ESTATISTICA_2_2013

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ESTATÍSTICA 
 
 
O presente material foi elaborado com o objetivo de facilitar as atividades em sala de 
aula, seguindo a bibliografia apresentada no final do texto. Esclarece-se que o material, não 
substitui a bibliografia apresentada, portanto, é necessário consultar os livros recomendados. 
 
Profa. Sachiko Araki Lira 
. 
 
 
 
 
 
 
2º. SEMESTRE DE 2013 
 
SUMÁRIO 
ii 
 SUMÁRIO 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA ........................................................................................................ 1 
1.1 Variável Aleatória ................................................................................................................ 2 
1.2 Tipos de Escalas e Variáveis............................................................................................... 4 
1.3 Tabelas ............................................................................................................................... 5 
1.3.1 Normas para apresentação de tabelas ............................................................................. 5 
1.3.2 Tabelas de distribuição de frequências............................................................................. 6 
1.3.2.1 Variável Discreta ........................................................................................................... 6 
1.3.2.2 Variável Contínua .......................................................................................................... 8 
1.4 Gráficos ............................................................................................................................... 9 
1.4.1 Representação Gráfica ..................................................................................................... 9 
1.4.2 Histograma de Frequências.............................................................................................. 9 
1.4.3 Diagrama de Ramo e Folhas (Stem and Leaf Plot) ........................................................ 10 
1.4.4 Gráfico de Boxplot ou da Caixa ...................................................................................... 11 
1.4.5 Gráfico de Linhas ........................................................................................................... 12 
1.5 Medidas de Localização, Variabilidade e Forma da Distribuição ....................................... 12 
1.5.1 Tendência Central .......................................................................................................... 13 
1.5.1.1 Esperança matemática ou média aritmética ................................................................ 13 
1.5.1.2 Mediana ...................................................................................................................... 15 
1.5.1.3 Moda ........................................................................................................................... 18 
1.5.2 Medidas de Posição (ou Separatrizes) ........................................................................... 20 
1.5.2.1 Quartil.......................................................................................................................... 20 
1.5.3 Medidas de Dispersão .................................................................................................... 22 
1.5.3.1 Amplitude Total ........................................................................................................... 22 
1.5.3.2 Amplitude Interquartil ................................................................................................... 23 
1.5.3.3 Desvio Médio ............................................................................................................... 23 
1.5.3.4 Variância e Desvio Padrão .......................................................................................... 24 
1.5.3.5 Coeficiente de Variação............................................................................................... 27 
1.5.4 Forma da Distribuição .................................................................................................... 27 
1.5.4.1 Coeficiente do momento de assimetria ........................................................................ 27 
1.5.4.2 Coeficiente do momento de curtose ............................................................................ 28 
Lista de Exercícios no. 1 – Estatística Descritiva ..................................................................... 31 
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES ....................................................................................... 34 
2.1 Experimento Aleatório (E) ................................................................................................ 34 
2.2 Espaço Amostral (S) ......................................................................................................... 34 
2.3 Evento ............................................................................................................................... 34 
2.3.1 Evento Complementar .................................................................................................... 35 
2.3.2 Eventos Independentes .................................................................................................. 35 
2.3.3 Eventos Mutuamente Exclusivos .................................................................................... 36 
2.4 Definição Clássica de Probabilidade ................................................................................. 37 
2.5 Definição Axiomática de Probabilidade ............................................................................. 37 
2.6 Probabilidade Condicional ................................................................................................. 37 
2.7 Teorema da Probabilidade Total ....................................................................................... 38 
2.8 Teorema de Bayes ............................................................................................................ 39 
Lista de Exercícios no. 2 - Probabilidades ............................................................................... 40 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES .............. 43 
3.1 Definições ......................................................................................................................... 43 
3.2 Distribuições de Probabilidades Discretas ......................................................................... 46 
3.2.1 Distribuição binomial ...................................................................................................... 46 
3.2.2 Distribuição de Poisson .................................................................................................. 48 
3.2.3 Distribuição Hipergeométrica .......................................................................................... 50 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
iii 
Lista de Exercícios no. 3 – Distribuições de Probabilidades Discretas .................................... 52 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES .............. 54 
4.1 Definições ......................................................................................................................... 54 
4.2 Distribuições de Probabilidades Continuas ........................................................................ 56 
4.2.1 Distribuição Exponencial ................................................................................................ 56 
4.2.2 Distribuição normal ou Gaussiana .................................................................................. 57 
4.3.2.1 Distribuição normal padronizada ou reduzida .............................................................. 59 
4.3.3 Distribuição 
2
 ( qui-quadrado)...................................................................................... 61 
4.3.4 Distribuição “ 
t
” de Student............................................................................................ 62 
4.3.5 Distribuição F de Snedecor ............................................................................................ 63 
Lista de Exercícios no. 4 – Distribuições de Probabilidades Contínuas ................................... 64 
NOÇÕES DE AMOSTRAGEM E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS.............................................. 66 
5.1 Introdução ......................................................................................................................... 66 
5.2 Amostragem Probabilística ................................................................................................ 66 
5.2.1 Amostragem Aleatória Simples (AAS) ............................................................................ 66 
5.2.2 Amostragem Sistemática ................................................................................................ 67 
5.2.3 Amostragem Estratificada............................................................................................... 68 
5.3 Distribuições Amostrais ..................................................................................................... 68 
5.3.1 Distribuição Amostral de Médias .................................................................................... 68 
5.3.2 Distribuição Amostral de Proporções .............................................................................. 72 
5.3.3 Distribuição Amostral da Variância ................................................................................. 72 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS .............................................................................................. 74 
6.1 Introdução ......................................................................................................................... 74 
6.2 Estimador e Estimativa ...................................................................................................... 74 
6.3 Qualidades de um Estimador ............................................................................................ 74 
6.4 Estimação por Pontos ....................................................................................................... 75 
6.4.1 Estimador da Média Populacional .................................................................................. 75 
6.4.2 Estimador da Variância Populacional ............................................................................. 75 
6.4.3 Estimador do Desvio Padrão Populacional ..................................................................... 76 
6.4.4 Estimador da Proporção Populacional ............................................................................ 76 
6.5 Estimação por Intervalo ..................................................................................................... 76 
6.5.1 Intervalo de Confiança para Média populacional ............................................................ 76 
6.5.2 Intervalo de Confiança para Diferença entre Duas Médias Populacionais 
1
 e 
2
......... 80 
6.5.3 Intervalo de Confiança para a Variância Populacional .................................................... 84 
6.5.4 Intervalo de Confiança para o Desvio Padrão Populacional ........................................... 85 
6.5.5 Intervalo de Confiança para Proporção Populacional ..................................................... 86 
6.6 Dimensionamento da Amostra .......................................................................................... 87 
6.6.1 Estimação da Média Populacional .................................................................................. 87 
6.6.2 Estimação da Proporção Populacional ........................................................................... 88 
Lista de Exercícios no. 5 - Intervalos de Confiança ................................................................ 89 
TESTES DE HIPÓTESES .......................................................................................................... 92 
7.1 Etapas para Testes de Hipóteses ...................................................................................... 92 
7.1.1 Nível de Significância ..................................................................................................... 92 
7.1.2 Erro Estatístico ............................................................................................................... 93 
7.2 Testes Estatísticos Paramétricos ...................................................................................... 93 
7.2.1 Teste para a Média Populacional ................................................................................... 93 
7.2.1.1 Quando a variância populacional 
2
 é Conhecida ...................................................... 93 
7.2.1.2 Quando a variância populacional 
2
 é desconhecida ................................................. 95 
7.2.2 Teste para a Proporção Populacional ............................................................................. 96 
7.2.3 Teste para a Variância Populacional .............................................................................. 98 
7.2.4 Teste para a Diferença entre Duas Médias Populacionais............................................ 100 
7.2.4.1 Quando as variâncias populacionais 
2
1
 e 
2
2
 são Conhecidas ................................ 100 
7.2.4.2 Quando as variâncias populacionais 
2
1
 e 
2
2
 são Desconhecidas .......................... 102 
7.2.5 Duas Amostras Emparelhadas ..................................................................................... 106 
7.2.6 Teste para Igualdade de Duas Variâncias .................................................................... 107 
 
