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06 Mec II IMPULSO + QUANT MOV + Mo LINEAR

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ENGENHARIA MECÂNICA
Disciplina: MECÂNICA II
Assunto: QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO, IMPULSO, CHOQUE 
MECÂNICO E MOMENTO LINEAR.
CONTEÚDO
1 – Quantidade de Movimento;
2 – Conservação da Quantidade de 
Movimento;
3 – Choque Mecânico;
4 - Classificação dos Choques;
5 – Coeficiente de Restituição;
6 – Impulso;
7 - Momento Linear.
1 - QUANTIDADE DE MOVIMENTO (Q)
Ou Momento Linear (P)
Produto da massa (m) de um corpo pela
sua velocidade (v), devido à aceleração
(a) imposta por uma força (F = m.a):
Unidade SI: 1 kg.m/s = 1 N.s
OS VETORES TÊM MESMA DIREÇÃO 
E MESMO SENTIDO
Q é Grandeza Vetorial
2 - CONSERVAÇÃO DA 
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Q do sistema mecânico isolado = cte.
Quando a força resultante externa é nula 
(F
R
= 0), ou seja, participam somente 
forças internas, diz-se que o
sistema mecânico é isolado. 
Não há interações relevantes c/ forças 
externas ao sistema isolado.
3 - CHOQUE MECÂNICO
P/ que possamos aplicar o princípio da
conservação da Quantidade de Movimento aos
choques, precisamos de um sistema isolado.
P/ um choque entre 2 corpos A e B, num sistema
isolado, teremos:
Sendo os choques na mesma direção e adotando-se 
um sentido positivo, podemos escrever:
4 - CLASSIFICAÇÃO dos CHOQUES
CHOQUES
ENERGIA
CINÉTICA
QUANT. 
de 
MOVIMENTO
COEFICIENTE 
de 
RESTITUIÇÃO 
PERFEITAMENTE 
ELÁSTICO
Conserva 
ECA = ECD
Conserva 
QA = QD
e = 1
PARCIALMENTE 
ELÁSTICO ou 
INELÁSTICO
Não 
Conserva
ECA > ECD
Conserva 
QA = QD
0 < e < 1
INELÁSTICO ou 
ANELÁSTICO
Não 
Conserva 
ECA > ECD
Conserva 
QA = QD
e = 0
Após choque inelástico corpos permanecem unidos.
Observação: A  Antes; D  Depois.
5 - COEFICIENTE DE RESTITUIÇÃO
Considere 2 esferas, A e B, realizando um choque 
direto.
As propriedades elásticas dos corpos envolvidos
em choques são caracterizadas por uma grandeza
chamada Coeficiente de Restituição (e), 
definido como o quociente entre:
e adimensional
CHOQUE COMPLETAMENTE INELÁSTICO
Após Choque os Corpos:
a) Permanecem juntos.
b) Têm a mesma velocidade.
m1 ∙ V1 + m2 ∙ V2 = (m1 + m2)V
V - velocidade do conjunto após o choque.
6 - IMPULSO
IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
IMPULSO - Definido pela equação: I = F . Δt devido 
a uma força F constante aplicada a um ponto material 
durante o intervalo de tempo Δt.
Grandeza vetorial, pois apresenta a mesma direção e 
sentido da força que o origina.
A unidade SI do impulso: N.s
TEOREMA DO IMPULSO
Sendo o Impulso (I) da força resultante entre os
instantes t1 e t2, e Q1 e Q2, as respectivas 
Quantidades de Movimento, temos:
Como Q = m . V, podemos concluir que:
Se V aumenta, então, Q também aumenta, ou seja, 
o impulso provocou uma variação na Q do garoto. 
Essa observação nos leva ao Teorema do 
Impulso que diz:
TEOREMA DO IMPULSO
O impulso determinado pela resultante
de todas as forças externas que agem
durante certo intervalo de tempo sobre um
ponto material é igual ao incremento da
Quantidade de Movimento do ponto
durante o mesmo intervalo.
