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DINÂMICA DA ROTAÇÃO DINÂMICA DA ROTAÇÃO 1. INTRODUÇÃO; 2. ROLAMENTO; 3. TORQUE; 4. ROTAÇÃO COM TRANSLAÇÃO; 5. TRABALHO DE ROTAÇÃO; 6. MOMENTO ANGULAR; 7. PRECESSÃO. Neste caso o corpo é entendido como um todo, não se considerando qualquer Rotação em torno do seu Centro de Massa. Nos casos em que não se pode alhear dessa Rotação, os corpos não podem ser considerados como partículas e sim como: CORPOS RÍGIDOS (C.R.) - Conjunto de partículas agrupadas de forma que a distância entre as partes que constituem o corpo ou o sistema não sofram mudança, ou seja, essas partículas não se alteram para um referencial fixado no próprio corpo. CORPO RÍGIDO executa os movimentos de rotação, translação ou os dois de forma combinada. ROTAÇÃO: Movimento da força aplicada ao corpo, como um pião girando. TRANSLAÇÃO - Movimento provocado por forças externas que agem sobre o corpo rígido. ROLAMENTO SEM DESLIZAMENTO Considere uma roda de raio R , rolando sem deslizar em uma superfície plana horizontal. Quando a roda girar de um ângulo θ, o seu ponto de contato A c/ a superfície horizontal se deslocará de uma distância S = R . θ No movimento de rolamento sem deslizamento, a distância percorrida pelo centro de massa (C.M.) é igual ao comprimento do arco correspondente ao deslocamento angular sofrido pelo corpo. C.M. da roda também deslocou-se da mesma distância. Por isso, a velocidade de deslocamento do centro de massa (V CM ) da roda tem a forma: V CM = dS/dt = R(d/dt) = R.ω De modo semelhante podemos encontrar a aceleração do centro de massa da roda: a CM = dV CM / dt = R(dω/dt) = R. a) Mov. Puramente Rotacional. Todos os pontos da roda movem-se c/ a mesma ω. b) Mov. Puramente Translacional. Todos os pontos da roda movem-se p/ direita c/ a mesma Vcm c) Combinação dos 2 Mov.: Rotacional c/ Translacional. ROLAMENTO DESCRITO COMO COMBINAÇÃO DE ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO ROLAMENTO DESCRITO COMO COMBINAÇÃO DE ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO ROTAÇÃO + TRANSLAÇÃO - O movimento de um C.R. (figura) lançado no ar é a combinação do movimento do C.M. e de rotação em torno do C.M. Ponto Azul fora do C.M. descreve uma rotação em torno do C.M. Ponto Vermelho referente ao C.M. descreve trajetória parabólica. ROLAMENTO VISTO COMO ROTAÇÃO PURA A cada instante o corpo está girando sem deslizar em torno de um Eixo Instantâneo (em repouso), que passa pelo ponto P de contato entre esse corpo e a superfície que o suporta. Eixo ┴ à direção do movimento. Vetores mostram Velocidades Lineares Instantâneas dos pontos escolhidos. Velocidade do Centro da Roda: V cm = R.ω Velocidade do Topo: V top = 2R.ω V top = 2V cm Aceleração Centrípeta: a c = v² / R ROLAMENTO SEM DESLIZAMENTO Quando descrita em um referencial inercial, a velocidade vi de um ponto na periferia de uma roda que gira é a soma vetorial da velocidade vcm do C.M. c/ a velocidade v’i do ponto em relação ao C.M. devido à rotação da roda. O módulo de v’ i = R.ω Quando a roda rola sem deslizar: v’ i = v cm A roda que rola possui um eixo instantâneo de rotação passando no ponto de contato com o solo. Velocidade Instantânea é maior no topo da roda. CARACTERÍSTICAS ROLAMENTO SEM DESLIZAMENTO CARACTERÍSTICAS Durante o movimento de rolamento de um corpo circular, um ponto localizado em sua borda descreve uma trajetória denominada ciclóide. Transmissão Automática Sistema Planetário Epicicloidal ATRITO DE ROLAMENTO a) Forças Sobre uma Esfera Rígida Rolando p/ Baixo Num Plano Inclinado c/ Superfície Rígida. Força Normal N Não Produz Torque. ATRITO DE ROLAMENTO b) Se a Esfera ou o Plano se Deforma, as Forças de Contato Atuam Sobre Diversos Pontos. Força Normal N Produz Torque no Sentido Sinostrógiro em Torno do Eixo de Rotação, que se Opõe Ao Giro no Sentido Destrógiro. ACELERAÇÃO (SEM DESLIZAMENTO) S = R . I = m.R² T = m.acm.R = (I/R²).R.acm = (I/R²).R.R. Partícula de massa m presa a um eixo por um fio de comprimento R, sob a ação de uma força externa F: I = M.R² (Mo. de Inércia) ENERGIA CINÉTICA de rotação de um sistema de partículas com movimento angular caracterizado por rotação ω em relação a um eixo de rotação, é definida como: p/ um C.R. cada partícula infinitesimal terá a mesma ω (sendo uma constante), em que a veloc. escalar v i de cada partícula é ω.R e a massa é uma distribuição contínua de partes infinitesimais dm em um volume V ENERGIA CINÉTICA Considerando a suposição acima a Energia Cinética desse corpo tem a