CAP. 5 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E POISSON

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CAPÍTULO 5 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 Veremos neste capítulo as distribuições na variável discreta: Distribuição Binomial e Distribuição de 
Poisson. 
1. Probabilidade de Bernoulli 
 Seja um experimento aleatório com apenas uma única tentativa. Nessa tentativa podemos ter sucesso, 
se ocorrer o que se quer ou fracasso caso contrário. 
 Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade do fracasso, de tal maneira que 
1p q 
. Se X 
é uma variável aleatória que assume só dois valores X={0,1}, nesse caso o valor 0 (zero) corresponde ao 
fracasso q e o valor 1 corresponde ao sucesso p. Assim podemos escrever: 
 
( 0) ( 1)p X q e p X p   
 
2. Distribuição binomial 
Situação-problema: Uma urna contém 20 bolas brancas e 10 bolas pretas. Retirando-se 5 bolas, qual a 
probabilidade de saírem 3 brancas e 2 pretas? 
a) Sem reposição. 
b) Com reposição. 
Solução: 
a) Sem reposição. Se adotarmos como sucesso sair uma bola branca, então 
20 2
30 3
p  
, e o fracasso será 
sair bola preta, então 
10 1
30 3
q  
. Como são 5 as bolas a serem retiradas, devemos reservar 3 lugares para as 
brancas, isto é, 
 53
 e usando a probabilidade do produto tem-se: 
 
(3 2 )p B P 
 
 53 20 19 18 10 9
30 29 28 27 26
   
 
b) Com reposição. As informações são as mesmas e como as bolas são devolvidas temos: 
 
(3 2 )p B P   53 20 20 20 10 10
30 30 30 30 30
    
3 2 3 2
20 10 2 1
10. 10.
30 30 3 3
       
       
       
 
Observação1: A probabilidade descrita acima se denomina Probabilidade Binomial. Mostremos que a 
expressão 3 2
2 1
10.
3 3
   
   
   
é um termo do binômio de Newton. Se o número de bolas brancas (r) assumir os 
valores de {0,1,2,3,4,5}, então podemos escrever o desenvolvimento do binômio de Newton:
     
5 0 5 1 4 2 3
5 5 5
0 1 2
1 2 2 1 2 1 2 1
3 3 3 3 3 3 3 3
             
                 
             
 
 
   
3 2 5 0
5 5
3 5
2 1 2 1
...
3 3 3 3
       
        
       
ou ainda 5 55
0
51 2 2 1
3 3 3 3
r r
r r


      
        
      

e, um de seus termos é 
a probabilidade 
 76 
 
(3 2 )p B P 
3 2 3 2
20 10 2 1
10. 10.
30 30 3 3
       
       
       
, que corresponde ao quarto termo do 
desenvolvimento do binômio de Newton 5 55
0
51 2 2 1
3 3 3 3
r r
r r


      
        
      

 daí o nome de probabilidade 
Binomial. 
Observação 2: Se r assumir todos os valores {0,1,2,3,4,5}, a soma de todas as probabilidades é igual a 1, 
isto é, 
 
( 0) ( 1) ... ( 5)p r p r p r      
1= 5 55
0
51 2 2 1
3 3 3 3
r r
r r


      
        
      

 
 
Fórmula geral da probabilidade Binomial. 
 Generalizando devemos responder a pergunta: 
 Qual é a probabilidade de obtermos r sucessos em n provas? Se nestas n provas obtermos r sucessos, 
e em consequência teremos n-r fracassos. Suponhamos que nas n provas tenham uma ordem pré-
determinada, por exemplo, as r primeiras provas sejam sucessos e as demais fracasso, então, 
 
... ...
r vezes n r vezes
SSS S FFF F

... ... r n r
r vezes n r vezes
ppp p qqq q p q 

 
( o mesmo ocorreu para as bolas brancas no exemplo). 
Como queremos r sucessos entre n provas independentes, encontramos a fórmula geral: 
 
 ( ) n r n rrp r p q 
 
 
Exemplo 1: 
Uma moeda é lançada 8 vezes. Qual a probabilidade de ocorrer 
a) 5 caras? 
Escrevemos 
8
1/ 2
1/ 2
n
p
q



 
, logo 
 
5 3
8
5
1 1
( 5)
2 2
p r
   
     
   
56. 
1
256
=0,21875 
 
 
b) pelo menos 1 cara ? 
 
