APOSTILA matematica financeira I

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Programa CIEE de Educação à Distância 
 
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CURSO: MATEMÁTICA FINANCEIRA I 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
AULA 1 – Revisão ....................................................................................................... 02 
AULA 2 – Introdução aos cálculos com a calculadora HP 12C ................................... 10 
AULA 3 – Operações financeiras ................................................................................ 19 
Referências ................................................................................................................. 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 1 – REVISÃO 
 
POTENCIAÇÃO 
 
Potenciação é a multiplicação de um número real (base) por ele mesmo “x” 
vezes, onde x é o expoente ou potência. 
 
 
 
42 = 16 
 
 
 
 
 
 
 
Acompanhe as regras básicas da potenciação e os respectivos exemplos: 
 
Regras Básicas Exemplos 
Qualquer número elevado a 1 é igual a ele 
mesmo. 
51 = 5 
Qualquer número elevado a 0 é igual a 1. 50 = 1 
Na multiplicação de potências de bases iguais, 
mantenha a base e some os expoentes. 5
2 . 51 = 52 + 1 = 53 = 5 . 5 . 5 = 125 
A base negativa só fará parte da potenciação 
quando estiver dentro de parênteses. 
(-5)2 = (-5) . (-5) = 25 
-52 = - 5 . - 5 = - 25 
Quando temos um número negativo entre 
parênteses elevado a uma potência, devemos nos 
atentar que: 
• um número negativo elevado em qualquer 
expoente PAR se comporta como se fosse 
positivo. 
• um número negativo elevado em qualquer 
expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na 
resposta. 
 
 
(-5)2 = (-5) . (-5) = 25 
(-2)4 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = 16 
(-5)3 = (-5) . (-5) . (-5) = -125 
 
Na divisão de potências de bases iguais, 
mantenha a base e subtraia os expoentes. 
= 58 : 56 = 58 - 6 = 52 = 5 . 5 = 25 
Na potência de potência, mantenha a base e 
multiplique os expoentes. 
(52)3 = 52 . 3 = 56 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 
15.625 
Quando o expoente for negativo, transforme a 
potência em fração. 
5-4 = ( )4 
Quando ocorre uma multiplicação entre as bases, 
retirar os parênteses e elevar o expoente em cada 
base. 
(2 . 3)2 = 22 . 32 
Quando a fração tiver um expoente negativo, 
inverta o numerador e o denominador. 
 = = 
 
Acabamos de aprender que o sinal de negativo (-) na frente do número, só fará parte 
da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele continuará 
base 
expoente ou 
potência 
Leia-se: 
Quatro elevado ao quadrado ou 
Quatro elevado à segunda potência 
Quatro elevado a dois. 
resultado 
Para chegar ao resultado, basta 
multiplicar a base por ela mesma, a 
quantidade de vezes indicada pelo 
expoente, portanto 42 = 4 . 4 = 16. 
 
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no resultado. Pratique um pouco o que acabou de aprender, indique (V) verdadeiro ou 
(F) falso em relação ao resultado das potências. Atente-se aos indicadores. 
 
Ainda falando sobre esse assunto, imagine a distância da Terra em relação ao Sol que 
é de aproximadamente 150 milhões de quilômetros. 
 
Para encurtar essa distância usamos a potenciação de base 10. Veja como fica: 
 
150.000.000 = 15 x 107 
 
A potência de base 10 é muito útil quando calculamos em larga escala ou em notação 
científica, como também é conhecida. 
 
Além da potenciação de base 10 – que é a multiplicação em larga escala, é possível 
fazer a divisão em larga escala. Acompanhe a divisão do número 15 por 100, 
utilizando esse conceito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a base 10 é elevada a um expoente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curiosidade 
 
O recurso de potenciação de base 10 é conhecido como NOTAÇÃO CIENTÍFICA e 
apresenta algumas vantagens, como: 
 
• os números muito grandes podem ser escritos de forma abreviada. 
• na utilização dos computadores ou máquinas de calcular esta notação tem uso 
regular. 
• tornam os cálculos muito mais rápidos e fáceis. 
 
 
Feito isso, devemos passar o 
denominador (102) multiplicando 
pelo numerador, para que seja feita 
a potencialização de base 10. 
 
15 = 15 x 10-2 
 102 
Primeiramente devemos “transferir” 
a quantidade de zeros para potência 
de uma fração para outra. 
 