forma: E c = 1/2 (I . ω²) I - Momento de inércia do corpo em relação ao eixo ┴ Observa-se esse movimento como consistindo apenas de rotação. Se levarmos em conta o teorema dos eixos ‖: I = I CM + M.R² I = M.R2 Do Movimento Circular: v = R. ω v² = R². ω² Energia Cinética terá a forma: Movimento composto de: Rotação + Translação. ROLAMENTO SEM DESLIZAMENTO MOMENTO LINEAR DA PARTÍCULA QUANTIDADE de MOVIMENTO ∑FR = m.a = m(dv/dt) = d(m.v)/dt P = m.v Conforme a 2ª Lei de Newton em termos de Momento Linear a F R que atua numa partícula é a taxa de variação do mesmo: ∑F R = dP/dt D I N Â M I C A D A R O T A Ç Ã O I o - Momento de Inércia de massa do C.R. em torno do Eixo Z que atravessa o ponto O: S.I. de Unidade de Momento de Inércia: kg.m2 MOMENTO ANGULAR L Total de um C.R. é um vetor descrito em relação a algum ponto ou eixo. Seja então, um ponto O fixo não necessariamente o centro de massa ou eixo de rotação do corpo, I Ṙ - Velocidade linear de cada partícula infinitesimal dm posicionadas em I R que compõe o C.R. S.I. de Unidade de Momento Angular: kg.m2/s MOMENTO ANGULAR do corpo em relação ao pólo O pode então ser posto na forma integral: Considerar um C.R., de densidade de massa (R), onde R = (P - O) é o vetor de posição de um ponto P deste corpo a uma origem O, arbitrariamente escolhida. MOMENTO ANGULAR de um elemento de massa dm(R) = (R).dV, relativamente ao pólo O: dV - Elemento de volume ocupado pelo corpo, suposto invariante no tempo, consistentemente à hipótese de C.R. MOMENTO ANGULAR (L) DE UMA PARTÍCULA i Leva em consideração a posição (R) da partícula, seja em relação a origem (O) da base inercial ou outra base móvel. Momento Angular (L) de uma partícula de massa (m) localizada pelo vetor posição (R) que tem Momento Linear (P) é definido como: P = m.v L é um vetor cuja módulo é o produto da grandeza do Momento Linear P, pela distância (R) à origem O, multiplicados pelo seno do ângulo (ϴ) que P e R fazem entre si. Momento Angular da Partícula: L = R.P.senθ Módulo: MOMENTO ANGULAR L L i = r i P i (sen90) = r i Δm i v i L = ∑L i = ∑L iz = ∑L i sen L = ∑r i ∆m i v i sen Do Movimento Circular: v = ω . R L =∑ri ┴ ∆mi vi =∑r²i ┴ ∆mi ω L = ω ∑r²i ┴ ∆mi Vetorialmente, ω tem o mesmo sentido de L MOMENTO ANGULAR DE UMA PARTÍCULA QUE REALIZA MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME De: a) L = m.v.d; b) v = ω.R; c) d = R; vem: L = m.ω.R.R => L = m.R2.ω A grandeza escalar I = m.R2 Momento de Inércia da partícula em relação ao ponto O. Assim, temos: L = I.ω Observar que o vetor MomentoAngular L não necessariamente é paralelo ao eixo de rotação. Se L for paralelo ao eixo de rotação, este é chamado de Eixo Principal. (figura 4) De S = .R Vem: dS/dt = d.R/dt Como: dS/dt = v; d./dt = ω; Então: v = ω.R Assim o módulo: v = ω.rsen Decomposição do Momento Angular em x, y, z Coordenadas Esféricas c/ ponto P(R 1 , θ 1 , 1 ) x = R senθ cos; y = R senθ sen; z = R cosθ. Uma vez que o Momento Angular L de um C.R. é um vetor, tem-se: Reordenando os termos do vetor Momento Angular é possível escrever a relação matricial: Note que a matriz de inércia I é simétrica. O significado físico desta matriz está relacionado diretamente c/ a distribuição de massa em um corpo rígido e a resistência que este tem em sofrer rotação. Quanto maior o valor do Momento de Inércia Ixx, Iyy e Izz maior a distância entre o ponto (eixo) que o Momento Angular é calculado. Se os Produtos de Inércia (Ixy, Ixz, Iyz) ≠ 0 significa que não existe simetria de distribuição de massa. Momentos e Produtos de Inércia Dependem a) Direções dos eixos coordenados; b) Origem adotada destes eixos. Se Origem O coincide c/ o C.M. e é representada no sistema móvel de referência, o Momento Angular é mais facilmente calculado, pois a matriz momento de inércia permanece constante, devido o vetor posição ri das partículas do corpo não sofrer variação. Caso vetor L não paralelo ao eixo de rotação, pode- se calcular a projeção deste vetor em torno do eixo de rotação. Exemplo simples p/ verificar esta projeção é considerar um C.R. formado por N partículas m i girando com um Vetor Rotação ω em torno do Eixo Z conforme figura 4. Momento Angular L é dado por um somatório: Projeção do Vetor L no Eixo Z Momento Angular L é constante se for paralelo ao eixo de rotação (Eixo Principal). C.R. da figura 5 mostra 2 partículas com massa m ligadas por uma haste rígida com comprimento 2R. Momento Angular da 1ª rotação: Sendo v = ω.R e I zz = 2m.R² o momento de inércia de massa deste C.R. em torno