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DINÂMICA DO PONTO MATERIAL MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS CONTEÚDO: 1 - Introdução; 2 - Cinemática de Corpos Rígidos; 3 - Cálculo da Velocidade do Centro de Massa de um Sistema de Pontos Materiais; 4 - Cálculo da Aceleração do Centro de Massa de um Sistema de Pontos Materiais. 1 - INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS No estudo da dinâmica de corpo rígido será necessário ter mais informações para descrição correta do movimento do corpo. Estas informações serão provenientes do Momento de Inércia de Massa (distribuição da massa no corpo) e do Momento Angular L. 1 - INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE CORPOS RÍGIDOS Objetivos Apresentar os conceitos básicos envolvidos em cinemática e cinética de corpos rígidos. Modelar um sistema como uma partícula induz erros nas equações do movimento conduzindo à trajetórias, orbitas e reações dinâmicas erradas. Normalmente, isto acontece quando não se pode desprezar as dimensões do corpo e, consequentemente, as forças externas que agem no corpo podem não ser aplicadas sempre nos mesmos pontos, causando torque. Nestas situações irá ocorrer rotação do corpo rígido em relação à algum ponto ou eixo de rotação (que pode estar no corpo ou fora dele). CINEMÁTICA Parte da Mecânica que descreve o movimento, determinando a posição, a velocidade e a aceleração de um corpo em cada instante sem se importar c/ as suas causas e c/ as massas dos corpos que se movimentam. ENERGIA CINÉTICA - Energia que um corpo possui em virtude de ele estar em movimento. Equação da Energia Cinética: Trabalho Resultante = ΔEc E c = 1/2 M x V² A energia cinética de um corpo rígido de massa 50 kg movendo-se com a velocidade de 5 m/s é: Ec = 1/2 x 50kg x (5 m/s)² = 625 J 1 J = 1 N.m 1 J = 1 (kg.m/s²).m 1 J = 1 kg.m²/s² Observando os movimentos dos corpos, podemos concluir que a E c de um corpo rígido será cada vez maior: a) Quanto maior for a sua velocidade. b) Quanto maior for a sua massa. Equação da E c diz que o trabalho de um objeto em movimento é diretamente proporcional ao valor da sua v². Se a velocidade de um objeto duplica, sua E c aumentará em 4 vezes mais: E c = 1/2 x 50 x 10² = 4 x 625 = 2500 J; Se a velocidade de um objeto triplica, sua E c aumentará em 9 vezes mais: E c = 1/2 x 50 x 15² = 9 x 625 = 5625 J. MOVIMENTO PLANO GERAL Há outros tipos de movimento plano, isto é, movimento em que todos os pontos materiais do corpo se deslocam em planos paralelos. Qualquer movimento plano que não seja de rotação ao redor de um eixo fixo nem de translação considera-se como um movimento plano geral. Exemplos de Movimento Plano Geral MOVIMENTO EM TORNO DE UM PONTO FIXO Este é o movimento tridimensional de um corpo rígido com um ponto fixo O. Exemplo típico: movimento de um pião sobre o solo. É importante destacar que na parte cinemática devemos determinar os vetores velocidade angular absoluta dos sistemas móveis e velocidade angular absoluta dos corpos Ѡ. Em alguns problemas pode ocorrer: = Ѡ e ≠ Ѡ Em dinâmica de partículas, estes dois vetores eram iguais, assim nenhuma separação foi feita em se usar e Ѡ. No decorrer dos estudos estes vetores podem ser diferentes, um exemplo é o movimento de um pião. A ENERGIA CINÉTICA de rotação de um sistema de partículas é definida então como: v = R.ω v² = (R. ω)² I = M.R² No caso de um corpo rígido cada partícula infinitesimal terá a mesma Velocidade Angular (ω) (sendo uma constante que pode ser descrita em uma base qualquer), assumindo que a velocidade escalar vi de cada partícula é ω.r e a massa é uma distribuição contínua de partes infinitesimais dm em um Volume V , tem-se: Partícula girando c/ Velocidade Angular ω em torno de um eixo. I - Momento de inércia de massa do corpo rígido em torno do eixo considerado. PROCEDIMENTO GERAL P/ OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO EM CORPOS RÍGIDOS MÉTODO DE NEWTON-EULER Mesmo os problemas de dinâmica de corpos rígidos aparentemente simples, com rotação em torno de apenas um eixo fixo e com simetria, já podem ter um nível de complicação muito elevado. Rotações em torno de vários eixos podem resultar em sistemas extremamente complexos. A definição de um procedimento padrão p/ obtenção das equações diferenciais não-lineares do movimento e das reações dinâmicas auxilia bastante e ajuda a diminuir erros e visualizar melhor as etapas e procedimentos de solução de um problema de modelagem de um corpo rígido. Para tratar um corpo rígido usando conceitos de mecânica clássica pode-se dividir o problema nas seguintes etapas: a) PARTE CINEMÁTICA; b) PARTE CINÉTICA; c) PARTE ANÁLISE. a) PARTE CINEMÁTICA: Estudo do movimento sem se preocupar com quais forças ou momentos causam uma trajetória, órbita, etc. Nesta etapa temos que seguir os passos: 1 - Definição dos sistemas de referência inercial (fixo) e móveis. Cada um dos N componentes móveis do sistema são posicionados solidários aos possíveis movimentos. 