SUMÁRIO 
iv 
Lista de Exercícios no. 6 – Testes de Hipóteses ................................................................... 110 
TESTES DE ADERÊNCIA ....................................................................................................... 113 
8.1 Teste Qui-quadrado de Aderência ................................................................................... 113 
8.2 Teste de Lilliefors ............................................................................................................ 117 
Lista de Exercícios no. 7 – Testes de Aderência ................................................................... 119 
ANÁLISE DA VARIÂNCIA ........................................................................................................ 121 
9.1 Fundamentos da ANOVA ................................................................................................ 121 
9.2 Análise da Variância a um Critério de Classificação ........................................................ 123 
9.3 Comparações Múltiplas entre Médias .............................................................................. 128 
9.3.1 Teste de Scheffé .......................................................................................................... 128 
Lista de Exercícios no. 8 – Análise da Variância ................................................................... 131 
ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃ0 SIMPLES ........................................................ 133 
10.1 Introdução ..................................................................................................................... 133 
10.2 Diagrama de Dispersão ................................................................................................. 133 
10.3 Análise de Correlação ................................................................................................... 134 
10.3.1 Coeficiente de Correlação Linear de Pearson ............................................................ 134 
10.3.1.1 Teste de Hipóteses para Coeficiente de Correlação ................................................136 
10.4 Análise de Regressão Linear Simples ........................................................................... 137 
10.4.1 Estimação dos Parâmetros ......................................................................................... 138 
10.4.2 Testes de Hipóteses na Regressão Linear ................................................................ 141 
10.4.2.1Teste 
t
 ..................................................................................................................... 141 
10.4.2.2 Análise da Variância ................................................................................................ 141 
10.4.3 Coeficiente de Determinação ou Explicação............................................................... 144 
10.5 Ajuste de Curva Geométrica (ou Função Potência) ....................................................... 147 
10.5.1 Estimativa dos Coeficientes ........................................................................................ 148 
10.5.2 Testes de Hipóteses ................................................................................................... 149 
10.5.2.1 Análise da Variância ................................................................................................ 149 
10.5.3 Coeficiente de Determinação ou Explicação............................................................... 149 
10.6 Ajuste de Função Exponencial ...................................................................................... 152 
10.6.1 Estimativa dos Coeficientes ........................................................................................ 153 
10.6.2 Testes de Hipóteses ................................................................................................... 154 
10.6.2.1 Análise da Variância ................................................................................................ 154 
10.6.3. Coeficiente de Determinação ou Explicação .............................................................. 154 
Lista de Exercícios no. 9 – Análise de Correlação e Regressão ............................................ 158 
ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA ..................................................................... 160 
11.1 Regressão Linear com 2 Variáveis Independentes ........................................................ 160 
11.1.1 Estimativas dos Coeficientes de Regressão ............................................................... 161 
1.1.2 Teste para Verificar a Existência de Regressão ........................................................... 161 
11.1.3 Cálculo do Coeficiente de Determinação ou Explicação ............................................. 161 
Lista de Exercícios no. 10 – Análise de regressão Linear Múltipla ........................................ 166 
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................ 168 
TABELA A1.1 – ÁREAS SOB A CURVA NORMAL ............................................................... 169 
TABELA A1.2 – ÁREAS SOB A CURVA NORMAL ............................................................... 170 
TABELA A2 - DISTRIBUIÇÃO ‘
t
’ DE STUDENT .................................................................. 171 
TABELA A3 - DISTRIBUIÇÃO DE 
2
 .................................................................................. 172 
TABELA A4 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR (Nível de Significância 1%) .................... 173 
TABELA A5 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR (Nível de Significância de 5%) ............... 174 
TABELA A6 - DISTRIBUIÇÃO ‘F’ DE SNEDECOR (Nível de Significância de 10%) ............. 175 
TABELA A7 - VALORES CRÍTICOS 
)cd(
 PARA TESTE DE LILLIERFORS ....................... 176 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
1 
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
INTRODUÇÃO 
Estatística é a ciência que trata da coleta, organização, descrição, análise e interpretação dos 
dados experimentais. O diagrama abaixo mostra o contexto em que se situa o estudo completo 
da Estatística, aqui subdividido em Estatística Descritiva e Estatística Indutiva (ou Inferência 
Estatística). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 1 - ESQUEMA GERAL DA ESTATÍSTICA 
FONTE: COSTA NETO (1994), p. 04. 
 
A Estatística Descritiva é a parte que trata da organização e descrição de dados, através dos 
cálculos de médias, variâncias, estudo de gráficos, tabelas etc. 
A Teoria das Probabilidades permite-nos modelar os fenômenos aleatórios, ou seja, aqueles em 
que está presente a incerteza. É uma ferramenta fundamental para a inferência estatística. 
A Estatística Indutiva compreende um conjunto de técnicas baseadas em probabilidades, que a 
partir de dados amostrais, permite-nos tirar conclusões sobre a população de interesse. 
A Amostragem é o ponto de partida para um estudo estatístico. O estudo de qualquer 
fenômeno, seja ele natural, social, econômico ou biológico, exige a coleta e a análise de dados 
estatísticos. A coleta de dados é, pois, a fase inicial de qualquer pesquisa. 
A População é o conjunto de todas as observações potenciais sobre determinado fenômeno. O 
conjunto de dados efetivamente observados, ou extraídos, constitui uma amostra da população. 
É a partir do dado amostral, que se desenvolvem os estudos, com o objetivo de se fazer 
inferências sobre a população. 
 
 
Estatística 
Descritiva 
Amostragem Cálculo das 
Probabilidade
s 
Estatística 
Indutiva 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
2 
1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
O objetivo da estatística descritiva é organizar os dados e apresentá-los de forma a possibilitar a 
visualização das informações subjacentes (que não são observáveis). As técnicas estatísticas e 
gráficas, disponíveis para a análise exploratória de dados, podem ser aplicadas a qualquer 
conjunto de dados, sejam para dados populacionais ou amostrais. 
O parâmetro é uma medida numérica que descreve de forma reduzida alguma característica de 
uma população ou universo. É habitualmente representado por letras gregas. Por exemplo: μ 
(média), σ (desvio padrão), ρ (coeficiente de correlação). O parâmetro normalmente é 
desconhecido e, deseja-se estimar através de dados amostrais. 
Estatística ou medida amostral é uma medida numérica que descreve alguma característica de 
uma amostra. É habitualmente representada por letras latinas. Por exemplo: 
X
 (média), S 
(desvio padrão), r (coeficiente de correlação). 
Em resumo, a análise exploratória de dados permite organizar os dados através de tabelas, 
gráficos e medidas de localização e dispersão, procurando mostrar um padrão ou 
comportamento de um conjunto de dados. 
1.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA 
Variável aleatória é aquela cujo valor numérico não é conhecido antes da sua observação. Esta 
tem uma distribuição de probabilidades associada, o que permite calcular a probabilidade de 
ocorrência de certos valores. 
Geralmente, utilizam-se letras maiúsculas (X, Y, Z...) para designar as variáveis aleatórias, e 
minúsculas (x, y, z...) para indicar particulares valores dessas variáveis. O comportamento de 
uma variável aleatória é descrito por sua distribuição de probabilidade. 
Exemplo: Suponha que em um lote de 10 parafusos, 2 são defeituosos. A variável aleatória 
X=número de parafusos defeituosos, na escolha de 3 parafusos com reposição, pode assumir os 
seguintes valores: 












DDDsse,3
PDDsouDPDsouDDPsse,2
PPDsouPDPsouDPPsse,1
PPPsse,0
)s(X 
sendo P=perfeito e D=defeituoso. 
 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DA 
VARIÁVEL ALEATÓRIA X 
xX 
 
)xX(P 
 
0 
512,0)108( 3 
 
1 
384,0)102()108(3 2 
 
2 
096,0)102()108(3 2 
 
3 
008,0)10/2( 3 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
3A função de repartição ou função de distribuição acumulada da v. a X é definida por 
Rx,)xX(P)x(F XX 
, ou seja, é definida como sendo a probabilidade de X assumir um valor 
menor ou igual a x. Para o exemplo tem-se: 
 
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DA VARIÁVEL 
ALEATÓRIA X 
xX 
 
)xX(P 
 
)x(F
X
 
0 
512,0)108( 3 
 0,512 
1 
384,0)102()108(3 2 
 0,896 
2 
096,0)102()108(3 2 
 0,992 
3 
008,0)10/2( 3 
 1,000 
1.1.1 ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS 
1. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último 
número que permanecer. 
Exemplo: seja o número 48,231, ao arredondar para 2 casas decimais ficará 48,23. 
2. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade 
o último algarismo a permanecer. 
Exemplo: o número 23,077, ao arredondar para 2 casas decimais ficará 23,08. 
3. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, haverá duas formas: 
a) como regra geral, aumenta-se de uma unidade o último algarismo a permanecer. 
Exemplo: 12,5253 ficará 12,53. 
b) se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado se for 
ímpar. 
Exemplo: 24,7750 passa a ser 24,78 
 24,7650 passa a ser 24,76. 
 
