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ENGENHARIA MECÂNICA Disciplina: MECÂNICA II Assunto: QUANTIDADE DE MOVIMENTO, IMPULSO, CHOQUE MECÂNICO E MOMENTO LINEAR. CONTEÚDO 1 – Quantidade de Movimento; 2 – Conservação da Quantidade de Movimento; 3 – Choque Mecânico; 4 - Classificação dos Choques; 5 – Coeficiente de Restituição; 6 – Impulso; 7 - Momento Linear. 1 - QUANTIDADE DE MOVIMENTO (Q) Ou Momento Linear (P) Produto da massa (m) de um corpo pela sua velocidade (v), devido à aceleração (a) imposta por uma força (F = m.a): Unidade SI: 1 kg.m/s = 1 N.s OS VETORES TÊM MESMA DIREÇÃO E MESMO SENTIDO Q é Grandeza Vetorial 2 - CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO Q do sistema mecânico isolado = cte. Quando a força resultante externa é nula (F R = 0), ou seja, participam somente forças internas, diz-se que o sistema mecânico é isolado. Não há interações relevantes c/ forças externas ao sistema isolado. 3 - CHOQUE MECÂNICO P/ que possamos aplicar o princípio da conservação da Quantidade de Movimento aos choques, precisamos de um sistema isolado. P/ um choque entre 2 corpos A e B, num sistema isolado, teremos: Sendo os choques na mesma direção e adotando-se um sentido positivo, podemos escrever: 4 - CLASSIFICAÇÃO dos CHOQUES CHOQUES ENERGIA CINÉTICA QUANT. de MOVIMENTO COEFICIENTE de RESTITUIÇÃO PERFEITAMENTE ELÁSTICO Conserva ECA = ECD Conserva QA = QD e = 1 PARCIALMENTE ELÁSTICO ou INELÁSTICO Não Conserva ECA > ECD Conserva QA = QD 0 < e < 1 INELÁSTICO ou ANELÁSTICO Não Conserva ECA > ECD Conserva QA = QD e = 0 Após choque inelástico corpos permanecem unidos. Observação: A Antes; D Depois. 5 - COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO Considere 2 esferas, A e B, realizando um choque direto. As propriedades elásticas dos corpos envolvidos em choques são caracterizadas por uma grandeza chamada Coeficiente de Restituição (e), definido como o quociente entre: e adimensional CHOQUE COMPLETAMENTE INELÁSTICO Após Choque os Corpos: a) Permanecem juntos. b) Têm a mesma velocidade. m1 ∙ V1 + m2 ∙ V2 = (m1 + m2)V V - velocidade do conjunto após o choque. 6 - IMPULSO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO IMPULSO - Definido pela equação: I = F . Δt devido a uma força F constante aplicada a um ponto material durante o intervalo de tempo Δt. Grandeza vetorial, pois apresenta a mesma direção e sentido da força que o origina. A unidade SI do impulso: N.s TEOREMA DO IMPULSO Sendo o Impulso (I) da força resultante entre os instantes t1 e t2, e Q1 e Q2, as respectivas Quantidades de Movimento, temos: Como Q = m . V, podemos concluir que: Se V aumenta, então, Q também aumenta, ou seja, o impulso provocou uma variação na Q do garoto. Essa observação nos leva ao Teorema do Impulso que diz: TEOREMA DO IMPULSO O impulso determinado pela resultante de todas as forças externas que agem durante certo intervalo de tempo sobre um ponto material é igual ao incremento da Quantidade de Movimento do ponto durante o mesmo intervalo. I (t) = ΔQ...F(t2-t1) = m(v2 - v1) TEOREMA do IMPULSO F = (m . Δv) / Δt = (m.v – m.v o ) / Δt F . Δt = m.v – m.v o No caso da força F constante, o gráfico da intensidade da força em função do tempo t se apresenta de acordo com o gráfico abaixo. O exposto acima é válido c/ a intensidade da força variável. INTENSIDADE da FORÇA VARIÁVEL Quando a força (F) aplicada não for constante ao longo do tempo, o IMPULSO (I) pode ser calculado por integração através da Área do Gráfico F x t: Seja A = F (x) a função que representa o conjunto de primitivas de y = f (x) Representamos por Leia F (x) é a integral de f (x).dx Seja a função y = 4x3 + 6x + 5, a sua integral é e o seu valor é F (x) = x4 + 3x2 + 5x + C C é uma constante. O que é a integral definida de uma função y = f (x) entre os limites x = a e x = b? É o acréscimo da função primitiva quando x varia de a para b. Como se representa a integral definida? Seja uma função y = f (x). A sua integral entre a e b é representada por: O cálculo da integral de uma função pode ser considerada como uma operação de soma? Sim, uma vez que a área A é a