2 - Cálculo das matrizes de rotação dos sistemas móveis para o sistema inercial e vice-versa. 3 - Determinação do vetor Velocidade Angular Absoluta () dos sistemas móveis de referência e sua respectiva aceleração. Este vetor é representado de forma mais conveniente em uma base móvel. 4 - Determinação do vetor velocidade angular absoluta do corpo rígido e sua derivada temporal (aceleração angular), preferencialmente em uma base móvel. a CM = dV CM /dt = R(dω/dt) a CM = R . ang Cuidado ao derivar vetores em base móvel p/ não perder informação relacionado c/ a variação da direção. 5 - Cálculo da Velocidade Linear Absoluta e Aceleração Linear Absoluta do Centro de Massa (CM) do corpo rígido com base na geometria do problema. Estes vetores podem ser representados em qualquer base, porém são mais facilmente obtidos em uma base móvel. b) PARTE CINÉTICA: Envolve estudo das causas de um movimento e de sua variação. Em mecânica clássica devemos seguir o procedimento: 1 - Determinação do Tensor de Inércia do corpo rígido em função da geometria de sua massa. A sua representação é melhor no sistema móvel, pois neste caso este tensor é invariante. 2 - Definir em torno de qual ponto iremos obter este Tensor. 3 - Cálculo do vetor Momento Linear (P = m.v) em uma base móvel, função da massa e velocidade linear absoluta do centro de massa (C.M), calculada na parte cinemática do problema. 9 Elementos de Iij formam um Tensor TENSOR DE INÉRCIA Generalização do Momento de Inércia de um corpo. Momento de Inércia Rotação em relação à um único eixo. Tensor de Inércia Rotação em relação à eixos arbitrários. Tensor de Inércia de um corpo rígido em relação à um sistema {A} é dado por: Produtos de Massa de Inércia dv - Diferencial de volume; - Densidade volumétrica de massa. Cada volume incremental dv está localizado no corpo por AP = [x y z] T. Elementos Ixx, Iyy e Izz são o m.r² ao eixo respectivo. Por isto são chamados de Momentos de Massa de Inércia. Elementos Ixy, Ixz e Iyz são chamados de Produtos de Massa de Inércia. 6 elementos dependem da posição e orientação do sistema no qual eles estão representados. Se for escolhido um sistema tal que Ixy= Ixz = Iyz = 0; Os eixos são chamados Eixos Principais Os elementos Ixx, Iyy e Izz são chamados de Momentos Principais de Inércia. 4 - Construção de um diagrama de corpolivre (DCL) c/ todas as reações externas e internas do corpo. 5 - Aplicação das equações de Newton p/ realizar o balanço de forças. Estas equações podem ser descritas ou em base móvel ou em base inercial. 6 - Aplicação das equações de Euler p/ realizar o balanço de momentos. Estas equações devem ser descritas na base móvel, assim o tensor de inércia é invariante. 7 – Obter as equações diferenciais não-lineares do movimento e as reações dinâmica usando as equações de Newton-Euler. c) PARTE DE ANÁLISE: Obtidas as equações do movimento, é necessário definir o que será feito com elas: 1ª Alternativa: Efetuar uma linearização em torno de pontos de equilíbrio e obter a equação do movimento linear, a qual é função das matrizes de massa (inércia), rigidez e amortecimento do sistema. Com este modelo linear pode-se verificar a resposta do sistema quando este sofre pequenas perturbações e portanto tem pequenas oscilações. Estudar estabilidade, análise modal, etc. Este tipo de análise é estudado em detalhes no Curso de Vibrações. 2ª Alternativa: Resolver as equações do movimento com métodos numéricos, como por exemplo, aproximação em série de Taylor, Runge-Kutta, método de Newmark, etc. Interessante analisar as trajetórias, órbitas, evolução temporal dos movimentos do corpo rígido, variando condições de cargas aplicadas, condições iniciais, geometria, etc. Animações para visualização do movimento permitem grandes descobertas e ajuda o analista na tomada de decisões. 2 - CINEMÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS Corpo Rígido - Conjunto de partículas cujas distâncias permanecem fixas. Este sistema especial conserva sua forma durante o movimento. Se este sistema (corpo rígido) girar ao redor de um eixo, então todas as suas partículas percorrerão círculos c/ velocidades angulares (ω) idênticas. 