Exemplos: arredondar os números dados para 2 casa decimais. 
17,44452 ficará 17,44; 
179,5673 ficará 179,57; 
87,4931 ficará 87,49; 
4,5652 ficará 4,57; 
4,5650 ficará 4,56; 
4,575 ficará 4,58. 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
4 
4. Quando houver parcelas e total, e ocorrer diferença no arredondamento, deve-se fazer 
correção na parcela (ou parcelas) onde o erro relativo for menor. 
Exemplo: 
 2,4 para 2 
13,4 14 
16,1 16 
----- ---- 
31,9 32 
1.2 TIPOS DE ESCALAS E VARIÁVEIS 
Uma variável pode se apresentar das seguintes formas, quanto aos valores assumidos: 
1.o Escala nominal: é aquela que permite o agrupamento da unidade de observação (unidade da 
pesquisa) de acordo com uma classificação qualitativa em categorias definidas, ou seja, consiste 
simplesmente em nomear ou rotular, não sendo possível estabelecer graduação ou ordenamento. 
Ao se trabalhar com essa escala, cada unidade de observação deve ser classificada em uma e 
somente uma categoria, isto é, deve ser mutuamente excludente. 
Por exemplo, seja X, a variável, estado de uma peça de automóvel. Neste caso, a variável X 
assume as categorias “perfeita” e “defeituosa”, sendo denominada dicotômica. Quando assume 
mais de duas categorias é denominada politômica. Não tem significado aritmético ou de 
quantificação, não se faz cálculos, apenas a contagem. 
2.o Escala ordinal: permite o agrupamento da unidade de observação de acordo com uma ordem 
de classificação. A escala ordinal fornece informações sobre a ordenação das categorias, mas 
não indica a grandeza das diferenças entre os valores. 
Exemplo: Seja X a variável que indica a qualidade de um determinado produto. Tem-se então: A 
(indicando melhor qualidade), B (qualidade intermediária) e C (pior qualidade). 
3.º Escala intervalar: é uma escala ordinal em que a distância entre as categorias é sempre a 
mesma. As escalas para medir temperaturas como a Fahrenheit e a Centígrada são exemplos de 
escalas de intervalo. Não se pode afirmar que 40 graus é duas vezes mais quente que uma 
temperatura de 20 graus, embora se possa dizer que a diferença entre 20 graus e 40 graus é a 
mesma que entre 75 graus e 95 graus. 
4.º Escala de razão: quando uma escala tem todas as características de uma escala intervalar e 
o zero absoluto representa o ponto de origem, é chamada escala de razão. Sempre que possível, 
é preferível utilizar a medida de escala de razão, pois a partir desta pode-se transformar em 
escala intervalar, ordinal ou nominal, não ocorrendo o inverso. 
De acordo com o nível de mensuração, a variável pode ser classificada em qualitativa ou 
quantitativa. Variável qualitativa é aquela cujo nível de mensuração é nominal ou ordinal, 
enquanto a quantitativa é aquela em que o nível de mensuração é intervalar ou de razão. 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
5 
A variável quantitativa pode ser ainda discreta ou contínua, sendo a primeira resultante de 
contagem, assumindo somente valores inteiros, e a última de medições, assumindo qualquer 
valor no campo dos números reais. Apresentam-se, a seguir, os conceitos de variáveis 
quantitativas discretas e contínuas. 
 
Variável aleatória discreta: uma variável aleatória X é discreta se o conjunto de valores 
possíveis de X for finito ou infinito numerável. 
Variável aleatória contínua: a variável aleatória X é chamada de contínua quando o seu 
contradomínio é um conjunto infinito. 
 
 
 Variável 
Qualitativa 
Quantitativa 
Nominal 
Ordinal 
Discreta 
Contínua 
 
FIGURA 2 - TIPOS DE VARIÁVEIS 
Exemplo de aplicação: Seja uma população de peças produzidas em um determinado 
processo. É possível ter as seguintes situações: 
 
VARIÁVEL TIPO 
Estado: Conforme ou Não-conforme Qualitativa Nominal 
Qualidade: 1ª., 2ª. ou 3ª. categoria Qualitativa Ordinal 
Número de peças conformes Quantitativa Discreta 
Comprimento das peças Quantitativa Contínua 
1.3 TABELAS 
1.3.1 NORMAS PARA APRESENTAÇÃO DE TABELAS 
Uma tabela deve apresentar os dados de forma resumida, oferecendo uma visão geral do 
comportamento do fenômeno analisado. 
Uma tabela é constituída dos seguintes elementos: 
1 - Título: é a indicação que precede a tabela e contém a identificação de três fatores do 
fenômeno. 
a) A data a qual se refere; 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
6 
b) o local onde ocorreu o evento; 
c) o fenômeno que é descrito. 
2 - Cabeçalho: é a parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas. 
3 - Corpo da tabela: é o espaço que contém as informações sobre o fenômeno observado. 
4 - Fonte: é a indicação da entidade responsável pelo levantamento dos dados. 
1.3.2 TABELAS DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
Serão apresentados alguns conceitos importantes para a construção de tabelas de frequências. 
 Dados brutos: É o conjunto de dados numéricos obtidos e que ainda não foram 
organizados. 
 Rol: É o arranjo dos dados brutos em ordem crescente (ou decrescente). 
 Amplitude (At): É a diferença entre o maior e o menor dos valores observados. 
 Frequência absoluta (
if
): É o número de vezes que um elemento aparece no conjunto de 
dados: 



k
1i
i nf
 onde 
n
 é o número total de observações e 
k
 é o número de valores diferentes 
observados. 
 Frequência Relativa (
rf
): 
n
f
f ir 
 e 
1f
k
1i
r 

 
 Frequência Absoluta Acumulada (
acf
): É a soma da frequência absoluta do valor 
i
 assumida 
pela variável com todas as frequências absolutas anteriores. 
1.3.2.1 VARIÁVEL DISCRETA 
Quando uma variável quantitativa discreta assume poucos valores, pode-se considerar que cada 
valor seja uma classe e que existe uma ordem natural nessas classes. 
Exemplo: Os dados que seguem apresentam os resultados da inspeção diária de todas as 
unidades de computadores produzidos durante os últimos 10 dias. O número de unidades não-
conformes são: 4 - 7 - 5 - 8 - 6 - 6 - 4 - 5 - 8 - 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
7 
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS DO NÚMERO 
DE UNIDADES NÃO CONFORMES DE COMPUTADORES 
PRODUZIDOS DURANTE 10 DIAS 
NÚMERO DE DEFEITOS FREQUÊNCIA 
4 2 
5 2 
6 2 
7 2 
8 2 
FONTE: MONTEGOMERY, D. C. 
NOTA: A produção diária é de 100 computadores. 
 
 Número de Classes (k) 
Quandose tratar de uma variável quantitativa discreta que pode assumir um grande número de 
valores distintos, a construção da tabela de frequências e de gráficos considerando cada valor 
como uma categoria fica inviável. A solução é agrupar os valores em classes ao elaborar a 
tabela. 
Segundo Bussab e Morettin, a escolha dos intervalos dependerá do conhecimento que o 
pesquisador tem sobre os dados. Assim, a definição do número de intervalos ou classes é 
arbitrária. Mas, vale lembrar que, quando se utiliza um pequeno número de intervalos pode-se 
perder informações, e ao contrário, com um grande número de intervalos pode-se prejudicar o 
resumo dos dados. 
Existem duas soluções para a definição do número de intervalos bastante utillizadas, que são: 
1) Se o número de elementos (n) for menor ou igual a 25 então o número de classes (k) é igual a 
5; se n for maior que 25, então o número de classes é aproximadamente a raiz quadrada 
positiva de n. Ou seja: 
 Para n  25, k = 5 
 Para n > 25, k = 
n
 
2) Fórmula de Sturges para número de classes: 
)n(log3,31k 
. 
 Amplitude total ou “range” (At): É a diferença entre o maior e o menor valor observados no 
conjunto de dados. 
minmáxt XXA 
 
 Amplitude dos intervalos ou das classes (h): É a divisão da amplitude total (At) pelo número 
de intervalos (k). 
Ou seja: h 
k
At
 
 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
8 
1.3.2.2 VARIÁVEL CONTÍNUA 
Quando a variável quantitativa em estudo é contínua, que assume muitos valores distintos, o 
agrupamento dos dados em classes será sempre necessário, na construção das tabelas de 
frequências. 
 
Exemplo 1: A tabela abaixo apresenta as medidas de uma dimensão de uma peça produzida por 
um processo de usinagem. Construir a tabela de distribuição de frequências em classes. 
102,8 - 136,4 - 110,1 - 115,9 - 118,5 - 149,3 - 125,3 - 144,8 - 129,7 - 132,7 
135,0 – 108,2 - 138,1 - 138,6 - 139,6 - 144,4 - 125,9 - 145,2 - 145,7 – 120,4 
ROL: 
102,8 - 108,2 - 110,1 - 115,9 - 118,5 - 120,4 - 125,3 - 125,9 - 129,7 - 132,7 
135,0 - 136,4 - 138,1 - 138,6 - 139,6 - 144,4 - 144,8 - 145,2 - 145,7 - 149,3 
50,468,1023,149XXA minmáxt 
 
5k 
 
103,9
5
50,46
k
A
h t 
 
 
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DAS 
MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO DE UMA PEÇA PRODUZIDA 
POR UM PROCESSO DE USINAGEM 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
rf
 
fac
 
102,8 |--- 112,8 3 0,15 3 
112,8 |--- 122,8 3 0,15 6 
122,8 |--- 132,8 4 0,20 10 
132,8 |--- 142,8 5 0,25 15 
142,8 |--- 152,8 5 0,25 20 
TOTAL 20 1,00 
FONTE: Elaborada pelo autor. 
 
