CONCEITOS FUNDAMENTAIS (PUC)

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FÍSICA I PROFESSOR: GIL MARCOS JESS 
 
 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS PARA O ESTUDO DO 
MOVIMENTO: 
Tempo, Intervalo de Tempo, Espaço e Variação de Espaço 
Tempo: ente físico que é associado a uma sucessão de eventos e é considerado como conceito 
primitivo. A origem do tempo é um instante que é fixado por convenção e ao qual é atribuído o 
valor zero. 
t: tempo 
t0: origem do tempo ou instante inicial 
Unidade de tempo no SI: 1 segundo (1 s) 
Outras unidades: 1 minuto (1 min), 1 hora (1 h), 1 ano e outras. 
Intervalo de tempo: é a diferença entre o instante posterior e o instante anterior. 
t: a letra grega delta ( ) indica a diferença entre dois valores da mesma grandeza, neste caso 
valores de tempo. 
 t = tposterior - tanterior 
 Posição ou Espaço: grandeza que define a posição de um ponto material sobre sua trajetória. A 
medida do espaço é realizada a partir da origem dos espaços. A origem do espaço é atribuído o 
valor de referência que pode ser zero ou qualquer outro valor. 
r : posição. 
0r : posição inicial 
 
Deslocamento escalar ou variação do espaço: quando um ponto material, em um intervalo de 
tempo, muda sua posição, relativamente a um referencial, ocorre uma variação de espaço ou um 
deslocamento de espaço. A medida da variação de espaço é portanto a diferença entre a posição 
final e a posição inicial. 
r : variação da posição ou deslocamento escalar. 
 r = r final – r inicial 
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Unidade de medida de comprimento no SI: 1 metro (1 m) 
Outras unidades: 1 centímetro (1 cm), 1 milímetro (1 mm), 1 quilômetro (1 km) e outras. 
 
Obs.: repare que tanto posição quanto deslocamento são grandezas vetoriais, ou seja para 
serem definidas precisam ser representadas através de seu módulo direção e sentido. 
 
Movimento, Trajetória e Referencial 
 
Movimento: um ponto material está em movimento em relação a um dado referencial quando sua 
posição varia no decorrer do tempo. 
 
Trajetória: é o lugar geométrico das posições ocupadas pelo ponto no decorrer do tempo. A 
trajetória pode ser retilínea ou curvilínea, dependendo do referencial considerado. 
 
Referencial: é o sistema adotado como referência para indicar se o ponto está em movimento ou 
em repouso. O referencial utilizado será o de um sistema rigidamente ligado à Terra. 
 
Ex. - Um ponto material está em repouso em relação à Terra, mas para um observador no Sol este 
ponto está em movimento devido ao movimento da Terra ao redor do Sol. 
 
Classificando um movimento: 
 
Movimento Unidimensional: quando um ponto material está se movimentando segundo uma reta, 
ou seja, em uma única direção, o movimento é denominado unidimensional. O movimento retilíneo 
é um exemplo de movimento unidimensional. 
 
Movimento bidimensional: quando um ponto material está se movimentando sobre um plano, ou 
seja, em duas direções, o movimento é denominado bidimensional. Os movimentos, tais como os de 
projéteis e o circular, são exemplos de movimentos bidimensionais. 
Movimento tridimensional: quando um ponto material está se movimentando ao longo do espaço, 
ou seja, em três direções, o movimento é denominado tridimensional. A maior parte dos 
movimentos que conhecemos e observamos em nosso mundo real são tridimensionais. 
Velocidade Média e Instantânea 
Velocidade escalar média: é a variação de espaço que o ponto material realiza em um intervalo de 
tempo. 
Mv : velocidade média 
t
rv M
D
D
= 
onde: 
rD : variação da posição 
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t: intervalo de tempo 
 
Velocidade instantânea: ao trafegar em uma estrada você pode observar no velocímetro do carro 
que a velocidade indicada varia no decorrer do tempo. Esta velocidade que você lê no velocímetro 
em um determinado instante é denominada velocidade instantânea. 
 t
rv
t
M
D
D
=
®D 0
lim 
Unidade de medida de velocidade no SI: 1 m/s 
Outras unidades: 1 km/h, 1 cm/s, 1 km/s e outras 
Relação entre as unidades: 
1 km/h = 1[103 m/(3,6 * 103) s] = (1/3,6) m/s. 
Conclui-se portanto que, para transformar km/h em m/s, basta dividir o valor por 
3,6. 
1 m/s = 3,6 km/h, portanto para transformar m/s para km/h basta multiplicar o valor 
por 3,6. 
 
Aceleração Média e Aceleração Instantânea: 
Aceleração média: é a relação entre uma variação de velocidade ( V) e o intervalo de 
tempo ( t) no qual ocorreu esta variação. 
ma : aceleração média 
Ou seja: 
 
 t
vam
D
D
= 
Aceleração instantânea: é a aceleração calculada em um instante exato de tempo. 
Ou seja: 
t
va
t D
D
=
®D 0
lim 
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Unidade de medida da aceleração no SI: 
unidade de aceleração = unidade de velocidade / unidade de tempo (1 m/s) / 1 s = 1 m/s2 
Outras unidades: 1 (km/h)/s; 1 km/h2; 1 cm/s2 e outras. 
 
