MFA_Fluidodinâmica

Prévia do material em texto

Estudo da interação entre um fluido e 
um corpo nele imerso, em movimento 
relativo. 
Capítulo 9 do Brunetti 
Considerando: 
Regime permanente e fluido incompressível. 
 Adota-se o referencial fixo na superfície sólida  é 
considerada sempre em repouso para o observador. 
O fluido é que se move com velocidade igual e em 
sentido contrário ao do corpo. 
 
 
 
Regiões do fluido: 
Região em que o movimento é 
perturbado pela presença do 
objeto; 
Região não perturbada – seção 
ao longe ou no infinito. As linhas 
de corrente são paralelas e o 
diagrama de velocidades é 
uniforme. 
 
Movimento relativo gera força resultante (F) sobre 
o objeto composta por: 
 Força de arrasto (Fa) - força de resistência ao 
avanço – paralela às linhas de corrente. 
 Força de sustentação (Fs) - normal ou 
perpendicular às linhas de corrente. 
vfluido 
Em cada ponto da superfície do sólido a força pode ser 
decomposta como: 
 Uma ação normal – Arrasto de forma ou de pressão 
(Fap) – devido à diferença entre as pressões sobre o 
sólido na sua parte dianteira em relação à sua parte 
traseira. 
 Uma ação tangencial – Arrasto de superfície (Fas) 
devido às tensões de cisalhamento na superfície 
sólida. 
apasa FFF 
ARRASTO DE FORMA OU DE PRESSÃO 
 Peso: G 
 
 γc : peso específico do corpo 
 Vc : volume do corpo 
 
 Empuxo: E – peso do fluido deslocado. 
cc VgmG .. 
fffff VgVgmE ....  
 Ação do atrito no fluido altera drasticamente o 
percurso do fluido ao escoar em torno do corpo. 
 Tais efeitos produzem uma queda de pressão na 
direção do escoamento, resultando numa pressão 
menor na parte traseira do corpo do que na 
parte frontal  isto gera o arrasto de pressão. 
 
 Significativo quando o corpo imerso não 
apresenta espessura desprezível (ao contrário da 
placa fina) 
 
 
 A seção A sofre uma redução até um mínimo A’  
partículas do fluido são aceleradas e há redução 
na pressão. 
 Depois de A’ ocorre a ampliação da seção e 
desaceleração das partículas. A pressão passa a 
aumentar no sentido do escoamento. 
 Esse fenômeno é chamado de “gradiente adverso 
de pressão” 
A A’ 
AA
AAAA
pp
pp
g
VV





'
'
2
'
2
0
2 
 Após o ponto de máxima velocidade (e mínima pressão) 
devido ao atrito dentro da camada limite, a velocidade das 
partículas não retorna ao valor original e há um ponto de 
parada. 
 Ocorre o descolamento da camada limite e a formação de 
redemoinhos numa região chamada de esteira do 
descolamento. O descolamento implica que o fluido deixa 
de se movimentar na direção paralela à superfície. 
 Após certa distância os efeitos viscosos extinguem os 
redemoinhos. 
 Na região de esteira a pressão é menor do que 
aquela na parte dianteira do corpo  surge uma 
força resultante no sentido do escoamento: 
Força de arrasto de pressão. 
 
Pressão 
ACF papa .
2
U. 2
,,


ARRASTO DE SUPERFÍCIE OU DE ATRITO 
 Ação direta de uma força de atrito (viscoso) 
causada pela tensão de cisalhamento atuando 
sobre o corpo. 
 
 
 Considerando o caso limite de uma placa plana e 
muito fina, paralela ao escoamento, apenas os 
efeitos da tensão de cisalhamento são 
importantes para o cálculo do arrasto, já que 
não ocorre nenhum efeito devido às pressões 
dinâmicas. 
 dAFas
asa FF 
U
x
x
.
5)(

 
Camada limite hidrodinâmica: região na qual a velocidade do 
fluido varia de zero sobre a superfície até U. A espessura da 
camada limite é definida como aquela para a qual a 
velocidade u é 99% de U (u=0,99.U). 
Dentro da espessura da camada limite (δ)  u=u(x, y). Se o 
escoamento for laminar: 
 
 ν – viscosidade cinemática 
 
Velocidade ao longe (a 
montante da placa): U 
uniforme na seção. 
Para uma placa plana de comprimento L e largura b, a força 
de arrasto de superfície em um lado da placa é 
representada pelo coeficiente de arrasto: 
 onde: e 
 
 
Após certa distância do bordo de ataque, o escoamento da 
camada limite faz a transição de laminar para turbulento. 
 