I
(t) = ΔQ...F(t2-t1) = m(v2 - v1)
TEOREMA do IMPULSO
F = (m . Δv) / Δt = (m.v – m.v
o
) / Δt
F . Δt = m.v – m.v
o
No caso da força F constante, o gráfico da
intensidade da força em função do tempo t se
apresenta de acordo com o gráfico abaixo.
O exposto acima é válido c/ a intensidade
da força variável.
INTENSIDADE da 
FORÇA VARIÁVEL
Quando a força (F) aplicada não for constante ao 
longo do tempo, o IMPULSO (I) pode ser calculado 
por integração através da Área do Gráfico F x t:
Seja A = F (x) a função que representa o 
conjunto de primitivas de y = f (x) 
Representamos por
Leia F (x) é a integral de f (x).dx
Seja a função y = 4x3 + 6x + 5, a sua integral é
e o seu valor é F (x) = x4 + 3x2 + 5x + C
C é uma constante.
O que é a integral definida de uma função y = f (x)
entre os limites x = a e x = b? 
É o acréscimo da função primitiva quando x varia de a
para b.
Como se representa a integral definida?
Seja uma função y = f (x).
A sua integral entre a e b é representada por:
O cálculo da integral de uma função pode ser 
considerada como uma operação de soma? 
Sim, uma vez que a área A é a soma das áreas dA
entre a e b
Como calcular a integral definida de uma função y = f 
(x) entre x = a e x = b?
Chamando de F(x) a primitiva de f(x), a integral terá 
como valor:
Exemplo: Calcular a integral da função f (x) = 3x2 + 2
entre x = 1 e x = 3
I = (33 + 2.3 + C) - (13 + 2.1 + C) = 12
Exemplo: Calcular o impulso durante os 10 
primeiros segundos de funcionamento de um 
foguete propulsor que exerce uma força de 
direção constante cujo módulo em Newton 
força é F = 30t2 + 2500 onde t é o tempo em 
segundos.
I M P U L S O
Quando a força aplicada, o impulso é numericamente 
igual á soma algébrica das áreas entre o gráfico F x t
e o eixo das abscissas.
As áreas (A2) sobe o eixo contribuem negativamente 
para o impulso. Nesse caso temos: 
IMPULSO - Quando um móvel executa trajetória
curvilínea, mesmo com velocidade constante, há um
impulso aplicado nesse móvel, pois há variação na
direção do Vetor Quantidade de Movimento.
TEOREMA DA CONSERVAÇÃO DA
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
"É constante a Quantidade de Movimento de um 
conjunto de pontos materiais que constituem um 
sistema isolado". 
ΔQ = 0 ou Q
total
= Constante
a) Partículas Inicialmente em Repouso: (v
o
= 0)
Impulso de uma força externa é igual à Quantidade 
de Movimento adquirida no intervalo de tempo 
considerado: I = F . Δt = m . v
b) Partículas em M.R.U. (vfinal = vinicial)
I = F . Δt = 0  F = 0  Q = Constante
A principal utilidade do conceito de 
impulso (I) é a determinação da força 
média de impacto (Fmed) durante as 
colisões.
Nas colisões, a massa (m) e a variação 
de velocidade (Δv) são prontamente 
medidas, mas a Força (F) não.
Se o tempo (t) de Colisão pode ser 
medido, então a força média de impacto 
(Fmed) pode ser calculada.
A minimização de uma força de 
impacto pode ser deduzida da definição 
da força de impulso:
Se um impacto pára um objeto, então a 
variação no momento (ΔQ) é uma 
quantidade fixa e prolongando o tempo de 
colisão diminuirá a força de impacto pelo 
mesmo fator.
Princípio Aplicado Em Muitas Situações 
Comuns:
a) Um a pessoa ao 
saltar do solo até 
uma certa altura, 
na queda necessita 
dobrar os joelhos, 
aumentando 
o tempo de 
impacto e 
diminuindo 
a força.
b) Quando o boxeador aplica um soco à curta 
distância, aumenta tempo de impacto e diminui força.
c) Automóveis são feitos para absorver impactos 
por deformação estrutural, aumentando o tempo 
de colisão e diminuindo a força de impacto.
