09 Mec II Mov Sist Pontos Materiais

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DINÂMICA DO PONTO MATERIAL
MOVIMENTO DE UM SISTEMA 
DE PONTOS MATERIAIS
CONTEÚDO:
1 - Introdução;
2 - Cinemática de Corpos Rígidos;
3 - Cálculo da Velocidade do Centro de 
Massa de um Sistema de Pontos Materiais;
4 - Cálculo da Aceleração do Centro de 
Massa de um Sistema de Pontos Materiais.
1 - INTRODUÇÃO À DINÂMICA
DE CORPOS RÍGIDOS
No estudo da dinâmica de corpo rígido será 
necessário ter mais informações para 
descrição correta do movimento do corpo. 
Estas informações serão provenientes do 
Momento de Inércia de Massa (distribuição da 
massa no corpo) e do Momento Angular L.
1 - INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS
Objetivos
 Apresentar os conceitos básicos envolvidos em 
cinemática e cinética de corpos rígidos. 
 Modelar um sistema como uma partícula induz erros nas 
equações do movimento conduzindo à trajetórias, orbitas e 
reações dinâmicas erradas.
Normalmente, isto acontece quando não se pode 
desprezar as dimensões do corpo e, consequentemente, 
as forças externas que agem no corpo podem não ser 
aplicadas sempre nos mesmos pontos, causando torque. 
Nestas situações irá ocorrer rotação do corpo rígido em 
relação à algum ponto ou eixo de rotação (que pode estar 
no corpo ou fora dele).
CINEMÁTICA
Parte da Mecânica que descreve o 
movimento, determinando a posição,
a velocidade e a aceleração de um 
corpo em cada instante sem se 
importar c/ as suas causas e c/ as 
massas dos corpos que se movimentam.
ENERGIA CINÉTICA - Energia que um corpo possui 
em virtude de ele estar em movimento. 
Equação da Energia Cinética: 
Trabalho Resultante = ΔEc
E
c
= 1/2 M x V²
A energia cinética de um corpo rígido de massa 50 kg
movendo-se com a velocidade de 5 m/s é:
Ec = 1/2 x 50kg x (5 m/s)² = 625 J
1 J = 1 N.m
1 J = 1 (kg.m/s²).m 
1 J = 1 kg.m²/s²
Observando os movimentos dos corpos, podemos 
concluir que a E
c
de um corpo rígido será cada vez 
maior: 
a) Quanto maior for a sua velocidade. 
b) Quanto maior for a sua massa.
Equação da E
c
diz que o trabalho de um objeto em 
movimento é diretamente proporcional ao valor da 
sua v². 
Se a velocidade de um objeto duplica, 
sua E
c
aumentará em 4 vezes mais:
E
c
= 1/2 x 50 x 10² = 4 x 625 = 2500 J;
Se a velocidade de um objeto triplica, 
sua E
c
aumentará em 9 vezes mais:
E
c
= 1/2 x 50 x 15² = 9 x 625 = 5625 J.
MOVIMENTO PLANO GERAL
Há outros tipos de movimento plano, isto é,
movimento em que todos os pontos materiais do 
corpo se deslocam em planos paralelos. 
Qualquer movimento plano que não seja de rotação 
ao redor de um eixo fixo nem de translação 
considera-se como um movimento plano geral.
Exemplos de Movimento 
Plano Geral
MOVIMENTO EM TORNO DE UM PONTO FIXO
Este é o movimento tridimensional de um corpo 
rígido com um ponto fixo O. 
Exemplo típico: movimento de um pião sobre o solo. 
É importante destacar que na parte cinemática 
devemos determinar os vetores velocidade angular 
absoluta dos sistemas móveis  e velocidade angular 
absoluta dos corpos Ѡ. 
Em alguns problemas pode ocorrer:  = Ѡ e  ≠ Ѡ
Em dinâmica de partículas, estes dois vetores eram 
iguais, assim nenhuma separação foi feita em se usar 
 e Ѡ. 
No decorrer dos estudos estes vetores podem ser 
diferentes, um exemplo é o movimento de um pião.