Exemplo 2: O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em 
segundos), sendo feita 30 determinações: 
 45 - 37 - 39 - 48 - 51 - 40 - 53 - 49 - 39 - 41 - 45 - 43 - 45 - 34 - 45 
 41 - 57 - 38 - 46 - 46 - 58 - 57 - 36 - 58 - 35 - 31 - 59 - 44 - 57 - 35 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
9 
ROL: 
31 - 34 - 35 - 35 - 36 - 37 - 38 - 39 - 39 - 40 - 41 -41 - 43 - 44 - 45 
45 - 45 - 45 - 46 - 46 - 48 - 49 - 51 - 53 - 57- 57 - 57 - 58 - 58 – 59 
 
28,03159XXA minmáxt 
 
 
65,87)30log(3,31k 
 (fórmula de Sturges) 
 
54,7
6
28
k
A
h t 
 
 
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DO TEMPO 
NECESSÁRIO PARA SE REALIZAR CERTA OPERAÇÃO 
INDUSTRIAL 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
rf
 
fac
 
31 |---- 36 4 0,13 4 
36 |---- 41 6 0,20 10 
41 |---- 46 8 0,27 18 
46 |---- 51 4 0,13 22 
51 |---- 56 2 0,07 24 
56 |---- 61 6 0,20 30 
TOTAL 30 1,00 
FONTE: Elaborada pelo autor. 
1.4 GRÁFICOS 
1.4.1 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
O objetivo do gráfico é passar para o leitor uma visão clara do comportamento do fenômeno em 
estudo, uma vez que os gráficos transmitem informação mais imediata do que uma tabela. 
A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos fundamentais: 
a) Simplicidade: O gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária. 
b) Clareza: o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do 
fenômeno em estudo. 
c) Veracidade: o gráfico deve ser a verdadeira expressão do fenômeno em estudo. 
1.4.2 HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS 
Este é um gráfico usado para apresentar dados organizados em intervalos de classes, utilizado 
principalmente para representar a distribuição de variáveis contínuas. 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.3 DIAGRAMA DE RAMO E FOLHAS (STEM AND LEAF PLOT) 
Este diagrama é muito útil para uma primeira análise dos dados. 
Passos para construir um diagrama de ramo e folhas: 
1. ordenar os valores para encontrar o valor mínimo e máximo dos dados; 
2. dividir cada número 
ix
 em duas partes: um ramo, consistindo em um ou mais dígitos iniciais, e 
uma folha, consistindo nos dígitos restantes ; 
3. listar os valores do ramo em uma coluna vertical; 
4. a partir dai colocam-se os valores na folha . O valor zero, significa que há informação e que é 
um número inteiro. Já, quando naquele valor inteiro não existe observações, não colocar nada, 
deixar em branco; 
5. escrever as unidades para o ramo e folhas no gráfico. 
Considerando os dados do exemplo 1: Os dados referem-se às medidas de uma dimensão de 
uma peça produzida por um processo de usinagem. 
102,8 - 108,2 - 110,1 - 115,9 - 118,5 - 120,4 - 125,3 - 125,9 - 129,7 - 132,7 
135,0 - 136,4 - 138,1 - 138,6 - 139,6 - 144,4 - 144,8 - 145,2 - 145,7 - 149,3 
 
RAMO FOLHA FREQ. 
10 2 8 2 
11 0 5 8 3 
12 0 5 5 9 4 
13 2 5 6 8 8 9 6 
14 4 4 5 5 9 5 
 
 
HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Classes
Freq.
76 105 134 163 221192 250
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
11 
Considerando os dados do exemplo 2, tem-se: O tempo necessário para se realizar certa 
operação industrial foi cronometrado (em segundos): 
 
31 - 34 - 35 - 35 - 36 - 37 - 38 - 39 - 39 - 40 - 41 -41 - 43 - 44 - 45 
45 - 45 - 45 - 46 - 46 - 48 - 49 - 51 - 53 - 57- 57 - 57 - 58 - 58 – 59 
 
 
RAMO FOLHA FREQ. 
3 1 4 5 5 6 7 8 9 9 9 
4 0 1 1 3 4 5 5 5 5 6 6 8 9 13 
5 1 3 7 7 7 8 8 9 8 
1.4.4 GRÁFICO DE BOX PLOT OU DA CAIXA 
 
 
 Comprimento da caixa = amplitude interquartílica = Q3 - Q1 
A linha central do retângulo (“caixa”) representa a mediana da distribuição. As bordas superior e 
inferior do retângulo representam os quartis 1 e 3, respectivamente. Logo, a altura deste 
retângulo é chamada de amplitude interquartílica (IQ). Os traços horizontais ao final das linhas 
verticais são traçados sobre o último ponto (de um lado ou de outro) que não é considerado um 
outlier. 
Não há um consenso sobre a definição de um outlier. Porém, no caso do box plot em geral, a 
maior parte das definições considera que pontos acima do valor do 3º quartil somado a 1,5 vezes 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
12 
a IQ ou os pontos abaixo do valor do 1º quartil diminuído de 1,5 vezes a IQ, são considerados 
outliers. 
1.4.5 GRÁFICO DE LINHAS 
O gráfico de linhas é indicado para representar séries temporais ou sequência temporal, que é 
um conjunto de dados em que as observações são registradas na ordem em que elas ocorrem. 
Este tipo de gráfico é importante para a análise do controle de processo de produção e de 
séries temporais. 
A seguir, o gráfico de controle de média das medidas dos diâmetros internos (mm) de anéis de 
pistão de motores de automóveis, de 25 amostras, cujos tamanhos de amostras variam entre 3 
e 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO, VARIABILIDADE E FORMA DA 
DISTRIBUIÇÃO 
Estimadorou estatística é uma função dos valores da amostra, ou seja, é uma variável aleatória, 
pois depende dos elementos selecionados para compor a amostra. 
Ao analisarmos a distribuição de frequências de uma variável quantitativa, proveniente de uma 
amostra, deve-se, verificar basicamente três características: 
 Localização; 
 Variabilidade ou Dispersão; 
 Forma. 
 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
13 
1.5.1 TENDÊNCIA CENTRAL 
As medidas de tendência central fazem parte, juntamente com as de posição, das chamadas 
medidas de localização, e indicam onde se concentra a maioria dos dados. 
1.5.1.1 ESPERANÇA MATEMÁTICA OU MÉDIA ARITMÉTICA 
A esperança matemática ou média aritmética de uma variável aleatória X é o centro de 
gravidade do conjunto de dados, e é definida como a soma de todos os valores da variável 
dividida pelo número de observações. 
a) Para dados simples 
A esperança matemática ou média aritmética populacional é dada pela expressão: 



N
1i
ix
N
1
)X(E
 
A média aritmética amostral é obtida através da seguinte expressão: 



n
1i
ix
n
1
X
 
b) Para dados agrupados em classes 
N
fx
)X(E
k
1i
i i
 
 (população) 
 onde: k é o número de classes; 
 
ix
é o ponto médio das classes. 
n
fx
X
k
1i
i i

 (amostra) 
onde: k é o número de classes; 
 
ix
é o ponto médio das classes. 
Propriedades da Esperança Matemática 
1. 
K)X(E)KX(E 
, sendo k=constante e X v.a. 
2. 
)X(Ek)K.X(E 
 
3. Sejam X e Y variáveis aleatórias. Então: 
 
)Y(E)X(E)YX(E 
 
4. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes. Então: 
 
)Y(E.)X(E)Y.X(E 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
14 
5. 
0)XX(E 
 v.a. centrada 
A média e os valores extremos: a média apresenta um grave problema, ela é fortemente 
influenciada pelos valores extremos. Por esta razão, deve-se fazer uma análise cuidadosa dos 
dados. 
Exemplos de aplicação: 
1) Suponha que um engenheiro esteja projetando um conector de náilon para ser usado em uma 
aplicação automotiva. O engenheiro estabelece como especificação do projeto uma espessura 
de 3/32 polegadas, mas está inseguro acerca do efeito dessa decisão na força da remoção do 
conector. 
Oito unidades do protótipo são produzidas e suas forças de remoção são medidas (em libras-pé): 
12,6 - 12,9 - 13,4 - 12,3 - 13,6 - 13,5 - 12,6 - 13,1. A média da força de remoção será: 



n
1i
ix
n
1
X
 
  0,13
8
104
1,136,125,136,133,124,139,126,12
8
1
X 
libras-força 
2) Considere a seguinte distribuição: 
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DO TEMPO 
NECESSÁRIO PARA SE REALIZAR CERTA OPERAÇÃO 
INDUSTRIAL 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
rf
 
fac
 
31 |---- 36 4 0,13 4 
36 |---- 41 6 0,20 10 
41 |---- 46 8 0,27 18 
46 |---- 51 4 0,13 22 
51 |---- 56 2 0,07 24 
56 |---- 61 6 0,20 30 
TOTAL 30 1,00 
FONTE: Elaborada pelo autor. 
Calcular o tempo médio necessário para realizar a operação industrial. 
Solução: 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
ix
 
iifx
 
31 |---- 36 4 33,5 134,0 
36 |---- 41 6 38,5 231,0 
41 |---- 46 8 43,5 348,0 
46 |---- 51 4 48,5 194,0 
51 |---- 56 2 53,5 107,0 
56 |---- 61 6 58,5 351,0 
TOTAL 30 1365,0 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
15 
45,50
30
1365
n
fx
X
k
1i
i i



 
3) Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular a média das medidas da dimensão das 
peças. 
TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DAS 
MEDIDAS DE UMA DIMENSÃO DE UMA PEÇA PRODUZIDA 
POR UM PROCESSO DE USINAGEM 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
rf
 
fac
 
102,8 |--- 112,8 3 0,15 3 
112,8 |--- 122,8 3 0,15 6 
122,8 |--- 132,8 4 0,20 10 
132,8 |--- 142,8 5 0,25 15 
142,8 |--- 152,8 5 0,25 20 
TOTAL 20 1,00 
FONTE: Elaborada pelo autor. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
ix
 
iifx
 
102,8 |--- 112,8 3 
107,8 323,4 
112,8 |--- 122,8 3 
117,8 353,4 
122,8 |--- 132,8 4 
127,8 511,2 
132,8 |--- 142,8 5 
137,8 689,0 
142,8 |--- 152,8 5 
147,8 739,0 
TOTAL 20 2616,0 
130,8
20
2616
n
fx
X
k
1i
i i



 
1.5.1.2 MEDIANA 
A mediana é o valor que ocupa a posição central do conjunto de observações de uma variável, 
dividindo o conjunto em duas partes iguais, sendo que 50% dos dados tomam valores menores 
ou iguais ao valor da mediana e os 50% restantes, acima do seu valor. 
 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
16 
a) Para dados simples 
Etapas para a obtenção da mediana: 
1. ordenar os dados em ordem crescente (pode ser também na ordem decrescente, mas não é 
comum e pode atrapalhar na hora de calcular as medidas de posição) 
2. o lugar ou posição que a mediana ocupa é: 
1
4
)1n(
2PosMe 


 
3. o valor da mediana é o valor da variável que ocupa o lugar 
ePosM
. 
 