Alternativamente, a mesma situação pode ser 
analisada c/ ajuda do Princípio do Trabalho-Energia
Um impacto que pára um objeto móvel deve fazer
bastante esforço para mudar sua energia cinética em
deformação durante a colisão, a fim de reduzir a
força de impacto.
AVIÃO E O PÁSSARO
Exemplo da aplicação do impulso de força
A força de colisão média estimada entre um avião 
voando a 965 km/h (600 mi/h) e um pássaro pesando 
0,5 kgf com comprimento de 0,30 m. 
AVIÃO E O PÁSSARO
P/ a força estimada do avião e do pássaro, a massa 
do pássaro é determinada, mas a variação de 
velocidade e tempo de colisão deve ser estimada 
como requisito p/ o cálculo da força média de colisão.
A variação de velocidade do pássaroé estimada para
965 km/h (268 m/s), assumindo:
a) Colisão frontal;
b) Pássaro nivelado com o avião depois da colisão;
c) Velocidade do pássaro desprezível;
d) Aproximação do pássaro é pairando.
e) Tempo de colisão do pássaro é o mesmo do 
trânsito de 0,30 m: Δt = ΔS / Δv = 0,30 m/(268 m/s)
1) Determinar a massa do pássaro:
P = m.g  m = P/g = 0,5 kgf / 9,81m/s²
1 kgf = 9,81 N  0,5 kgf = 4,905 N
m = 4,905 N / 9,81m/s² = 0,5 kg
2) Força Média:
Fmed = m (Δv / Δt)
IMPACTO: TRANSFERÊNICA DE ENERGIA
Impacto é uma transferência de energia, pois um
carro em movimento possui uma certa quantidade de
energia, chamada energia cinética, que, na hora da
colisão, transforma-se em trabalho de deformação.
Controlando esse trabalho de deformação
os engenheiros mecânicos buscam evitar
que os ocupantes do veículo não sejam
atingidos, ou seja, que o próprio veículo
absorva o choque e não o transfira para os
passageiros.
CONSEQUÊNCIA DA DIFERENÇA 
DE MASSA EM UMA COLISÃO 
CARROS MAIORES:
a) Têm mais espaços p/ amassar até
que o impacto chegue aos passageiros
b) São mais pesados.
O QUE ACONTECE EM UMA COLISÃO 
ENTRE DOIS CARROS? 
M - massa, V - velocidade, F - força, D - distância.
UM SISTEMA DE CORPOS É 
CHAMADO ISOLADO QUANDO
• Não agem forças externas.
• Agem forças externas, mas a resultante 
é nula (FR = 0).
• As forças internas são muito intensas de 
modo que as forças externas podem ser 
desprezadas (FInt >>> Fext). 
É o que ocorre numa explosão, num 
choque entre duas bolas de bilhar.
Durante um choque 
a força impulsiva 
(Fimp) é geralmente 
muito maior do que 
qualquer das forças 
externas (Fext) 
que agem sobre 
no sistema:
F
imp
>>> F
ext
QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
DE UM SISTEMA DE PONTOS
Qtotal = m.v1 + m.v2 + ... + m.vn
QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
DE UM CORPO EM TRANSLAÇÃO
Qtotal = v(m1 + m2 + ... + mn)
Qtotal = mi .v = mtotal.v 
7 - MOMENTO LINEAR DE UMA PARTÍCULA
QUANTIDADE DE MOVIMENTO ( ) 
MOMENTO LINEAR (P)
∑FR = m.a = m(dv/dt) = d(m.v)/dt P = m.v
Conforme a 2ª Lei de Newton
em termos de Momento Linear
a FR que atua numa 
partícula é dada pela 
taxa de variação do 
Momento Linear
da partícula:
∑F = dP/dt.
Casal patinando sobre uma pista de gelo.
Desprezar os efeitos do ar e as forças de atrito 
entre a pista e as botas. 
Não há força externa interagindo no sistema.