 
L
saC
Re
328,1
,  
UL
L Re
Bordo de ataque 
2
.U. 2
,,
bL
CF sasa



Ux
x Re
O parâmetro que determina a transição para escoamento 
turbulento é o número de Reynolds baseado na distância 
do bordo de ataque da placa: 
 
Sobre uma placa plana de bordo delgado, a transição ocorre 
a uma distância crítica: xc do bordo de ataque que pode 
ser determinada considerando: Rex,c = 5.10
5 
 
Este é um valor típico, mas Rex,c depende da rugosidade da 
placa, da troca de calor com o fluido, entre outros fatores. 
 Um fluido escoa em regime estacionário sobre uma placa 
plana com velocidade U=10ft/s. Em que posição, 
aproximadamente, a camada limite irá se tornar turbulenta 
e qual a espessura da camada limite nesse ponto se o fluido 
for: 
a) Água a 60ºF (ν=1,21.10-5 ft2/s) 
b) Ar nas condições padrão (ν=1,57.10-4 ft2/s) 
 
RESOLUÇÃO: 
Para qualquer fluido: Rex,c=5.10
5 
 
 água: δ(xc)=
 0,00428ft 
 xc=0,605ft 
 ar: δ(xc)=
 0,0556ft 
 xc=7,85ft
 
U
x
x
.
5)(

 
U
x
Ux cx
c
c
cx
,
,
Re
Re

 
Aumentada a 
viscosidade, o 
escoamento laminar é 
mantido por uma 
distância maior. 
Considerando que todos os diagramas de velocidade fossem do 
tipo turbulento desde o bordo de ataque: 
 
 
 
Como a camada limite é laminar até o xc e em seguida torna-se 
turbulenta, a equação acima deve ser corrigida: 
 com: k=f(Rexc) 
 
5
,
Re
074,0
L
saC 
LL
sa
k
C
ReRe
074,0
5
, 
Rexc 3.10
5 5.105 1.106 3.106 
k 1050 1700 3300 8700 
 Uma placa plana retangular de 1m de largura e 2m de 
comprimento, imersa em água (ρ=1000kg/m3 e ν=1,5.10-6 
m2/s) é arrastada horizontalmente com velocidade 
constante de 1,5m/s. Calcular a força necessária se: 
a) A camada limite se mantém laminar até o bordo de fuga. 
b) A camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque. 
c) O número de Reynolds crítico é 5.105. 
 
 RESOLUÇÃO: o arrasto é dado por: 
 
A=2.L.b =4m2. (porque a placa sofre arrasto em ambos os 
lados) 
 
 Para todos os casos: 
 
ACF aa .
2
U. 2

asasa CACF 4500.
2
U. 2


610.2Re 

UL
L
a) A camada limite se mantém laminar até o bordo de fuga. 
 
 
 
 
b) A camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque. 
 
 
 
 
c) O número de Reynolds crítico é 5.105. 
 
 
 
 
 4, 10.4,9
Re
328,1
L
saC NCF asa 23,44500 
 3
5
, 10.06,4
Re
074,0
L
saC
NCF asa 3,184500 
 3
5
, 10.21,3
ReRe
074,0
LL
sa
k
C
NCF asa 4,144500 
 Lm
U
x
cx
c 5,0
Re ,
Erro cometido ao considerar que a camada limite é 
totalmente turbulenta desde o bordo de ataque: 
 
 
 
 
O erro será tanto menor quanto menor for o comprimento até 
a transição, xc. Desta forma, o comprimento da camada 
limite laminar será menor, tornando-se desprezível em 
relação ao da camada turbulenta. 
%3,21
3,18
4,143,18


erro
Em escoamento turbulento, a estrutura da camada limite é 
muito complexa, aleatória e irregular. 
O escoamento é como uma mistura desordenada de 
redemoinhos entrelaçados (vórtices). 
O arrasto de superfície para a camada limite turbulenta é 
muito maior do que para a laminar, já que na turbulenta o 
gradiente develocidade junto à placa é maior. 
 
O coeficiente de arrasto para uma placa plana é função 
do número de Reynolds ReL e da rugosidade relativa 
da superfície (ε/L). 
 
Para a camada limite do escoamento laminar: 
Ca,s=Ca,s(ReL), não depende da rugosidade. 
 
Para o escoamento turbulento: Ca,s = Ca,s(ReL, ε/L), pois 
a rugosidade afeta a tensão de cisalhamento e, 
consequentemente, o arrasto. 
 Uma peça de 4ft por 8ft de compensado de madeira é fixada 
no bagageiro de teto de um carro que viaja a 80,7ft/s 
através do ar parado. Estime o arrasto causado pela tensão 
de cisalhamento no topo do compensado, considerado 
paralelo à corrente de ar a montante. 
Compensado: ε=0,003ft; Ar nas condições padrão 
(ρ=0,00238slug/ft3; ν=1,57.10-4 ft2/s) 
 
 RESOLUÇÃO: o arrasto é dado por: 
 A=L.b =32ft2. 
 
  turbulento 
ε/L =0,003/8 = 3,75.10-4 
Do gráfico: Ca=0,0065 
6
4
10.11,4
10.57,1
8.7,80
Re 

UL
L
ACF aa .
2
U. 2

lbfACF aa 61,1.
2
U. 2


 Ca – coeficiente de arrasto – adimensional. 
 ρ – massa específica do fluido. 
 A – área de referência (em geral, área frontal) 
 U– velocidade de referência (em geral, a velocidade da 
seção ao longe, ou a montante) 
apasa FFF 
ACF aa .
2
U. 2