15 = 15 
 100 102 
NEGATIVO 
 
Temos que andar com a vírgula para 
a esquerda o número de casas 
indicado pela potência.Assim: 
 
15 x 10-2 = 0,15 
 
POSITIVO 
 
Temos que andar com a vírgula para 
a direita. Portanto: 
 
15 x 102 = 1.500 
 
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RADICIAÇÃO 
 
Conheça a nomenclatura dos elementos que compoem uma raiz. 
 
 
 
 
 
 
Veja a relação dos quadrados perfeitos de 1 a 100: 
 
Raiz 
Quadrada 
Cálculo Resultado 
1 1 . 1 1 
4 2 . 2 2 
9 3 . 3 3 
16 4 . 4 4 
25 5 . 5 5 
36 6 . 6 6 
49 7 . 7 7 
64 8 . 8 8 
81 9 . 9 9 
100 10 . 10 10 
 
Todo número terminado em 2, 3, 7 e 8 ou em número ímpar de zeros (10, 2.000, 
300.000...) não podem ser quadrados perfeitos e sua raiz é um número racional. 
Portanto se 42 é igual a 6 x 7, logo = x . 
 
Acompanhe outros exemplos: 
 
33 = 3 x 11 √33 = √3 x √11 
27 = 3 x 9 √27 = √3 x √9 = 3√3 
18 = 2 x 9 √18 = √2 x √9 = 3√2 
2000 = 20 x 100 √2000 = √20 x √100 = 10√20 
 
Radiciação 
É uma operação matemática oposta à potenciação. 
Raiz quadrada 
A raiz quadrada de um número inteiro é outro número que, multiplicado por ele 
mesmo, reproduz o número dado. Ex: = 8 . 8 
42 6 7 
16 
3 
índice 
radicando 
símbolo radical 
 
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Raiz quadrada de frações ordinárias 
 
Para efetuar o cálculo de uma fração ordinária, basta extrair as raízes quadradas dos 
dois termos de fração e aplicar a mesma regra dos números inteiros. 
 
Observe o exemplo: 
 
1) Raiz quadrada da fração 
 
 
Observações importantes: 
 
• não existe raiz quadrada de número negativo nos conjuntos de números reais. 
Exemplo: . 
 
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Agora, veja algumas propriedades fundamentais de radiciação: 
 
Propriedades Exemplo 
n√0 = 0 3√0 = 0 
n√1 = 1 5√1 = 1 
1√a = a 1√5 = 5 
n√an = a 4√94 = 9 
n√ab = ab/n 3√42 = 42/3 
Acompanhe as propriedades operatórias da radiciação: 
Propriedades Exemplo 
 
x√ab . y√ac = a 
 
 
3√44 . 5√42 = 4 
 
 
n√a . n√b = n√a.b 
 
 
3√6 . 3√4 = 3√6.4 = 3√24 
 
 
n√a : n√b = n√a ou n a 
 n√b b 
 
 
 √4 : √9 = √4 ou 4 
 √9 9 
 
 
 x y a = xy a 
 
 
 4 3 = 2 . 4 3 = 6 3 
 
 
(√a)n = √a . a . a 
 
 
(√2)3 = √2 . 2 . 2 = √16 
Raiz quadrada de 36 (√36) = 6 
Raiz quadrada de 49 (√49) = 7 
Desta forma, o resultado será: 
 
O cálculo variará de acordo 
com o valor de “n”. 
 
Equação de 1º Grau 
 
Em diversas situações do dia
desconhecido. Para isso, podemos 
nesse sentido. 
Por meio da equação de 1º grau conseguimos resolver problemas com uma ou duas 
incógnitas. Conheça as diferenças:
 
EQUAÇÃO COM UMA INCÓGNITA
 
Imagine que você tenha R$ 20,00 
meio da equação do 1º grau, descubra a quantia de dinheiro que está faltando para a 
compra do presente. 
 
 
 
 
 
R$ 20,00 + x = R$ 36,00 
 
R$ 20,00 + x = R$ 36,00 
 
x = R$ 36,00 – R$ 20,00 
 
x = R$ 16,00 
 
 
EQUAÇÃO COM DUAS INCÓGNITAS
 
Um caderno e uma lapiseira custam R$ 
mais que a lapiseira, qual é o preço d
 
 
Vamos considerar: 
 
 
Então:(
 
Logo o valor da lapiseira é de R$ 2,30
 
C = caderno
L = lapiseira
Valor correspondente ao caderno.
 
