= t
2
F
2
= 2F
1 
= m
2
. a
2
2 x 500 kgf = 50 kg x a
2
a
2
= 1000 kgf / 50 kg = 20 m/s²
V
2
= a
2 
. t
2
= 20 m/s² x 2 s = 40 m/s
V
2
= 2V
1
2ª LEI de NEWTON
Matematicamente Pode Ser Desdobrada Em 
3 Equações Parciais, Correspondendo Cada 
Uma A Um Eixo Cartesiano Ortogonal.
3º - Princípio Fundamental da Dinâmica
- Princípio da Igualdade da Ação e Reação.
- 3ª Lei de Newton
Toda a ação Fg
de um corpo sobre 
outro provoca da 
parte deste uma 
reação FN oposta, 
de mesma direção 
e grandeza igual 
à ação.
4º PRINCÍPIO FUNDAMENTAL 
DA DINÂMICA
Princípio da Independência do 
Efeito das Forças Simultâneas.
Quando várias forças (F) atuam
simultaneamente sobre um corpo, este
adquire uma aceleração (a) que é a
resultante (R) das acelerações que
isoladamente cada força lhe comunicaria.
4º PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA DINÂMICA
PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA DO 
EFEITO DAS FORÇAS SIMULTÂNEAS
Assim, este 4º princípio pode ser o corolário 
do 2º Princípio Fundamental da Dinâmica, na 
qual o somatório Fi representa a Resultante
de todas as forças atuantes na partícula:
RESULTANTE
DE UM 
SISTEMA 
DE FORÇAS
2 TIPOS DE PROBLEMAS DA DINÂIICA
a) Conhecem-se as leis de movimento dos corpos e 
pretende-se saber as forças que sobre eles atuam.
b) Conhecem-se as forças e pretende-se saber as leis 
do movimento.
1º Tipo - Não apresenta grandes dificuldades de 
resolução pois, por aplicação do 
Princípio Fundamental da Dinâmica, facilmente se
determinam as forças multiplicando as acelerações
(a) pela massa (m), obtendo-se de imediato as forças 
(F) que atuam sobre o corpo:
2 - TIPOS DE PROBLEMAS DA DINÂMICA
2º Tipo - Pode não ser de fácil resolução, pois 
poderão surgir equações diferenciais não 
lineares e de coeficientes funcionais de difícil 
resolução. 
No caso geral, as forças dependem do tempo, 
do espaço e da velocidade:
Linear porque todos os coeficientes são função 
de x e a função y e as suas derivadas têm 
todas expoentes 1 ou 0.
Equação Diferencial Linear:
Equação Diferencial Não Linear:
3 - EQUAÇÃO DO MOVIMENTO
Princípio Fundamental da Dinâmica
Derivando o espaço e a velocidade a equação do 
movimento será o diferencial:
t – Variável independente;
r e v - Variáveis dependentes;
y(n) - Derivada de ordem n da função y = y(x).
Nos casos correntes, esta equação
diferencial é habitualmente do tipo
ordinária (EDO) de coeficientes constantes.
Envolve as derivadas de uma função 
desconhecida de uma variável. 
Exemplo: ƒ’ = ƒ
Onde:
ƒ - Função desconhecida;
ƒ’ - Derivada da função desconhecida. 
No caso geral, estas equações de movimento
poderão ser de resolução analítica (Galileu) ou
numérica (Newton e Leibniz), extremamente
complicada.
Para contornar essa dificuldade recorrer-se-á a
Princípios e Teoremas da Dinâmica que facilitam a
resolução dos problemas comuns da Dinâmica.
Tais princípios permitem analisar certos aspectos e
características especiais da dinâmica dos corpos,
sem ser necessário estudá-los instantaneamente na
íntegra através das equações diferenciais do
movimento.
5 - COEFICIENTE DE PROPORCIONALIDADE
MASSA:
a) Grandeza escalar sempre positivo;
b) Mede a INÉRCIA do ponto; 
c) Soma das massas dos pontos que definem o 
sistema de pontos materiais (rígido ou não);
d) Indicativo da INÉRCIA do ponto material;
e) Coeficientede Resistência da 
Matéria ao movimento ou à variação de 
movimento que se lhe quer comunicar;
f) Caracteriza a INÉRCIA de cada tipo de 
matéria e sua particular substância;
f) p/ pontos ou sistema de pontos materiais, todos 
constituídos da mesma substância, a massa aumenta
c/ o aumento da “quantidade de matéria”. 