do Eixo Z. Vetor L é uma quantidade c/ a mesma direção do Eixo de Rotação Z, então é Constante. Rotação de C.R. figura 5 No 2º movimento, o eixo não é principal, pois o vetor L e o vetor ω não são paralelos. Então, vetor L não é constante, pois sua direção varia conforme C.R. rotaciona. figura 6. As equações do movimento de um C.R. são em função da: ∑F R = dP/dt = d(m.v)/dt = m.a P/ descrever a dinâmica do C.R. é necessário verificar a taxa de variação do MOMENTO ANGULAR TOTAL L de todas as partículas formadoras do C.R.: TEOREMA DO MOMENTO ANGULAR Considerar: a) um C.R. em movimento e um referencial inercial. b) um pólo O, em relação ao qual o Momento Angular do corpo será calculado. Tomando-se a expressão do Momento Angular na forma: Utilizando a expressão da Quantidade de Movimento: Considerando que o sistema ΣF int = 0, segue, do Princípio de D’Alembert (mecanicista): Mo ext - Momento resultante do sistema ΣF ext aplicadas ao corpo, calculado em relação ao pólo O. A equação expressa o TEOREMA DO MOMENTO ANGULAR (T.M.A.): “A taxa de variação temporal do Momento Angular de um C.R. em relação a um pólo O é igual ao momento, em relação ao mesmo pólo, de ΣF ext sobre ele agentes somado ao produto vetorial de sua Quantidade de Movimento com a velocidade do pólo considerado”. Caso o pólo considerado seja o próprio C.M. o T.M.A. assume a forma mais simples: A expressão acima evidencia o seguinte fato: Se o M o = ΣF ext = 0 (agentes sobre o corpo, calculado em relação ao C.M. do corpo), o Momento Angular relativamente a este mesmo C.M. será invariante no tempo, i.e., uma constante. Diz-se, neste caso então, da: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR. Expressão análoga é válida quando o pólo O é fixo, ou mesmo quando este pólo tem velocidade paralela à velocidade do C.M. MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO EXTENSO EM ROTAÇÃO UNIFORME EM TORNO DE UM EIXO FIXO Para cada ponto Pi, de massa mi e a uma distância ri do eixo de rotação, podemos escrever: L i = m i r i 2 ω, ω - Vetor de rotação, suposto constante. Momento Angular Total L do corpo é dado por: é o Momento de Inércia do corpo em relação ao eixo de rotação. Logo: Como: P/ rotação em torno de um Eixo de Simetria, os vetores ω e L: a) São paralelos; b) Estão sobre o eixo; c) Direções e sentidos Regra da mão direita. MOMENTO ANGULAR (L) Produto do Momento de Inércia (I) pela Velocidade Angular (ω), cujo módulo permanece constante: MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS A definição de momento angular é feita com o auxílio do produto vetorial: L = r i x P i r i - Vetor Posição da i-ésima partícula: r i = r x i + r y j + r z k P i - Momento Linear desta mesma partícula: MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS Momento Angular Total de um sistema constituído de muitos pontos materiais, em relação a uma origem, é determinado somando-se vetorialmente os Momentos Angulares de todos esses pontos materiais, considerados isoladamente, em relação a essa mesma origem de uma equação matricial: 2 Partículas de mesma massa (m1 = m2 = m) localizadas simetricamente de cada lado do eixo de rotação (OZ). Momentos Angulares L 1 e L 2 das partículas individuais não estão sobre o eixo de rotação. Porém a soma vetorial permanece ao longo desse eixo. MOMENTO ANGULAR EIXO FIXO T O R Q U E 3 componentes da força resultante que atua sobre uma partícula do C.R. Só F1,tg contribui p/ o componente z do Torque em torno do ponto O. a cm = R. F 1,tg = m 1 .a 1tg F 1,tg = m 1 .R. F 1,tg .R 1 = m 1 .R 1 ² Angular motion has direction associated with it and is inherently a vector process. But a point on a rotating wheel is continuously changing direction and it is inconvenient to track that direction. Se o Momento Angular for escrito na base inercial apesar do vetor ri não sofrer variação em amplitude, ele sofre variação de direção em virtude da Velocidade Angular ω. Assim o cálculo da taxa de variação do Momento Angular (dL/dt) = , será bem mais simples se for expresso na base móvel, pois nesta situação o vetor r i rotaciona junto com a base móvel e se a origem O for o C.M. a velocidade linear da origem da base móvel permanece nula (v = 0). TORQUE P R E C E S S Ã O Movimento rotativo oscilatório causado pelo movimento do vetor Momento Angular L devido á variação de sua direção em função de um TORQUE externo: Sendo L o valor escalar do Momento Angular Total (módulo) e ω = ϴ constantes. Precessão causado pela variação da direção do Momento Angular