Calculo-Diferencial e integral 2(Max e MiN)

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Aplicações do estudo das derivadas 
 
 
ƒ Máximos e mínimos de uma função 
 
 
Definição 6.1. Dada a função :f I →\ , um ponto Ix ∈0 é chamado de 
)(i ponto de máximo global (relativo) da função quando 0( ) ( )f x f x≥ para todo x I∈ ; 
)(ii ponto de mínimo global (relativo) da função quando 0( ) ( )f x f x≤ para todo x I∈ . 
 
O valor 0( )f x é chamado de máximo ou mínimo relativo (ou local) de f e 
( )0 0, ( )x f x são as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo relativo (ou local) de 
f . 
 
Os máximos e mínimos de uma função são também chamados de extremos relativos. 
 
Definição 6.2. Dada a função ( )f x , um ponto 0x onde f é derivável em 0x e 0'( ) 0f x = 
ou f não é derivável em 0x é chamado de ponto crítico da função f . 
 
Exemplo 6.1. Seja a função 3 2( ) 3f x x x= − , x∈\ . Determinar os pontos críticos de f . 
 
Resolução: Sabemos que 3 2( ) 3f x x x= − é uma função polinomial derivável em todo 
x∈\ . 
 
Calculando '( )f x temos ( )2'( ) 3 6 3 2f x x x x x= − = − 
 
Agora '( ) 0f x = implica em 23 6 0x x− = , ou seja, 0x = e 2x = são os pontos críticos 
da função 3 2( ) 3f x x x= − . 
Exemplo 6.2. Determinar o ponto crítico da função 
2
3( ) ( 1)f x x= − , x∈\ . 
 
Resolução: Calculando '( )f x , temos 
 
( ) ( ) ( )
2 11
3 3
1
3
2 2 2 1'( ) 1 1
3 3 3 1
f x x x
x
− −= − = − = ⋅
−
, 
ou, 
 2
( )13
2 1'( )
3 1
f x
x
= ⋅
−
. 
 
A função dada não derivável em 1x = , isto é, não existe '(1)f . Nesse caso, 1x = é o 
único ponto crítico de f . 
 
Exemplo 6.3. Calcular os pontos críticos da função 3 2( ) 1f x x x x= + − + no intervalo 
1
2[ 2, ]− . 
 
Resolução: Inicialmente temos se 3 2( ) 1f x x x x= + − + então 2'( ) 3 2 1f x x x= + − . 
 
Fazendo (´ ) 0f x = , vem 23 2 1 0x x+ − = . 
Resolvendo a equação pela fórmula de Bháskara encontramos as raízes 1x = − e 
1
3
x = . 
Portanto, 1x = − e 1
3
x = são os pontos críticos de 3 2( ) 1f x x x x= + − + em 12[ 2, ]− . 
 
Definição 6.3. Seja f uma função derivável em 0x . Se f tem um máximo ou mínimo 
relativo (ou local) em 0x , então 0(´ ) 0f x = . 
 
Por exemplo, a função 2( )f x x= , para ( 1, 1)x∈ − , tem derivada '( ) 2f x x= . Em 0x = , 
a função tem um mínimo relativo e '(0) 0f = . 
 
Definição: Dizemos que a função :f I →\ , f é crescente no intervalo I quando dados 
Ixx ∈21 , , quaisquer, com 1 2x x< , tem-se 1 2( ) ( )f x f x< e f é decrescente no intervalo I 
quando dados 1 2, x x I∈ , quaisquer, com 1 2x x< , tem-se 1 2( ) ( )f x f x> . 
 
O teorema a seguir estabelece um critério para determinar onde uma função f é 
crescente ou decrescente. 
 
Teorema 6.1. Seja ( )f x uma função derivável no intervalo ( , )a b , então 
(a) Se '( ) 0f x = em ( , )a b , então )(xf é constante em ( , )a b ; 
(b) Se '( ) 0f x > em ( , )a b , então )(xf é crescente em ( , )a b ; 
(c) Se '( ) 0f x < em ( , )a b , então )(xf é decrescente em ( , )a b . 
 
Exemplo 6.4. Seja 2( )f x x= . Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente. 
 
Resolução: Temos 2( )f x x= e '( ) 2f x x= . 
 
 3
Agora, '( ) 2 0f x x= ≤ se e somente se 0x ≤ então ( ) 0f x′ ≤ , logo, f é decrescente em 
( ,0]−∞ e '( ) 2 0f x x= ≥ se e somente se 0x ≥ então ( ) 0f x′ ≥ , logo, f é crescente em 
( ,0]−∞ . 
Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim: 
 
x ( )f x Conclusão 
0x < − ( )f x decrescente em 
( ,0]−∞ 
0x > + ( )f x crescente em [0, )−∞ 
Veja a figura abaixo: 
 
 
Figura 6.1 
 
Exemplo 6.5. Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente onde 3( )f x x= . 
 
Resolução: De 3( )f x x= temos 2( ) 3f x x′ = . Agora, 23 0x ≥ então ( ) 0f x′ ≥ , para todo 
x∈\ e f é crescente em \ . 
 
