RESUMO - Centro de Massa e Momento Linear

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Centro de Massa e Momento Linear
Centro de Massa e Momento Linear
Prof. Fa´bio Nakagomi
UDF - Centro Universita´rio
1 de abril de 2013
Prof. Fa´bio Nakagomi Centro de Massa e Momento Linear
Centro de Massa e Momento Linear
Suma´rio
1 Centro de Massa
2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas
3 Momento Linear
4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas
5 Colisa˜o e Impulso
6 Conservac¸a˜o do Momento Linear
7 Sistema de Massa Varia´vel
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Centro de Massa e Momento Linear
Centro de Massa
Suma´rio
1 Centro de Massa
2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas
3 Momento Linear
4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas
5 Colisa˜o e Impulso
6 Conservac¸a˜o do Momento Linear
7 Sistema de Massa Varia´vel
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Centro de Massa e Momento Linear
Centro de Massa
Introduc¸a˜o
Definic¸a˜o
O Centro de Massa de um sistema de part´ıculas e´ o ponto que se
move como se:
1 Toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto.
2 Todas as forc¸as externas estivessem aplicadas nesse ponto.
3 Centro de Massa = Centro de Gravidade.
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Centro de Massa e Momento Linear
Centro de Massa
Se as part´ıculas esta˜o distribu´ıdas em treˆs dimenso˜es, a posic¸a˜o do
Centro de Massa deve ser especificada por treˆs pontos:
Coordenadas do Centro de Massa
XCentro de Massa =
1
M
n∑
i=1
mixi
YCentro de Massa =
1
M
n∑
i=1
miyi
ZCentro de Massa =
1
M
n∑
i=1
mizi
(1.1)
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Centro de Massa
O vetor posic¸a˜o do Centro de Massa:
~rCM = XCM~i + YCM~j + ZCM~k (1.2)
Podemos utilizar uma u´nica equac¸a˜o vetorial:
~rCM =
1
M
n∑
i=1
mi~ri (1.3)
Sendo o vetor posic¸a˜o de cada massa i e´ dado por ~ri
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Centro de Massa
Para uma distribuic¸a˜o cont´ınua de massa:
Coordenadas do Centro de Massa
XCentro de Massa =
1
M
∫
xdm
YCentro de Massa =
1
M
∫
ydm
ZCentro de Massa =
1
M
∫
zdm
(1.4)
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Centro de Massa
Se considerarmos apenas objetos uniformes, temos que:
Massa Espec´ıfica
ρ =
dm
dV
=
M
V
(1.5)
Coordenadas do Centro de Massa
XCentro de Massa =
1
V
∫
xdV
YCentro de Massa =
1
V
∫
ydV
ZCentro de Massa =
1
V
∫
zdV
(1.6)
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Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas
Suma´rio
1 Centro de Massa
2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas
3 Momento Linear
4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas
5 Colisa˜o e Impulso
6 Conservac¸a˜o do Momento Linear
7 Sistema de Massa Varia´vel
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Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas
O movimento do Centro de Massa de qualquer sistema de
part´ıculas e´ expresso pela equac¸a˜o:
Segunda Lei de Newton
~Fres = M~acm (2.1)
~Fres - Forc¸a resultante de todas as forc¸as externas que
agem sobre o sistema.
M - Massa total do sistema.
~acm - Acelerac¸a˜o do Centro de Massa do sistema.
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Momento Linear
Suma´rio
1 Centro de Massa
2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas
3 Momento Linear
4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas
5 Colisa˜o e Impulso
6 Conservac¸a˜o do Momento Linear
7 Sistema de Massa Varia´vel
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Centro de Massa e Momento Linear
Momento Linear
O Momento Linear de uma part´ıcula e´ uma grandeza vetorial ~p
definida como:
Momento Linear
~p = m~v (3.1)
~p - Momento linear da part´ıcula.
m - Massa da part´ıcula.
~v - Velocidade da part´ıcula.
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Momento Linear
Segunda Lei de Newton
Newton expressou originalmente a sua Segunda Lei em termos de
momento:
Segunda Lei
A taxa de variac¸a˜o com o tempo do momento de uma part´ıcula e´
igual a` forc¸a resultante que atua sobre a part´ıcula e tem a mesma
orientac¸a˜o que essa forc¸a.
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Momento Linear
Em forma de equac¸a˜o, isso significa o seguinte:
Segunda Lei
~Fres =
d~p
dt
(3.2)
Demonstrac¸a˜o:
~Fres =
d~p
dt
=
d
dt
(m~v) = m
d~v
dt
= m~a (3.3)
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Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas
Suma´rio
1 Centro de Massa
2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas
3 Momento Linear
4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas
5 Colisa˜o e Impulso
6 Conservac¸a˜o do Momento Linear
7 Sistema de Massa Varia´vel
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Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas
Vamos estender a definic¸a˜o de momento linear para um sitema de
part´ıculas.
Considere um sistema de n part´ıculas, cada um com sua
pro´pria massa, velocidade e momento linear.