Se 1 mol da substância A tem massa m, N moles dessa 
substância A terá massa N.m .
g) Em Mecânica Clássica, massa é grandeza 
constante em relação ao tempo, velocidade ou 
posição;
h) Em Mecânica Relativista, massa é função da 
velocidade, expressa por:
POR QUE A MASSA É IMPORTANTE?
MASSA - Medida de quanto qualquer objeto contém
em si mesmo.
Se não fosse pela massa, todas as partículas 
fundamentais que compõem os átomos e os animais 
viajariam pelo cosmos na velocidade da luz, e o 
Universo como o conhecemos não seria agrupado em 
matéria.
A teoria em questão propõe que Campo de Higgs, 
permeando o Universo, permite que as partículas 
obtenham massa. 
Esse processo pode ser ilustrado com a resistência 
que um corpo encontra quando tenta nadar em uma 
piscina. O Campo de Higgs permeia o Universo como 
a água enche uma piscina.
7 - PRINCÍPIO DA AÇÃO
INDEPENDENTE DAS FORÇAS
Se o ponto material realiza simultaneamente 
várias categorias de movimento, a cada uma 
delas corresponde uma lei de força. 
Para o Sistema Vale o Princípio da Ação 
Independente das Forças.
Quando sobre um corpo agem ao mesmo 
tempo várias forças, cada uma atua de modo 
independente das demais; 
Aceleração Vetorial adquirida pelo corpo é a 
soma vetorial das acelerações que cada força 
produz isoladamente.
Ações Independentes Acelerações Componentes
F
1
= m . a
1
a
1
= F
1 
/ m
F
2
= m . A
2
a
2
= F
2 
/ m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F
n
= m . a
n
a
n
= F
n
/ m
Resultante do 
Sistema de Forças:
Aceleração Resultante:
F
R
= F
1
+ F
2
+...+ F
n
a = a
1 
+ a
2 
+...+ a
n
F
R 
= m . a a = F
1 
/m + F
2 
/m+...+F
n
/m
2º - Principio Fundamental da Dinâmica 
P/ referenciais inerciais, onde a Resultante das 
Forças aplicadas ao ponto material é FR, vale: 
F
R Ext
= m . a
ACELERAÇÃO VETORIAL adquirida pelo 
corpo é a soma vetorial das acelerações que 
cada força produz isoladamente.
A Força Única que aplicada ao corpo 
determina a mesma aceleração imposta pelo 
Sistema de Forças (∑F): 
Resultante do Sistema (FR)
Forças que definem o sistema:
Forças Componentes (F1, F2, ... Fn).
Uma motocicleta, de massa 200 kg (moto e piloto), 
move-se com velocidade constante de 36 km/h em
uma estrada reta e horizontal. Ao acelerar, tem sua 
velocidade alterada para 72 km/h em 5 s. 
A força resultante média sobre a motocicleta durante 
esse intervalo de tempo é de:
a. ( ) 300 N;
b. ( ) 400 N;
c. ( ) 900 N;
d. ( ) 1.400 N;
e. ( ) 1.800 N.
2º passo - Calcular a aceleração aplicada pelo motor 
da moto, na mesma. 
Lembrar que aceleração é a variação da velocidade 
no intervalo de tempo, tem-se:
1º passo - Esquematizar a situação descrita, tem-se:
A aceleração que o motor aplica a moto é de 2 m/s².
3º passo - Calcular a força proporcionada por essa 
aceleração. 
De acordo com a 2ª Lei de Newton, Princípio 
Fundamental da Dinâmica: corpos, sujeitos a 
mudança em seu estado de movimento, estão sobre 
atuação de força externa, proporcional a aceleração 
adquirida, de mesma direção e sentido. 
Utiliza-se essa Lei para calcular a força empregada 
pelo motor da moto, tem-se:
A força proporcionada pelo motor da moto é: 400 N.
8 - MÁQUINA DE ATWOOD
Usada p/ demonstrações em laboratório das leis 
da DINÂMICA. 
 Inventada em 1784 por George Atwood. 