A ENERGIA CINÉTICA
de rotação de um sistema 
de partículas é definida 
então como:
v = R.ω  v² = (R. ω)²
I = M.R² 
No caso de um corpo rígido cada partícula infinitesimal 
terá a mesma Velocidade Angular (ω) (sendo uma 
constante que pode ser descrita em uma base qualquer), 
assumindo que a velocidade escalar vi de cada partícula 
é ω.r e a massa é uma distribuição contínua de partes 
infinitesimais dm em um Volume V , tem-se:
Partícula girando 
c/ Velocidade 
Angular ω em 
torno de um eixo.
I - Momento de 
inércia de massa 
do corpo rígido 
em torno do eixo 
considerado.
PROCEDIMENTO GERAL P/ OBTENÇÃO DA 
EQUAÇÃO DO MOVIMENTO EM CORPOS RÍGIDOS
MÉTODO DE NEWTON-EULER
Mesmo os problemas de dinâmica de corpos rígidos
aparentemente simples, com rotação em torno de 
apenas um eixo fixo e com simetria, já podem ter um 
nível de complicação muito elevado.
Rotações em torno de vários eixos podem resultar em 
sistemas extremamente complexos. 
A definição de um procedimento padrão p/ obtenção 
das equações diferenciais não-lineares do movimento 
e das reações dinâmicas auxilia bastante e ajuda a 
diminuir erros e visualizar melhor as etapas e 
procedimentos de solução de um problema de 
modelagem de um corpo rígido. 
Para tratar um corpo rígido usando conceitos de 
mecânica clássica pode-se dividir o problema nas 
seguintes etapas:
a) PARTE CINEMÁTICA;
b) PARTE CINÉTICA;
c) PARTE ANÁLISE.
a) PARTE CINEMÁTICA: 
Estudo do movimento sem se preocupar com quais 
forças ou momentos causam uma trajetória, órbita, 
etc. Nesta etapa temos que seguir os passos:
1 - Definição dos sistemas de referência inercial (fixo) 
e móveis. 
Cada um dos N componentes móveis do sistema são 
posicionados solidários aos possíveis movimentos.
2 - Cálculo das matrizes de rotação dos sistemas 
móveis para o sistema inercial e vice-versa.
3 - Determinação do vetor Velocidade Angular 
Absoluta () dos sistemas móveis de referência e 
sua respectiva aceleração. 
Este vetor é representado de forma mais conveniente 
em uma base móvel.
4 - Determinação do vetor velocidade angular 
absoluta do corpo rígido e sua derivada temporal 
(aceleração angular), preferencialmente em uma 
base móvel. a
CM
= dV
CM 
/dt = R(dω/dt) 
a
CM
= R . 
ang
Cuidado ao derivar vetores em base móvel p/ não 
perder informação relacionado c/ a variação da 
direção.
5 - Cálculo da Velocidade Linear Absoluta e 
Aceleração Linear Absoluta do Centro de Massa (CM) 
do corpo rígido com base na geometria do problema. 
Estes vetores podem ser representados em qualquer
base, porém são mais facilmente obtidos em uma 
base móvel.
b) PARTE CINÉTICA: 
Envolve estudo das causas de um movimento e de 
sua variação. 
Em mecânica clássica devemos seguir o 
procedimento:
1 - Determinação do Tensor de Inércia do corpo 
rígido em função da geometria de sua massa. 
A sua representação é melhor no sistema móvel, pois 
neste caso este tensor é invariante. 
2 - Definir em torno de qual ponto iremos obter este 
Tensor.
3 - Cálculo do vetor Momento Linear (P = m.v)
em uma base móvel, função da massa e velocidade
linear absoluta do centro de massa (C.M), calculada 
na parte cinemática do problema.
9 Elementos 
de Iij
formam 
um Tensor
TENSOR DE INÉRCIA 
Generalização do Momento de Inércia de um corpo.
Momento de Inércia  Rotação em relação à um 
único eixo.
Tensor de Inércia  Rotação em relação à eixos 
arbitrários.
Tensor de Inércia de um corpo rígido em relação à 
um sistema {A} é dado por:
Produtos de Massa de Inércia
dv - Diferencial de volume;
 - Densidade volumétrica de massa.
Cada volume incremental dv está localizado no corpo 
por AP = [x y z]
T.
Elementos Ixx, Iyy e Izz são o m.r² ao eixo respectivo. 