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do dia a dia, precisamos descobrir o valor de um número 
podemos utilizar as equações, que podem nos auxiliam 
uação de 1º grau conseguimos resolver problemas com uma ou duas 
Conheça as diferenças: 
COM UMA INCÓGNITA 
R$ 20,00 para comprar um presente que custa R$ 36,00
meio da equação do 1º grau, descubra a quantia de dinheiro que está faltando para a 
COM DUAS INCÓGNITAS 
custam R$ 12,75. Sabendo que o caderno custa R$
é o preço do caderno e da lapiseira respectivamente
Se: C + L = R$ 12,75 
 
(8,15 + L) + L = 12,75 Valor total da compra.
 2L = 12,75 – 8,15 
 L = 4,60 
 2 
 L = 2,30 
Logo o valor da lapiseira é de R$ 2,30 
caderno 
lapiseira 
Valor correspondente ao caderno. 
Lapiseira 
6 
alor de um número 
nos auxiliam muito 
uação de 1º grau conseguimos resolver problemas com uma ou duas 
comprar um presente que custa R$ 36,00. Por 
meio da equação do 1º grau, descubra a quantia de dinheiro que está faltando para a 
custa R$ 8,15 a 
lapiseira respectivamente? 
Valor total da compra. 
 
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Sabendo que a lapiseira custa R$ 2,30 e que o caderno custa R$ 8,15 a mais que a 
lapiseira. Qual é o valor do caderno? 
C = L + 8,15 
C = 2,30 + 8,15 
C = 10,45 
 
O valor do caderno é de R$ 10,45. 
 
 
Acabamos de resolver um problema que envolveu “linguagem matemática”. O 
entendimento dessa linguagem é muito importante para chegarmos ao resultado. 
Clique sobre os tipos de operação para conhecer suas respectivas linguagens 
matemáticas: 
 
 
Equação de 2º Grau 
 
 
 
 
 
Operações de Soma 
Linguagem textual Linguagem matemática 
Um certo número. x 
Um dado número “x” somado a outro número qualquer. x + n 
Um dado número “x” somado com 1. x + 1 
O dobro de um número. 2x 
A metade de um dado número. x 
2 
O dobro de um número mais sua metade. 2x + x 
 2 
O dobro de um número qualquer somado com qualquer número. 2x + n 
A soma de dois números consecutivos. x + (x + 1) 
Operações de Subtração 
Linguagem textual Linguagem matemática 
Um certo número. x 
Um dado número “x” subtraído a outro número qualquer. x - n 
Um dado número “x” subtraído por – 1. x - 1 
O dobro de um certo número. 2x 
A metade de um dado número. x 
2 
O dobro de um número menos sua metade. 2x – x 
 2 
O dobro de um número qualquer subtraído com qualquer número. 2x – n 
A subtração de dois números consecutivos. x – (x – 1) 
Equação do 2º grau na variável x é toda equação do tipo: 
ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais, com a ≠ 0. 
 
 
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Veja alguns exemplos de equação do 2º grau 
 
 4x2 – 3x + 5 = 0 a = 4, b = -3 e c = 5 
 2x2 + 6x = 0 a = 2, b = 6 e c = 0 
 x2 – 5x – 9 = 0 a = 1, b = 5 e c = - 9 
 x2 – 7 = 0 a = 1, b = 0 e c = - 7 
 
Acompanhe o cálculo de uma equação do 2º grau: 
 
x2 + 3x + 5, com a = 2 
 
Se “a” é igual a 2, então a equação ficará assim: 
 
x2 + 3x + 5 = 0 
22 + 3x + 5 = 0 
4 + 3x + 5 = 0 
3x = - 5 - 4 
x = - 9 
 3 
x = - 3 
 
Agora acompanhe outro cálculo de equação do 2º grau com adição: 
 
 
(4x2 + 2x + 7) + (7x2 – 8x) = 
 
 
4x2 + 2x + 7 + 7x2 – 8x = 
 
11x2 – 6x + 7 
 
Agora, veja outro cálculo incluindo soma e subtração: 
 
(5x2 + 4) + (4x2 – 9 + 3x) – (2x + 4) = 
 
5x2 + 4 + 4x2 – 9 + 3x – 2x – 4 
 
9x2 + x - 9 
 
PORCENTAGEM 
A palavra porcentagem está relacionada a fração, mais especificamente a fração 
(daí o uso da palavra porcento). Assim, 20% é o mesmo que que corresponde a 
0,2 (sem o sinal %). 
 