Exemplo 6.6. Seja 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + definida para todo x real. Determinar os 
intervalos onde f é crescente e decrescente. 
 
Resolução: Temos 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + então 2( ) 3 12 9f x x x′ = − + . Agora, fazendo 
( ) 0f x′ = , vem 23 12 9 0x x− + = . Resolvendo esta equação pela regra de Bhaskara, 
temos as raízes 3x = e 1x = . Logo, ( ) 3( 1)( 3)f x x x′ = − − . 
 
Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim, 
 
 
 
 
 4
x ( )f x′ Conclusão 
1 0 ponto crítico de f 
1x < + f é crescente 
1 3x< < − f é decrescente 
3x = 0 ponto crítico de f 
3x > + f é crescente 
 
Portanto, ( )f x é crescente em ( ,1]−∞ e [3,∞ ) e decrescente em [1,3] . Também 3x = e 
1x = são extremos da função (pontos críticos). 
 
 
ƒ Teste da segunda derivada para extremos relativos 
 
Este teste é empregado para pesquisar o(s) ponto(s) de máximo(s) e mínimo(s) 
relativo de uma dada função e para isto temos a seguinte definição. 
 
Definição 6.4. Seja 0x um ponto crítico de uma função na qual 0( ) 0f x′ = e f ′ existe para 
todos os valores de x em algum intervalo aberto que contenha o ponto 0x . Então 0( )f x′′ 
existe e 
(i) se 0''( ) 0f x < então f tem um valor máximo relativo em 0x ; 
(ii) se 0''( ) 0f x > então f tem um valor mínimo relativo em 0x . 
 
Exemplo 6.7. Pesquisar máximos e mínimos relativos da função 4 3 24( ) 4
3
f x x x x= + − pelo 
critério ou teste da segunda derivada. 
 
Resolução: Temos 4 3 24( ) 4
3
f x x x x= + − então 3 2( ) 4 4 8f x x x x′ = + − . 
 
Agora, ( ) 0f x′ = vem 3 24 4 8 0x x x+ − = . Fatorando a expressão 3 24 4 8 0x x x+ − = vem 
 
24 ( 2) 4 ( 2)( 1) 0x x x x x x+ − = + − = . 
 
A partir desta fatoração fica claro que '( )f x será igual a zero se, e somente, 
 
0x = , 2x = − e 1x = . 
 
Logo, 0x = , 2x = − e 1x = são pontos críticos da função f . 
 
Vamos analisar agora, os pontos críticos obtidos separadamente. Calculando ''( )f x 
temos 
2( ) 12 8 8f x x x′′ = + − . 
 
 5
Analisando para 0x = , vem 2(0) 12 0 8 0 8 8 0f ′′ = ⋅ + ⋅ − = − < , assim 0x = é um ponto de 
máximo relativo da função f e seu valor no ponto 0x = é 
 
4 3 24(0) 0 0 4 0 0
3
f = + ⋅ − ⋅ = ou (0) 0f = . 
 
Analisando para 1x = , vem 2(1) 12 1 8 1 8 12 0f ′′ = ⋅ + ⋅ − = > , assim 1x = é um ponto de 
mínimo relativo da função f e seu valor no ponto é 
4 3 24 4 8(1) 1 1 4 1 1 4
3 3 3
f = + ⋅ − ⋅ = + − = − ou 8(1)
3
f = − . 
 
Finalmente analisando para 2x = − , vem 
 
2( 2) 12 ( 2) 8 ( 2) 8f ′′ − = ⋅ − + ⋅ − − 12 4 16 8 24 0= ⋅ − − = > . 
 
Assim 2x = − é um ponto de mínimo relativo da função f e seu valor no ponto é 
4 3 24 4 32( 2) ( 2) ( 2) 4 ( 2) 16 ( 8) 4 4
3 3 3
f − = − + ⋅ − − ⋅ − = + ⋅ − − ⋅ = − , 
ou seja, 
32( 2)
3
f − = − . 
 
Portanto, 0x = é um ponto de máximo relativo da função f , 1x = é um ponto de 
mínimo relativo da função f e 2x = − é um ponto de mínimo relativo da função f . 
Veja a figura abaixo 
 
 
 
Figura 6.2 
 
Exemplo 6.8. Encontrar os extremos relativos da função 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + usando o 
critério da segunda derivada. 
 
Resolução: Temos, 3 2( ) 6 9 1f x x x x= − + + então 2( ) 3 12 9f x x x′ = − + e ( ) 6 12f x x′′ = − . 
 
 6
Agora, para calcular os pontos críticos de f é só igualar '( )f x a zero, ou seja, 
( ) 0f x′ = , isto é, 23 12 9 0x x− + = fatorando vem 3( 3)( 1) 0x x− − = . 
 
A partir desta fatoração fica claro que '( )f x será zero se, e somente 1x = e 3x = . 
 
Logo, 1x = e 3x = são pontos críticos de f . 
 
Vamos determinar agora os extremos relativos de f . 
 
Para 1x = , temos (1) 6 1 12 6 0f ′′ = ⋅ − = − < , logo 1x = é um ponto de máximo relativo 
da função f . 
 