( 1) ( 1) ( 2) ... ( 8)p r p r p r p r        1 ( 0)p r 
= 
 
0 8
8
0
1 1
1 0,996
2 2
   
    
   
 
 
c) no máximo 2 caras ? 
 
( 2) ( 0) ( 1) ( 2)p r p r p r p r       
 
0 8
8
0
1 1
2 2
   
   
   
+
 
1 7
8
1
1 1
2 2
   
   
   
+
 
2 6
8
2
1 1
2 2
   
   
   
= 0,1445 
 
Exemplo 2: 
 Se 5% dos cavalos de uma fazenda estão doentes, achar a probabilidade que numa amostra de 4 cavalos 
escolhidas ao acaso, tenhamos 
 77 
 
a) nenhum doente (todos sadios)? 
4
5% 0,05
95% 0,95
n
p
q


 
  
, logo 
    
0 44
0( 0) 0,05 0,95 0,8145p r   
 
 
b) pelo menos 1 doente ? 
 
( 1) ( 1) ( 2) ... ( 4)p r p r p r p r        1 ( 0)p r 
= 
 
    
0 44
01 0,05 0,95 1 0,8145  
=0,1855 
 
Exercícios de aplicação 14: 
 
1. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a probabilidade de acertar 
 
a) 2 tiros ? 
 
 
 
 
b) errar todos os tiros? 
 
 
 
 
 
 
2. Um carro de corrida tem probabilidade 1/3 de vencer qualquer corrida de um torneio. Se o torneio consiste 
de 5 provas, qual a probabilidade de o carro vencer 
 
a) exatamente 3 provas ? 
 
 
 
 
b) no mínimo 80% das provas? 
 
 
 
 
 
 
c) nenhuma prova? 
 
 
 
 
 
 
 78 
3. Na Empresa ABC 2/3 das secretarias falam fluentemente a língua inglesa. Escolhendo 5 secretárias ao 
acaso, qual a probabilidade de que 
a) duas falem fluentemente a língua inglesa? 
 
 
 
 
 
b) pelo menos 20% fale fluentemente a língua inglesa? 
 
 
 
 
 
c) no máximo 3 falem fluentemente a língua inglesa? 
 
 
 
 
 
 
4. Uma urna contém 4 bolas pretas, 3 vermelhas e 2 amarelas. Desta urna 3 bolas são retiradas sucessivamente 
com reposição. Qual a probabilidade de obtermos 
a) pelo menos uma vermelha? 
 
 
 
 
 
 
b) exatamente uma preta? 
 
 
 
 
 
5. Uma urna contém 4 bolas brancas, 3 pretas e 1 vermelha. Desta urna 3 bolas são retiradas sucessivamente, 
com reposição. Qual a probabilidade de obtermos 
a) no máximo 2 vermelhas? 
 
 
 
 
 
b) alguma bola branca? 
 
 
 
 
 
 79 
6. A probabilidade de um aluno ser aprovado no vestibular para o curso de estatística é 1/3. Em um grupo de 
6 candidatos. Qual a probabilidade de serem aprovados 
 
a) 2 candidatos ? 
 
 
 
 
 
b) no máximo 4 candidatos ? 
 
 
 
 
 
 Exercícios de aplicação 15: 
 
1. A probabilidade de um aluno do Curso de Estatística errar na determinação das raízes de uma equação do 
segundo grau é de 0,4. Em um grupo de 6 equações, qual probabilidade de errar 2 questões? 
 
 
 
 
2. A agência de um banco WPG tem por norma renovar cerca de 60% dos empréstimos de crédito pessoal 
quando do vencimento. Pedem renovação 3 correntistas, qual a probabilidade de que os três pedidos sejam 
indeferidos? 
 