soma das áreas dA entre a e b Como calcular a integral definida de uma função y = f (x) entre x = a e x = b? Chamando de F(x) a primitiva de f(x), a integral terá como valor: Exemplo: Calcular a integral da função f (x) = 3x2 + 2 entre x = 1 e x = 3 I = (33 + 2.3 + C) - (13 + 2.1 + C) = 12 Exemplo: Calcular o impulso durante os 10 primeiros segundos de funcionamento de um foguete propulsor que exerce uma força de direção constante cujo módulo em Newton força é F = 30t2 + 2500 onde t é o tempo em segundos. I M P U L S O Quando a força aplicada, o impulso é numericamente igual á soma algébrica das áreas entre o gráfico F x t e o eixo das abscissas. As áreas (A2) sobe o eixo contribuem negativamente para o impulso. Nesse caso temos: IMPULSO - Quando um móvel executa trajetória curvilínea, mesmo com velocidade constante, há um impulso aplicado nesse móvel, pois há variação na direção do Vetor Quantidade de Movimento. TEOREMA DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO "É constante a Quantidade de Movimento de um conjunto de pontos materiais que constituem um sistema isolado". ΔQ = 0 ou Q total = Constante a) Partículas Inicialmente em Repouso: (v o = 0) Impulso de uma força externa é igual à Quantidade de Movimento adquirida no intervalo de tempo considerado: I = F . Δt = m . v b) Partículas em M.R.U. (vfinal = vinicial) I = F . Δt = 0 F = 0 Q = Constante A principal utilidade do conceito de impulso (I) é a determinação da força média de impacto (Fmed) durante as colisões. Nas colisões, a massa (m) e a variação de velocidade (Δv) são prontamente medidas, mas a Força (F) não. Se o tempo (t) de Colisão pode ser medido, então a força média de impacto (Fmed) pode ser calculada. A minimização de uma força de impacto pode ser deduzida da definição da força de impulso: Se um impacto pára um objeto, então a variação no momento (ΔQ) é uma quantidade fixa e prolongando o tempo de colisão diminuirá a força de impacto pelo mesmo fator. Princípio Aplicado Em Muitas Situações Comuns: a) Um a pessoa ao saltar do solo até uma certa altura, na queda necessita dobrar os joelhos, aumentando o tempo de impacto e diminuindo a força. b) Quando o boxeador aplica um soco à curta distância, aumenta tempo de impacto e diminui força. c) Automóveis são feitos para absorver impactos por deformação estrutural, aumentando o tempo de colisão e diminuindo a força de impacto. Alternativamente, a mesma situação pode ser analisada c/ ajuda do Princípio do Trabalho-Energia Um impacto que pára um objeto móvel deve fazer bastante esforço para mudar sua energia cinética em deformação durante a colisão, a fim de reduzir a força de impacto. AVIÃO E O PÁSSARO Exemplo da aplicação do impulso de força A força de colisão média estimada entre um avião voando a 965 km/h (600 mi/h) e um pássaro pesando 0,5 kgf com comprimento de 0,30 m. AVIÃO E O PÁSSARO P/ a força estimada do avião e do pássaro, a massa do pássaro é determinada, mas a variação de velocidade e tempo de colisão deve ser estimada como requisito p/ o cálculo da força média de colisão. A variação de velocidade do pássaroé estimada para 965 km/h (268 m/s), assumindo: a) Colisão frontal; b) Pássaro nivelado com o avião depois da colisão; c) Velocidade do pássaro desprezível; d) Aproximação do pássaro é pairando. e) Tempo de colisão do pássaro é o mesmo do trânsito de 0,30 m: Δt = ΔS / Δv = 0,30 m/(268 m/s) 1) Determinar a massa do pássaro: P = m.g m = P/g = 0,5 kgf / 9,81m/s² 1 kgf = 9,81 N 0,5 kgf = 4,905 N m = 4,905 N / 9,81m/s² = 0,5 kg 2) Força Média: Fmed = m (Δv / Δt) IMPACTO: TRANSFERÊNICA DE ENERGIA Impacto é uma transferência de energia, pois um carro em movimento possui uma certa quantidade de energia, chamada energia cinética, que, na hora da colisão, transforma-se em trabalho de deformação. Controlando esse trabalho de deformação os engenheiros mecânicos buscam evitar que os ocupantes do veículo não sejam atingidos, ou seja, que o próprio veículo absorva o choque e não o transfira para os passageiros. CONSEQUÊNCIA DA DIFERENÇA DE MASSA EM UMA COLISÃO CARROS MAIORES: a) Têm mais espaços p/ amassar até