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Equações Trigonométricas Introdução à GA Funções

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Equações Trigonométricas 
 Resolver uma equação trigonométrica na variável x
significa obter todos o valores Reais dessa variável que
satisfazem a equação.
 Por isso, todas as soluções da equação devem ser dados
em Radianos.
 Para se resolver a equação, devemos escreve-la em
função apenas de uma razão trigonométrica, em geral,
seno e coseno.
Exemplos
1) Resolver a equação:
2) Sabe-se que x é um número Real pertencente ao
intervalo (0,2π) e que o triplo de sua secante, somado ao
dobro de sua tangente, é igual a 3. Calcule o cosseno do
ângulo x.
Se o problema tivesse pedido
o valor de x, escreveríamos:
3) Demonstre a identidade:
Depois resolva a equação:
Resolver a equação:
05) Calcule todos os valores de x no intervalo [0,2π] que
verificam a equação:
07/05/12
Capitulo 5: Introdução à Geometria Analítica:
5.1. O Plano Cartesiano
2º Quad 1º Quad
3º Quad 4º Quad
x=eixo das Abscissas
y=eixo das Ordenadas
0=origem
5.2. Ponto médio de um segmento:
 Seja um segmento AB limitado pelos pontos A(x ,y )
e B (x , y ).
 Seja ainda (x ,y ) o Ponto Médio deste segmento.
5.3 - Distância entre dois pontos:
Seja d a distância entre os pontos A(x ,y ) e B(x ,y ).
Pelo Teorema de Pitágoras:
Exemplo: Distância entre os pontos A(-1,6) e B(5,-4)
5.4 - Baricentro de um Triângulo:
 Chamamos de Baricentro (ou Centro de Gravidade) de
um triângulo ao ponto de interseção de suas Medianas.
Exemplo: Baricentro do triângulo de vértices A(-2,5),
B(3,-4) e C(2,8).
5.5 - Área de um Triângulo
 Consideremos o triângulo de vértices A(x ,y ),
B(x ,y ) e C(x ,y ) e seja S a sua área.
 A área S é calculada tomando-se:
 onde
Exemplo:
5.6 - Condições de Alinhamento de Três Pontos:
 Para verificar se os pontos A(x ,y ), B(x ,y ) e
C(x ,y ) estão alinhados (ou são colineares) basta usar o
resultado do item anterior fazendo D=0, ou seja:
Exemplo: Determine o valor de "a" para que sejam
colineares os pontos A(-1,3), B(2,-2) e C(3,a).
Aplicações:
1) Unindo-se o vértice da parábola 2y+3x +6x-9=0 com
os pontos de interseção com o eixo x, obtém-se um
triângulo. Achar a área deste triângulo.
2) sabendo-se que os vértices do polígono ABCD são os
pontos A(0,2), B(3,3), C(4,5) e D(4,0), calcule a sua
área.
3) Ache o perímetro do triângulo cujos vértices são os
pontos A(-2,0), B(0,2) e C(3,0).
09/05/12
5.7. Equação Geral da Reta:
 Consideremos a reta r que passa pelos pontos conhecidos
A (x ,y ) e B(x ,y ).
 Tomando sobre a reta r um ponto genérico P(x,y)
qualquer, ele estará alinhado com os pontos A e B.
 Da condição de alinhamento de três pontos, devemos ter
D=0, ou seja:
Exemplo:
 Achar a equação geral da reta que passa pelos pontos
A(-2,3) e B(5,-4).
Solução:
5.8. Equação Reduzida da Reta
 Da Equação Geral, temos:
 Isolando a variável y:
 Chamando:
 temos: 
 m=coeficiente angular
 n=coeficiente linear
Exemplos:
Achar a equação da reta que passa pelos pontos A(-2,-3) e
B(5,4).
Solução:
5.9. Inclinação e Coeficiente Angular
 Seja α=90° o ângulo que a reta y=mx+n forma com o
sentido positivo do eixo x.
α=Inclinação (0°<α<180°
e α=90°)
5.10. Equação da Reta Quando se Conhece um Ponto e
sua Inclinação
 Seja a reta que passa pelo ponto P(x ,y ) ectem
Inclinação α.
Tomando um ponto qualquer
Q(x,y) dessa reta, observamos que:
14/05/12
5.11. Retas Paralelas e Retas Perpendiculares
 Sejam as retas r: y=m x+n e s:y=m x+n
 A - Retas Paralelas
 B - Retas Perpendiculares
Exercícios - Lista
Capitulo 6 - Funções
6.1. Relação:
 Sejam os conjuntos A={1,2,3,4,5} e B=
{1,2,3,4,5,6,7,8}.