2 - CINEMÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS Um corpo rígido é definido como um caso particular e especial de sistemas de partículas mi, que no caso são infinitesimais dm. A distância entre as partículas infinitesimais que definem um corpo rígido permanece constante. Assim, o vetor posição rij entre as partículas mi e mj permanece constante e não há velocidade relativa entre as massas mi e mj. Isto traz algumas consequências na equação de velocidade linear absoluta de um ponto B em um corpo rígido, no caso uma viga AB, representada no sistema inercial I, fig. (1): Figura 1: Movimento do Ponto B em um Corpo Rígido v = R.ω Sendo: IVA - Velocidade da origem de um sistema móvel B1 solidário ao movimento do corpo rígido; Iω - Rotação do sistema móvel representada no sistema inercial; IVBA - Velocidade relativa do ponto B em relação ao ponto A. Uma vez que se trata de um corpo rígido o vetor posição B1rAB é constante e portanto a velocidade relativa é nula. Portanto, para um corpo rígido a velocidade é calculada como: O modelo de corpo rígido também traz uma mudança na aceleração do ponto B deste corpo rígido, uma vez que a aceleração relativa será nula, assim como o termo de aceleração de Coriolis. Então: Estas relações cinemáticas só valem p/ corpo for rígido. Uma situação que pode ocorrer é o sistema ser considerado flexível, o que implica que as distâncias entre partículas infinitesimais formadoras do corpo variam. Esta área é conhecida como dinâmica de corpos flexíveis e não será abordada neste estudo. O peso B está ligado a uma polia dupla por um dos dois cabos inextensíveis mostrados na figura. O movimento da polia controlado pelo cabo C, que tem uma aceleração constante de 0,229 m/s² e uma velocidade inicial de 0,305 m/s, ambas p/ a direita. Determine: (a)Número de revoluções executadas pela polia em 2 s, (b) Velocidade e a variação da posição do peso B depois de 2 s; (c) Aceleração do ponto D na periferia da polia interna, no instante inicial. a. Movimento da Polia. Uma vez que o cabo é inextensível, a v ponto D = v ponto C; atD = aC. MOMENTO LINEAR DE UM CORPO RÍGIDO As equações do movimento de um corpo rígido são extraídas em função da taxa de variação do Momento Linear Total P de todas as partículas formadoras do corpo rígido: dP/dt = P = F , sendo F a força resultante. P/ descrever a dinâmica do corpo rígido também é necessário verificar a taxa de variação do Momento Angular total L de todas as partículas formadoras do corpo rígido: dL/dt = L = M M - Torque total atuando no corpo rígido. O foco desta seção é analisar o significado da eq. dP/dt na descrição da dinâmica de um corpo rígido. O Momento Linear Total de um sistema de partículas é: Com a definição de centro de massa e com algumas manipulações observou-se que: M - Massa total do sistema; vCM - Vetor Velocidade do centro de massa do sistema de partículas. Esta equação mostra que o momento linear de um sistema de N partículas é equivalente a uma única partícula com massa M (soma da massa de cada partícula) que se encontra em uma posição rCM que pode estar variando com velocidade vCM. Um corpo rígido é tratado como um corpo contínuo onde a massa é tratada como um todo, ou seja, em vez de considerar: Se assume um elemento diferencial de massa dm = ρ.dV, sendo ρ a densidade do corpo, localizado em um vetor r. Assim a Massa Total de um corpo rígido é: O Vetor Posição Centro de Massa de um sistema de Partículas era calculado por: Agora será tratado de forma contínua: O vetor posição do centro de massa de um corpo rígido pode ser representado em uma base inercial e sua taxa de variação fornece a velocidade e aceleração do centro de massa. A taxa de variação do Momento Linear P do corpo rígido, ou seja, aplicação da 2ª Lei de Newton fornece: s - Número de forças externas atuante no corpo. Estas forças são obtidas isolando o corpo e construindo um Diagrama de Corpo Livre c/ cuidado. Assumir um corpo rígido implica que as partes infinitesimais que o compõe permanecem sempre contidas no volume V. Assim M = 0. Então: IaCM - Aceleração do centro de massa do corpo rígido. A fórmula acima dará origem à uma equação diferencial do movimento, normalmente não-linear, e mais equações de reações dinâmicas e pode ser descrita em qualquer base de referência, a qual é um dos corações da dinâmica de corpos rígidos e mostra que o somatório de forças (F) externas atuantes no corpo é igual ao produto da massa total do corpo pela aceleração do centro de massa deste corpo: Assim, na parte cinemática será necessário calcular qual o centro de massa rCM do corpo. Ressaltamos que em um