L, devido à existência de um Torque externo atuante, o qual é obtido calculando a taxa de variação do Momento Angular L da equação acima: Todo C.R. tem no mínimo 3 Eixos Principais Ortogonais, passando pelo seu C.M. em cada ponto. Quando existe simetria de revolução em um eixo, este é dito Principal, axial, como no cilindro, sendo os outros 2 radiais. Se a rotação for constante em torno de um destes eixos, o vetor Momento Angular Total do C.R. calculado em torno de um destes eixos será constante e paralelo a este eixo, chamado então de Principal. Não tendonesta situação movimento de precessão. PRECESSÃO de um PIÃO PRECESSÃO DE UM PIÃO Movimiento de um pião pode ser explicado com a equação do movimento de rotação. Na esquerda da figura está representado um pião em posição vertical, girando no seu eixo de simetria z'. Forças Externas que atuan sobre o pião: a) Peso (aplicado no CM); b) Normal do solo, não representada já que não afeta o movimento de rotação (em nenhum caso faz momento com respeito a O). Se o pião ficar sempre na posição vertical, seu Momento Angular L permanecerá cte., já que o peso não faria torque com respeito a O. Por ser o eixo de giro um Eixo Principal L e pararelo a dito eixo e segundo a equação do movimento de rotação: Nesta situação o pião giraria indefinidamente com: a) Velocidade Angular ω Cte.; b) Momento Angular L Cte. Quando o pião se desvía de sua posição vertical, o torque do peso com respeito a O já não é nulo (parte dereita da figura) e o Momento Angular Varia. A variação de Momento Angular é igual ao momento do peso e perpendicular ao vetor L, pois este último variará de direção mas não de módulo. Efeito desta variação: O eixo de giro do pião impede a sua vez de rodar, descrevendo uma trajetória em verde na figura. Este movimento se denomina PRECESSÃO. Eixo de Rotação da Terra tem uma precessão produzida pelo momento da força gravitacional que sobre ela exerce o Sol e a Lua. Rotação Completa da Terra demora ≈ 26000 anos, conhecida como: Precessão dos Equinócios. G I R O S C Ó P I O – Mecanismo que se utiliza dos efeitos giroscópicos para tornar estável um rotor em torno de um determinado eixo. IMPORTÂNCIA: Fundamental na engenharia e na ciência. APLICAÇÃO: Instrumentos de navegação e estabilização de veículos (aéreos, marítimos e terrestres.) MOMENTO ANGULAR - GIROSCÓPIO Em um Intervalo de Tempo dt, o Vetor Velocidade Angular ω e o Eixo do Volante Realizam uma Precessão Através de um Ângulo d. Movimento de Precessão é causado pela variação da direção do Momento Angular L e só é possível devido a existência de um Torque externo atuante. Cálculo da Velocidade Angular Ω, Ortogonal ao Eixo de Precessão. W Peso: P = m.g Rate of change in direction of rotational axis is called precession angular velocity and it is inversely proportional to the spin angular velocity. To prove this, look at the figure by side: Momento Angular do giro do pião é dado por seu momento de inercia e sua velocidade angular ω. GIROSCÓPIO mais simples consiste de um rotor, montado sobre uma articulação, podendo assumir qualquer posição no espaço. Seu centro de massa G deve permanecer fixo (coincidente a O). A figura abaixo apresenta um esquema de um giroscópio, com os eixos coordenados de referência bem como os ângulos de Euler. Sistema (Oxyz) será tomado fixo no anel interno, que suporta o eixo Oz, em torno do qual o rotor balanceado gira com rotação própria Ψ, relativamente a (Oxyz). A linha dos nós BB’ fica agora evidente, coincidindo com o eixo Oy e orientada pelo versor j. PRECESSÃO GIROSCÓPICA Quando em rotação, o rotor principal do helicóptero atua como um giroscópio e, como tal, esta sujeito às leis naturais de Efeito Giroscópico. Dessas leis, a mais importante que afeta a operação do helicóptero é a Precessão Efeito Giroscópica. Em consideração a este assunto, pense no rotor principal como um disco sólido ao invés de pás de rotor individuais. Quando uma força é aplicada em um disco rotativo, o efeito desta força acontece 90º após o ponto de aplicação e na direção de rotação. Conforme este princípio, o disco do rotor pode ser inclinado na direção necessária p/controle apropriado. Quando se olha o helicóptero de lado, um movimento cíclico à frente produz o ângulo de passo mínimo no ponto A, e o máximo no ponto C. O deslocamento máximo do disco ou pá, porém, ocorre no ponto B e D onde os ângulos de passo cíclico são neutros. O resultado deste cíclico à frente é a inclinação do disco do rotor e o correspondente pivotamento