Sem forças externas há conservação do
Momento Linear do sistema:
M
H
. ΔV
H
+ M
M
. ΔV
M
= 0
Após o empurrão, conhecidas as suas massas
e velocidades iniciais, pode-se calcular a razão
entre a velocidade do homem e a velocidade da
mulher:
Variação da velocidade do homem:
ΔV
H
= - (M
M
. ΔV
M
) / M
H
Se v1 = v2, quanto maior for a massa, maior será o 
Momento Linear (P):
Logo: m
2
> m
1
 P
2
> P
1
MOMENTO LINEAR E IMPULSO
IMPULSO  Força Resultante:
Impulso da Força Resultante que atua numa 
partícula durante determinado intervalo de tempo é 
igual à Variação do Momento Linear da 
partícula durante esse intervalo: J = ΔP = P
f
- P
i
MOMENTO LINEAR E IMPULSO
a) Uma força impulsiva F(t)
varia de modo arbitrário 
com o tempo, numa colisão 
que dura de ti a tf.
A área sob a curva F(t)
mede o impulso J.
b) O retângulo cuja altura é 
igual à força média Fmed
tem a mesma área do 
gráfico do item (a).
MOMENTO LINEAR E IMPULSO
Nas colisões a e b
o impulso é o mesmo 
(as áreas sob as 
curvas são iguais), 
porém a força 
máxima é menor 
quando o intervalo 
de tempo da colisão 
é mais longo. 
a) Colisão “dura” como a 
tacada na bola de golfe.
b) Colisão “macia”, como a 
raquetada na bola de tenis. 
Se colocarmos 
um corpo 
pesado sobre 
o vidro, este 
não se rompe 
Se 
soltarmos 
o corpo 
pesado 
de uma 
certa altura?
Vidro 
Poderá 
Quebrar-se 
Tempo de Atuação da Força sobre um corpo 
é fator importante nos fenômenos em geral - é 
regido pelo Teorema do Impulso: 
F. t = m. v
Deve ser usado p/ responder questões 
(incompletas) do tipo: 
"Se soltarmos um corpo de massa m = 10 kg,
da altura h = 10 m, qual será a força média 
(Fmed) do impacto com o chão?"
Nessa pergunta, faltou um “dado”:
Estimativa do tempo de impacto c/ o chão (t).
FENÔMENOS QUE ENCONTRAM 
EXPLICAÇÃO NO TEOREMA DA 
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
a) Choque mecânico; 
b) Recuo das armas de fogo; 
c) Explosão de uma bomba (fragmentos);
d) Termelétrica com turbina a vapor; 
e) Propulsão a jato,
f) Deformação.
Qual é o tipo de choque mecânico?
a) ( ) Completamente Elástico;
b) ( ) Parcialmente Elástico;
c) ( ) Inelástico.
Recuo das armas de fogo
Explosão 
de bomba
TURBINA 
A VAPOR 
Máquina térmica, 
de combustão 
externa, que 
transforma parte 
da energia cinética 
(v²/2g) do vapor 
em trabalho mec. 
(Wt), em função 
de um salto 
entálpico (h) 
em forma de
Quantidade de 
Movimento: 
Q = m.v ou 
Impulso: I = F.t.
TURBINA À GÁS - Máquina térmica de combustão 
interna que transforma a energia cinética, de gases 
quentes sob alta pressão, em trabalho mecânico, em 
forma de propulsão ou acionamento, devido à 
Quantidade de Movimento (Q = m . v) ou ao impulso
(I = F . t) aplicado a um conjunto rotativo c/ palhetas 
e ao empuxo através de Bocal Expansor (descarga). 
BATMOVEL - TUMBLER
Uma bomba, em repouso, explodiu e 
dividiu-se em 3 partes.
2 delas, de mesma massa, 
deslocaram-se em direções
Perpendiculares entre si 
com velocidades 
iguais de 30 m/s. 
Determine a velocidade em 
m/s com que o 3º pedaço 
se deslocou.
1º passo: Entender que a grandeza física
momento linear se conserva e, portanto, o
momento linear nulo, no início da explosão,
devido a bomba estar em repouso se
conservará e a soma vetorial dos
momento lineares dos 3 pedaços da
bomba, também, deve ser nula.