 Londres, Outubro de 1745 – 11de Julho de 1807;
 Estudioso de Euler, mecânica, hidrostática e 
eletromagnetismo;
 Estudou na Trinity College na Universidade de 
Cambridge a partir de 1765;
 Obteve a graduação em 1769;
 Em 1776 foi professor e investigador como membro 
da Royal Society de Londres.
EQUAÇÃO PARA A ACELERAÇÃO
Analisando-se as forças é possível encontrar
uma equação para a aceleração.
Se for considerada uma corda sem massa e
inelástica, e uma polia ideal sem massa,
estando a corda tensionada é equivalente a
força peso em m1 estar sendo aplicada
também em m2, e a força peso em m2 estar
sendo aplicada também em m1, disso, usando
a 2ª Lei de Newton, pode-se chegar a uma
equação para a aceleração:
Máquina 
de 
Atwood
Considerações:
a) Fio Inextensível;
b) Roldana de Massa Desprezível.
FORÇAS no BLOCO 1
2ª Lei de Newton
FORÇAS no BLOCO 2
2ª Lei de Newton
E RESOLVENDO p/ a:
VETORES ACELERAÇÃO:
IGUALANDO AS EQUAÇÕES 1 E 2
Teste:
m1 = m2  a1 = a2 = 0
m1 = 0  a2 = - g j
m2 = 0  a1 = - g j
VETORES 
ACELERAÇÃO
Considerar:
a) Fio Inextensível;
b) Roldana de Massa Desprezível.
V E T O R E S
N
1
= m.g j
T
1
= Ti T
2
= T j
P
1
= -m
1
.gj P
2
= -m
2
.gj
a
1
= a i a
2
= - a j
a
1
= - a
2
FORÇAS no BLOCO 1
2ª Lei de Newton
FORÇAS no BLOCO 2
2ª Lei de Newton
IGUALANDO AS 
EQUAÇÕES 
1 E 2 E 
RESOLVENDO P/ a:
VETORES 
ACELERAÇÃO:
VETORES 
ACELERAÇÃO:
Em uma máquina de Atwood, 2 massas de 
iguais pesos W são ligadas por um cabo (peso 
desprezível), que se apóia, sem atrito, em uma 
polia, conforme figura em (a).
Um peso w, de valor inferior a W, é adicionado a um 
dos pesos W (lado direito), causando o movimento 
descendente deste e, portanto, ascendente do outro. 
Durante o movimento, um sensor, convenientemente 
colocado, registra no cabo, por vibração, intervalos 
de tempo prefixados, de modo que permite a medida 
dos tempos.
Pede-se o estudo do movimento.
Os diagramas de corpo livre referentes a cada um 
dos sistemas, formados pelas massas, são vistos 
acima, em (b) e (c) e, como neles se vê, desprezado 
o atrito entre o cabo e a polia, a mesma tensão T
atua em ambas as extremidades da fita.
Equações dos movimentos das 2 massas:
F
esq.
= T - W = (W/g).a ... (1)
F
dir.
= W + w - T = (W+w)/g].a ...(2)
e nelas nota-se que foi empregado o mesmo 
valor da aceleração a, o que é exato, uma vez 
que se pontos diferentes do cabo tivessem 
acelerações diferentes, esta se romperia ou se 
ondularia.
A eliminação de T nas 2 equações acima dará:
w = (W/g).a + [(W + w) / g].a 
w = [(2W + w) / g].a
e, então: a = w.g / (2W + w)
A expressão acima permite calcular a 
aceleração da gravidade local g, quando, por 
medida de deslocamentos e intervalo de tempo 
gasto a percorrê-los, se encontra a.
Indicando-se W/g = M e w/g = m, 
teremos a = m.g / (2M + m)
Notas:
Quilograma-força (kgf) - Peso do quilograma padrão 
num local onde a aceleração da gravidade é normal 
(g = gn = 9,80665 m/s
2)
5 - RELAÇÕES
1 g = 10-3 kg;
1 ton = 103 kg;
1N = 105 d;
1 sth = 103 N;
1 kgf = 9,806 65 N.
Fontes:
2002 by John Wiley & Sons;
 2004 by Pearson Education;
 2007 by Chiu-King Ng;
 Walter Fendt 1998, 2000, CEPA 2001;
 Copyrigth 2004 David M. Harrison;
 SMF 2006-2008, Simple Machines LLC;
Prof. Luiz Ferraz Netto (feira de ciência) = 
leobarreto@uol.com.br.