O sistema como um todo tem um momento linear total ~P,
que e´ definido como a soma vetorial dos momentos
lineares de todas as part´ıculas.
~P = ~p1 + ~p2 + · · · + ~pn
= m1~v1 + m2~v2 + · · · + mn~vn
= M~vC.M.
(4.1)
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Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas
Momento Linear para um sistema de part´ıculas
O momento linear de um sistema de part´ıculas e´ igual ao produto
da massa total do sistema pela velocidade do centro de massa.
A Segunda Lei para um sistema de part´ıculas:
~Fres =
d~P
dt
(4.2)
Onde ~Fres e´ a forc¸a externa resultante que age sobre o sistema.
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Colisa˜o e Impulso
Suma´rio
1 Centro de Massa
2 Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas
3 Momento Linear
4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas
5 Colisa˜o e Impulso
6 Conservac¸a˜o do Momento Linear
7 Sistema de Massa Varia´vel
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Centro de Massa e Momento Linear
Colisa˜o e Impulso
Colisa˜o
O momento ~p de qualquer corpo que se comporta como uma
part´ıcula na˜o pode variar, a menos que uma forc¸a externa atue
sobre o corpo.
Colisa˜o
Em uma colisa˜o, a forc¸a exercida sobre o corpo e´ de curta
durac¸a˜o, tem um mo´dulo elevado e muda bruscamente o momento
do corpo.
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Colisa˜o e Impulso
Temos que a Segunda Lei:
~F (t) =
d~p
dt
d~p = ~F (t)dt
(5.1)
Podemos determinar a variac¸a˜o total do momento integrando
ambos os membros da equac¸a˜o de um instante ti imediatamente
antes da colisa˜o ate´ um instante tf imediatamente apo´s a colisa˜o:
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Colisa˜o e Impulso
∫ tf
ti
d~p =
∫ tf
ti
~F (t)dt
~pf − ~pi =
∫ tf
ti
~F (t)dt
∆~p =
∫ tf
ti
~F (t)dt
(5.2)
O lado direito, que e´ uma medida tanto da intensidade quanto da
durac¸a˜o da forc¸a da colisa˜o, e´ chamadode impulso:
Impulso
~J =
∫ tf
ti
~F (t)dt (5.3)
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Colisa˜o e Impulso
A aplicac¸a˜o da Segunda Lei de Newton a um corpo que se
comporta como uma part´ıcula envolvido em uma colisa˜o leva ao
teorema do impulso e momento linear:
Teorema do Impulso e Momento Linear
~pf − ~pi = ∆~p = ~J (5.4)
Se considerarmos apenas a me´dia de ~F (t) durante a colisa˜o e ∆t
como sendo a durac¸a˜o da colisa˜o, para um movimento
unidimensional temos:
J = Fmed∆t (5.5)
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Colisa˜o e Impulso
Coliso˜es em Se´rie
Quando uma se´rie de proje´teis de
massa m e velocidade v colide
com um corpo fixo, a forc¸a me´dia
que age sobre o corpo fixo e´ dada
por:
Fmed =
J
∆t
(5.6)
Figura 1 : Coliso˜es em Se´rie.
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Centro de Massa e Momento Linear
Colisa˜o e Impulso
A variac¸a˜o total do momento linear de n proje´teis durante o
intevalo ∆t vale n∆p. O impulso resultante J a que e´ submetido o
alvo no intervalo ∆t pode ser escrito como:
J = −n∆p (5.7)
Onde o sinal negativo indica que J e ∆p teˆm sentidos opostos.
Temos que:
Fmed =
J
∆t
= − n
∆t
∆p = − n
∆t
m∆v (5.8)
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Colisa˜o e Impulso
A equac¸a˜o 5.8 expressa Fmed em termos de n/∆, a taxa com a
qual os proje´teis colidem com o alvo, e ∆v , representa a variac¸a˜o
de velocidade dos proje´teis.
Se os proje´teis param apo´s o choque:
∆v = vf − vi = 0 − v = −v .
Se os proje´teis ricocheteiam sem mudanc¸a na velocidade
escalar: ∆v = vf − vi = −v − v = −2v .
No intervalo ∆t, uma quantidade de massa ∆m = nm colide com
o alvo, podemos escrever:
Fmed = −∆m
∆t
∆v (5.9)
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Conservac¸a˜o do Momento Linear
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4 Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas
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7 Sistema de Massa Varia´vel
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Centro de Massa e Momento Linear
Conservac¸a˜o do Momento Linear
Se um sistema esta´ isolado de tal forma que nenhuma forc¸a
resultante externa atua sobre ele, o momento linear ~P do sistema
permanece constante:
Conservac¸a˜o do Momento Linear
~P = constante (6.1)
Esta equac¸a˜o tambe´m pode ser escrita na forma:
Conservac¸a˜o do Momento Linear
~Pf = ~Pi (6.2)
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7 Sistema de Massa Varia´vel
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	Centro de Massa
	Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas
	Momento Linear
	Momento Linear de um Sistema de Partículas
	Colisão e Impulso
	Conservação do Momento Linear
	Sistema de Massa Variável