 Vamos obter o Produto Cartesiano AxB, que é o
conjunto formado pelos pares ordenados (x,y), onde xEA e
yEB.
AxB={(1,1),(1,2),(1,3),...,(2,1),(2,2),...,(5,7),(5,8)}
 40 pares
 Vamos extrair desse Produto Cartesiano um
subconjunto onde associamos os pares ordenados segundo
uma lei qualquer.
 Por exemplo, vamos admitir que a lei seja y=2x.
 Num diagrama de flechas:
O subconjunto obtido é
{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)}
 A este subconjunto damos o nome de Relação e
indicamos por R={(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)}.
 No plano cartesiano, esta Relação é representada por:
 Esta relação ainda pode ser indicada na forma: R=
{(x,y)εAxB/y=2x}.
Se A= R e B= R, então a Relação R é:
Graficamente:
Observação:
 Quando o Conjunto Partida e o Contra-Domínio são
subconjuntos dos números Reais podemos representar a
Relação simplesmente por sua lei de formação.
6.2. Função: Definição
 Sejam A e B conjuntos não vazios. Dizemos que uma
relação f de A em B é uma Função se, para todo elemento
xEA existir um e somente um elemento yEB, de modo que
o par ordenado (x,y) satisfaça a lei f.
. y=f(x) é a lei de formação
. x é a variável independente
. y é a variável dependente
Ilustrações:
6.3. Domínio de uma Função:
 Seja a função f definida de AC R em BC R pela lei
y=f(x).
 Chamamos de Domínio desta função ao conjunto D(f)
dos elementos xEA para os quais existem os elementos
yEB, tais que os pares ordenados (x,y) satisfaçam a lei f.
 Para se obter algebricamente o Domínio D(f) de uma
função basta verificar as suas Condições de Existência.
 Exemplos:
 Obter o Domínio D(f) das funções definidas abaixo:
 Observação
 As funções definidas por f(x) e g(x)
aparentemente são iguais.
 Porém, isto não é verdade, uma vez que elas têm
Domínios diferentes.
 Isto porque a propriedade é Operatória e só é
valida quando existirem isoladamente, as duas raízes.
6.4. Imagem de uma Função
 Chamamos de Imagem de uma função f de A em B ao
conjunto dos elementos yEB relacionados aos elementos
xED(f) pela lei y=f(x).
 A Imagem Im(f) é um subconjunto do Contra-
Domínio.
 Para se obter algebricamente a Imagem Im(f) de uma
função y=f(x), basta isolar a variável x em função da
variável y e estudar as suas condições de existência.
 Achar a Imagem Im(f) das funções definidas abaixo.
Exemplos
Observação 
 A determinação da Imagem de uma função y=f(x) é
muito mais simples de ser feita quando conhecemos o
gráfico dessa função.
6.5. Gráfico de uma Função
 O gráfico de uma função definida pela lei y=f(x) éco
conjunto de pontos (x,y) do plano cartesiano xy, tais que
x ε D(f), y ε Im(f) e y=f(x).
Observação 
 Decorre da definição de Função que o Gráfico de uma
função não pode ter mais de uma coordenada para a
mesma abscissa.
 x=abcissa
 y=ordenada
Exemplos 
 Esboçar o gráfico das funções definidas abaixo:
6.6. Tipos de Funções
6.6.1. Função Par:
 Dizemos que uma função é par quando:
 f(-x)=f(x) para todo x ε D(f)
 A consequência desta definição é que o gráfico de uma
função par é simétrico em relação ao eixo y.
Exemplos
6.6.2. Função Ímpar
 Dizemos que uma função f é impar quando:
 f(-x)=-f(x), para todo x ε D(f)
 A consequência desta definição é que o gráfico de uma
função impar é simétrico em relação à origem dos eixos
coordenados?
Exemplos 
6.6.3. Função Polinomial
 É toda função definida na forma:
Casos Particulares
A - Função constante
B - Função Linear
 É definida por f(x)=ax+b, a,b E R.
C - Função Quadrática 
 É definida por f(x)=ax +bx+c ou y=ax +bx+c,onde a
E R* e b,cE R.
 O seu gráfico é uma Parábola cuja concavidade depende
do sinal de a.
 O ponto V(x ,y ) é o vértice da Parábola, e temos
6.6.4. Função Racional
 É toda função definida da forma f(x)=
onde P(x) e Q(x) são Funções Polinimiais.