Se um determinado item custa R$ 30,00, 20% disso é: R$ 30,00 x 0,2 = R$ 6,00. 
Atente-se aos sinais. 
 
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O mesmo resultado também é alcançado por meio da regra de três: 
 
Valor do item 
 R$ % 
 30,00 100 
 x 20 
 
100x = 30 x 20 
 x = 600 
 100 
 x = R$ 6,00 
 
Importante: 100% de alguma coisa é o valor total. Imagine um objeto que custa R$ 
50,00, 100% deste valor é R$ 50,00. Lembre-se, 100% = 100 que corresponde a 1. 
 100 
 
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, 
números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. 
 
Utilizando o mesmo exemplo, se os mesmos R$ 30,00 sofressem um aumento de 20%, 
bastaria somar: 
 
Dinheiro R$ 30,00 
20% R$ 6,00 
Total R$ 36,00 
 
Se esse valor sofresse um desconto, bastaria subtrair: 
 
Dinheiro R$ 30,00 
20% R$ 6,00 
Total R$ 24,00 
 
Acompanhe outro exemplo: ao comprar um CD que custa R$ 27,00 terei um desconto 
de 5% para pagamento à vista. Utilizando a regra de três, temos duas possibilidades de 
cálculo, acompanhe: 
 
1ª possibilidade 
 
Valor de CD % 
 27 100 
 x 5 
 
100x = 27 x 5 
100x = 135 
x = 135 
 100 
+ 
- 
 
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10 
 
x = 1,35 
 
Portanto terei R$ 1,35 de desconto. Logo, o CD custará R$ 25,65 (valor total – valor do 
desconto). 
 
2ª possibilidade 
 
Valor de CD % 
 27 100 
 x 95 
 
100x = 2.565 
 
x = 2.565 
 100 
x = 25,65 
 
Agora, imagine que você e um amigo trabalhassem em empresas diferentes, porém 
recebessem o mesmo salário de R$ 2.650,00. O seu salário é reajustado a cada seis 
meses e o do seu amigo a cada um ano. 
 
Imagine que seu salário tenha um aumento de 5% e, no semestre seguinte, um novo 
aumento de 5% e que seu amigo tenha um único aumento de 10%. Será que após um 
ano vocês estarão novamente com o mesmo salário? 
 
Acompanhe os cálculos: 
 
R$ 2.650,00 R$ 2.782,50 R$ 2.921,63 
Salário atual � 5% de aumento � 5% de aumento 
 6 meses depois 6 meses depois 
 
 
 
 
R$ 2.650,00 R$ 2.915,00 
Salário atual � 5% de aumento � 10% de aumento 
 1 ano depois 
 
 
 
Note que ao final de um ano seu salário estará maior que do seu amigo. Isso porque 
dois aumentos de 5%, sendo o segundo sobre o resultado do primeiro gera um valor 
maior, pois ocorre o cálculo da porcentagem sobre porcentagem. 
 
 
 
 
Você 
% do valor original do CD - % do desconto. 
 100% - 5% = 95% 
 
A mesma ideia vale para cálculos com acréscimo, por exemplo: 
imagine que ao invés de adquirir o desconto de 5%, o produto sofresse 
um acréscimo de 5%. Nesse caso, somaríamos 100% do salário + 5% 
de acréscimo, resultando em 105%. 
Seu amigo 
 
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AULA 2 – INTRODUÇÃO AOS CÁLCULOS COM A CALCULADORA HP 12C 
 
Hora de aprendermos a utilizar um recurso valioso para quem trabalha com matemática 
financeira: a calculadora HP 12C. 
 
 
 
No decorrer do curso, vamos treinar na prática as principais funções da HP 12C. Você 
poderá treinar os comando de duas maneiras: em sua própria calculadora HP 12C (se 
possuir uma) ou na HP 12C disponível no próprio ambiente do curso. Basta clicar na 
aba “HP 12C” e realizar os cálculos que precisar. 
 
