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Maximos e mínimos

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4 – Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis 
 
4.1 – Ponto de máximo de uma função 
 
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x0, y0) є D(f) é ponto de 
máximo absoluto ou global de f se, para todo 
 
(x, y) є D(f), f(x,y) < f (x0, y0) 
 
Dizemos que f (x0, y0) é o valor máximo de f. 
 
Exemplo: A função f(x,y) = 4 – x2 - y2 tem o ponto (0,0) como um ponto de máximo 
absoluto ou global de f, pois para todo 
 
(x, y) є D(f) 
 
4 – x2 - y2 < f (0,0) 
 
4 – x2 - y2 < 4, para todo (x, y) є R2. 
 
O valor máximo de f(x,y) = 4 – x2 - y2 é 
 
 f (0,0) = 4. 
 
 
 
 
4.2 – Ponto de mínimo de uma função 
 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que (x0, y0) є D(f) é 
ponto de mínimo absoluto ou global de f se, para todo 
 
(x, y) є D(f), f(x,y) > f (x0, y0) 
 
Dizemos que f (x0, y0) é o valor mínimo de f. 
 
Exemplo: A função f(x,y) = 1 + x2 + y2 tem o 
ponto (0,0) como um ponto de mínimo absoluto ou 
global de f, pois para todo 
 
(x, y) є D(f) 
 
1 + x2 + y2 > f (0,0) 
 
1 + x2 + y2 > 1, para todo (x, y) є R2. 
 
O valor mínimo de f(x,y) = 1 + x2 + y2 é 
 
 f (0,0) = 1. 
 
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É usual denominar os pontos de máximo e de mínimo de uma função de pontos 
extremantes (locais ou globais). 
 
 
 
4.3 – Ponto crítico de uma função de duas variáveis 
 
 Seja z = f(x,y) definida num conjunto aberto U є R2. Um ponto (x0, y0) є U é um ponto 
crítico de f se as derivadas ),( 00 yx
x
f
∂
∂
 e ),( 00 yxy
f
∂
∂
 são iguais a zero ou se f não é 
diferenciável em (x0, y0) є U. 
 Geometricamente podemos pensar nos pontos críticos de uma função z = f(x,y) como 
os pontos em que o seu gráfico não tem plano tangente ou o plano tangente é horizontal. 
Os pontos extremantes (máximo e mínimo) de z = f(x,y) estão entre seus pontos 
críticos. No entanto um ponto crítico nem sempre é um ponto extremante. 
 
Um ponto crítico que não é um ponto extremante é um ponto de sela. 
 
 
 
4.4 – Proposição 
 
 Seja z = f(x,y) uma função cujas derivadas parciais de 1a e 2a ordem são contínuas 
num conjunto aberto que contém (x0, y0) e suponhamos que (x0, y0) seja um ponto crítico de f. 
Seja o determinante: 
 
 
),(),(
),(),(
),(
2
22
2
2
2
yx
y
fyx
yx
f
yx
xy
fyx
x
f
yxH
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
= . 
Temos 
a) Se H(x0, y0) > 0 e ),( 002
2
yx
x
f
∂
∂
> 0, então (x0, y0) é um ponto de mínimo local de f. 
b) Se H(x0, y0) > 0 e ),( 002
2
yx
x
f
∂
∂
< 0, então (x0, y0) é um ponto de máximo local de f. 
c) Se H(x0, y0) < 0, então (x0, y0) não é um ponto extremante local. Nesse caso, (x0, y0) é 
um ponto de sela. 
d) a) Se H(x0, y0) = 0, nada se pode afirmar. 
 
 
 
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Aplicações: A maximização e minimização de funções de várias variáveis é utilizada 
em problemas geométricos, físicos, econômicos, e outros. 
1.Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 4 m3 e com menor área 
de superfície possível? 
2.Sejam (1, 1), (2, 3) e (3, -1) os vértices de um triângulo. Qual é o ponto (x, y) tal que a soma 
dos quadrados de suas distâncias aos vértices é a menor possível? 
3.Encontrar, se existirem os pontos de máximo e mínimo global das funções: 
a) z = 4 – x2 – y2 b) z = x2 + y2 – 5 c) z = x + y + 4 
4. Uma lata de azeite deve ter a forma de um paralelepípedo e um volume de 700 cm3. Quais 
devem ser as dimensões da base de modo a ser mínimo o material utilizado na confecção da 
lata. 
5. Determinar os ponto críticos, classificando-os quando possível: 
a) z = 10 – x2 – y2 b) z = 2x2 + y2 – 5 c) z = 4 - 2x2 - 3y2 
d) z = x2 + y2 – 6x – 2y + 7 
6. Determinar três números positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mínima. 
7. Uma fábrica de embalagens precisa fabricar caixas retangulares de 64 cm3 de volume. Se o 
material da parte lateral custa a metade do material a ser usado para a tampa epara o fundo da 
caixa, determinar as dimensões da caixa que minimizam o custo. 
8. Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270 m3 de 
combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas 
as partes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as 
dimensões do tanque. 
 
Respostas: 1) 2, 2, 1 2) (2, 1) 3) a) (0, 0) máx b) (0, 0) mín c)não existem 
5) a) (0, 0) máx b) (0, 0) min c) (0, 0) máx d) (3, 1) mín 
6) 3 100 , 3 100 , 3 100 7) 3 32 , 3 32 , 3 32 8) 3 103 , 3 103 , 3 103