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Equações Trigonométricas Resolver uma equação trigonométrica na variável x significa obter todos o valores Reais dessa variável que satisfazem a equação. Por isso, todas as soluções da equação devem ser dados em Radianos. Para se resolver a equação, devemos escreve-la em função apenas de uma razão trigonométrica, em geral, seno e coseno. Exemplos 1) Resolver a equação: 2) Sabe-se que x é um número Real pertencente ao intervalo (0,2π) e que o triplo de sua secante, somado ao dobro de sua tangente, é igual a 3. Calcule o cosseno do ângulo x. Se o problema tivesse pedido o valor de x, escreveríamos: 3) Demonstre a identidade: Depois resolva a equação: Resolver a equação: 05) Calcule todos os valores de x no intervalo [0,2π] que verificam a equação: 07/05/12 Capitulo 5: Introdução à Geometria Analítica: 5.1. O Plano Cartesiano 2º Quad 1º Quad 3º Quad 4º Quad x=eixo das Abscissas y=eixo das Ordenadas 0=origem 5.2. Ponto médio de um segmento: Seja um segmento AB limitado pelos pontos A(x ,y ) e B (x , y ). Seja ainda (x ,y ) o Ponto Médio deste segmento. 5.3 - Distância entre dois pontos: Seja d a distância entre os pontos A(x ,y ) e B(x ,y ). Pelo Teorema de Pitágoras: Exemplo: Distância entre os pontos A(-1,6) e B(5,-4) 5.4 - Baricentro de um Triângulo: Chamamos de Baricentro (ou Centro de Gravidade) de um triângulo ao ponto de interseção de suas Medianas. Exemplo: Baricentro do triângulo de vértices A(-2,5), B(3,-4) e C(2,8). 5.5 - Área de um Triângulo Consideremos o triângulo de vértices A(x ,y ), B(x ,y ) e C(x ,y ) e seja S a sua área. A área S é calculada tomando-se: onde Exemplo: 5.6 - Condições de Alinhamento de Três Pontos: Para verificar se os pontos A(x ,y ), B(x ,y ) e C(x ,y ) estão alinhados (ou são colineares) basta usar o resultado do item anterior fazendo D=0, ou seja: Exemplo: Determine o valor de "a" para que sejam colineares os pontos A(-1,3), B(2,-2) e C(3,a). Aplicações: 1) Unindo-se o vértice da parábola 2y+3x +6x-9=0 com os pontos de interseção com o eixo x, obtém-se um triângulo. Achar a área deste triângulo. 2) sabendo-se que os vértices do polígono ABCD são os pontos A(0,2), B(3,3), C(4,5) e D(4,0), calcule a sua área. 3) Ache o perímetro do triângulo cujos vértices são os pontos A(-2,0), B(0,2) e C(3,0). 09/05/12 5.7. Equação Geral da Reta: Consideremos a reta r que passa pelos pontos conhecidos A (x ,y ) e B(x ,y ). Tomando sobre a reta r um ponto genérico P(x,y) qualquer, ele estará alinhado com os pontos A e B. Da condição de alinhamento de três pontos, devemos ter D=0, ou seja: Exemplo: Achar a equação geral da reta que passa pelos pontos A(-2,3) e B(5,-4). Solução: 5.8. Equação Reduzida da Reta Da Equação Geral, temos: Isolando a variável y: Chamando: temos: m=coeficiente angular n=coeficiente linear Exemplos: Achar a equação da reta que passa pelos pontos A(-2,-3) e B(5,4). Solução: 5.9. Inclinação e Coeficiente Angular Seja α=90° o ângulo que a reta y=mx+n forma com o sentido positivo do eixo x. α=Inclinação (0°<α<180° e α=90°) 5.10. Equação da Reta Quando se Conhece um Ponto e sua Inclinação Seja a reta que passa pelo ponto P(x ,y ) ectem Inclinação α. Tomando um ponto qualquer Q(x,y) dessa reta, observamos que: 14/05/12 5.11. Retas Paralelas e Retas Perpendiculares Sejam as retas r: y=m x+n e s:y=m x+n A - Retas Paralelas B - Retas Perpendiculares Exercícios - Lista Capitulo 6 - Funções 6.1. Relação: Sejam os conjuntos A={1,2,3,4,5} e B= {1,2,3,4,5,6,7,8}. Vamos obter o Produto Cartesiano AxB, que é o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y), onde xEA e yEB. AxB={(1,1),(1,2),(1,3),...,(2,1),(2,2),...,(5,7),(5,8)} 40 pares Vamos extrair desse Produto Cartesiano um subconjunto onde associamos os pares ordenados segundo uma lei qualquer. Por exemplo, vamos admitir que a lei seja y=2x. Num diagrama de flechas: O subconjunto obtido é {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)} A este subconjunto damos o nome de Relação e indicamos por R={(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)}. No plano cartesiano, esta Relação é representada por: Esta relação ainda pode ser indicada na forma: R= {(x,y)εAxB/y=2x}. Se A= R e B= R, então a Relação R é: Graficamente: Observação: Quando o Conjunto Partida e o Contra-Domínio são subconjuntos dos números Reais podemos representar a Relação simplesmente por sua lei de formação. 