A mediana é independente dos valores extremos, porque ela só leva em consideração os 
valores de posição central. 
Exemplo de aplicação: 
1) Considerando-se as forças de remoção, medidas em uma amostra de oito unidades do protótipo 
(em libras-força): 12,6 - 12,9 - 13,4 - 12,3 - 13,6 - 13,5 - 12,6 - 13,1. 
Rol: 12,3 - 12,6 - 12,6 - 12,9 - 13,1 - 13,4 - 13,5 - 13,6 
5,41
4
)18(
2PosM e 


 
A mediana é a média aritmética dos valores que ocupam a posição 4 e 5. Logo, 
13,0
2
1,139,12
Me 


 
2) Os dados que seguem são os resultados da inspeção diária de todas as unidades de 
computadores produzidos durante os últimos 10 dias. O número de unidades não-conformes são: 
 4 - 7 - 5 - 8 - 6 - 6 - 4 - 5 - 8 - 7 
Calcular a mediana. 
Rol: 4 - 4 - 5 - 5 - 6 - 6 - 7 - 7 - 8 - 8 
5,51
4
)110(
2PosM e 


 
6
2
66
Me 


 
b) Dados agrupados em classes 
h
f
fac)2n(
LM
i
ie 


 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
17 
onde: 
iL
 é o limite inferior da classe que contém a mediana; 
n
 é o número de elementos do conjunto de dados; 
fac'
 é a freqüência acumulada da classe anterior a que contém a mediana; 
if
 é a freqüência simples da classe que contém a mediana; 
h
 é o intervalo ou amplitude da classe que contém a mediana. 
 
1) Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular a mediana das medidas da dimensão 
das peças. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
102,8 |--- 112,8 3 
112,8 |--- 122,8 3 
122,8 |--- 132,8 4 
132,8 |--- 142,8 5 
142,8 |--- 152,8 5 
TOTAL 20 
 
Solução: 
1) O passo inicial é calcular 
10
2
20
2
n

; 
2) Calcular as frequências acumuladas (
acf
). 
 
INTERVALO DE 
CLASSES 
if
 
acf
 
102,8 |--- 112,8 3 3 
112,8 |--- 122,8 3 6 
122,8 |--- 132,8 4 10 
132,8 |--- 142,8 5 15 
142,8 |--- 152,8 5 20 
TOTAL 20 
h
f
fac)2n(
LM
i
ie 


 
132,810
4
6)220(
8,122Me 


 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
18 
2) Considerando a distribuição a seguir, calcular a mediana. 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
31 |---- 36 4 
36 |---- 41 6 
41 |---- 46 8 
46 |---- 51 4 
51 |---- 56 2 
56 |---- 61 6 
TOTAL 30 
Solução: 
INTERVALO DE 
CLASSES 
if
 
acf
 
31 |---- 36 
4 4 
36 |---- 41 
6 10 
41 |---- 46 
8 18 
46 |---- 51 
4 22 
51 |---- 56 
2 14 
56 |---- 61 
6 30 
TOTAL 30 
 
15
2
30
2
n

 
h
f
fac)2n(
LM
i
ie 


 
44,1255
8
10)15(
41Me 


 
1.5.1.3 MODA 
a) Para dados simples 
A moda, representada por 
oM
, é ovalor que apresenta maior frequência. Ela pode não existir 
(distribuição amodal), ter somente um valor (unimodal) ou pode ter dois ou mais (bimodal ou 
multimodal), principalmente quando a variável assume muitos valores. 
Exemplo: 
1) Considerando-se as forças de remoção, medidas em uma amostra de oito unidades do protótipo 
(em libras-força): 12,6 - 12,9 - 13,4 - 12,3 - 13,6 - 13,5 - 12,6 - 13,1. 
Para o exemplo tem-se que a moda é igual a 12,6 libras-força. 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
19 
b) Dados agrupados em classes 
X2M3M eo 
 ( moda de Pearson) 
onde: 
eM
é a mediana da distribuição de dados; 
X
 é a média da distribuição de dados. 
1) Dada a distribuição de freqüências a seguir, calcular a moda. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
31 |---- 36 4 
36 |---- 41 6 
41 |---- 46 8 
46 |---- 51 4 
51 |---- 56 2 
56 |---- 61 6 
TOTAL 30 
 
Solução: 
Tem-se que a média e a mediana da distribuição são, respectivamente: 
45,50X 
 
44,125Me 
 
Logo, a moda será: 
41,37550,452125,443X2M3M eo 
 
 
2) Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular a moda das medidas da dimensão das 
peças. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
102,8 |--- 112,8 3 
112,8 |--- 122,8 3 
122,8 |--- 132,8 4 
132,8 |--- 142,8 5 
142,8 |--- 152,8 5 
TOTAL 20 
 
Solução: 
Tem-se que a média e a mediana da distribuição são, respectivamente: 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
20 
130,8X 
 
132,810
4
6)220(
8,122Me 


 
136,88,13028,1323X2M3M eo 
 
1.5.2 MEDIDAS DE POSIÇÃO (OU SEPARATRIZES) 
As separatrizes mais conhecidas são os quartis e os percentis. Os quartis dividem o conjunto de 
dados em quatro partes iguais e os percentis, em cem partes iguais. A cada quartil 
correspondem 25% do conjunto de dados e a percentil, 1%. 
Da mesma forma que para a mediana, as posições das separatrizes, para dados ordenados em 
ordem crescente. 
 
1.5.2.1 QUARTIL 
 
São três medidas 
)QeQ,Q( 321
que dividem o conjunto de dados em 4 partes iguais, sendo 
que a cada quartil correspondem 25% dos dados. 
a) Para dados simples 
1
4
)1n(
iPosQ i 


, 
3,2,1i 
 
 
Exemplo 1: Os dados a seguir são diâmetros (em cm) de peças de automóveis: 
12,3 - 12,6 - 12,6 - 12,9 - 13,1 - 13,4 - 13,5 - 13,6 - 15,0 
Calcular os quartis. 
3,01
4
)19(
1PosQ 1 


 (3º elemento) , logo 
6,12Q1 
 
5,01
4
)19(
2PosQ 2 


 (5º elemento) , logo 
1,13Q2 
 
7,0 1
4
)19(
3PosQ 3 


 (7º elemento) , logo 
5,13Q3 
 
Exemplo 2: Os dados abaixo são as medidas de uma dimensão de uma peça produzida por um 
processo de usinagem. 
102,8 - 108,2 - 110,1 - 115,9 - 118,5 - 120,4 - 125,3 - 125,9 - 129,7 - 132,7 
135,0 - 136,4 - 138,1 - 138,6 - 139,6 - 144,4 - 144,8 - 145,2 - 145,7 - 149,3 
 
Calcular os quartis (1,2 e 3) . 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
21 
5,751
4
)120(
1PosQ 1 


 (5,75º elemento) , 
logo 
119,92575,0*)5,1184,120(5,118Q1 
 
10,51
4
)120(
2PosQ 2 


 (10,5º elemento) , 
logo 
133,855,0*)7,1320,135(7,132Q2 
 
15,25 1
4
)120(
3PosQ 3 


 (15,25º elemento) , 
logo 
140,8025,0*)6,1394,144(6,139Q3 
 
b) Para dados agrupados em classes 
4
n
iPosQ i 
, 
3,2,1i 
 
h
f
fac)PosQ(
LQ
i
i
ii 


 
onde: 
n
 é o número de elementos do conjunto de dados; 
iL
 é o limite inferior da classe que contém o quartil; 
fac'
 é a freqüência acumulada da classe anterior a que contém o quartil; 
if
 é a freqüência simples da classe que contém o quartil; 
h
 é o intervalo ou amplitude da classe que contém a mediana. 
Exemplos: 
 
1) Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular os quartis 1,2 e 3, das medidas da 
dimensão das peças. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 acf
 
102,8 |--- 112,8 3 3 
112,8 |--- 122,8 3 6 
122,8 |--- 132,8 4 10 
132,8 |--- 142,8 5 15 
142,8 |--- 152,8 5 20 
TOTAL 20 
Solução: 
a) 
5
4
20
1PosQ 1 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
22 
119,4710
3
35
8,1121Q 


 
10
4
20
2PosQ 2 
 
132,8010
4
610
8,1222Q 


 
15
4
20
3PosQ 3 
 
142,8010
5
1015
8,132Q3 


 
2) Dada a distribuição de freqüências a seguir, calcular os quartis 1,2 e 3. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
31 |---- 36 4 
36 |---- 41 6 
41 |---- 46 8 
46 |---- 51 4 
51 |---- 56 2 
56 |---- 61 6 
TOTAL 30 
1.5.3 MEDIDAS DE DISPERSÃO 
Para descrever adequadamente a distribuição de frequências de uma variável quantitativa, além 
da informação do valor representativo da variável (tendência central), é necessário dizer também 
o quanto estes valores variam, ou seja, o quanto eles são dispersos. Somente a informação 
sobre a tendência central de um conjunto de dados não consegue representá-lo 
adequadamente. As medidas de dispersão medem o grau de variabilidade ou dispersão dos 
dados. 
1.5.3.1 AMPLITUDE TOTAL 
A amplitude total mede a distância entre o valor máximo e mínimo. Ela é uma estatística 
rudimentar, pois embora forneça uma noção de dispersão, não diz qual é sua natureza. 
 