que o impacto chegue aos passageiros b) São mais pesados. O QUE ACONTECE EM UMA COLISÃO ENTRE DOIS CARROS? M - massa, V - velocidade, F - força, D - distância. UM SISTEMA DE CORPOS É CHAMADO ISOLADO QUANDO • Não agem forças externas. • Agem forças externas, mas a resultante é nula (FR = 0). • As forças internas são muito intensas de modo que as forças externas podem ser desprezadas (FInt >>> Fext). É o que ocorre numa explosão, num choque entre duas bolas de bilhar. Durante um choque a força impulsiva (Fimp) é geralmente muito maior do que qualquer das forças externas (Fext) que agem sobre no sistema: F imp >>> F ext QUANTIDADE DE MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE PONTOS Qtotal = m.v1 + m.v2 + ... + m.vn QUANTIDADE DE MOVIMENTO DE UM CORPO EM TRANSLAÇÃO Qtotal = v(m1 + m2 + ... + mn) Qtotal = mi .v = mtotal.v 7 - MOMENTO LINEAR DE UMA PARTÍCULA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ( ) MOMENTO LINEAR (P) ∑FR = m.a = m(dv/dt) = d(m.v)/dt P = m.v Conforme a 2ª Lei de Newton em termos de Momento Linear a FR que atua numa partícula é dada pela taxa de variação do Momento Linear da partícula: ∑F = dP/dt. Casal patinando sobre uma pista de gelo. Desprezar os efeitos do ar e as forças de atrito entre a pista e as botas. Não há força externa interagindo no sistema. Sem forças externas há conservação do Momento Linear do sistema: M H . ΔV H + M M . ΔV M = 0 Após o empurrão, conhecidas as suas massas e velocidades iniciais, pode-se calcular a razão entre a velocidade do homem e a velocidade da mulher: Variação da velocidade do homem: ΔV H = - (M M . ΔV M ) / M H Se v1 = v2, quanto maior for a massa, maior será o Momento Linear (P): Logo: m 2 > m 1 P 2 > P 1 MOMENTO LINEAR E IMPULSO IMPULSO Força Resultante: Impulso da Força Resultante que atua numa partícula durante determinado intervalo de tempo é igual à Variação do Momento Linear da partícula durante esse intervalo: J = ΔP = P f - P i MOMENTO LINEAR E IMPULSO a) Uma força impulsiva F(t) varia de modo arbitrário com o tempo, numa colisão que dura de ti a tf. A área sob a curva F(t) mede o impulso J. b) O retângulo cuja altura é igual à força média Fmed tem a mesma área do gráfico do item (a). MOMENTO LINEAR E IMPULSO Nas colisões a e b o impulso é o mesmo (as áreas sob as curvas são iguais), porém a força máxima é menor quando o intervalo de tempo da colisão é mais longo. a) Colisão “dura” como a tacada na bola de golfe. b) Colisão “macia”, como a raquetada na bola de tenis. Se colocarmos um corpo pesado sobre o vidro, este não se rompe Se soltarmos o corpo pesado de uma certa altura? Vidro Poderá Quebrar-se Tempo de Atuação da Força sobre um corpo é fator importante nos fenômenos em geral - é regido pelo Teorema do Impulso: F. t = m. v Deve ser usado p/ responder questões (incompletas) do tipo: "Se soltarmos um corpo de massa m = 10 kg, da altura h = 10 m, qual será a força média (Fmed) do impacto com o chão?" Nessa pergunta, faltou um “dado”: Estimativa do tempo de impacto c/ o chão (t). FENÔMENOS QUE ENCONTRAM EXPLICAÇÃO NO TEOREMA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO a) Choque mecânico; b) Recuo das armas de fogo; c) Explosão de uma bomba (fragmentos); d) Termelétrica com turbina a vapor; e) Propulsão a jato, f) Deformação. Qual é o tipo de choque mecânico? a) ( ) Completamente Elástico; b) ( ) Parcialmente Elástico; c) ( ) Inelástico. Recuo das armas de fogo Explosão de bomba TURBINA A VAPOR Máquina térmica, de combustão externa, que transforma parte da energia cinética (v²/2g) do vapor em trabalho mec. (Wt), em função de um salto entálpico (h) em forma de Quantidade de Movimento: Q = m.v ou Impulso: I = F.t. TURBINA À GÁS - Máquina térmica de combustão interna que transforma a energia cinética, de gases quentes sob alta pressão, em trabalho mecânico, em forma de propulsão ou acionamento, devido à Quantidade de Movimento (Q = m . v) ou ao impulso (I = F . t) aplicado a um conjunto rotativo c/ palhetas e ao empuxo através de Bocal Expansor (descarga). BATMOVEL - TUMBLER Uma bomba, em repouso, explodiu e dividiu-se em 3 partes. 