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Calculo-Diferencial e integral 2(Max e MiN)

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e pontos de inflexão 
 
Definição 6.5. Seja :f I →\ uma função contínua no intervalo I e derivável em Ix ∈0 . 
Diz-se que o gráfico da )(xf tem concavidade positiva (negativa) em 0x quando existe uma 
vizinhança V deste ponto, isto é, um intervalo aberto contido no intervalo I e que contém 
0x , tal que para todo Vx∈ o gráfico da função está acima (abaixo) da reta tangente ao ponto 
da curva com abcissa 0x . 
 
Um critério para se determinar a concavidade de uma função é dado pelo seguinte 
teorema: 
 7
 
Teorema 6.2. Seja f uma função derivável até segunda ordem no intervalo I e suponha que 
em Ix ∈0 , 0( ) 0f x′′ ≠ . Nesse caso, 
)(i se 0( ) 0f x′′ > , o gráfico da f tem concavidade positiva em 0x ; e 
)(ii se 0( ) 0f x′′ < , o gráfico da f tem concavidade negativa em 0x . 
 
Definição 6.6. Um ponto do domínio de uma função f , no qual f é contínua, é chamado 
de ponto de inflexão quando neste ponto a função muda de concavidade. 
 
Exemplo 6.9. Analisar a concavidade das funções 
a) 2( ) 3 2 1f x x x= − + , x∈\ ; 
b) 3( ) 3 6f x x x= − + , x∈\ . 
 
Resolução. a) Temos que ( ) 6 2f x x′ = − e ( ) 6 0f x′′ = > , x∀ . A função tem 
concavidade para cima em todo o seu domínio. 
 
b) 2( ) 3 3f x x′ = − e ( ) 6 0f x x′′ = > quando 0x > e ( ) 0f x′′ < quando 0x < . 
Portanto, a função é côncava para cima em (0, )∞ e côncava para baixo em ( , 0)−∞ . 
A função muda de concavidade em 0x = , então este é um ponto de inflexão. 
 
Teorema 6.3. Seja f uma função derivável até segunda ordem num intervalo I e suponha 
que Ix ∈0 é a abcissa de um ponto de inflexão do gráfico da f. Então, 0( ) 0f x′′ = . 
 
Observação: O teorema acima dá uma condição necessária porém não suficiente para que 0x 
seja um ponto de inflexão da f . Não basta que 0( ) 0f x′′ = em algum 0x para que em 0x 
ocorra um ponto de inflexão. Exemplo disso é o seguinte. 
 
Exemplo 6.10. A função 4( )f x x= , [ 1, 1]x∈ − , cujo gráfico é mostrado abaixo, tem 
3(´ ) 4f x x= e 2´´ ( ) 12f x x= . Em 0x = , (0) 0f ′′ = , ( ) 0f x′′ ≥ , para todo x. 
 
x
O
y= x
4
y
 
Figura 6.4 
 
O gráfico tem concavidade sempre para cima. Portanto, apesar de termos (0) 0f ′′ = a 
função não tem ponto de inflexão. 
 
 8
Exemplo 6.11. A função 
1
3( )f x x= , x∈\ , tem derivadas primeira e segunda 
2
31( )
3
f x x
−′ = 
e 
5
32( )
9
f x x
−′′ = − , ambas definidas para todo 0x ≠ . A função f está definida em 0x = e 
(0) 0f = mas não f ′ e f ′′ . Para sabermos se em 0x = há um ponto de inflexão, note que 
( ) 0f x′ > para 0x < e ( ) 0f x′′ < em 0x > ; logo, f é côncava para cima em ( ), 0−∞ e é 
côncava para baixo quando ( )0, ∞ . Em 0x = o gráfico da f tem um ponto de inflexão. 
 
ƒ Exercícios propostos 
 
1) Seja 3 2( ) 5 5f x x x x= + − − . 
a) Determine os pontos críticos de f . 
b) Determine os intervalos onde f é crescente e decrescente. 
 
2 Seja 3 21 1( ) 6 8
3 2
f x x x x= + − + , determine: 
a) os pontos críticos, 
b) os intervalos onde f é crescente e decrescente, 
c) os valores máximos e mínimos de f . 
 
 
ƒ Respostas 
 
1) a) 51 e 
3
− . 
b) f é crescente no intervalo 5
3
x < − ; 
f é decrescente no intervalo 5 1
3
x− < < ; 
f é crescente no intervalo 1x > . 
 
2) a) 2 e 3− . 
b) f é crescente no intervalo 3x < − ; 
f é decrescente no intervalo 3 2x− < < ; 
f é crescente no intervalo 2x > . 
c) em 3x = − , f tem ponto de máximo e em 2x = , f tem ponto de 
mínimo.