minmáxt XXA 
 
Exemplo de aplicação: 
Exemplo 1: Os dados a seguir são diâmetros (em cm) de peças de automóveis: 
12,3 - 12,6 - 12,6 - 12,9 - 13,1 - 13,4 - 13,5 - 13,6 - 15,0 
Tem-se que: 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
23 
7,23,120,15XXA minmáxt 
 
1.5.3.2 AMPLITUDE INTERQUARTIL 
A amplitude interquartil, ou comprimento da caixa, é a distância entre o primeiro e terceiro 
quartil. É muito útil para detectar valores extremos, e é usado no diagrama de Box plot. 
13 QQQI 
 
Exemplo: considerando o dados referentes aos diâmetros (em cm) de peças de automóveis e os 
quartis correspondentes, já calculados anteriormente, calcular a amplitude interquartil. 
3,01
4
)19(
1PosQ 1 


 (3º elemento) , logo 
6,12Q1 
 
7,0 1
4
)19(
3PosQ 3 


 (7º elemento) , logo 
5,13Q3 
 
9,06,125,13IQ 
 
 
Para a construção do gráfico box plot, tem-se: 
IQ5,1Qeriorinfitelim 1 
 
IQ5,1Qeriorsupitelim 3 
 
Para o exemplo em questão: 
25,119,05,16,12eriorinfitelim 
 
85,149,05,15,13eriorsupitelim 
 
 Existe um valor outlier, que é 15,0. 
1.5.3.3 DESVIO MÉDIO 
 
a) Para dados simples 
 
 O desvio médio é a média dos valores absolutos dos desvios. É calculada através da 
expressão: 
n
Xx
DM
n
1i
i



 
 
Exemplo de aplicação: 
Os dados a seguir são diâmetros (em cm) de peças de automóveis: 
12,3 - 12,6 - 12,6 - 12,9 - 13,1 - 13,4 - 13,5 - 13,6 - 15,0. Tem-se que: 
22,13X 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
24 
QUADRO 3 - VALORES DA VARIÁVEL X E DES-
VIOS ABSOLUTOS EM RELAÇÃO À 
MÉDIA 
ix
 
Xx i 
 
12,3 0,92 
12,6 0,62 
12,6 0,62 
12,9 0,32 
13,1 0,12 
13,4 0,18 
13,5 0,28 
13,6 0,38 
15,0 1,78 

 5,22 
 
58,0
9
22,5
n
Xx
DM
n
1i
i





 
 
b) Para dados agrupados em classes 
 
n
fXx
DM
k
1i
ii



 
 
 Dada a distribuição de freqüências a seguir, calcular o desvio médio. Sabe-se que 
50,45X 
. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
ix
 
Xx i 
 
ii fXx 
 
31 |---- 36 4 33,5 12,0 48 
36 |---- 41 6 38,5 7,0 42 
41 |---- 46 8 43,5 2,0 16 
46 |---- 51 4 48,5 3,0 12 
51 |---- 56 2 53,5 8,0 16 
56 |---- 61 6 58,5 13,0 78 
TOTAL 30 212 
 
07,70667,7
30
212n
fXx
DM
k
1i
ii





 
 
1.5.3.4 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
 
A variância da variável aleatória, representada por 
)X(V
 ou 
2
, é obtida elevando-se os desvios 
em relação à media ao quadrado. Quando se extrai a raiz quadrada da variância, tem-se o 
desvio padrão. 
Propriedades da Variância 
1. 
0)k(V 
, onde k=constante 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
25 
2. 
)X(Vk)kX(V 2
, onde k=constante e X v.a. 
3. Sejam X e Y v.a. independentes. Então: 
 
)Y(V)X(V)YX(V 
 
4. Sejam X e Y v.a. não independentes (ou dependentes). Então: 
 
)Y,X(COV2)Y(V)X(V)YX(V 
 
 
)Y,X(COV2)Y(V)X(V)YX(V 
 
onde: 
)Y(E)X(E)XY(E)Y,X(COV 
 (covariância) 
a) Para dados simples 
A variância e o desvio padrão populacional são obtidas pelas expressões: 
 
  


N
1i
22
ix
N
1
 (variância) 
 
2
 (desvio padrão) 
A variância e o desvio padrão amostral são obtidas pelas expressões: 
 
 




n
1i
2
2 Xx
1n
1
S i
 (variância) 
 
2
SS 
 (desvio padrão) 
 
Exemplo de aplicação: Considerando o exemplo tem-se: 
 
QUADRO 4 - VALORES DA VARIÁVEL X E DESVIOS 
SIMPLES E QUADRÁTICOS EM RELA-
ÇÃO À MÉDIA 
iX
 
Xx i 
 
  2Xx i 
 
12,3 -0,92 0,8464 
12,6 -0,62 0,3844 
12,6 -0,62 0,3844 
12,9 -0,32 0,1024 
13,1 -0,12 0,0144 
13,4 0,18 0,0324 
13,5 0,28 0,0784 
13,6 0,38 0,1444 
15,0 1,78 3,1684 

 5,1556 
 
  0,6445
19
1556,5
Xx
1n
1
S
n
1i
i
2
2 



 

 
0,80S 
 
 
b) Para dados agrupados em classes 
A variância e o desvio padrão populacional são obtidas pelas expressões: 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
26 
    
N
fx
f
fx
k
1i
2
i
k
1i
k
1i
2
i
2
i
i
i  

 
 






 (variância) 
 
2
 (desvio padrão) 
A variância e o desvio padrão amostral são obtidas pelas expressões: 
    
1n
fXx
1f
fXx
S
k
1i
2
i
k
1i
k
1i
2
i
2
i
i
i












 (variância) 
 
2
SS 
 (desvio padrão) 
 
Exemplo: 
Seja a distribuição de frequências a seguir. Calcular variância e o desvio padrão. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
ix
 
if)Xx(
2
i 
 
102,8 |--- 112,8 3 107,8 1587,0 
112,8 |--- 122,8 3 117,8 507,0 
122,8 |--- 132,8 4 127,8 36,0 
132,8 |--- 142,8 5 137,8 245,0 
142,8 |--- 152,8 5 147,8 1445,0 
TOTAL 20 3820,0 
 
Dados: 
130,8X 
 
 
0526,201
120
3820
1n
fXx
S
k
1i
2
i
2
i








 
18,14S 
 
Exercício: Dada a distribuição de freqüências a seguir, calcular a variância e o desvio padrão. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
31 |---- 36 4 
36 |---- 41 6 
41 |---- 46 8 
46 |---- 51 4 
51 |---- 56 2 
56 |---- 61 6 
TOTAL 30 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
27 
1.5.3.5 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
É uma medida de dispersão relativa. É definido como o quociente entre o desvio padrão e a 
média, multiplicado por 100, para expressar porcentagem. 
Em algumas situações é desejável comparar o grau de dispersão de dois conjuntos de dados 
com unidades de medidas diferentes. Neste caso, deve-se usar o coeficiente de variação (CV), 
que é uma medida de dispersão relativa, e ela não é afetada pelas unidades de medida da 
variável. Ou ainda, quando as médias dos dois conjuntos de dados são muito distintas, neste 
caso faz-se necessário utilizar uma medida de dispersão relativa. 
 
100CV 


 coeficiente de variação populacional 
 
100
X
S
CV 
 coeficiente de variação amostral 
Exemplo de aplicação: Para o exemplo tem-se: 
Dados: 
130,8X 
; 
18,14S 
 
Logo, 
%84,10100
8,130
18,14
CV 
 
1.5.4 FORMA DA DISTRIBUIÇÃO 
A distribuição de frequências de uma variável pode ter várias formas, mas existem três formas 
básicas, apresentadas através de histogramas e suas respectivas ogivas, que são gráficos 
específicos para distribuições de frequências. 
A distribuição é simétrica, quando as observações estão igualmente distribuídas em torno de um 
valor mais frequente (metade acima e metade abaixo). Já, a assimetria de uma distribuição pode 
ocorrer de duas formas: 
 assimetria positiva; 
 assimetria negativa. 
Em alguns casos, apenas o conhecimento da forma da distribuição de freqüências de uma 
variável já nos fornece uma boa informação sobre o comportamento dessa variável. 
1.5.4.1 COEFICIENTE DO MOMENTO DE ASSIMETRIA 
 
23
i
2
i
3
i
k
1i
i
k
1i
3
f)Xx(
n
1
f)Xx(
n
1
a












 
 
Uma distribuição é classificada como: 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
28 
Simétrica: 
0a3 
 e tem-se que média=mediana=moda 
Assimétrica negativa: 
0a 3 
 e tem-se que média

mediana

moda 
Assimétrica positiva: 
0a3 
 e tem-se que moda

mediana

média 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
FIGURA 3: CLASSIFICAÇÃO DAS DISTRIBUIÇÕES QUANTO A ASSIMETRIA 
1.5.4.2 COEFICIENTE DO MOMENTO DE CURTOSE 
A medida de curtose é o grau de achatamento da distribuição, é um indicador da forma desta 
distribuição. O coeficiente momento de curtose é definido como sendo: 
 
2
k
1i
2
k
1i
4
4
ii
ii
f)Xx(
n
1
f)Xx(
n
1
a












 
 
Se 
3a4 
, a distribuição é platicúrtica e esta apresenta uma curva de frequência mais 
aberta, com os dados fracamente concentrados em torno de seu centro. 
 
