CAP. 2 ANÁLISE COMB.

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CAPÍTULO 2 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
A análise combinatória é um ramo da matemática, que tem por fim estudar as propriedades dos 
agrupamentos que podemos formar, segundo certas leis, com os elementos de um conjunto finito. 
 
1. Conceitos 
Seja 
 , , , .A a b c d
 Aos subconjuntos de três elementos, denominaremos de agrupamentos simples 
de classe 3 e escrevemos como: 
; ; eabc abd acd bcd
. Aos conjuntos 
; ;abb aab acc
, denominamos de 
agrupamentos repetidos de classe 3. Aos subconjuntos com dois elementos, agrupamentos simples de classe 2 
e escrevemos: 
 
; ; ; ; eab ac ad bc bd cd
. 
 
Exemplo 1: 
Seja 
 1,2,3,4A 
, quantos números distintos (sem repetição) de classe 3 podemos formar com esses 
algarismos? 
Solução: 
Escrevemos os agrupamentos de classe 3 distintos e observamos que mudando a ordem dos algarismos 
de cada agrupamento,ocorrem novos números distintos. Assim com 4 algarismos podemos formar 
6 4 24 
 
números distintos de 3 dígitos. 
 
 
123 134 124 234
132 143 142 243
213 314 214 324
(6) 6 (6) (6)
231 341 241 342
312 413 412 423
321 431 421 432
   
   
   
   
   
   
   
   
   
 
 
Observação 1: 
 Os números acima são formados de três dígitos sendo que na primeira casa aparecem os quatro dígitos e 
como não há repetição dos dígitos, na segunda casa aparecem três dígitos distintos e finalmente na última casa 
dois dígitos. Portanto podemos escrever 
4 3 2 24  
. 
 
Exemplo 2: 
Numa sala há 3 rapazes e 4 moças. Quantos casais rapaz-moça podem formar? 
 
Solução: 
 Chamando os rapazes de 
1 2 3, ,r r r
e as moças de 
1 2 3 4, , , ,m m m m
é fácil ver que para o 
rapaz 
1r
 podemos formar 4 casais e mais 4 casais para o rapaz 
2r
 e outros 4 para o rapaz 
3r
. Portanto o 
número de casais é dado por: 
 4+4+4=3.4=12. 
 
2. Princípio Fundamental de Contagem. 
 
Os exemplos dados ilustram o Princípio Fundamental de Contagem. 
 
 47 
Se um acontecimento é composto de duas etapas sucessivas, independentes uma da outra, e: 
 Se na 1ª etapa ocorrer de m modos, 
 Se na 2ª etapa ocorrer de n modos, então, 
 o número de possibilidades de ocorrência do acontecimento é o produto de m.n. 
 
Exemplo 3: 
 Quatro ciclistas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares? 
Solução: 
 Cada resultado é formado por uma terna do tipo (a,b,c), sendo que a representa o ciclista que chegou em 
primeiro lugar, b representa o ciclista que chegou em segundo lugar e c o ciclista que chegou em terceiro lugar, 
então o número total dos resultados possíveis é dado pelo princípio fundamental de contagem 4.3.2=24. 
 
São dois os principais tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações. 
 
3. Arranjos 
 
 Dado um conjunto A de n elementos, dele retiramos agrupamentos de classe p distintos com 
1 p n 
. 
Chama-se arranjos de n elementos tomados p a p, ao número de agrupamentos ordenados de classe p. 
 
3.1 Notação: 
,n pA
 
 
Exemplo 4: 
Seja 
 1,2,3A 
. Quantos arranjos desses 3 dígitos dois a dois podemos obter? 
Solução: 
 Os arranjos são: 12, 21, 13, 31, 23 e 32, isto é 
3,2 3.2 6A  
. 
 
3.2. Cálculo do número de Arranjos. 
 
 Para a dedução da fórmula dos Arranjos usamos o Princípio Fundamental de Contagem. 
 Seja o conjunto 
 1 2 3, , ,..., nA a a a a
com n elementos. 
i) Os arranjos de n elementos tomados um a um de A, são:
1 2 3( ),( ),( ),...( )na a a a
e, portanto 
,1nA n
 
ii) Os arranjos de n elementos tomados dois a dois de A, são: 
 
1 2 1 3 1 4 1 2 1 2 3 2 1, , ,..., , , ,..., ,...,n n n na a a a a a a a a a a a a a a a
, portanto 
,2 .( 1)nA n n 
. 
iii) Arranjos de n elementos tomados três a três são obtidos analogamente por: 
 
,3 .( 1)( 2)nA n n n  
. 
Generalizando: 
,1nA n
 .......................... para classe 
1p 
 
,2 .( 1)nA n n 
 ............... para classe 
2p 
 
,3 .( 1)( 2)nA n n n  
 ..... para classe 
3p 
 e, portanto 
..................... 
, ( 1)( 2)...( ( 1))n pA n n n n p     
 