Momento Linear (P) também conhecido
como Quantidade de Movimento (Q):
P = Q = m.v
2º passo: Esquematizar a situação do
problema, tem-se:
Como a P
i
trata de uma soma vetorial, o 2º passo é
encontrar o vetor resultante dos momentos lineares
P
R1
dos 2 pedaços de mesma massa m.
Tem-se:
Agora, sabe-se o módulo do momento linear 
resultante 1. 
A soma vetorial 
desse momento linear 
resultante com o 
momento linear da 
massa m3 tem que 
ser nula para garantir 
a conservação do 
momento linear, 
vê-se no 3º passo:
Sendo assim, 
a velocidade 
adquirida pelo 
pedaço da 
bomba com 
massa 3m é 
descrita pela 
alternativa B.
Dois astronautas A e B, estão em repouso na parte 
externa de uma estação espacial, presos um ao outro 
por uma corda. Se o astronauta A, com massa total 
mA = 100 kg, der um único puxão na corda e sair se 
movendo com velocidade de 2 m/s, o astronauta B, 
de massa mB = 125 kg,
a. ( ) ficará parado.
b. ( ) mover-se-á com velocidade de 2 m/s em 
sentido contrário ao da velocidade do astronauta A.
c. ( ) mover-se-á com velocidade de 1,6 m/s em 
sentido contrário a da velocidade do astronauta A.
d. ( ) mover-se-á com velocidade de 2 m/s no 
mesmo sentido da velocidade do astronauta A.
e. ( ) mover-se-á com velocidade de 1,6 m/s no 
mesmo sentido da velocidade do astronauta A.
1º passo - Entender que os astronautas A e B
formam um sistema físico e se nenhuma força externa 
atua sobre esse sistema, então, trata de um sistema 
conservativo, ondeuma das principais grandezas 
físicas se conserva, o momento linear ou quantidade 
de movimento.
2º passo - Saber que:
- Momento linear (quantidade de movimento) é uma 
grandeza física vetorial, constituída pela velocidade e 
a massa do corpo estudado. 
- Tem direção e sentido iguais aos da velocidade;
- Conserva-se em sistemas conservativos livres de 
forças externas. 
3º passo - Perceber que a força aplicada pelo 
astronauta A, na corda, puxa o astronauta B, e este 
reage puxando o A com mesma intensidade, mesma 
direção e sentido oposto (3ª Lei de Newton - Ação e 
Reação). 
Essas forças de ação e reação são internas ao 
sistema físico dos dois astronautas, como não existe 
nenhuma força externa ao sistema o momento linear 
antes da aplicação da força é igual ao momento linear 
depois da aplicação da mesma. 
Lembrar que, inicialmente, o momento linear é nulo, 
uma vez que, os astronautas estão em repouso 
(velocidade nula). 
Pela conservação do momento linear calcula-se:
Percebe-se, então, que o astronauta B move-
se com velocidade de 1,6 m/s e com sentido 
oposto ao do astronauta A.
Um menino está sobre um skate segurando uma bola. 
A massa do menino mais o skate é de 50 kg e a 
massa da bola é de 500 g. 
O sistema está em repouso. 
O menino lança a bola horizontalmente com 
velocidade de módulo 10 m/s. 
Qual é o módulo da velocidade com que o menino e o 
skate se deslocam em sentido contrário ao da bola?
M.V = m.v => 50.V = 0,5 x 10 => V = 0,1 m/s
Fonte:
Prof. Luiz Ferraz Netto (feira de ciência) - leobarretos@uol.com.br;
http://zediogoap.blogspot.com.br/2011/06/como-caracterizar-o-vector-
deslocamento.html;
David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker. Fundamentos de Física, 
vol.1: Mecânica, 6a edição, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, Rio 
deJaneiro (2002).
Paul A. Tipler e Gene Mosca. Física, vol.I – Mecânica, 
‘http://www.brasilescola.com/fisica/aceleracao-centripeta.htm;
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/impulse.html#c4
© By John Wiley & Sons - 2002;
© By Pearson Education – 2004;
© By David M. Harisson – 2004;
 By Chiu-King Ng 2007;
 Walter Fendt 2000, CEPA 2001;
 SMF  2006-2008, Simple Machines LLC;

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