do helicóptero. MOVIMENTO DE NUTAÇÃO DE UM PROJÉTIL BALÍSTICO Pequena Oscilação Periódica do Eixo de Rotação MOVIMENTO de NUTAÇÃO N Oscilação do eixo terrestre em torno da posição média de sua órbita, causda por alterações cíclicas da órbita lunar. Cada oscilação dura um período de 18 meses e 7 dias (547 dias). À medida em que a câmara é enchida surge uma diferença de pressão que causa o movimento de nutação no disco. PRECESSION, TOP VIEW The spin angular momentum is along the rotation axis as shown, but the torque about the support point is in a direction perpendicular to the angular momentum. The torque produces a change in L which is perpendicular to L. Such a change causes a change in direction of L as shown but not a change in its size. This circular motion is called precession. LEIS DE CONSERVAÇÃO Se um sistema não interage com seu entorno, então determinadas Propiedades Mecânicas do sistema não mudam, também conhecidas como. "Constantes do Movimento". A estas quantidades se diz "conservadas“. Leis de Conservação resultante são consideradas como os princípios mais fundamentais da mecânica, as quais são exatas p/ Sistema Isolado. Grandezas Conservativas Em Mecânica: Energia, Momento e Momento Angular. Establecidas como princípios da mecânica, estas Leis de Conservação têm profundas implicações na simetria da naturaleza, as quais se mostram invioladas. Elas servem como uma forte restrição em qualquer teoría sobre qualquer ramo da ciência. Até onde se pode observar a conservação do momento é uma simetria absoluta da naturaleza. Não se conhece nada na naturaleza que a viole. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR Momento Angular de um Sistema Isolado permanece constante em magnitude e em direção. Soma de vetores dos Momentos Angulares das partes de um sistema isolado é constante. Isto supõe uma forte restrição sobre os tipos de movimentos rotacionais que podem ocorrer em um Sistema Isolado. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR Se a uma parte do sistema se dá um momento angular em uma determinada direção, então alguma outra parte do sistema, deve simultaneamente obter exatamente o mesmo momento angular em direção oposta. Conservação do Momento Angular é uma simetria absoluta da natureza. Não há constância de nenhum fenômeno na natureza em um sistema aberto. SISTEMA ISOLADO DE FORÇAS EXTERNAS 1) Não atuam forças externas, podendo haver forças internas entre os corpos; 2) Existem ações externas, mas sua R = 0; 3) Existem ações externas, mas tão pouco intensas, em relação às ações internas, que podem ser desprezadas. Sistema Isolado – Conj. de matéria, que não interage em absoluto com o resto do universo. E até onde se sabe, não existem tais sistemas. SISTEMA ISOLADO Não existe um obstáculo contra a gravidade. A força eletromagnética é de alcance infinito. Porém com o objetivo de centrar-nos em princípios básicos, é útil postular tais sistemas para aclarar a naturaleza das leis físicas. Em particular, as leis de conservação se podem presumir exatas quando se refiram a sistemas isolados: a) Conservação da Energia: a energia total de um sistema é constante. b) Conservação do Momento Linear P: o produto da massa pela velocidade de C.M. é constante. c) Conservaçãodo Momento Angular L: o momento angular total de um sistema é constante. d) 3ª Lei de Newton: não se pode gerar força líquida dentro de um sistema, posto que todas as forças ocorrem em pares opostos. A aceleração do C.M. é zero. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR Se torque das forças que atuam num corpo em rotação é nulo, então o momento angular permanece constante. Nestas condições, resulta em módulo: L = I.ω = cte. Se o corpo for deformável, sendo L = I.ω constante: Se Se CASO DA BAILARINA. Fechando os braços, o momento de inércia diminui de para I1 para I2 (I2 < I1) e sua velocidade angular varia de ω1 para ω2. Como I1ω1 = I2ω2, fica: ω2 > ω1. Quando o atleta recolhe o braço diminui o Momento de Inércia I e como o momento é constante, a Velocidade Angular ω aumenta . CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR Uma nadadora Executa um salto ornamental frontal de uma volta e meia. Seu C.M. segue uma trajetória parabólica. Ela deixa o trampolim com L, em torno do eixo que passa pelo C.M. Nenhum torque externo age, por isso L se conserva. TRANSFERÊNCIA DE MOMENTO ANGULAR (L) CILINDRO CAI SOBRE DISCO EM ROTAÇÃO CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR (L). Um disco de alumínio é colocado p/ girar