( 1)( 2)...( 1)n n n n p   
, para classe 
p
 
 
Exemplo 5: 
Calcular os arranjos 
a) 
5,3A
=5.4.3=60 
 48 
b) 
6,2A
=6.5=30 
Exemplo 6: 
Determinar o valor de 
2x 
 de modo que 
,2 56xA 
 
,2 ( )( 1) 56xA x x  
, logo 
8x 
 
 
Exemplo 7: 
Seja 
 1,2,3,4,5A 
. Quantos números pares de 3 dígitos podemos escrever? 
Solução: 
 São pares os números terminados por 2 e 4, portanto o dígito das unidades só pode ser 2 ou 4. Fixando 
em primeiro lugar o dígito 2 na casa das unidades, as duas primeiras casas podem ser ocupadas por quaisquer 
dos arranjos com os dígitos restantes, isto é,
4,2A
=4.3=12 e o mesmo ocorre para o dígito 4 na casa das unidades. 
Portanto, 2
4,2A
=24 
 
4. Fatorial 
A fim de simplificar os cálculos definimos fatorial de n, sendo n número natural. 
 Chama-se fatorial de n e se indica por n! o número natural definido por 
 
! ( 1)( 2)...3.2.1n n n n  
 para 
2.n 
 
 1!= 1 
 0!= 1 
 
Exemplo 8: Calcular os fatorias indicados. 
3!=3.2.1=6 
4!=4.3.2.1=24 
6!=6.5.4.3.2.1=720 
 
5. Fórmula dos Arranjos usando fatorial 
Exemplo 9: 
Escrever 
7,3
A
 na forma de fatorial. 
5,2
7.6.5.4.3.2.1 7!
7.6.5
4.3.2.1 3!
A   
 
 Generalizando: 
,
!
( )!
n p
n
A
n p


 
Exemplo 10: 
Escrever em termos de fatorial. 
a)
5,2
A
= 5! 5! 5.4.3!
5.4 20
(5 2)! 3! 3!
   

 
b)
5,0
5! 5!
1
(5 0)! 5!
A   

 
 
6. Permutações 
 
Definimos permutações de n elementos por: 
,n n nP A 
! .( 1)( 2)...3.2.1n n n n  
 
Exemplo 11: 
Calcular 
5P
. 
5 5,5 5! 5.4.3.2.1 120P A   
 
 49 
Exercícios de aplicação 7: 
 
1. Um automóvel modelo 2015 é oferecido pelo fabricante em 5 cores diferentes, podendo o comprador optar 
entre os motores 1.0 e 1.8. Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões “Standart”, “Luxo” e 
“Super-Luxo”. De quantas maneiras são as alternativas para o comprador? 
 
 
 
 
 
 
2. Há 5 linhas de ônibus ligando a cidade Santo André a cidade São Bernardo e 4 linhas ligando a cidade São 
Bernardo a cidade São Caetano. Não há nenhuma linha de ônibus ligando a cidade Santo André à cidade São 
Caetano. Uma pessoa quer fazer uma viagem de ida e volta entre as cidades Santo André e São Caetano de 
modo que na volta não utilize nenhuma linha de ônibus utilizado na ida. De quantos modos diferentes pode 
essa pessoa fazer a viagem? 
 
 
 
 
3. Das 9 pessoas presentes a uma reunião devem ser eleitos um presidente, um secretário e um tesoureiro. 
Quantas escolhas são possíveis? 
 
 
 
 
 
 
4. Dados os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 8, formamos números com 5 algarismos distintos. 
a) Quantos não contêm o digito 4? 
 
 
 
 
b) Quantos não começam pelo número 4? 
 
 
 
5. Com os algarismos 2, 3, 5, 6, 9, vamos formar números de algarismos distintos. Deste modo podemos 
formar quantos números 
a) de 3 algarismos? 
 
 
 
 
 
b) de 4 algarismos começados por 6? 
 
 
 
 
 50 
 
c) de 4 algarismos começados por 6 e terminados por 5? 
 
 
 
 
 
d) ímpares de 4 algarismos? 
 
 
 
 
 
e) de 5 algarismos em que o 6 e o 3 aparecem juntos, nessa ordem? 
 
 
 
 
6. Formadose dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 
3, 4, 5, 6, em que lugar estará o número 564213? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Numa corrida de automóveis, participaram 10 carros. Sabe-se que 3 deles pertencem à fábrica “A” e 
 os outros à fábricas diferentes. Quantas disposições de chegada podem ter (todos terminam a prova), 
sabendo-se que um representante de “A” vence e os outros dois de “A” chegam a colocações seguidas? 
 
 
 
 
 
 
 
8. Cada linha telefônica nova é formada por 8 dígitos, divididos em dois grupos: um formado pelos primeiros 
quatro algarismos que distingue os centros telefônicos e outro com 4 algarismos que distingue as linhas de 
um mesmo centro. Suponha que os algarismos de cada grupo são todos distintos. Quantas linhas telefônicas 
começando com o algarismo “2” poderiam ser lançadas? 
 
 
 
 
 
 51 
9. Com 7 cores queremos pintar uma bandeira de 5 listas, cada listra com uma cor. De quantas formas isso 
pode ser feito? 
 