 
 
 
 
 
3. Um foguete tem probabilidade 0,2 de acertar o alvo. Se ele dispara 7 tiros, qual a probabilidade de a 
certar no mínimo 2 vezes? 
 
 
 
 
4. A probabilidade de um aluno que ingresse no curso de Estatística e chegue a se formar sem nenhuma 
dependência é 0,3. Em um grupo de 8 ingressantes desse curso, a probabilidade de se formar tendo no máximo 
uma dependênciaé 
 
 
 
 
 
 
 (A) 0,288. (B) 0,277. (C) 0,266. (D) 0,255. (E) 0,244. 
 80 
5. Se em uma prova com 6 questões e cinco alternativas um aluno só esteja adivinhando, então a probabilidade 
de acertar apenas 1 questão é 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 0,393. (B) 0,262. (C) 0,301. (D) 0,421. (E) 0,501. 
6. O Departamento de Trânsito de certa cidade constatou que os endereços de 20% dos proprietários de 
veículos estão incorretos. Se 8 proprietários forem sorteados aleatoriamente, qual é a probabilidade de que 
exatamente a metade dos endereços esteja correta? 
 
 
 
 
 
 
 
 
A)39,5% B) 4,6% C) 47,3% D) 95,5% E) 64,6% 
7. Em uma cidade, 40% dos táxis têm motor 1.0. Considerando-se uma amostra de 10 veículos da cidade, qual 
é a probabilidade de que 20% dos táxis sejam de cilindrada diferente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 0,44 B) 0,54 C) 0,14 D) 0,34 E) 0,01 
8. Uma prova é constituída de 20 questões, cada uma delas com 5 alternativas de resposta, das quais apenas 
uma é correta. Se um aluno responder às questões ao acaso, a probabilidade de que ele consiga acertar 
exatamente 10 questões é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A)0,4% B) 0,2% C) 0,3% (D) 0,5% E) 0,1% 
 
 
 
 
 81 
3. Distribuição de Poisson ou distribuição dos eventos raros 
 No modelo probabilístico a distribuição de Poisson é utilizada em um grande número de problemas, 
principalmente quando a probabilidade de ocorrer um evento é muito pequena e o número de casos é muito 
grande. Essas situações se identificam com a distribuição binomial. Podemos fazer uma aproximação da 
binomial pela distribuição de Poisson da seguinte maneira. 
 Seja 
n 
 (n>30) e 
 0 0,1p p 
, definimos a média por: 
 
np 
<10 e a variância por Var(X)=npq. 
 Mostremos que 
lim ( ) lim
n n
p r
 
  
n r n r
r p q

!
re
r


 
Partindo da binomial e tomando o limite no final das operações segue: 
 
 ( ) n r n rrp r p q 
=
!
( )! !
r n rn p q
n r r


=
( 1)( 2)...( 1)( )!
(1 )
!( )!
r n rn n n n r n r p p
r n r
      

 
( 1)( 2)...( 1)( )!
( ) (1 )
!( )!
r n rn n n n r n r np p
r n r n
     

( 1)( 2)...( 1)
(1 )
!
r
n r
r
n n n n r np
r n n
      
1 2 1
... . . 1
!
n rrn n n n r
n n n n r n
       
 
 
= 
=
1 2 1
1.(1 )(1 )...(1 )
r
n n n

  . 1 . 1
!
n rr
r n n
      
    
   
 
Tomando o limite a expressão se reduz a 
1
lim . 1 . 1
! !
n rr r
n
tende atende a e
e
r n n r

   

 

   
     
   
. Portanto 
a probabilidade de Poisson é dada por: 
( )
!
re
p r
r


 
 
Exemplo 3: 
A probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa à injeção de um determinado soro é de 0,001. 
Determinar a probabilidade de que em 2000 indivíduos, 
 a) exatamente 3 acusem reação negativa? 
 