livremente em torno de um eixo central, ┴ ao seu plano. Enquanto o disco está girando, solta-se sobre ele um anel de metal. Um sensor registra a velocidade angular (ω) do disco em função do tempo. Aumento do Momento de Inércia (I), devido ao anel adicionado sobre o disco, causa uma redução na Velocidade Angular (ω) de modo a conservar o Momento Angular (L). APLICAÇÃO DOS MOMENTOS ANGULARES APLICAÇÕES DO GIROSCÓPIO a) Indicadores de agulha; b) Pilotos automáticos em navios, aviões, mísseis; c) Estabilizadores de navios, satélites, torpedos, etc.; d) Equipamentos de fotografia, por sua capacidade de prover estabilidade e resistir a movimentos causados por forças externas. No Projeto de Máquinas c/ componentes rotativos, deve se tomar cuidado c/ os Efeitos Giroscópicos, os quais algumas vezes são indesejáveis, sendo obrigatório considerá-los ao especificar mancais e peças rotativas. - Atualmente, os rotores operam em velocidades cada vez mais elevadas e com fatores de segurança mais baixos em virtude de requisitos econômicos, sendo assim as forças giroscópicas devem ser consideradas nos projetos de máquinas, visando maior robustez e segurança de operação. - Desalinhamentos, desbalanceamentos, e roçamentos podem causar movimentos angulares em rotores. - Movimento de precessão em rotores faz com que as Frequências Naturais da máquina sejam dependentes da rotação de operação. Frequência de Precessão: ω pr = (m.g.r) / I.ω Período de precessão: T pr = (2 ) / ω pr Por isso, em um projetos de turbina, gerador, compressor, etc. deve-se conhecer como as frequências naturais (velocidades críticas) são alteradas conforme se varie a rotação de trabalho para garantir as melhores condições de trabalhos visando manter o sistema estável e produtivo. CARRO GIRSOCÓPICO 4 rodas é bom, 2 rodas é ruim. É o axioma dos que preferem carros. Para os motoqueiros, acontece o oposto. E se os carros tivessem 2 rodas que se equilibram sozinhas? Certa vez o Dr. Pyotr Shilovsky, um inventor e mecânico russo que imaginou um mundo onde giroscópios seriam usados largamente como meio de transporte. Em 1912 Shilovsky trabalhou com o engenheiro Louis Brennen para desenvolver projetos para um carro de 2 rodas e carroceria estreita com um giroscópio de 610 kg no meio do chassi para estabilizar o carro. Shilovsky encomendou à Wolseley Tool and Motorcar Company a construção da máquina. Depois de um ano de trabalho, estava pronto o automóvel auto-equilibrado. O carro tinha um motor Wolseley de ≈ 18 cv que rodava o volante do motor e as rodas traseiras, um par de rodas estabilizadoras controladas por uma alavanca ou automaticamente, caso o volante do motor gire abaixo da velocidade ajustada. O volante era ligado a um sistema de eixos, catracas e pêndulos de 43 kg que permitiam que o giroscópio fosse manipulado de forma que pudesse ser direcionado sem desestabilizar a máquina. http://www.guiadosantigos.com.br/ No dia 16 de maio de 1914 às três da tarde o longo carro com volante e uma espécie de garfo de bicicleta à frente do capô que cobre o motor de 16 a 20 hp chegou à Portman Square em ritmo de caminhada. O inventor sentou ao lado do motorista enquanto o carro deu várias voltas na praça, em alguns momentos mais lento que o ritmo de uma caminhada. As curvas eram feitas sem dificuldade e, claro, com o veículo em riste, diferente da inclinação de uma bicicleta contornando uma curva. Depois o carro foi estacionado, mas como o giroscópio continuou funcionando, ele permaneceu equilibrado sem ser afetado pelas pessoas embarcando ou empurrando-o para o lado. Telescópio Hubble é orientado pelo ajustamento da rotação de dois volantes, cada qual de 45 kg, que giram em torno de eixos não-coincidentes c/ velocidades de até 3000 rpm. Modificações das velocidades de rotação, controladas por computador, provocam momentos angulares que levam a lentas e precisas alterações da orientação do aparelho, mantendo a visada de um alvo c/ aproximação da ordem de 0,005” arco. Telescópio Hubble Edwin Powell Hubble 20/11/1889 em Marshfield, no Missouri, USA. 28/09/1953 em San Marino, Califórnia, USA. Astrofísico muito conceituado. Formou-se em Matemática e Astronomia na Universidade de Chicago. Mais tarde licenciou-se em Direito, na universidade de Oxford. Integrou a equipe do Observatório de Mount Wilson, no estado de Washington, em 1919. Trabalhou também no Observatório de Monte Palomar, o mais célebre e importante dos EUA. UNIDADE DE MEDIÇÃO INERCIAL (I.M.U.) - Sensor p/ predizer a posição de