Re<1 
103< Re<3,5.105 
Re>1 
 Região I: Re<1  escoamento lento. Não ocorre o 
descolamento e Fa=Fa,s : 
 
 
 Região II: Re>1  camada limite começa a descolar na 
traseira e o arrasto de pressão passa a ser cada vez mais 
significativo. Com o aumento de Re, o ponto de 
descolamento se estende para a parte dianteira da esfera. 
 Região III: 103<Re<3,5.105  o ponto de descolamento 
mantém-se fixo e Ca fica constante: 
 
 Região IV: Re≈3,5.105  ocorre uma queda brusca no valor 
de Ca . Corresponde à passagem da camada limite laminar 
para turbulenta. O ponto de descolamento se desloca para 
a parte traseira da esfera. 
Re
24
aC
45,0aC
Figura 1 – Re<1. Escoamento é 
simétrico em torno da esfera. 
 Figura 2 – Re = 10. Simetria é 
perdida e surge uma região 
estacionária atrás da esfera. 
Figura 3 – Re=100. Região de 
separação fica maior e não 
estacionária  esteira 
oscilatória 
Figura 4 – 103<Re<105. 
 
Figura 5 - Re ≈3,5.105 : A pressão 
atrás do objeto aumenta 
novamente devido ao 
movimento transversal das 
partículas e a pressão de arraste 
é drasticamente reduzida. 
A presença de rugosidade 
na superfície do corpo 
induz a presença de 
turbulências. Deste 
modo, o arrasto de 
pressão pode ser 
grandemente 
eliminado, e somente o 
arraste de viscosidade 
age sobre o corpo. 
Isto é observado em 
bolas de golfe ou de 
tenis. 
 Qual será a máxima velocidade de descida de um 
paraquedista que pesa com seu equipamento 1200N, sendo 
que o paraquedas tem um diâmetro de 6m e um 
coeficiente de arrasto igual a 1,2 ? 
(Para o ar: ρ=1,2 kg/m3) 
 
RESOLUÇÃO: A máxima velocidade se dá quando o peso é 
equilibrado pela força de arrasto. 
 
 
A=π.R2 = 28,27m2 
 
NPesoFa 1200 ACF aa .
2
U. 2

smU
AC
F
a
a /7,795,58
.
.2
U2  
 Uma esfera de 15cm de diâmetro é colocada numa 
corrente de ar. Um dinamômetro indica uma força de 
1,14N. Considerando que 103<Re<3,5.105 calcule a 
velocidade do ar. 
(Para o ar: ν = 10-5 m2/s e ρ=1,2 kg/m3) 
 
RESOLUÇÃO: 
A=π.D2/4 = 0,0177m2 
Fa=1,14N 
 
 
 
ACF aa .
2
U. 2
 smU
AC
F
a
a /5,15
.
.2
U2  
 Deixa-se cair livremente uma esfera de massa específica 
de 2014kg/m3 num tanque que contém glicerina de massa 
específica de 1290kg/m3 e viscosidade cinemática de 
2,7.10-2 m2/s. A velocidade final constante da esfera é tal 
que Re=0,1. Qual é a força de arrasto na esfera e qual é a 
velocidade final? 
 
RESOLUÇÃO: Para Re <1  Ca = 24/Re 
Área da esfera: Ae = π.D
2/4 ; Volume da esfera: Ve = 4πR
3/3= πD3/6 
Forças que agem sobre a esfera: 
Peso: G=me.g = ρe.Ve.g Empuxo: E=mg.g = ρg.Ve.g 
Força de arrasto: Fa 
Em equilíbrio: G=E+Fa 
 U=0,044m/s 
 
NACF aa 88,0.
2
U. 2


m
U
D 061,0
Re


 É uma força com sentido 
para cima, contrária ao 
peso do objeto. 
 Pode ser pensada como a 
força resultante de um 
diferencial de velocidade 
do fluido nas faces opostas 
do objeto. 
 ΔVΔpForça resultante 
 
 Sendo Cs o coeficiente de 
sustentação: 
 
ACF ss .
2
U. 2

 Área de referência: A = corda x envergadura=c.e 
 
 e 
 
Ângulo de ataque: entre a corda e a direção do escoamento 
Linha média = linha de camber. 
2
.U. 2 ce
CF ss

 2
.U. 2 ce
CF aa


 Cs =f(ângulo de ataque). A relação é obtida experimentalmente 
na forma de gráfico. 
 Uma placa de 0,9m x 1,2m move-se com 13,2 m/s em ar 
parado, com uma inclinação de 12º com a horizontal. 
Sendo Ca =0,17; Cs=0,72; ρ=1,2 kg/m
3; A=área da placa, 
determine: 
a) A força resultante exercida pelo ar sobre a placa. 
b) A força de atrito. 
c) A potência necessária para manter a placa em 
movimento. 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) N= Fa.U = 253,4W = 0,25kW 
NACF aa 2,19.
2
U. 2


NACF ss 3,81.
2
U. 2


NFFF sa 5,83
22 
NsenFFF os
o
aat 9,1)12(12cos 
F 
Fs 
Fa 
U 
Fat