Se 
3a4 
, a distribuição é mesocúrtica e os dados estão razoavelmente concentrados em 
torno de seu centro. 
Se 
3a4 
, a distribuição é leptocúrtica e esta apresenta uma curva de frequência bastante 
fechada, com os dados fortemente concentrados em torno de seu centro. 
 
A curtose ou achatamento é mais uma medida com a finalidade de complementar a 
caracterização da dispersão em uma distribuição. Esta medida quantifica a concentração ou 
dispersão dos valores de um conjunto de dados em relação às medidas de tendência central em 
uma distribuição de frequências. Uma distribuição é classificada quanto ao grau de achatamento 
como: 
 
 
 
 
 
 
 
Assimetria positiva Simétrica Assimetria negativa 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
29 
 
 
 
 
 
 
FONTE: COSTA NETO (1994) 
 
Exemplo 1: Para a distribuição de frequências das medidas da dimensão das peças 
apresentadas a seguir e as estatísticas já calculadas anteriormente, calcular os coeficientes de 
assimetria e curtose. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
102,8 |--- 112,8 3 
112,8 |--- 122,8 3 
122,8 |--- 132,8 4 
132,8 |--- 142,8 5 
142,8 |--- 152,8 5 
TOTAL 20 
 
Solução: 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
ix
 
)Xx( i 
 
ii f)Xx( 
 
i
2
i f)Xx( 
 
i
3
i f)Xx( 
 
i
4
i f)Xx( 
 
102,8 |--- 112,8 3 107,8 -23 -69 1.587 -3.6501 839.523 
112,8 |--- 122,8 3 117,8 -13 -39 507 -6.591 85.683 
122,8 |--- 132,8 4 127,8 -3 -12 36 -108 324 
132,8 |--- 142,8 5 137,8 7 35 245 1.715 12.005 
142,8 |--- 152,8 5 147,8 17 85 1.445 24.565 417.605 
TOTAL 20 0 3.820 -16.920 1.355.140 
 
-0,3205
820.320
1
)920.16(
20
1
f)Xx(
n
1
f)Xx(
n
1
a
23
2
3
23
i
k
1i
i
k
1i
ii
3 





















 
 
A distribuição apresenta assimetria negativa. 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
30 
1,8573
820.3
20
1
140.355.1
20
1
f)Xx(
n
1
f)Xx(
n
1
a
22
i
2
i
i
4
i
k
1i
k
1i
4 





















 
A distribuição é platicúrtica. 
 
Exemplo 2: Dada a distribuição de freqüências a seguir, calcular a assimetria e curtose. 
 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
31 |---- 36 4 
36 |---- 41 6 
41 |---- 46 8 
46 |---- 51 4 
51 |---- 56 2 
56 |---- 61 6 
TOTAL 30 
Solução: 
INTERVALO DE 
CLASSES if
 
ix
 
)Xx( i 
 
ii f)Xx( 
 
i
2
i f)Xx( 
 
i
3
i f)Xx( 
 
i
4
i f)Xx( 
 
31 |---- 36 4 33,5 -12 -48 576 -6.912 82.944 
36 |---- 41 6 38,5 -7 -42 294 -2.058 14.406 
41 |---- 46 8 43,5 -2 -16 32 -64 128 
46 |---- 51 4 48,5 3 12 36 108 324 
51 |---- 56 2 53,5 8 16 128 1.024 8.192 
56 |---- 61 6 58,5 13 78 1.014 13.182 171.366 
TOTAL 30 0 2.080 5.280 277.360 
 
0,3049
080.2
30
1
)280.5(
30
1
f)Xx(
n
1
f)Xx(
n
1
a
23
2
3
23
i
k
1i
i
k
1i
ii
3 





















 
 
A distribuição apresenta assimetria ligeiramente positiva. 
 
1,9230
080.2
30
1
360.277
30
1
f)Xx(
n
1
f)Xx(
n
1
a
22
i
2
i
i
4
i
k
1i
k
1i
4 





















 
A distribuição é platicúrtica. 
 
 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
31 
LISTA DE EXERCÍCIOS NO. 1 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
1. Conceitue: 
a) População ou Universo; 
b) Amostra; 
c) Parâmetro; 
d) Estatística ou medida amostral; 
e) Variável aleatória discreta e exemplifique; 
f) Variável aleatória contínua e exemplifique. 
 
2. Uma importante característica de qualidade da água é a concentração de material sólido 
suspenso. Em seguida são apresentadas 30 medidas de sólidos suspensos de um certo lago. 
42,4 - 65,7 - 29,8 - 58,7 - 52,1 - 55,8 - 57,0 - 68,7 - 67,3 - 67,3 - 54,3 - 54,0 - 73,1 - 81,3 - 59,9 
56,9 - 62,2 - 69,9 - 66,9 - 59,0 - 56,3 - 43,3 - 57,4 - 45,3 - 80,1 - 49,7 - 42,8 - 42,4 - 59,6 - 65,8 
a) construir a distribuição de frequências em classes; 
b) calcular as frequências relativa e acumulada; 
c) construir o histograma de frequências. 
 
3. O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em 
segundos), sendo feita 40 determinações: 
 45 - 37 - 39 - 48 - 51 - 40 - 53 - 49 - 39 - 41 - 45 - 43 - 45 – 34 - 45 - 35 
 41 - 57 - 38 - 46 - 46 - 58 - 57 - 36 - 58 - 35 - 31 - 59 - 44 - 57 - 45 - 44 
 38 - 43 - 33 - 56 - 47 - 48 - 44 - 49 
a) construir a distribuição de frequências em classes; 
b) calcular as frequências relativa e acumulada; 
c) construir o histograma de frequências. 
 
4. Foram obtidos oito medidas do diâmetro interno de anéis de pistão forjados de um motor de 
um automóvel. Os dados (em mm) são: 
 74,001 - 74,003 - 74,015 - 74,000 - 74,005 - 74,002 - 74,005 - 74,004 
Calcule a média, a mediana, a moda, o desvio médio , o desvio padrão e o coeficiente de 
variação da amostra. 
 
5. Os tempos de esgotamento de um fluído isolante entre eletrodos a 34 kV, em minutos são: 
 0,19 - 0,78 - 0,96 - 1,31 - 2,78 - 3,16 - 4,15 - 4,67 - 4,85 - 6,50 - 7,35 - 8,01 - 8,27 - 12,06 - 31,75 - 
32,52 - 33,91 - 36,71 - 72,89. 
Calcule a média, mediana, quartil 1, quartil 3, desvio padrão e coeficiente de variação e comente 
os resultados obtidos. 
 
6. O pH de uma solução é medido oito vezes por uma operadora que usa o mesmo instrumento. 
Ela obteve os seguintes dados: 
 7,15 - 7,20 - 7,18 - 7,19 - 7,21 - 7,20 -7,16 - 7,18 
 Faça uma análise estatística dos dados e comente. 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
32 
7. Prevenir a propagação de trinca de fadiga em estruturas de aviões é um importante 
elemento de segurança em aeronaves. Um estudo de engenharia para investigar a trinca de 
fadiga em n=9 asas reportou os seguintes comprimentos (em mm) de trinca: 
 2,13 - 2,96 - 3,02 - 1,82 - 1,15 - 1,37 - 2,04 - 2,47 - 2,60 
Calcule a média, os quartis (1,2 e 3), o desvio padrão e o coeficiente de variação da 
amostra. Comente os resultados obtidos. 
 
8. Uma amostra de 7 corpos de prova de concreto forneceu as seguintes resistências à ruptura 
(
2cm/kg
) : 
 340 - 329 - 337 - 348 - 351 - 360 - 354 
Calcular a média, mediana, moda, variância, desvio padrão e coeficiente de variação. Comente 
os resultados obtidos. 
 
9. O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em 
segundos), sendo feita 20 determinações: 
 45 - 37 - 39 - 48 - 51 - 40 - 53 - 49 - 39 - 41 - 45 - 43 - 45 – 34 - 45 - 35 - 38 - 46 - 46 - 58 
Faça uma análise estatística dos dados construindo a distribuição de freqüências em 
classes(calcule também as medidas de assimetria e curtose). 
 