2 delas, de mesma massa, deslocaram-se em direções Perpendiculares entre si com velocidades iguais de 30 m/s. Determine a velocidade em m/s com que o 3º pedaço se deslocou. 1º passo: Entender que a grandeza física momento linear se conserva e, portanto, o momento linear nulo, no início da explosão, devido a bomba estar em repouso se conservará e a soma vetorial dos momento lineares dos 3 pedaços da bomba, também, deve ser nula. Momento Linear (P) também conhecido como Quantidade de Movimento (Q): P = Q = m.v 2º passo: Esquematizar a situação do problema, tem-se: Como a P i trata de uma soma vetorial, o 2º passo é encontrar o vetor resultante dos momentos lineares P R1 dos 2 pedaços de mesma massa m. Tem-se: Agora, sabe-se o módulo do momento linear resultante 1. A soma vetorial desse momento linear resultante com o momento linear da massa m3 tem que ser nula para garantir a conservação do momento linear, vê-se no 3º passo: Sendo assim, a velocidade adquirida pelo pedaço da bomba com massa 3m é descrita pela alternativa B. Dois astronautas A e B, estão em repouso na parte externa de uma estação espacial, presos um ao outro por uma corda. Se o astronauta A, com massa total mA = 100 kg, der um único puxão na corda e sair se movendo com velocidade de 2 m/s, o astronauta B, de massa mB = 125 kg, a. ( ) ficará parado. b. ( ) mover-se-á com velocidade de 2 m/s em sentido contrário ao da velocidade do astronauta A. c. ( ) mover-se-á com velocidade de 1,6 m/s em sentido contrário a da velocidade do astronauta A. d. ( ) mover-se-á com velocidade de 2 m/s no mesmo sentido da velocidade do astronauta A. e. ( ) mover-se-á com velocidade de 1,6 m/s no mesmo sentido da velocidade do astronauta A. 1º passo - Entender que os astronautas A e B formam um sistema físico e se nenhuma força externa atua sobre esse sistema, então, trata de um sistema conservativo, ondeuma das principais grandezas físicas se conserva, o momento linear ou quantidade de movimento. 2º passo - Saber que: - Momento linear (quantidade de movimento) é uma grandeza física vetorial, constituída pela velocidade e a massa do corpo estudado. - Tem direção e sentido iguais aos da velocidade; - Conserva-se em sistemas conservativos livres de forças externas. 3º passo - Perceber que a força aplicada pelo astronauta A, na corda, puxa o astronauta B, e este reage puxando o A com mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto (3ª Lei de Newton - Ação e Reação). Essas forças de ação e reação são internas ao sistema físico dos dois astronautas, como não existe nenhuma força externa ao sistema o momento linear antes da aplicação da força é igual ao momento linear depois da aplicação da mesma. Lembrar que, inicialmente, o momento linear é nulo, uma vez que, os astronautas estão em repouso (velocidade nula). Pela conservação do momento linear calcula-se: Percebe-se, então, que o astronauta B move- se com velocidade de 1,6 m/s e com sentido oposto ao do astronauta A. Um menino está sobre um skate segurando uma bola. A massa do menino mais o skate é de 50 kg e a massa da bola é de 500 g. O sistema está em repouso. O menino lança a bola horizontalmente com velocidade de módulo 10 m/s. Qual é o módulo da velocidade com que o menino e o skate se deslocam em sentido contrário ao da bola? M.V = m.v => 50.V = 0,5 x 10 => V = 0,1 m/s Fonte: Prof. Luiz Ferraz Netto (feira de ciência) - leobarretos@uol.com.br; http://zediogoap.blogspot.com.br/2011/06/como-caracterizar-o-vector- deslocamento.html; David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker. Fundamentos de Física, vol.1: Mecânica, 6a edição, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, Rio deJaneiro (2002). Paul A. Tipler e Gene Mosca. Física, vol.I – Mecânica, ‘http://www.brasilescola.com/fisica/aceleracao-centripeta.htm; http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/impulse.html#c4 © By John Wiley & Sons - 2002; © By Pearson Education – 2004; © By David M. Harisson – 2004; By Chiu-King Ng 2007; Walter Fendt 2000, CEPA 2001; SMF 2006-2008, Simple Machines LLC;
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