corpo rígido com forças sendo aplicadas em pontos diferentes produzem Rotação, Torque e Momento Angular, sendo necessário mais informações além da somatória das forças (F) para descrição correta do movimento e das reações dinâmica do corpo rígido. Isto é estudado em detalhes em Momento Angular. A que distância o centro de massa do sistema Terra- Lua se encontra do centro da Terra? (Use os valores das massas da Terra e da Lua e da distância entre os dois astros); Expresse a resposta como uma fração do raio da Terra. Escolha a origem no centro da Terra. Então a distância rCM do centro de massa do sistema Terra-Lua é dada por: mL - massa da Lua; mT - massa da Terra; rm - separação média entre a Terra e Lua. (a) 3 - CÁLCULO DA VELOCIDADE DO CENTRO DE MASSA DE UM SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS Podemos obter a velocidade do centro da massa também através de uma média ponderada.Seja as velocidades dos pontos materiais, num dado momento, a velocidade do centro da massa, no momento considerado, será dada por: Como o produto representa a quantidade de movimento do centro de massa. Caso o sistema for isolado de forças externas, teremos: 4 - CÁLCULO DA ACELERAÇÃO DO CENTRO DE MASSA DE UM SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS Podemos obter a aceleração do centro da massa também através de uma média ponderada. Considere como as acelerações dos pontos materiais, num dado momento t, a aceleração do centro de massa , no momento considerado, será dada por: Como o produto representa a força resultante no ponto material (2ª Lei de Newton), temos: Tal expressão exprime o teorema do centro de massa, enunciado da seguinte forma: “Para obtermos a aceleração do centro de massa de um sistema, devemos imaginar toda a massa do sistema concentrada no seu centro de massa e aí aplicada a resultante das forças externas que atuam no sistema.” Um Gol com uma massa de 2400 kg está viajando por uma estrada reta a 80 km/h. Ele é seguido por um Ecosport com uma massa de 1600 kg, viajando a 60 km/h. Qual a velocidade do centro de massa dos dois carros? Sejam mG e vG a massa e a velocidade do Gol e mE e vE a massa e velocidade do Ecosport. Então a velocidade do centro de massa é dado por: Dois sacos idênticos de açúcar são ligados por uma corda de massa desprezível que passa por uma roldana sem atrito, de massa desprezível, c/ 50 mm de diâmetro. Os dois sacos estão no mesmo nível e cada um possui originalmente uma massa de 500 g. (a) Determine a posição horizontal do centro de massa do sistema. (b) Suponha que 20 g de açúcar são transferidos de um saco para o outro, mas os sacos são mantidos nas posições originais. Determine a nova posição horizontal do centro de massa. (c) Os dois sacos são liberados. Em que direção se move o centro de massa? (d) Qual é a sua aceleração? (a) Escolha o centro do sistema de coordenadas como sendo o centro da roldana, com o eixo x horizontal e para a direita e com o eixo y para baixo. O centro de massa está a meio caminho entre os sacos, em x = 0 e y = L, onde L é a distância vertical desde o centro da roldana até qualquer um dos sacos. (b) Suponha 20 g transferidas do saco da esquerda para o saco da direita. O saco da esquerda tem massa 480 g e está em x1 = - 25 mm. O saco à direita tem massa 520 g e está em x2 = 25mm. A coordenada x do centro de massa é então: A coordenada y ainda é L. O centro de massa está 26 mm saco mais leve, ao longo da linha que une os dois corpos. (c) Quando soltos, o saco mais pesado move-se para baixo e o saco mais leve move-se para cima, de modo que o centro de massa, que deve permanecer mais perto do saco mais pesado, move-se para baixo. (d) Como os sacos estão conectados pela corda, que passa pela roldana, suas acelerações tem a mesma magnitude, mas sentidos opostos. Se a é a aceleração de m2, então –a é a aceleração de m1. A aceleração do centro de massa é: Referências [1] Samuel da Silva1, Centro de Engenharias e Ciências Exatas, Universidade Estadual do Oeste do Paraná, Campus de Foz do Iguaçu. Email sam.silva13@gmail.com. [2] J. B. Neto. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana. Livraria da Física, 1.o Edition, 2004. [3] J. L. Meriam. Engineering Mechanics: Dynamics, volume 2. John Wiley and Sons, 1986. [4] I. F. Santos. Dinâmica de Sistemas Mecânicos. Makron Books, 2001. [5] N. A. Lemos. Mecânica Analítica. Livraria da Física, 2.o Edition, 2007. Tomando-se o Sistema de Referência Baricêntrico ENERGIA CINÉTICA DE UM SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS
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