10. As taxas de octanagem de combustível para motor, de várias misturas de gasolina foram 
obtidas: 
 88,5 - 94,7 - 84,3 - 90,1 - 89,0 - 89,8 - 91,6 - 90,3 - 90,0 - 91,5 - 89,9 
 98,8 - 88,3 - 90,4 - 91,2 - 90,6 - 92,2 - 87,7 - 91,1 - 86,7 - 93,4 - 96,1 
Faça uma análise estatística dos dados (calcule também as medidas de assimetria e curtose). 
11. A propagação de trincas por fadiga em diversas peças de aeronaves tem sido objeto de 
muitos estudos. Os dados a seguir consistem dos tempos de propagação (horas de vôo/104) 
para atingir um determinado tamanho de trinca em furos de fixadores propostos para uso em 
aeronaves militares. 
 0,736 - 0,863 - 0,865 - 0,913 - 0,915 - 0,937 - 0,983 - 1,007 
 1,011 - 1,064 - 1,109 -1,132 - 1,140 - 1,153 - 1,253 - 1,394 
 a) Calcule e compare os valores da média e mediana amostrais; 
 b) calcule o desvio médio, desvio padrão e o coeficiente de variação; 
 c) qual é a conclusão sobre a forma da distribuição (assimetria e curtose)? 
12. O tempo necessário para se realizar certa operação industrial foi cronometrado (em 
segundos), sendo feita 12 medições: 
 45 – 37 – 39 – 48 – 51 – 40 - 53 – 49 – 39 – 41- 45 – 43 
a) calcular Q1 (quartil 1), Q2 (quartil 2) e Q3 (quartil 3); 
b) construir o gráfico Box plot. 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
33 
13. As taxas de octanagem de combustível para motor, de várias misturas de gasolina foram 
obtidas: 
 88,5 - 94,7 – 80,0 - 90,1 - 89,0 - 89,8 - 91,6 - 90,3 - 90,0 - 91,5 - 89,9 
a) calcular Q1 (quartil 1), Q2 (quartil 2) e Q3 (quartil 3); 
b) construir o gráfico Box plot. 
 
 
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES 
34 
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES 
DEFINIÇÕES 
2.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO (E) 
Definição 1: É o fenômeno que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, 
apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso. 
2.2 ESPAÇO AMOSTRAL (S) 
Definição 2: É o conjunto formado por todos os resultados possíveis em qualquer experimento 
aleatório. 
Exemplos: 
a) Inspecionar uma peça de automóvel. 
 conformenão,conformeS 
; 
b) Tomar uma válvula eletrônica e verificar o tempo de vida. 
 0x,RxS 
; 
c) Inspecionar uma lâmpada. 
 defeituosanão,defeituosaS 
; 
d) Medir o conteúdo de cobre no latão. 
 %90x%50,RxS 
 
2.3 EVENTODefinição 3: É um subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório. 
 
 
 
 
Exemplo: 
Seja o espaço amostral 
 )n,n(),c,n(),n,c(),c,c(S 
, resultado do experimento de seleção de 
duas peças, sendo c=peça conforme e n=peça não conforme. 
Suponha que A seja o subconjunto de resultados para os quais, no mínimo uma peça seja 
conforme. Então o evento A será: 
 )c,n(,)n,c(),c,c(A 
. 
 
S 
 A 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
35 
Por serem subconjuntos, é possível realizar a operação de união (U) entre conjuntos. A União 
de Eventos representa a ocorrência de um evento OU de outro. Outra operação que pode ser 
feita sobre Eventos é a intersecção (∩). A intersecção de eventos representa a ocorrência de 
um E de outro. 
 
 União de eventos => 
BA
 
 
 
 Interseção de eventos => 
BA
 
 
 
2.3.1 EVENTO COMPLEMENTAR 
 O evento complementar do evento A, representado por 
A
, é aquele que ocorre somente 
se A deixar de ocorrer. E tem-se que: 
 
SAAAA 
 => 
1)AA(P 
 
 
 AAAA
Ø => 
0)AA(P 
 
 Seja o evento A, obter número 4 na face superior no lançamento de um dado 
 4A 
. O 
evento complementar 
A
 será: 
 6,5,3,2,1A 
 
2.3.2 EVENTOS INDEPENDENTES 
 Quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da 
realização do outro e vice-versa. 
Exemplos: 
1) No lançamento de dois dados qual é a probabilidade de obter o nº 4 no primeiro dado e o nº 
3 no segundo dado ? 
61)1dadono4.no(P)1(P 
 
61)2dadono3.no(P)2(P 
 
3616161)2(P)1(P)2E1(P)21(P 
 
 
 
 A 
 B 
 
 
 
 A 
 B 
BA
 
 
 
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES 
36 
2) Suponha que numa produção diária de 850 peças fabricadas contenha 50 peças que não 
satisfaçam as exigências dos consumidores. Duas peças são selecionadas, sendo que a 
primeira peça é reposta antes da segunda ser selecionada. Qual é a probabilidade das duas 
peças serem defeituosas? 
%35,00035,0
850
50
850
50
)DeD(P 
 
2.3.3 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS 
 Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a 
realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento 
"tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza. 
 
 
 
 
 Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se 
realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: 
)B(P)A(P)BOUA(P)BA(P 
 
Exemplos: 
1) No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ? 
Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: 
316161)4.no(P)3.no(P)BOUA(P)BA(P  
2) Um parafuso é selecionado aleatoriamente de um lote de 100 parafusos, sendo que 15 
apresentam pequenos defeitos e 10 são não-conformes (não aceitáveis). Qual é a probabilidade 
do parafuso selecionado ser: 
a) Perfeito ou apresentar pequeno defeito? 
b) Apresentar pequeno defeito ou não-conforme? 
Solução: 
15,0
100
15
)defeitopequeno(P 
 
10,0
100
10
)conformenão(P 
 
 
 A 
 B 
S
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
37 
75,0
100
75
)perfeito(P 
 
a) 
90,0
100
15
100
75
)defeitopequenoouperfeito(P 
 
b) 
25,0
100
10
100
15
)conformenãooudefeitopequeno(P 
 
2.4 DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE 
Seja A um subconjunto do espaço amostral S. Então, se todos os resultados elementares de S 
são equiprováveis, a medida da probabilidade de ocorrência do evento A é dada por: 
)S(n
)A(n
Semelementosdenúmero
Aemelementosdenúmero
)A(P 
 
2.5 DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE 
 Seja o espaço amostral S associado a um certo experimento. A cada evento 
SA 
 
associa-se um número real representado por 
)A(P
, chamado de probabilidade de 
A
, 
satisfazendo as propriedades: 
1) 
1)A(P0 
 
2) 
1)S(P 
 (ou seja, a probabilidade do evento certo é igual a 1 ) 
3) sejam A e B dois eventos mutuamente exclusivos. A probabilidade de ocorrência de 
A
 ou 
B
 
é igual à soma das probabilidades individuais. 
)B(P)A(P)BouA(P 
 
2.6 PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Definição 4: Sejam A e B eventos de um experimento E, com 
0)B(P 
. Então a probabilidade 
condicional do evento A dado que B tenha ocorrido é: 
)B(P
)BA(P
)B|A(P


 , 
EA
 
Exemplo: A tabela a seguir fornece um exemplo de 400 itens classificados por falhas na 
superfície e como defeituosos (funcionalmente). 
DEFEITUOSO 
FALHAS NA SUPERFÍCIE 
Sim Não TOTAL 
Sim 10 18 28 
Não 30 342 372 
TOTAL 40 360 400 
 
ELEMENTOS DE PROBABILIDADES 
38 
 
a) Qual é a probabilidade do item ser defeituoso, dado que apresenta falhas na superfície? 
b) Qual é a probabilidade de ter falhas na superfície dado que é defeituoso? 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 A Probabilidade Condicional pode assumir a forma abaixo, chamada algumas vezes de 
teorema da multiplicação de probabilidades: 
)B(P)B|A(P)BA(P 
, ou de forma equivalente, 
)A(P)A|B(P)BA(P 
 
Exemplo: A probabilidade de que o primeiro estágio de uma operação,numericamente 
controlada, de usinagem para pistões com alta rpm atenda às especificações é igual a 0,90. 
Falhas são devido a variações no metal, alinhamento de acessórios, condições da lâmina de 
corte, vibração e condições ambientais. Dado que o primeiro estágio atende às especificações, a 
probabilidade de que o segundo estágio de usinagem atenda à especificações é de 0,95. Qual a 
probabilidade de ambos os estágios atenderem as especificações? 
855,090,095,0)A(P)A|B(P)BA(P 
 
2.7 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
 Suponha que eventos aleatórios 
k21 A,,A,A 
 sejam 
k
 conjuntos mutuamente 
exclusivos e exaustivos 
)S...,AAA( k21  
. Então: 
 

i
ii )A|B(P).A(P)B(P
 
Exemplos: 
1) A probabilidade de que um conector elétrico que seja mantido seco falhe durante o período de 
garantia de um computador portátil é 1%. Se o conector for molhado, a probabilidade de falha 
durante o período de garantia será de 5%. Se 90% dos conectores forem mantidos secos e 10% 
forem mantidos molhados, qual é a probabilidade dos conectores falharem durante o período da 
garantia? 
Solução: 
 
 
SACHIKO ARAKI LIRA 
39 
2) Suponha que na fabricação de semicondutores, a probabilidade seja de 0,10 de que um chip 
que esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação cause uma falha no 
produto. A probabilidade é de 0,005 de que um chip que não esteja sujeito a altos níveis de 
contaminação durante a fabricação cause uma falha no produto. Em um dado instante da 
produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação. Qual a probabilidade de 
um produto usando um desses chips vir a falhar? 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
2.8 TEOREMA DE BAYES 
 Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidades condicionais é dada pelo 
teorema de Bayes, que expressa uma probabilidade condicional em termos de outras 
probabilidades condicionais. 



k
1j
jj
ii
i
)A|B(P).A(P
)A|B(P).A(P
)B|A(P
 
 
Exemplo: Uma determinada peça é produzida por três fábricas, A, B e C. Sabe-se que a fábrica 
1 produz o dobro de peças que 2, e 2 e 3 produziram o mesmo número de peças durante um 
período de produção especificado. Sabe-se também que 2% das peças produzidas por 1 e por 2 
são defeituosas,