um objeto num intervalo de tempo. Contêm Arranjos de Sensores Inerciais (Inertial Sensors Array - ISA): a) Acelerômetros p/ medição de força específica; b) Giroscópios p/ detecção de mov. de rotação. PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO DO I.M.U. Detectando a taxa atual de aceleração e mudanças nos atributos de rotação como o Declive (Pitch), o Giro (Roll) e a Guinada (Yaw). Dados são alimentados em um computador, que calcula a velocidade e a posição atual, uma vez conhecida a velocidade e uma posição inicial. CARACTERÍSTICAS CONSTRUTIVAS I.M.U. é uma caixa com 3 acelerômetros e 3 giroscópios. ACELERÔMETROS, como os giroscópios, são posicionados um em relação ao outro, em eixos ortogonais (x,y,z). Objetivo: indicar a aceleração inercial do componente, (força G), em cada eixo e, por este motivo, é utilizado 3 acelerômetros. Medindo a força G que o componente sofre em uma determinada direção, pode-se deduzir se velocidade do componente está aumentando ou diminuindo, portanto consegue-se predizer em qual sentido o componente se movimenta e a taxa de aceleração naquele sentido. Dados processados por um software que informa onde o componente estará em X horas. CARACTERÍSTICAS CONSTRUTIVAS Giroscópios têm como objetivo medir a taxa de aceleração angular do componente em cada plano. Por isso faz-se uso de 3 giroscópios acoplados ortogonalmente um em relação ao outro. Por exemplo, o Giroscópio instalado no eixo X medirá a taxa de aceleração angular no plano três. Dados obtidos pelos acelerômetros e giroscópios devem ser processados por um software. Dentro da I.M.U., há um microprocessadorque processa este software. Funcionamento deste software é através da utilização de um algoritmo chamado Dead Reckoning para estipular a posição. Este algoritmo, tendo o conhecimento dos dados oriundos do acelerômetro e do giroscópio, consegue traçar a trajetória do movimento. A grande maioria dos aviões e navios têm um I.M.U. Este sistema consiste em indicar a orientação do corpo, velocidade e posição sem precisar utilizar fontes externas de dados. Os valores que alimentam este sistema são obtidos pelo I.M.U., pois, ele é capaz de fornecer a localização do corpo sem precisar se conectar com qualquer outro componente. Caso ele se comunique com algum outro equipamento, o sistema ficará mais completo e mais complexo. Aviões e barcos têm I.M.U. integrados c/ mapas, tornando a informação mais interessante, já que torna possível fazer rotas em cima de mapas reais, e não somente em cima de uma escala. Qualquer movimento no corpo é acusado pelo I.M.U., e este informa ao computador que processa esta informação. Declive (Pitch), Giro (Roll) e Guinada (Yaw). Navios de cruzeiro modernos possuem Sistema de Estabilização Hidrodinâmica: 4 Estabilizadores Hidrodinâmicos (2 pequenas asas moveis em cada lateral do navio) controlados por computador (que se baseiam nas variações de inclinação do navio medidas por giroscópios). Estabilizadores reduzem em mais de 90% o balanço do navio no mar. Piloto Automático Corrige Variações Declive (Pitch), Giro (Roll) e Guinada (Yaw). API - Conjunto de rotinas e padrões de programação para acesso a um aplicativo de software ou plataforma baseado na Web. API - "Application Programming Interface" "Interface de Programação de Aplicativos". API de acelerômetro permite determinar a orientação de um dispositivo num espaço tridimensional (com as coordenadas X , Y e Z). A documentação atual da API do PhoneGap informa que os valores devolvidos pelo acelerômetro indica as mudanças no movimento de um dispositivo através do espaço. Se o acelerômetro realmente medisse apenas movimento através do espaço, então a API acelerômetro não retornaria nenhuma informação quando o dispositivo estivesse parado, o que não é o caso. Em um dispositivo Android , com o aparelho deitado sobre uma mesa , o acelerômetro retornará os seguintes valores: X : 0; Y: 0; Z : 10. Como o dispositivo é girado para que fique em pé em sua borda esquerda, os valores irão se ajustar, aproximadamente, X : 10; Y : 0; Z : 0. Se em vez disso movermos o dispositivo apoiando em sua borda inferior, os valores irão ajustar-se aproximadamente para X : 0; Y : 10; Z : 0. Apoiando em sua borda superior resultará em valores de acelerômetro aproximados X : 0; Y: -10; Z : 0. Um aplicativo utilizaria esses valores para determinar como um usuário está segurando o aparelho e é mais útil para jogos e aplicações interativas. Desenvolvedores PhoneGap podem consultar uma API para