Curiosidade 
 
A HP 12C foi lançada em 1981 pela empresa de informática e tecnologia Hewlett-
Packard, sendo que suas principais características incluem o fato de possuir mais de 
120 funções específicas para usos em negócios. Atua com a lógica RPN (Reverse 
Polish Natation ou Notação Polonesa Reversa), o que permite uma entrada mais ágil 
de dados e execução mais eficiente dos cálculos.Aprenda as principais funções e teclas da HP 12C: 
 
 
 
 
 
 
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As calculadoras convencionais executam os cálculos de forma direta, obedecendo à 
sequência natural da matemática. Na HP 12C o procedimento para o cálculo é 
realizado de forma diferente, observe: 
 
Calculadora convencional HP 12C 
2 + 3 = 
 2 [enter] 
 3 [+] 
 
Agora, conheça as principais funções de uma calculadora HP 12 C. 
 
1) Teste inicial dos circuitos 
Antes de iniciar o uso de sua calculadora, faça um teste para saber se ela está 
funcionando corretamente. 
 
Com a calculadora desligada, pressione e mantenha pressionada a tecla [+] e depois 
ligue a HP 12C, pressionando a tecla [ON]. Solte a tecla [ON] e depois a tecla [+]. 
 
Um autoteste será realizado e, nesse momento, aparecerá a palavra “running” 
piscando no visor. 
 
Após o autoteste todos os indicadores do visor serão exibidos (com exceção do *, que 
sinaliza que a bateria está fraca). 
 
Se aparecer a expressão “Error 9” ou não aparecer nada, a calculadora está com 
problemas. 
 
2) Ligar a calculadora 
Ligar e 
desligar 
Acesso 
à função 
laranja 
Acesso 
à função 
azul 
Acesso à 
memória 
Entrada 
Linha financeira 
Teclas comuns 
Teclas especiais 
 
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Pressione a tecla [ON]. 
 
 
 
3) Zerar o visor 
Antes de iniciar qualquer cálculo é necessário zerar o visor. Para isso, pressione a 
tecla [f] [CLX]. 
 
 
 
 
 
 
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4) Configuração 
Para facilitar a visualização de números muitos extensos, configure a calculadora para 
o modelo brasileiro (ela está originalmente configurada no modelo americano). 
 
Modelo brasileiro Modelo americano 
1.346.630,42 1,346,630.42 
 
Para realizarmos a troca do ponto pela vírgula e vice-versa, proceda da seguinte forma: 
 
• desligue a calculadora; 
• com a calculadora desligada, pressione ao mesmo tempo as teclas [ON] e [.] 
(ponto); 
• solte a tecla [ON] e em seguida a tecla [.] (ponto). 
 
Pronto! A calculadora já está configurada para o modo brasileiro. 
 
5) Casas decimais 
Para configurar quantas casas decimais após a vírgula serão mostradas no visor, 
pressine a tecla [f] e o número de algarismos desejados após a vírgula. 
 
 
 
6) Inverso de um número 
O inverso de um número é sempre 1 e vice-versa. 
 x 
Para obter o inverso de um número contido no visor, basta pressionar a tecla [1/x]. 
 
 
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Exemplo: 
2 [1/x] 
0,5 
 
7) Arredondamento de um número 
 
A utilização da tecla [RND] permite o arrendodamento da parte fracionária de um 
número apresentado no visor. 
 
O critério de arredondamento utilizado pela calculadora é o convencionado 
internacionalmente, ou seja, 0 a 4, arrendonda-se para baixo e de 5 a 9 para cima. 
 
Botão seguir 
 
Teclas Visor Significado 
58,745839 [ENTER] 
[f] 2 
58,75 Número apresentado no visor 
com duas casas decimais. 
[f] 9 58,74583953 Comprovaçao de que o número 
completo com 8 casas decimais 
está contido na calculadora. 
[f] 2 
[f] [RND] 
58,75 Número arredondado com duas 
casas decimais. 
[f] 9 58,75000000 Comprovação de que o número 
contido na calculadora passou a 
ser o número mostrado no visor 
após a instrução de 
arredondamento. 
 