2000
2000 0,001 2
0,001
n
np
p
     

, segue: 
( 3)
!
re
p r
r

  
2 3
2
3!
e

0,1804 
 b) no máximo 2 acusem reação negativa? 
( 2) ( 0) ( 1) ( 2)p r p r p r p r       
2 0
2
0!
e

2 12
1!
e

2 2
2
2!
e

25e 
0,6766 
Exemplo 4: 
 Na revisão tipográfica de um livro achou-se em média 1,5 erros por página. Das 600 páginas do livro, 
estimar quantas não precisam ser modificadas por não apresentarem erros? 
 82 
Solução: 
 Nesse caso o valor da média é dado 
1,5 
 e não apresentar erro significa r=0, pela fórmula segue: 
 
( 0)
!
re
p r
r

  
1,5 01,5
0!
e

1,5e 
0,2231 
 Como são 600 páginas, tem-se 600 x 0,2231=133,8
134
páginas. 
Exemplo 5: 
 No tear da marca Luiza a fabricação de peças de determinado tecido aparecem defeitos ao acaso, sendo 
um a cada 250 metros. Supondo-se que a distribuição para os defeitos seja a de Poisson, qual a probabilidade 
de que na produção de 1000 m 
a) não haja defeito? 
1000 1
1000x 4
1/ 250 250
n
np
p
    

, segue: 4 04
( 0) 0,018316
! 0!
re e
p r
r
 
   
 
 
 b) aconteça pelo menos 3 defeitos ? 
 
( 3) ( 3) ( 4) ( 5) ... ( 1000) 1 ( 2)p r p r p r p r p r p r            
 
 
 4 0 4 1 4 2
44 4 41 [ ] 1 13 0,761896
0! 1! 2!
e e e
e
  
     
 
 c) se a produção diária desse tear é de 375 m, num período de 80 dias de trabalho, em quantos dias podemos 
esperar produção sem defeito? 
 
 Dizer que a produção é sem defeito é ter produção com zero defeito, logo 
 
375 1
375x 1,5
1/ 250 250
n
np
p
    

, segue: 
( 0)
!
re
p r
r

  
1,5 01,5
0!
e

1,5e 
0,2231 e, portanto, 80x0,2231=17,84

18 dias 
 
Exercícios de aplicação 16: 
 
1. Certa máquina produz 0,02% de engrenagens com defeito. Na fabricação de 1000 engrenagens, qual a 
probabilidade de 
a) exatamente 2 terem defeitos ? 
 
 
 
 
b) no máximo 3 terem defeitos ? 
 
 
 
 
 
 
 
 83 
2. A produção diária de pregos de uma fábrica apresenta 0,005% de defeitos por kg. Em uma partida de 20 
000 kg de pregos, qual a probabilidade de 
a) haver no mínimo 3 kg com defeitos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) em uma produção de 30 dias se espera que haja quantos dias de 1 kg com defeito? 
 
 
 
 
 
 
3. A probabilidade de se fabricar uma calculadora eletrônica com defeito é 0,002. Em um lote de 
4000 calculadoras, qual a probabilidade de 
 a) no mínimo 2 terem defeitos? 
 
 
 
 
 
 b) exatamente 4 terem defeitos? 
 
 
 
 
c) no máximo 2 tenham defeitos? 
 
 
 
 
 
4. Uma empresa transportadora é contratada para o transporte de sacas de café. A probabilidade de uma saca 
se romper é 0,00002. Qual a probabilidade de no transporte de 150 000 sacas 
a) no mínimo 3 sacas se romperem? 
 
 
 
 
 
 
 84 
 b) no máximo 2 sacas se romperem? 
 
 
 
 
 
 
 
5. Uma fábrica de automóveis verificou que ao testar seus carros na pista de provas, há em média um 
estouro de pneu a cada 300 km. Supondo-se que a distribuição para os estouros dos pneus seja a de 
Poisson, qual a probabilidade de que 
a) em um teste de 900 km haja no máximo um pneu estourado? 
 
 
 
 
 
 
 
b) em um teste de 450 km não haja nenhum estouro de pneu? 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Um dado é formado com chapas de plástico de 10x10 cm. Em média aparecem 50 defeitos a cada 
metro quadrado de plástico, segundo a distribuição de Poisson. Qual a probabilidade de 
a) uma determinada face apresentar exatamente 2 defeitos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) o dado apresentar no mínimo 2 defeitos?