6.2. Função: Definição Sejam A e B conjuntos não vazios. Dizemos que uma relação f de A em B é uma Função se, para todo elemento xEA existir um e somente um elemento yEB, de modo que o par ordenado (x,y) satisfaça a lei f. . y=f(x) é a lei de formação . x é a variável independente . y é a variável dependente Ilustrações: 6.3. Domínio de uma Função: Seja a função f definida de AC R em BC R pela lei y=f(x). Chamamos de Domínio desta função ao conjunto D(f) dos elementos xEA para os quais existem os elementos yEB, tais que os pares ordenados (x,y) satisfaçam a lei f. Para se obter algebricamente o Domínio D(f) de uma função basta verificar as suas Condições de Existência. Exemplos: Obter o Domínio D(f) das funções definidas abaixo: Observação As funções definidas por f(x) e g(x) aparentemente são iguais. Porém, isto não é verdade, uma vez que elas têm Domínios diferentes. Isto porque a propriedade é Operatória e só é valida quando existirem isoladamente, as duas raízes. 6.4. Imagem de uma Função Chamamos de Imagem de uma função f de A em B ao conjunto dos elementos yEB relacionados aos elementos xED(f) pela lei y=f(x). A Imagem Im(f) é um subconjunto do Contra- Domínio. Para se obter algebricamente a Imagem Im(f) de uma função y=f(x), basta isolar a variável x em função da variável y e estudar as suas condições de existência. Achar a Imagem Im(f) das funções definidas abaixo. Exemplos Observação A determinação da Imagem de uma função y=f(x) é muito mais simples de ser feita quando conhecemos o gráfico dessa função. 6.5. Gráfico de uma Função O gráfico de uma função definida pela lei y=f(x) éco conjunto de pontos (x,y) do plano cartesiano xy, tais que x ε D(f), y ε Im(f) e y=f(x). Observação Decorre da definição de Função que o Gráfico de uma função não pode ter mais de uma coordenada para a mesma abscissa. x=abcissa y=ordenada Exemplos Esboçar o gráfico das funções definidas abaixo: 6.6. Tipos de Funções 6.6.1. Função Par: Dizemos que uma função é par quando: f(-x)=f(x) para todo x ε D(f) A consequência desta definição é que o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. Exemplos 6.6.2. Função Ímpar Dizemos que uma função f é impar quando: f(-x)=-f(x), para todo x ε D(f) A consequência desta definição é que o gráfico de uma função impar é simétrico em relação à origem dos eixos coordenados? Exemplos 6.6.3. Função Polinomial É toda função definida na forma: Casos Particulares A - Função constante B - Função Linear É definida por f(x)=ax+b, a,b E R. C - Função Quadrática É definida por f(x)=ax +bx+c ou y=ax +bx+c,onde a E R* e b,cE R. O seu gráfico é uma Parábola cuja concavidade depende do sinal de a. O ponto V(x ,y ) é o vértice da Parábola, e temos 6.6.4. Função Racional É toda função definida da forma f(x)= onde P(x) e Q(x) são Funções Polinimiais.6.6.5. Função Algébrica É toda função definida apenas pelas operações algébricas elementares (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). Exemplos 6.6.6. Função Transcedente São aquelas funções não algébricas. Dentre elas, destacamos as funções: -Exponencial -Logarítmica -Trigonométrica A - Função exponencial É definida por f(x)=a ou y=a e a=1. B - Função logarítmica É definida por f(x)=log x ou y =log x e a =1. 6.6.7. Verificar função modular em "MAT050 - Aulas"
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