 
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8) Operações Aritiméticas 
Esta é a grande diferença da calculadora HP 12 C para as calculadoras tradicionais. 
Nas calculadoras tradicionais, digitamos os números, a operação e os outros 
números. Na HP 12C, digitamos os números, a tecla “enter”, os outros números e, por 
último, o sinal da operação matemática desejada. 
 
a) 2 + 3 = 5 
2 [ENTER] 
3 [+] 
5 
 
b) (25 + 32) + (12 – 8) = 61 
25 [ENTER] 
32 [+] 
12 [ENTER] 
8 [-] 
 [+] 
61 
 
9) Teclas de Prefixo 
Observe as teclas da HP 12C e verifique que algumas delas podem realizar até três 
funçãos. A função primária é aquela que está impressa em branco na tecla. Acima 
dela, em laranja, está assinalada a segunda função e, em azul (abaixo) a terceira. Para 
utilizar a função a função desejada, selecione a tecla da cor correspondente (no caso 
das funções azul e laranja) e a tecla desejada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Porcentagem 
Para resolver problemas de porcentagem utilizamos as teclas: 
 
 
Função primária - para executá-la, 
basta apertar a tecla normalmente. 
2ª função - para executá-la, basta pressionar a 
tecla [f] e depois o comando desejado. 
3ª função - para executá-la, basta pressionar a 
tecla [g] e depois o comando desejado. 
 
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17 
 
 
 
% � porcentagem. 
∆% � variação percentual. 
%T � porcentagem de um valor em relação a um total. 
 
Para calcular o valor correspondente à porcentagem de um número, introduza a base, 
pressione ENTER, introduza a porcentagem e pressione %. 
 
Exemplo: 15% de 400 = 60 
400 [ENTER] 
15 [%] 
60 
 
Para calcular a variação percentual entre dois números, introduza como base o valor 
mais antigo da operação, seguido da tecla ENTER, introduza o segundo número e 
pressione ∆%. 
 
Exemplo: no pregão de ontem, as ações da Cia. GRD S/A subiram de R$ 5,28 para R$ 
5,87. Qual foi a variação percentual? 
 
5,28 [ENTER] 
5,87 [∆%] 
11,17% 
 
Para calcular a porcentagem de um valor em relação a um total, introduza o valor 
correspondente ao total, digite o valor da porcentagem e pressione %T. 
 
Exemplo: em uma frota de 1.400 ônibus, 680 deles se encontram paralisados. Qual o 
percentual dos ônibus paralisados? 
 
1.400 [ENTER] 
 
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18 
 
680 [%T] 
48,57 
 
11) Potenciação 
A HP 12C pode ser usada para efetuarmos operações de potenciação. Veremos abaixo 
alguns casos. 
 
a) (2)² 
2 [ENTER] 
2 [yx] 
4 
 
b) (2)-² 
2 [ENTER] 
2 [CHS] 
 [yx] 
0,25 
 
c) 21/3 
2 [ENTER] 
3 [1/x] 
 [yx] 
1,26 
 
12) Radiciação 
A HP 12C também pode ser usada para efeturamos operações de radiciação. 
Observaremos alguns exemplos. 
 
a) √144 
144 [g] 
 [yx] 
12 
 
b) 3√8 
8 [ENTER] 
3 [1/x] 
 [yx] 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19 
 
AULA 3 – OPERAÇÕES FINANCEIRAS 
 
Antes de conhecermos cada elemento envolvido, conheça dois conceitos importantes 
utilizados no mundo financeiro: 
 
Capitalização Simples: ocorre quando a taxa de juros incide apenas sobre o capital 
inicial, não há “juros sobre juros”. 
 
Capitalização Composta: ocorre quando a taxa de juros incide sobre o capital inicial, 
acrescido dos juros acumulados até o período anterior (o valor dos juros cresce em 
função do tempo). 
 
Observe no quadro os conceitos que estudaremos a partir de agora. 
 
Nomenclatura Sigla 
Capital C 
Juro J 
Taxa de juro i 
Tempo t 
Montante M 
 
Atenção! Todos os cálculos dessa aula estão baseados no sistema de capitalização 
simples. Nesse momento não faremos uso da calculadora HP 12C, pois por 
convenção, essa calculadora utiliza o sistema de capitalização composta que 
estudaremos no curso Matemática Financeira II. 
 
Conheça as principais operações financeiras: 
 
Capital (C) 
Quantidade de dinheiro envolvida em alguma operação financeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juro (J) 
Representa a remuneração do capital empregado em alguma atividade produtiva.FÓRMULA
FÓRMULA C = J 
 i . t 
 
J = C . i . t 
 
 
Taxa de Juro (i) 
É o chamado custo do dinheiro, o que é cobrado para emprestá
A taxa pode ser expressa na forma percentual: 23% a.a. (ao ano) ou na forma unitária: 
0,23 a.m. (ao mês). 
 