 
 
 
 
 
 
10. Calcular n sabendo-se que 
!
30
( 2)!
n
n


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Combinações 
 
 Em muitas situações interessará apenas retirar subconjuntos de um determinado conjunto e, determinar o 
número desses conjuntos. 
 
Seja A um conjunto de n elementos, isto é, 
 1 2 3, , ,..., nA a a a a
. Chamamos de combinações de n 
elementos tomados p a p, ao número de subconjuntos de A formados de p elementos. 
Notação: 
 , ou nn p pC
 
 
Exemplo 12: 
Seja 
 , , ,A a b c d
, quantos subconjuntos de 3 elementos podemos formar? 
São eles:
       , , , , , , , , , , ,a b c a b d a c d b c d
, então 
 43 4
 
7.1 Cálculo do número de combinações 
 
 No exemplo 12 encontramos o número de combinações de 4 elementos tomados 3 a 3, isto é, 
 44,3 3 4C  
. Façamos para cada uma das combinações todas as permutações possíveis, assim: 
 
 
 (6 3!) (6 3!) 6 3! (6 3!
abc abd acd bcd
acb adb adc bdc
bac bad cad cbd
bca bda cda cdb
cab dab dac dcb
cba dba dca dbc
   
   
   
   
      
   
   
   
   
 , dessa maneira, encontramos 
 
 52 
arranjos de 4 elementos tomados 3 a 3 (
4,3 4 6 4 3! 24A     
) e não combinações. Logo para obtermos as 
combinações devemos dividir por 6=3! assim: 
 
 
 44,3 3 4C  
=
4,324 24
6 3! 3!
A
 
4,3
4,3
3!
A
C 
 e generalizando para n elementos tomados p a p, segue: 
 
,
,
!
! ( )! !
n p
n p
A n
C
p n p p
 

 
 
 
 7.2 Triângulo de Pascal 
 
Os números binomiais podem ser dispostos ordenadamente na forma de um triângulo, com seus 
resultados. Observe que a soma de dois números da linha de cima reproduz o elemento da linha de baixo 
 
 
 
 
   
     
       
         
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
 
 
 
 
 
 
Exemplo 13: 
A prova de geografia consta de 10 questões e a professora pede que os alunos escolham 6 questões. 
Quantos são os modelos de provas? 
Solução: 
 Notemos que a ordem em que o aluno escolher as 6 questões não importa, portanto tem-se combinações 
de 10 questões 6 a 6, isto é 
 
 
10
6
 
 
 
10! 10.9.8.7.6! 10.9.8.7
210
(10 6)!6! 4!6! 4.3.2.1
  

 
 
Exemplo 14: 
 Sobre uma circunferência marcam-se 7 pontos, 2 a 2 distintos. Quantos triângulos podem formar com 
vértice nos pontos marcados? 
Solução: 
 Notemos que um triângulo fica determinado, escolhendo-se três pontos não importando a ordem. 
Portanto trata-se de um problema de combinações, isto é 
 77,3 3
7!
35
(7 3)!3!
C   

 
 
 53 
Exercícios de aplicação 8: 
1. Considerando-se: 5 vereadores, 3 deputados e 2 senadores, quantas comissões de 4 elementos podemos 
formar de modo que em cada comissão tenha 
 a) 3 vereadores? b) 2 vereadores,1deputado e um senador? 
 
 
 
 
 
 
 
c) algum vereador? d) no máximo 1 deputado? 
 
 
 
 
 
 
e) no mínimo 1 deputado? f) 3 vereadores ou 2 deputados? 
 
 
 
 
 
 
g) 1 senador ou 3 vereadores? 
 
 
 
 
2. Qual o número de subconjuntos com 2 ou 4 ou 5 elementos que tem um conjunto de 7 elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Considerando-se 12 pontos no espaço, dos quais 4 são coplanares, quantos triângulos são definidos pelos 
12 pontos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 54 
4. Uma urna tem 6 bolas brancas, 4 pretas e 3 vermelhas. De quantas maneiras podemos extrair 5 bolas, sem 
reposição, sucessivamente, de modo que sejam 
a) 3 brancas? b) nenhuma preta? 
 
 
 
 
 
c) pelo menos 2 brancas? d) no máximo 3 pretas? 
 
 
 
 
 
 
e) 2 vermelhas ou 3 pretas? f) 3 brancas ou 3 pretas? 
 
 
 
 
 
5. Uma pessoa tem 11 amigos, entre eles Ana casada com Felipe. De quantas maneiras ela pode convidar 5 
deles para jantar, se: 
a) Ana e Felipe não comparecerão separados? 
 
 
 
 
 
b) 2 deles não se falam e, portanto, não comparecerão juntos? 
 
 
 
 
 
6. Considerando um baralho de 52 cartas, quantos jogos de 4 cartas podemos formar de modo que em cada 
jogo tenha 
 
a) exatamente 3 cartas de ouro? 
 
 
 
 
 
b) no máximo um valete?