Grandezas Escalares 
Grandezas físicas como tempo, por exemplo, 5 segundos, ficam perfeitamente definidas quando são 
especificados o seu módulo (5) e sua unidade de medida (segundo). Estas grandezas físicas que são 
completamente definidas quando são especificados o seu módulo e a sua unidade de medida são 
denominadas grandezas escalares. A temperatura, área, volume, são também grandezas escalares. 
Grandezas Vetoriais 
Quando você está se deslocando de uma posição para outra, basta você dizer que percorreu uma 
distância igual a 5 m? 
Você precisa especificar, além da distância (módulo), a direção e o sentido em que ocorre este 
deslocamento. 
 
Observe que o deslocamento não fica perfeitamente definido se for dada apenas a distância 
percorrida (por exemplo, 5,0 cm); há necessidade de especificar a direção e o sentido do 
deslocamento. Estas grandezas que são completamente definidas quando são especificados o seu 
módulo, direção e sentido, são denominadas grandezas vetoriais. 
Outras grandezas vetoriais: velocidade, aceleração, força. . . 
O VETOR 
Considere o segmento orientado AB na figura abaixo. 
 
Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos: 
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· comprimento (denominado módulo) 
· direção 
· sentido (de A para B) 
Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados equipolentes a AB, ou seja, o 
conjunto infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma 
direção e o mesmo sentido de AB. 
 
Assim, a idéia de vetor nos levaria a uma representação do tipo: 
 
Para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados que o compõe. 
Sendo u um vetor genérico, o representamos pelo símbolo: 
 
O VETOR OPOSTO 
Dado o vetor u , existe o vetor - u , que possui o mesmo módulo e mesma direção do vetor u , 
porém , de sentido oposto. 
O VETOR UNITÁRIO 
Chamaremos de VETOR UNITÁRIO , ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou seja: 
| u | = u = 1. 
O VERSOR DE UM VETOR 
Chamaremos de VERSOR DE UM VETOR, ao vetor unitário que apresenta a mesma direção e o 
mesmo sentido do outro. 
O VETOR NULO 
Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentido indeterminados. 
Notação: 0 
 
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A PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM EIXO 
Veja a figura abaixo, na qual o vetor u forma um ângulo q com o eixo r. 
 
Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo r , de medida algébrica igual a ux = 
u . cosq . Observe que se q = 90º , teremos cosq = 0 e, portanto, a projeção do vetorsegundo o eixo 
r, será nula. 
Grassmann (matemático alemão - 1809/1877) interpretou a situação, como o ponto B obtido do 
ponto A, através de uma translação de vetor u. 
Assim, pode-se escrever: 
B = A + u e, portanto, pode-se escrever também: u = B - A 
Esta interpretação, um vetor visto como uma diferença de dois pontos, permitirá a simplificação na 
resolução de questões. 
UM VETOR NO PLANO COMO UM PAR ORDENADO 
Considere o vetor u, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figura abaixo: 
 
Pela notação de Grassmann, poderemos escrever: 
P = O + u 
u = P - O 
Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas e, por 
conseguinte, 
O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos o ponto P(x, y). 
Substituindo acima, vem: 
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u = P - O = (x, y) - (0, 0) = (x - 0 , y - 0 ) = (x, y). 
Portanto, 
u = (x, y) 
Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do sistema de 
coordenadas cartesianas. 
Neste caso, o módulo do vetor u (aqui representado por u , conforme convenção adotada acima), 
sendo a distância do ponto P à origem O, será dado por: 
 
UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS 
COORDENADOS 
Vimos acima que um VERSOR, é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar um versor a 
cada eixo, ou seja: o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y, conforme figura abaixo: 
 
O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2, ou seja, base do 
plano cartesiano Oxy 
Verifica-se que um vetor u = (x, y) , pode ser escrito univocamente como: 
 
jyixu += 
Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3, poderíamos 
considerar os versores i, j e k , respectivamente dos eixos Ox, Oy e Oz , conforme figura abaixo, e a 
representação do vetor u, no espaço seria: 
kzjyixzyxu ++== ),,( 
Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3 . 
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O módulo do vetor kzjyixu ++= será dado por: 
 
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES 
ADIÇÃO 
Dados dois vetores u e v , define-se o vetor soma u + v , conforme indicado nas figuras abaixo. 
 
 
Regra do triângulo Regra do paralelogramo 
 
 
SUBTRAÇÃO 
Considerando-se a existência do vetor oposto -v , podemos definir a diferença u - v , como sendo 
igual à soma u + ( -v ) . 
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Exemplificando: 
Sejam os vetores : kzjyixu 111 ++= e kzjyixv 222 ++= 
Determinar: vu + e vu - 
 
( ) ( ) ( )kzzjyyixxvu 212121 +++++=+ 
 
( ) ( ) ( )kzzjyyixxvuvu 21211)( -+-+-=-+=- 
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