 
 
 
 
 
 
Tempo (t) 
É o período de tempo envolvido em uma operação financeira.
 
 
 
 
 
 
Importante: um ano comercial tem 360 dias e um ano exato tem 365 dias. Se o 
problema não especificar, ou se não for especificado por qualquer tipo de citação, 
deve-se sempre utilizar o ano comercial, ou seja, 360 dias.
 
 
Montante (M) 
É a quantidade de dinheiro que 
 
 
 
 
 
 
 
Para que os cálculos deem certo, o tempo (t) e a taxa de juro (i) devem possuir a 
mesma unidade. Exemplo: 1,5% ao 
deles terá de ser ajustado. Exemplo:
 
 
Acompanhe alguns exemplos e cálculos na prática
• 10% ao 
• 5 meses
De
FÓRMULA
FÓRMULA
FÓRMULA
 
 
 
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do dinheiro, o que é cobrado para emprestá-lo, basicamente.
A taxa pode ser expressa na forma percentual: 23% a.a. (ao ano) ou na forma unitária: 
envolvido em uma operação financeira. 
um ano comercial tem 360 dias e um ano exato tem 365 dias. Se o 
problema não especificar, ou se não for especificado por qualquer tipo de citação, 
se sempre utilizar o ano comercial, ou seja, 360 dias. 
É a quantidade de dinheiro que uma pessoa possuirá após uma aplicação.
Para que os cálculos deem certo, o tempo (t) e a taxa de juro (i) devem possuir a 
mesma unidade. Exemplo: 1,5% ao mês e 3 meses. Se eles forem diferentes, um 
ser ajustado. Exemplo: 
alguns exemplos e cálculos na prática. 
10% ao ano
meses
• 2% ao mês
• 5 meses
Para
i = J 
 C . t 
 
t = J 
 C . i 
 
M = C + J 
ou 
M = C (1 + i . t ) 
 
20 
lo, basicamente. 
A taxa pode ser expressa na forma percentual: 23% a.a. (ao ano) ou na forma unitária: 
um ano comercial tem 360 dias e um ano exato tem 365 dias. Se o 
problema não especificar, ou se não for especificado por qualquer tipo de citação, 
uma pessoa possuirá após uma aplicação. 
Para que os cálculos deem certo, o tempo (t) e a taxa de juro (i) devem possuir a 
Se eles forem diferentes, um 
 
 
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21 
 
Observe as fórmulas utilizadas e as resoluções. 
 
Juros 
Imagine que tenha aplicado R$ 420,00 à taxa de juros de 1,5 ao mês, por um período 
de 3 meses. Qual o juro recebido no final da aplicação? 
 
Dados: 
D = R$ 420,00 
i = 1,5% a.m. 
t = 3 meses 
J = ? 
 
J = C . i . t 
J = 420 . 0,015 . 3 
J = 18,90 
 
Logo, os juros recebidos ao final de 3 meses serão de R$ 18,90. 
 
Capital 
Agora imagine que após 3 meses tenha resgatado R$ 18,90 de uma aplicação à taxa 
de juros de 1,5% ao mês. Qual o capital investido? 
 
Dados: 
t = 3 meses 
J = R$ 18,90 
i = 1,5% a.m. 
C = ? 
 
C = J 
 i . t 
C = 18,90 
 0,015 . 3 
C = 18,90 
 0,045 
C = 420,00 
 
O capital investido foi de R$ 420,00 
 
Taxa de Juros 
Continuando no mesmo raciocínio, imagine que tenha aplicado R$ 420,00 por um 
período de 3 meses e tenha recebido R$ 18,90 de juros. Qual a taxa de juros mensal 
aplicada? 
 
Dados: 
C = R$ 420,00 
t = 3 meses 
J = R$ 18,90 
 
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22 
 
i = ? 
 
 
 
 
i = 18,90 
 420 . 3 
i = 18,90 
 1.260 
i = 0,015 
 
0,015 . 100 = 1,5% 
 
Logo, a taxa de juros da aplicação foi de 1,5% a. m. ou 0,015 a.m. 
 
Tempo 
Agora imagine que após tenha resgatado R$ 18,90 de uma aplicação de R$ 420,00 à 
taxa de juros de 1,5% ao mês. Qual o tempo de investimento dessa aplicação? 
 
Dados: 
J = R$ 18,90 
C = R$ 420,00 
i = 1,5% a.m. 
t = ? 
 