Por isto são chamados de Momentos de Massa de 
Inércia. 
Elementos Ixy, Ixz e Iyz são chamados de
Produtos de Massa de Inércia.
6 elementos dependem da posição e orientação do 
sistema no qual eles estão representados. 
Se for escolhido um sistema tal que Ixy= Ixz = Iyz = 0;
Os eixos são chamados Eixos Principais
Os elementos Ixx, Iyy e Izz são chamados de 
Momentos Principais de Inércia.
4 - Construção de um diagrama de corpolivre (DCL) 
c/ todas as reações externas e internas do corpo.
5 - Aplicação das equações de Newton p/ realizar o 
balanço de forças. 
Estas equações podem ser descritas ou em base 
móvel ou em base inercial.
6 - Aplicação das equações de Euler p/ realizar o 
balanço de momentos. 
Estas equações devem ser descritas na base móvel, 
assim o tensor de inércia é invariante.
7 – Obter as equações diferenciais não-lineares do 
movimento e as reações dinâmica usando as 
equações de Newton-Euler.
c) PARTE DE ANÁLISE: 
Obtidas as equações do movimento, é necessário 
definir o que será feito com elas:
1ª Alternativa: Efetuar uma linearização em torno de 
pontos de equilíbrio e obter a equação do movimento 
linear, a qual é função das matrizes de massa 
(inércia), rigidez e amortecimento do sistema. 
Com este modelo linear pode-se verificar a resposta
do sistema quando este sofre pequenas perturbações 
e portanto tem pequenas oscilações. 
Estudar estabilidade, análise modal, etc.
Este tipo de análise é estudado em detalhes no 
Curso de Vibrações.
2ª Alternativa: Resolver as equações do 
movimento com métodos numéricos, como por 
exemplo, aproximação em série de Taylor, 
Runge-Kutta, método de Newmark, etc.
Interessante analisar as trajetórias, órbitas, 
evolução temporal dos movimentos do corpo 
rígido, variando condições de cargas aplicadas, 
condições iniciais, geometria, etc. 
Animações para visualização do movimento 
permitem grandes descobertas e ajuda o 
analista na tomada de decisões.
2 - CINEMÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS
Corpo Rígido - Conjunto de partículas cujas
distâncias permanecem fixas.
Este sistema especial conserva sua forma
durante o movimento.
Se este sistema (corpo rígido) girar ao redor de
um eixo, então todas as suas partículas
percorrerão círculos c/ velocidades angulares
(ω) idênticas.
2 - CINEMÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS
Um corpo rígido é definido como um caso particular 
e especial de sistemas de partículas mi, que no caso 
são infinitesimais dm.
A distância entre as partículas infinitesimais que 
definem um corpo rígido permanece constante.
Assim, o vetor posição rij entre as partículas mi e mj
permanece constante e não há velocidade relativa 
entre as massas mi e mj.
Isto traz algumas consequências na equação de 
velocidade linear absoluta de um ponto B em um 
corpo rígido, no caso uma viga AB, representada no 
sistema inercial I, fig. (1):
Figura 1: 
Movimento 
do Ponto B
em um 
Corpo Rígido
v = R.ω
Sendo:
IVA - Velocidade da origem de um sistema móvel B1
solidário ao movimento do corpo rígido;
Iω - Rotação do sistema móvel representada no 
sistema inercial;
IVBA - Velocidade relativa do ponto B em relação ao 
ponto A.
Uma vez que se trata de um corpo rígido o vetor 
posição B1rAB é constante e portanto a velocidade 
relativa é nula. 
Portanto, para um corpo rígido a velocidade é 
calculada como:
O modelo de corpo rígido também traz uma mudança 
na aceleração do ponto B deste corpo rígido, uma 
vez que a aceleração relativa será nula, assim como 
o termo de aceleração de Coriolis. Então:
Estas relações cinemáticas só valem p/ corpo for 
rígido.
Uma situação que pode ocorrer é o sistema ser 
considerado flexível, o que implica que as distâncias 
entre partículas infinitesimais formadoras do corpo 
variam. 
Esta área é conhecida como dinâmica de corpos 
flexíveis e não será abordada neste estudo.