Para 3x = , temos (3) 6 3 12 6 0f ′′ = ⋅ − = > , logo 3x = é um ponto de mínimo relativo 
da função f . 
 
Portanto, 0x = é um ponto de máximo relativo da função f e 3x = é um ponto de 
mínimo relativo da função f . 
 
Veja a figura abaixo: 
 
 
 
 Figura 6.3 
 
ƒ Concavidadee pontos de inflexão 
 
Definição 6.5. Seja :f I →\ uma função contínua no intervalo I e derivável em Ix ∈0 . 
Diz-se que o gráfico da )(xf tem concavidade positiva (negativa) em 0x quando existe uma 
vizinhança V deste ponto, isto é, um intervalo aberto contido no intervalo I e que contém 
0x , tal que para todo Vx∈ o gráfico da função está acima (abaixo) da reta tangente ao ponto 
da curva com abcissa 0x . 
 
Um critério para se determinar a concavidade de uma função é dado pelo seguinte 
teorema: 
 7
 
Teorema 6.2. Seja f uma função derivável até segunda ordem no intervalo I e suponha que 
em Ix ∈0 , 0( ) 0f x′′ ≠ . Nesse caso, 
)(i se 0( ) 0f x′′ > , o gráfico da f tem concavidade positiva em 0x ; e 
)(ii se 0( ) 0f x′′ < , o gráfico da f tem concavidade negativa em 0x . 
 
Definição 6.6. Um ponto do domínio de uma função f , no qual f é contínua, é chamado 
de ponto de inflexão quando neste ponto a função muda de concavidade. 
 
Exemplo 6.9. Analisar a concavidade das funções 
a) 2( ) 3 2 1f x x x= − + , x∈\ ; 
b) 3( ) 3 6f x x x= − + , x∈\ . 
 
Resolução. a) Temos que ( ) 6 2f x x′ = − e ( ) 6 0f x′′ = > , x∀ . A função tem 
concavidade para cima em todo o seu domínio. 
 
b) 2( ) 3 3f x x′ = − e ( ) 6 0f x x′′ = > quando 0x > e ( ) 0f x′′ < quando 0x < . 
Portanto, a função é côncava para cima em (0, )∞ e côncava para baixo em ( , 0)−∞ . 
A função muda de concavidade em 0x = , então este é um ponto de inflexão. 
 
Teorema 6.3. Seja f uma função derivável até segunda ordem num intervalo I e suponha 
que Ix ∈0 é a abcissa de um ponto de inflexão do gráfico da f. Então, 0( ) 0f x′′ = . 
 
Observação: O teorema acima dá uma condição necessária porém não suficiente para que 0x 
seja um ponto de inflexão da f . Não basta que 0( ) 0f x′′ = em algum 0x para que em 0x 
ocorra um ponto de inflexão. Exemplo disso é o seguinte. 
 
Exemplo 6.10. A função 4( )f x x= , [ 1, 1]x∈ − , cujo gráfico é mostrado abaixo, tem 
3(´ ) 4f x x= e 2´´ ( ) 12f x x= . Em 0x = , (0) 0f ′′ = , ( ) 0f x′′ ≥ , para todo x. 
 
x
O
y= x
4
y
 
Figura 6.4 
 
O gráfico tem concavidade sempre para cima. Portanto, apesar de termos (0) 0f ′′ = a 
função não tem ponto de inflexão. 
 
 8
Exemplo 6.11. A função 
1
3( )f x x= , x∈\ , tem derivadas primeira e segunda 
2
31( )
3
f x x
−′ = 
e 
5
32( )
9
f x x
−′′ = − , ambas definidas para todo 0x ≠ . A função f está definida em 0x = e 
(0) 0f = mas não f ′ e f ′′ . Para sabermos se em 0x = há um ponto de inflexão, note que 
( ) 0f x′ > para 0x < e ( ) 0f x′′ < em 0x > ; logo, f é côncava para cima em ( ), 0−∞ e é 
côncava para baixo quando ( )0, ∞ . Em 0x = o gráfico da f tem um ponto de inflexão. 
 
ƒ Exercícios propostos 
 
1) Seja 3 2( ) 5 5f x x x x= + − − . 
a) Determine os pontos críticos de f . 
b) Determine os intervalos onde f é crescente e decrescente. 
 
2 Seja 3 21 1( ) 6 8
3 2
f x x x x= + − + , determine: 
a) os pontos críticos, 
b) os intervalos onde f é crescente e decrescente, 
c) os valores máximos e mínimos de f . 
 
 
ƒ Respostas 
 
1) a) 51 e 
3
− . 
b) f é crescente no intervalo 5
3
x < − ; 
f é decrescente no intervalo 5 1
3
x− < < ; 
f é crescente no intervalo 1x > . 
 
2) a) 2 e 3− . 
b) f é crescente no intervalo 3x < − ; 
f é decrescente no intervalo 3 2x− < < ; 
f é crescente no intervalo 2x > . 
c) em 3x = − , f tem ponto de máximo e em 2x = , f tem ponto de 
mínimo.