determinar a orientação de um dispositivo em um determinado momento ou pode assistir o acelerômetro para controlar a aceleração do dispositivo repetidamente durante um intervalo de tempo. Determinar movimento através do espaço é simplesmente uma questão de comparar medições de orientação subsequentes e a diferença entre elas. • X - Eixo que “percorre” a tela do dispositivo de lado a lado (┴ a Y e Z). • Y - Eixo que “percorre” a tela do dispositivo de baixo a cima (┴ a X e Z). • Z - Eixo que completa o sistema, como “saindo” da tela (┴ a X e Y). Se o smartphone ficar em pé, com o eixo Y apontando para cima e o eixo Z apontando para ós, beta valerá 90, pois apenas realiza uma rotação de 90° em torno do eixo X. Se o mesmo smartphone ficar de cabeça para baixo, beta valerá -90, pois realiza a mesma rotação no sentido contrário. Alfa, Beta e Gama representam a rotação em graus em torno de cada um dos eixos Z, X e Y respectivamente, como ilustrado abaixo: Referências: 1) Paul A. Tipler e Gene Mosca. Física, vol.I – Mecânica; 2) Halliday, David., Resnick, R. e Walker, Jearl – Fundamentos de Física – Vol. I - Livros Técnicos e Científicos – Editora S.A. 6ª Edição (2002) Rio de Janeiro/RJ Brasil; 3) Sears, F.; Zemansky, M.W. e Young H.D. – Física I Mecânica e Partícula dos Corpos; 4) J. B. Neto. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana. Livraria da Física, 1º edition, 2004; 5) J. L. Meriam. Engineering Mechanics: Dynamics, volume 2. John Wiley and Sons, 1986; 6) I. F. Santos. Dinâmica de Sistemas Mecânicos. Makron Books, 2001; 7) N. A. Lemos. Mecânica Analítica. Livraria da Física, 2º edition, 2007; 8) J. E. Shigley. Dinâmica das Máquinas. Edgard Blucher, 1961. Referências: © By John Wiley & Sons - 2002; © By Pearson Education – 2004; © By David M. Harisson – 2004; www.brasilescola.com/fisica/aceleração-centrípeta.htm; www.brasilescola.com/fisica/impulso.htm; http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/ fisica/solido/precesion.html; www.moderna.com.br/fundamentos; http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/ conser. html#conmom; www.ebah.com.br/content/momento-angular; http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rotv2.html; Um disco com 0,5 m de raio e 20 kg de massa gira livremente em torno de um eixo horinzontal fixo passando pelo seu centro. Aplica-se-lhe uma força de 9,8 N puxando-se um fio enrolado em sua borda. Determine a Aceleração Angular () do disco e sua Velocidade Angular (ω) após 2s. Notação Indicial - Muito usada em diferentes áreas de ciências, como mecânica dos fluidos, mecânica dos sólidos, dinâmica, elasticidade, etc. A matriz de inércia I é composta por 9 elementos. Em vez de escrever x, y, z, usa-se os números 1, 2 e 3 p/ representar os componentes de vetores e. Assim fica: L = {L1 L2 L3} T e não L = {Lx Ly Lz} T. Os 9 elementos de Iij formam um TENSOR. Distribuição interna de forças e momentos sobre um diferencial dS da superfície interna S em um contínuo, como resultado da interação entre as 2 porções do contínuo separadas pela superfície. Esta forma de apresentar o Teorema do Momento Angular é conhecida como equação de Euler, em homenagem ao mecanicista e matemático alemão. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA ENERGÍA - Capacidade para produzir trabalho. Pode existir em uma variedade de formas e pode transformar-se de um tipo de energía a outro tipo. Sem embargo, estas transformações de energia estão restringidas pelo princípio fundamental de conservação da energia. Forma de establecer este principo: a) "a energia não se cria nem se destroi". b) a energia total de um sistema isolado permanece constante. MOMENTO DE INÉRCIA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS A figura mostra um sistema de partículas em rotação ao redor de um mesmo eixo, mantendo suas posições relativas constantes. MOMENTO DE INÉRCIA DO SISTEMA - Soma dos momentos de inércia de cada partícula: 3 - O conjunto parte do repouso e alcança uma velocidade angular de 150 rpm sob a ação de uma força T de 20N aplicada à corda por t segundos. Determine t. Despreze o atrito e todas as massas exceto as das quatro esferas de 3 kg, que podem ser tratadas como partículas. Resp: t = 15,1s. Uma esfera de 3 kg move-se no plano x-y e possui a velocidade de 4m/s, no sentido mostrado na figura. Determine: (a) seu momento linear; (b) seu momento angular; (c) sua energia cinética. Resp.: P = (8,5i-8,5j)kgm/s; L = - 7,73k kgm2/s
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