O peso B está ligado a uma polia dupla por um dos 
dois cabos inextensíveis mostrados na figura. 
O movimento da polia controlado pelo cabo C, 
que tem uma aceleração constante de 0,229 m/s²
e uma velocidade inicial de 0,305 m/s, ambas p/ a 
direita.
Determine:
(a)Número de revoluções executadas pela polia 
em 2 s,
(b) Velocidade e a variação da posição do peso B 
depois de 2 s;
(c) Aceleração do ponto D na periferia da polia 
interna, no instante inicial. 
a. Movimento da Polia. 
Uma vez que o cabo é 
inextensível, a 
v ponto D = v ponto C;
atD = aC. 
MOMENTO LINEAR DE UM CORPO RÍGIDO
As equações do movimento de um corpo rígido são 
extraídas em função da taxa de variação do Momento 
Linear Total P de todas as partículas formadoras do 
corpo rígido: dP/dt = P = F , sendo F a força resultante.
P/ descrever a dinâmica do corpo rígido também é 
necessário verificar a taxa de variação do Momento 
Angular total L de todas as partículas formadoras do 
corpo rígido: dL/dt = L = M
M - Torque total atuando no corpo rígido.
O foco desta seção é analisar 
o significado da eq. dP/dt
na descrição da dinâmica 
de um corpo rígido. 
O Momento Linear Total
de um sistema de partículas é:
Com a definição de centro de massa e com algumas 
manipulações observou-se que:
M - Massa total do sistema;
vCM - Vetor Velocidade do centro de massa do 
sistema de partículas. 
Esta equação mostra que o momento linear de um 
sistema de N partículas é equivalente a uma única 
partícula com massa M (soma da massa de cada 
partícula) que se encontra em uma posição rCM que 
pode estar variando com velocidade vCM.
Um corpo rígido é tratado como um corpo
contínuo onde a massa é tratada como
um todo, ou seja, em vez de considerar:
Se assume um elemento diferencial 
de massa dm = ρ.dV, 
sendo ρ a densidade do corpo, 
localizado em um vetor r. Assim a
Massa Total de um corpo rígido é:
O Vetor Posição Centro de 
Massa de um sistema de 
Partículas era calculado por:
Agora será tratado de 
forma contínua:
O vetor posição do centro de massa de um corpo 
rígido pode ser representado em uma base inercial e 
sua taxa de variação fornece a velocidade e 
aceleração do centro de massa. 
A taxa de variação do Momento Linear P do corpo 
rígido, ou seja, aplicação da 2ª Lei de Newton fornece:
s - Número de forças externas atuante no corpo.
Estas forças são obtidas isolando o corpo e 
construindo um Diagrama de Corpo Livre c/ cuidado.
Assumir um corpo rígido implica que as partes infinitesimais 
que o compõe permanecem sempre contidas no volume V. 
Assim M = 0. 
Então:
IaCM - Aceleração do centro de massa do corpo rígido. 
A fórmula acima dará origem à uma equação diferencial do 
movimento, normalmente não-linear, e mais equações de 
reações dinâmicas e pode ser descrita em qualquer base de 
referência, a qual é um dos corações da dinâmica de corpos 
rígidos e mostra que o somatório de forças (F) externas 
atuantes no corpo é igual ao produto da massa total do corpo 
pela aceleração do centro de massa deste corpo:
Assim, na parte cinemática será necessário calcular 
qual o centro de massa rCM do corpo.
Ressaltamos que em um corpo rígido com forças 
sendo aplicadas em pontos diferentes produzem 
Rotação, Torque e Momento Angular, sendo 
necessário mais informações além da somatória das 
forças (F) para descrição correta do movimento e 
das reações dinâmica do corpo rígido. 
Isto é estudado em detalhes em Momento Angular.
A que distância o centro de massa do sistema Terra-
Lua se encontra do centro da Terra? 
(Use os valores das massas da Terra e da Lua e da 
distância entre os dois astros);
Expresse a resposta como uma fração do raio da 
Terra. Escolha a origem no centro da Terra. 
Então a distância rCM do centro de massa do sistema 
Terra-Lua é dada por: 
mL - massa da Lua;
mT - massa da Terra;
rm - separação média 
entre a Terra e Lua. 