 
 
 
t = ___18,90__ 
 420 . 0,015 
 t = 3 meses 
 
Montante 
 
Estudamos que as fórmulas para cálculo do Montante são: 
 
M = C + J ou M = C (1 + i . t ). 
 
Agora, entenda o porquê de podermos utilizar as duas fórmulas: 
 
 
i = __J__ 
 C . t 
t = J_ 
 C . i 
Forma unitária 
Forma percentual 
 
 
Agora, imagine que tenha realizado uma aplicação de 
mês durantes 3 meses. Qual o m
 
Dados: 
C = R$ 420,00 
i = 1,5% a.m. 
t = 3 meses 
M = ? 
 
M = C . ( 1 + i . t ) 
M = 420 . (1 + 0,015 . 3) 
M = 420 . (1 + 0,045) 
M = 420 . 1,045 
M = 438,90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O montante, por definição, é igual 
à soma do capital inicial mais os 
juros referentes ao período da 
aplicação:
Se a fórmula do Juros é definida 
como:
Portanto, podemos substitui
fórmula do montante: 
Porém colocamos um dos termos 
"C" em evidência, formando a 
seguinte fórmula:
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
Agora, imagine que tenha realizado uma aplicação de R$ 420,00 à taxa de 
. Qual o montante obtido? 
O montante, por definição, é igual 
à soma do capital inicial mais os 
juros referentes ao período da M = C + J
Se a fórmula do Juros é definida 
J = C . i . t
Portanto, podemos substitui-la na 
fórmula do montante: M = C + ( C . i . t )
Porém colocamos um dos termos 
"C" em evidência, formando a 
seguinte fórmula:
M = C (1 + i . t )
23 
 
à taxa de 1,5% por 
M = C + ( C . i . t )
M = C (1 + i . t )
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
24 
 
REFERÊNCIAS 
 
SÁ, Prof. Ilydio Pereira de. Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira. 
São Paulo, 2008. 
 
SENAC SÃO PAULO. Matemática Financeira com HP-12C. São Paulo, 2008. 
 
PALAZOLLI, Prof. Fernando. Matemática Financeira. Centro Universitário da FEI. 
2008. 
 
SCIESP – EBRAE. Curso TTI – Técnico em Transações Imobiliárias. Matemática 
Financeira, Módulo II. São Paulo, 2008. 
 
GIOVANNI, Jose Ruy & CASTRUCCI, Benedito. A conquista da Matemática – 8ª 
série. Ed. FTD, 1985. 
 
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http://www.minhasaulas.com.br/destaques/mat_para_conc.html Acesso em 16.09.08 
 
http://www.bertolo.pro.br/MatFin/desconto_simples.htm Acesso em 16.09.08 
 
http://www.pontodosconcursos.com.br/admin/imagens/upload/1067_D.doc Acesso em 
15.09.08 
 
http://www.scribd.com/doc/2939116/matematica-financeira Acesso em 13.08.08 
 
http://www.scribd.com/doc/272481/Matematica-Financeira-4 Acesso em: 12.09.08 
 
hrsconcursos.com.br/Downloads/Descontos.doc Acesso em 10.09.08 
 
http://www.inf.ufrgs.br/~scamargo/ue/mbaaula8.pdf Acesso em 08.09.08 
 
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http://www.scribd.com/doc/3671613/Matematica-PreVestibular-Impacto-Juros-
Compostos Acesso em 08.09.08 
 
http://www.miltonborba.org/MAT/Desconto.htm Acesso em: 06.09.08 
 
professores.faccat.br/ghermes/mfII/MF_slides.ppt Acesso em 06.09.08 
 
http://www.ivansantos.com.br/fluxo.htm Acesso em 05.09.08 
 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/flcaixa/flcaixa.htm Acesso em: 
05.09.08 
 
www.bertolo.pro.br/MatFin/Slides/SlideMatFin3.pps Acesso em 05.09.08 
 
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www.bertolo.pro.br/MatFin/Slides/SlideMatFin4.pps Acesso em 05.09.08 
 
www.bertolo.pro.br/MatFin/Slides/SlideMatFin5.pps Acesso em 05.09.08 
 
http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_Financeira/Descontos Acesso em 
05.09.08 
 
http://xauin.com/?tt=97 Acesso em 05.09.08 
 
http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos029.asp 
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http://www.mspc.eng.br.matm/matFin 0110.shtml Acesso em 05.09.08