(a)
3 - CÁLCULO DA VELOCIDADE DO CENTRO DE 
MASSA DE UM SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS
Podemos obter a velocidade do centro da massa 
também através de uma média ponderada.Seja
as velocidades dos pontos materiais, num dado 
momento, a velocidade do centro da massa, no 
momento considerado, será dada por:
Como o produto representa a quantidade
de movimento do centro de massa.
Caso o sistema for isolado de forças externas, 
teremos:
4 - CÁLCULO DA ACELERAÇÃO DO CENTRO DE 
MASSA DE UM SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS
Podemos obter a aceleração do centro da massa 
também através de uma média ponderada.
Considere como as acelerações dos 
pontos materiais, num dado momento t, a 
aceleração do centro de massa , no momento 
considerado, será dada por:
Como o produto representa a força resultante 
no ponto material (2ª Lei de Newton), temos:
Tal expressão exprime o teorema do centro de 
massa, enunciado da seguinte forma:
“Para obtermos a aceleração do centro de massa 
de um sistema, devemos imaginar toda a massa 
do sistema concentrada no seu centro de massa e 
aí aplicada a resultante das forças externas que 
atuam no sistema.”
Um Gol com uma massa de 2400 kg está viajando por 
uma estrada reta a 80 km/h. Ele é seguido por um 
Ecosport com uma massa de 1600 kg, viajando a 60 
km/h. Qual a velocidade do centro de massa dos dois 
carros?
Sejam mG e vG a massa e a velocidade do Gol e
mE e vE a massa e velocidade do Ecosport. 
Então a velocidade do centro de massa é dado por:
Dois sacos idênticos de açúcar são ligados por uma 
corda de massa desprezível que passa por uma 
roldana sem atrito, de massa desprezível, c/ 50 mm
de diâmetro.
Os dois sacos estão no mesmo nível e cada um 
possui originalmente uma massa de 500 g. 
(a) Determine a posição horizontal do centro de 
massa do sistema. 
(b) Suponha que 20 g de açúcar são transferidos de 
um saco para o outro, mas os sacos são mantidos nas 
posições originais. Determine a nova posição 
horizontal do centro de massa. 
(c) Os dois sacos são liberados. 
Em que direção se move o centro de massa? 
(d) Qual é a sua aceleração?
(a) Escolha o centro do sistema de coordenadas como
sendo o centro da roldana, com o eixo x horizontal
e para a direita e com o eixo y para baixo. 
O centro de massa está a meio caminho entre os sacos, em 
x = 0 e y = L, onde L é a distância vertical desde o centro da
roldana até qualquer um dos sacos.
(b) Suponha 20 g transferidas do saco da esquerda para
o saco da direita. O saco da esquerda tem massa 480 g e está 
em x1 = - 25 mm.
O saco à direita tem massa 520 g e está em x2 = 25mm.
A coordenada x do centro de massa é então: 
A coordenada y ainda é L. O centro de massa está 26 mm 
saco mais leve, ao longo da linha que une os dois corpos.
(c) Quando soltos, o saco mais pesado move-se para 
baixo e o saco mais leve move-se para cima, de modo que
o centro de massa, que deve permanecer mais perto do
saco mais pesado, move-se para baixo.
(d) Como os sacos estão conectados pela corda, que 
passa pela roldana, suas acelerações tem a mesma 
magnitude, mas sentidos opostos. Se a é a aceleração de 
m2, então –a é a aceleração de m1. 
A aceleração do centro de massa é:
Referências
[1] Samuel da Silva1, Centro de Engenharias e Ciências 
Exatas, Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Campus 
de Foz do Iguaçu. Email sam.silva13@gmail.com.
[2] J. B. Neto. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e 
Hamiltoniana. Livraria da Física, 1.o Edition, 2004.
[3] J. L. Meriam. Engineering Mechanics: Dynamics, volume 2. 
John Wiley and Sons, 1986.
[4] I. F. Santos. Dinâmica de Sistemas Mecânicos. Makron 
Books, 2001.
[5] N. A. Lemos. Mecânica Analítica. Livraria da Física, 2.o 
Edition, 2007.
Tomando-se 
o Sistema de 
Referência 
Baricêntrico 
ENERGIA CINÉTICA DE UM 
SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS