CAP13 Proteção de capacitores

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CAPÍTULO 13 
 
 
EFEITOS DE CORRENTES E TENSÕES HARMÔNICAS EM 
COMPONENTES DE SISTEMAS ELÉTRICOS E 
PROTEÇÃO DE BANCOS DE CAPACITORES 
 
Prof. José Wilson Resende 
Ph.D em Sistemas de Energia Elétrica (University of Aberdeen-Escócia) 
Professor titular da Faculdade de Engenharia Elétrica 
Universidade Federal de Uberlândia 
 
 
 
13.1- INTRODUÇÃO 
 
Os sistemas de transmissão e de distribuição de energia elétrica, bem como a 
maioria das cargas das unidades consumidoras, como motores, lâmpadas de 
descarga, fornos de indução, etc. consomem energia reativa. Como se sabe da 
teoria de circuitos elétricos, a potência aparente, medida em [VA}, é constituída 
de dois tipos de potência: 
a) Potência ativa: medida em [W]. Esta é a potência que efetivamente 
realiza trabalho, gerando calor, luz, movimento, etc. 
b) Potência reativa: medida em [VAr]. Esta potência é usada para criar e 
manter os campos eletromagnéticos. 
 
 Assim, enquanto a potência ativa é sempre consumida na execução de 
trabalho, a potência reativa, além de não produzir trabalho, circula entre a carga e 
a fonte de alimentação, ocupando um “espaço” no sistema elétrico, que poderia 
ser utilizado para fornecer energia ativa. 
 O “triângulo das potências” ilustra a relação 
entre as potências ativa (P), reativa (Q) e aparente (S). 
 
À razão entre as potências ativa e aparente de uma 
determinada carga denomina-se de “fator de 
potência” (FP): 
FP
kW
kVA
arctg
kVAr
kW
= = =cos cos( )ϕ 
 
 O fator de potência indica qual porcentagem da potência total fornecida 
(kVA) é efetivamente utilizada como potência ativa (kW). Assim, o fator de 
potência indica o grau de eficiência do uso dos sistemas elétricos. Valores altos 
de fator de potência (próximos de 1,0) indicam uso eficiente da energia elétrica, 
enquanto valores baixos evidenciam seu mau aproveitamento, além de 
representar uma sobrecarga para todo o 
sistema elétrico. 
 A título de ilustração: 
 2
Para alimentar uma carga de 100 kW, com FP igual a 0,70, são necessários 143 
kVA. Para a mesma carga de 100 kW, mas com FP igual a 0,92, são necessários 
apenas 109 kVA. Isso representa uma diferença de 24% no fornecimento de 
kVA. 
13.1.1 – COMO O EXCESSO DE REATIVO AFETA AS REDES E 
INSTALAÇÕES 
 
Baixos FP’s resultam em aumento na corrente total que circula nas redes de 
distribuição de energia elétrica da concessionária e das unidades consumidoras. 
Isso pode sobrecarregar as subestações bem as linhas de transmissão e 
distribuição, prejudicando os níveis de tensão bem como a estabilidade e as 
condições de aproveitamento dos sistemas elétricos, trazendo inconvenientes 
diversos, como os a seguir ilustrados. 
 
13.1.1.1 – Perdas joulicas na rede 
 As perdas de energia elétrica ocorrem em forma de calor e são proporcionais ao 
quadrado da corrente total. Como essa corrente cresce com o excesso de energia 
reativa, há uma relação direta eghntre o incremento 
de perdas e o baixo fator de potência, provocando o 
aumento do aquecimento de condutores e 
equipamentos. 
 
A equação: ∆P FPi
FPf
(%) ( ).= −1 100
2
2 expressa a redução 
das perdas (∆P), em [%], no transporte de energia 
elétrica, desde a geração até a entrada do consumidor, em função dos fatores de 
potência inicial (FPi) e final (FPf). 
 A tabela 1 ilustra uma aplicação direta da equação acima. Nesta tabela é 
mostrada a redução das perdas anuais no transporte da energia elétrica (∆P) de 
uma instalação com consumo anual da ordem de 100 MWh, quando se eleva o FP 
de 0,78 para 0,92. 
 
Tabela 1 – Diminuição de perdas com o aumento do FP 
Situação inicial ação final Fator de 
potência O,78 0,92 
5% 3,59% Perdas 
na rede 5 MWh/ano 3,59 MWh/ano 
Redução das 
perdas (∆P) 
 
28,1% 
 
 
13.1.1.2 – Quedas de tensão 
O aumento da corrente devido ao excesso de reativo leva a quedas de tensão 
acentuadas, podendo ocasionar a interrupção do fornecimento de energia elétrica 
e a sobrecarga em certos elementos da rede. Esse risco é acentuado durante os 
períodos nos quais a rede é fortemente solicitada (horário de pico). As quedas de 
tensão podem provocar, ainda, diminuição da intensidade luminosa nas lâmpadas 
e aumento da corrente nos motores. 
 3
13.1.1.3 – Sub utilização da capacidade instalada 
 
A energia reativa, ao sobrecarregar uma instalação elétrica, inviabiliza a sua 
plena utilização, condicionando a instalação de novas cargas a investimentos que 
seriam evitados se o fator de potência apresentasse valores mais altos. O 
“espaço”ocupado pela energia reativa poderia ser então utilizado para o 
atendimento a novas cargas. 
A figura ao lado dá uma idéia da 
consequência do aumento do fator de 
potência de 0,85 para 0,92, no fornecimento 
de potência ativa para cada 1.000 kVA 
instalado. A redução da potência reativa, de 
527 kVAr para 392 kVAr, permite ao sistema elétrico aumentar de 850 kW para 
920 kW a sua capacidade de fornecer potência ativa, para cada 1.000 kVA 
instalado. 
 
 Os investimentos em ampliação das instalações estão relacionados 
principalmente aos transformadores e condutores necessários. O transformador a 
ser instalado deve atender à potência ativa total dos equipamentos utilizados. 
Porém, devido à presença de potência reativa, a sua capacidade deve ser 
calculada com base na potência aparente das instalações. A tabela 2 mostra a 
potência total que deve ter o transformador, para atender uma carga útil de 800 
kW para fatores de potência crescentes. 
 
Tabela 2 – Potência requerida de um transformador, em função do 
FP 
Potência útil 
absorvida 
(kW) 
Fator de 
potência 
Potência do 
transformador 
(kVA) 
0,50 1.600 
0,80 1.000 
 
800 
1,00 800 
 
 4
13.2- EFEITO DAS HARMÔNICAS NA POTÊNCIA E NO FATOR DE 
POTÊNCIA 
 
As distorções harmônicas de tensão e corrente dificultam os cálculos de 
potência e de fator de potência porque algumas simplificações geralmente usadas 
pelos engenheiros eletricistas nessas análises não podem ser feitas na presença de 
harmônicos. 
 
13.2.1) POTÊNCIAS APARENTE, ATIVA E REATIVA, NA PRESENÇA DE 
HARMÔNICOS: 
 
 Existem três grandezas associadas com a potência: 
• Potência aparente, S, que é obtida pelo produto da tensão rms com a corrente 
rms. 
• Potência ativa, P, que é a média da energia entregue. 
• Potência reativa, Q, que é a parcela da potência aparente em quadratura com a 
potência ativa. 
 
Na freqüência fundamental, essas grandezas acima estão assim relacionadas: 
P S= .cosθ 
 Q S= .senθ 
onde θ é o ângulo de fase entre a corrente e a tensão. 
 
O fator cosθ é comumente denominado de fator de potência ( FP ). Por 
outro lado, o fator de potência também é definido por: 
 
FP
P
S
= = =kW
kVA
cosθ 
 
Os conceitos tradicionais de correção de fator de potência são baseados na 
hipótese de que as cargas do sistema têm as tensões e correntes senoidais. Ou 
seja, as distorções harmônicas são ignoradas. Os termos P e S são obtidos na 
frequencia fundamental apenas. 
 Por outro lado, sabe-se que as distorções de tensão e corrente causadas 
pelas cargas não lineares alteram a forma de calcular o fator de potência. Para 
incluir os efeitos dos harmônicos, deve ser usado o fator de potência verdadeiro 
(TPF), o qual é definido pela seguinte relação: 
 
TPF
kW
kVA
P
V xIrms rms
= = 
 
Como em (14), TPF é definido como sendo a relação entre kW e kVA. 
Porém, neste caso, o “kVA” inclui as distorções harmônicas . A potência total 
aparente (kVA) é determinada pelo produto da verdadeira tensão eficaz pela 
 5
verdadeira corrente eficaz (a potência ativa, P, é muito pouco influenciada pela 
distorção). 
 A equação (15) expressa de maneira correta, a eficiência na qual a potência 
ativa Pestá sendo usada. Somente quando não houver nenhuma distorção é que 
TPF (equação 15) será igual a PF (equação 14). 
 Os capacitores compensam apenas o reativo na freqüência fundamental, 
isto é, Q 1 . Logo, na presença de harmônicos, não há como fazer o TPF ser 
corrigido para o valor 1,00. Na presença de harmônicos, os capacitores podem até 
piorar o TPF, pois eles podem criar condições de ressonância que amplificariam 
as distorções harmônicas. 
 Assumindo que no sistema elétrico haja uma distorção harmônica total de 
corrente (DHTi) e que a distorção harmônica total de tensão (DHTv) é nula, 
então o valor máximo que TPF pode atingir é: 
 
TPF
DHTi
= +
1
1 2
 
Esta expressão confirma que, na presença de correntes harmônicas, não há 
como fazer o TTPPFF ser corrigido para o valor 1,00. 
 
 A maioria dos medidores de energia mede apenas o reativo correspondente 
à frequencia fundamental, Q 1 . Na maioria dos casos, a corrente, no ponto de 
medição, não é muito distorcida (ao contrário de um ramal alimentador de uma 
carga não-linear). Nessas condições, o erro na medição é pequeno. 
A adequação de um modelo que calcule fielmente as potências nos 
circuitos sob condições não-senoidais tem sido uma incessante busca de diversos 
especialistas na área, tais como Budeanu,.Fryze, Shepherd e Czarnecki. A seguir 
serão mostradas as equações do modelo de Budeanu. 
 
 
13.2.2) - MODELO DE BUDEANU : 
 
 O modelo de Budeanu é um dos modelos de cálculo de potências e fator de 
potência mais aceitos na engenharia elétrica, sob condições não senoidais. 
Fundamentado no domínio da freqüência, o modelo consiste, basicamente, em 
desmembrar a potência aparente em três componentes de potência, P, Q e D. 
conforme mostrado na figura 2.20. 
 
 Diagrama de potências segundo o modelo de Budeanu. 
 6
As equações abaixo descrevem o modelo de Budeanu. 
 
S2 = nV
n
n
nI
n
n
2
1
2
1=
∑
=
∑ = P2 + Q2 + D2 
Onde: 
vn= 2 Vn cos (n.ω1 t+αn) e in = 2 In cos (n.ω1 t+αn - φn ) 
 
P = nV
n
n
nI=
∑
1
cos φn 
Q = nV
n
n
nI=
∑
1
sen φn 
D = ( )[ ]nV mI nI nV nI mV mI m
n m
n m
2 2 2 2+ m2V n− −≠∑ cos
, φ φ 
FP = P / S 
 
Uma das principais críticas ao modelo de Budeanu é que ele simplesmente 
soma algebricamente a amplitude VnIn sen φn de cada componente harmônica 
sem considerar que essas componentes podem ter ângulos de fase αn diferentes. 
Entretanto, mesmo enfrentando todas as críticas, ainda é o modelo mais utilizado 
tanto por engenheiros como também por fabricantes. O termo “D”, na expressão 
(20), representa a contribuição adicional para a potência aparente, S, devido às 
harmônicas. 
 7
13.2.3) - EXEMPLOS PRÁTICOS DE CÁLCULO DE FATOR DE POTÊNCIA: 
 
 Seja uma instalação industrial submetida às seguintes ondas de tensão e 
corrente: 
v(t) = 2 [ cos(ωt-900) + 0,02cos(3ωt-1200) + 0,07cos (5ωt+900) ] [pu] 
i(t) = 2 [ cos(ωt-1000) + 0,12cos(2ωt-1200) + 
0,51cos(4ωt+1100)+0,27cos(5ωt-150) + 
 + 0.05cos(6ωt+650) ] [pu] 
 
 A partir dessas ondas de tensão e corrente, serão obtidas as potências P, Q, 
S e o fator de potência, levando-se em conta três hipóteses distintas: 
 
 
A) Cálculo das potências ativa, reativa, aparente e fator de potência 
considerando-se apenas as componentes fundamentais: 
P = V1I1cosφ1 = 0,9848 pu 
Q = V1I1senφ1 = 0,1736 pu 
S = V1I1 = 1 pu 
FP = cosφ1 = 0,9848 
 
 
B) Cálculo das potências ativa, reativa, aparente e fator de potência 
considerando-se a distorção harmônica da corrente e desconsiderando-se a 
distorção harmônica de tensão 
 
 Neste caso, será utilizado o modelo de Budeanu. Os resultados são os 
seguintes: 
P = n n n
n
n
V I cos φ
=
∑
1
= V1I1cosφ1 = 0,9848 pu 
Q = n n n
n
n
V I sen φ
=
∑
1
= V1I1senφ1 = 0,1736 pu 
S = n n
n
n
n
n
V I2 2
11 ==
∑∑ = V1 n
n
n
I2
1=
∑ = 1,1619 pu 
FP = P/S = 0,8476 
 
 8
 
C) Cálculo das potências ativa, reativa, aparente e fator de potência 
considerando-se as distorções harmônicas de corrente e de tensão 
 
 Ainda utilizando-se o modelo de Budeanu, o cálculo das potências ativa, 
reativa, aparente e do fator de potência são mostradas a seguir: 
P = n n n
n
n
V I cos φ
=
∑
1
= V1I1cosφ1 + V5I5cosφ5 = 0,9843 pu 
Q = n n n
n
n
V I sen φ
=
∑
1
= V1I1senφ1 + V5I5senφ5 = 0,1755 pu 
S = n
n
n
n
n
n
V I2
1
2
1= =
∑ ∑ = 1,1650 pu 
FP = P/S = 0,8449 
 
 A tabela abaixo mostra os resultados de potências obtidas considerando-se 
as três hipóteses anteriormente citadas. 
 
 
Resultados obtidos para as três hipóteses consideradas 
 HIPÓTESE A HIPÓTESE B HIPÓTESE C 
P [pu] 0,9848 0,9848 0,9843 
Q 
[pu] 
0,1736 0,1736 0,1755 
S [pu] 1 1,1619 1,1650 
FP 0,9848 0,8476 0,8449 
 
 Pelos resultados obtidos, observam-se, principalmente, as diferenças nas 
potências aparentes S e nos fatores de potência. Neste exemplo não houve uma 
diferença significativa entre a hipótese B e a hipótese C porque a distorção 
harmônica da tensão, que não é considerada na hipótese B, não é significativa. Se 
a forma de onda da tensão fosse mais distorcida, certamente essa diferença seria 
maior. 
 Fica claro, através do exemplo anterior, a importância de se levar em conta 
os efeitos das distorções harmônicas principalmente no cálculo do fator de 
potência. Desta forma, evitar-se-á que um baixo fator de potência seja mascarado 
por um valor alto, obtido através das componentes fundamentais, apenas. 
 9
13.3) RESSONÂNCIA PARALELA ENTRE CAPACITORES E O 
SISTEMA ELÉTRICO 
 
 A figura abaixo mostra um sistema elétrico onde um gerador alimenta uma 
fonte harmônica através de um transformador. No ponto de acoplamento (PAC) 
entre a fonte harmônica e o transformador, há um capacitor instalado para 
correção de fator de potência. 
 
Efeito do capacitor na ressonância paralela 
 
A figura (b) ilustra o circuito elétrico correspondente à freqüência 
fundamental e a figura (c) mostra o correspondente circuito elétrico para 
freqüências harmônicas. De acordo com a figura (b), a tensão fundamental no 
PAC, é dada por: 
V E jZ Ieq( ) ( ) . ( )1 1 1= − 
 
Onde Z(1)eq é a impedância fundamental equivalente, vista do PAC. Ela é 
dada por: 
Z
jX jX jX
jX jX jXeq
trafo gerador cap
trafo gerador cap
( )
( ( ) ( ) ).( ( ) )
( ( ) ( ) ) ( )
1
1 1 1
1 1 1
= + −+ − 
 
Por outro lado, do ponto de vista harmônico, de acordo com a figura (c), a 
corrente injetada pela fonte harmônica na rede, causará no PAC, a seguinte 
tensão harmônica: 
V h jZ h I heq( ) ( ) . ( )= 
 
Onde Z(h)eq é a impedância harmônica equivalente, vista do PAC. Ela é dada 
por: 
Z h
jX h jX h jX h
jX h jX h jX heq
trafo gerador cap
trafo gerador cap
( )
( ( ) ( ) ).( ( ) )
( ( ) ( ) ) ( )
= + −+ − 
 10
 A ressonância paralela pode ocorrer se, na equação anterior, o resultado 
da soma das impedâncias do denominador fornecer um número muito pequeno. 
Isso causará uma impedância equivalente muito grande. Assim, qualquer pequeno 
valor de corrente harmônica multiplicado por esta grande impedância, poderá dar, 
como resultado, um elevado valor para a tensão harmônica V(h). Esta tensão, 
somada com a tensão V(1), poderá proporcionar uma tensão resultante muito alta 
no PAC (bem maior do que apenas V(1)) e que poderá até destruir o banco de 
capacitores.O valor da tensão harmônica V(h) depende da impedância equivalente 
Z(h)eq da barra e da corrente harmônica injetada pela carga. Logo, a tensão 
harmônica V(h) depende do local em que a fonte harmônica está instalada. Ou 
seja, a mesma fonte, alocada em pontos distintos do sistema, resultará em 
diferentes tensões harmônicas V(h). 
 
13.3.1) Frequência de ressonância paralela 
Diante de tudo que foi exposto, surge a importante indagação: como saber 
em que freqüência harmônica haverá uma ressonância paralela? Do ponto de 
vista de circuitos elétricos a equação básica é: 
C
Lr
f π2
1= 
Onde: 
fr é freqüência de ressonância, em [Hz], 
L e C são as indutância e as capacitância do circuito elétrico. 
 
Essa equação, no entanto, não é muito usada pelos engenheiros de sistemas 
elétricos porque essas indutâncias e capacitâncias do sistema podem não estar 
facilmente disponíveis. Uma equação mais prática é: 
h S Sr
CC
capacitor
= 
Onde 
hr é um múltiplo da freqüência fundamental, 
 SCC é o nível de curto circuito da barra 
 Scapacitor é a potência do banco de capacitores 
 
 
13.3.2) Efeitos da resistência e das cargas resistivas na ressonância paralela 
 A simples descoberta de que há uma 
freqüência de ressonância paralela nem 
sempre é um grande problema. As 
resistências elétricas do sistema podem fazer 
com que o valor da impedância equivalente, 
resultante da combinação entre o capacitor e 
o sistema não seja tão grande. Isso é 
conhecido como amortecimento. O desenho ao lado mostra que ilustra o efeito da 
 11
presença da resistência elétrica na impedância equivalente de uma barra. Pode 
ser observado que, se a impedância equivalente tiver uma resistência elétrica de 
valor igual a 20% da sua reatância, então o efeito da ressonância paralela será 
praticamente nulo. 
Outro interessante aspecto geralmente discutido é sobre a quem atribuir a 
responsabilidade pelo problema harmônico em um sistema elétrico. De uma 
maneira geral, o consumidor é o responsável pela quantidade de corrente 
harmônica injetada no sistema (afinal, ele é o dono da carga não-linear). As 
empresas geradoras, transportadoras e distribuidoras de energia elétrica é que 
controlam o valor da impedância do sistema. Logo, se a corrente harmônica 
injetada por um consumidor no sistema estiver dentro de razoáveis limites, então 
o controle da distorção de tensão é de responsabilidade dessas empresas e não do 
consumidor. 
 
 
 12
13.4) SUPORTABILIDADE DOS CAPACITORES NA PRESENÇA DE 
CORRENTES E TENSÕES HARMÔNICAS: 
 
A norma ANSI/IEEE 18-1980 especifica as seguintes suportabilidades para 
os capacitores: 
• TENSÃO: devem suportar até 110% do valor nominal. 
• CORRENTE: admitir uma operação contínua com uma corrente de fase de 
valor eficaz até 180% do valor nominal 
• POTÊNCIA: devem suportar até 135% do valor nominal 
 
 
a) Exemplo prático de análise de desempenho de capacitor submetido a 
harmônicas: 
 
DADOS DO BANCO: 
• Potência nominal: 1.200 KVAr; Tensão Nominal: 13.800 V; Tensão de 
operação: 13.800 V 
• Corrente nominal:50,2 A (1200/√3.13,8); freqüência fundamental: 60 Hz; 
Reatância do capacitor: 158700 Ω 
 
Tensões e correntes harmônicas as quais o capacitor está submetido: 
ORDEM 
HARMÔNICA 
TENSÕES 
 [% fund] 
TENSÕES 
[VOLTS] 
CORRENTE
S 
[% fund] 
1 100,00 7967.4 100,00 
3 0,0 0.0 0,0 
5 4,00 318.7 20.00 
7 3,00 239.0 21.00 
11 0,00 0,00 0,00 
13 0,00 0,00 0,00 
17 0,00 0,00 0,00 
19 0,00 0,00 0,00 
21 0,00 0,00 0,00 
23 0,00 0,00 0,00 
25 0,00 0,00 0,00 
 
%534 22 =+=TENSÃODHT 
%292120 22 =+=CORRENTEDHT 
)%1,104]([27,52 1
2
7
2
5
2
1 IAIIII ef =++= 
)%1,100]([39,79772397,3184,7967 1
222 VVVef =++= 
 13
 Limites do banco de capacitor: 
 GRANDEZAS 
CALCULADAS 
[%] 
LIMITES (norma 
ANSI/IEEE 18-1980) 
[%] 
 
 O LIMITE FOI 
EXCEDIDO? 
Tensão de pico 107,0 120 Não 
Tensão eficaz 100,1 110 Não 
Corrente eficaz 104,1 180 Não 
Kvar 104,2 135 Não 
OBS: 
1) Cálculo da tensão de pico: 100% + 4% + 3% = 107% 
2) Potência reativa: Vef.Ief = 1,001 pu. 1,041 pu = 1,042 pu = 104,2% da 
Potência Nominal 
 
CONCLUSÕES: 
• O banco está sujeito, principalmente, à 5ª e 7ª harmônicas. 
• Apesar de valores relativamente altos para as distorções de corrente, a tabela 
acima indica que nenhum dos limites máximos foram atingidos. 
 
 
 
13.5) EXEMPLO DE DERATING DE TRANSFORMADORES: 
 
Tem-se um edifício de escritórios, alimentado através de um transformador 
de 1 MVA, a seco. A corrente fundamental média medida é de I1 = 285 A 
enquanto que as correntes harmônicas medidas estão na tabela abaixo. 
HO 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 
Ih [pu] 1 0,657 0,377 0,127 0,044 0,053 0,025 0,019 0,018 0,011 
 
Pede-se calcular o derating a que este transformador deverá ser submetido. 
 
SOLUÇÃO: 
A nova corrente eficaz será calculada pela expressão: KpK
KpIef
.1
1
+
+= , 
Onde: 
∑
∑
=
=
=
== nh
h
nh
h
Ih
hIh
K
1
2
1
2.2
)(
.)(
 e Kp será obtido através da seguinte tabela: 
 
Transformador a seco Kp 
<1 MVA - 5 kV na AT 3% a 8% 
>1,5 MVA – 15 kV na AT 12% a 20% 
 
Transformador a óleo Kp 
<2,5 MVA – 480 V na BT 1% 
Entre 2,5/5 MVA – 480 V na BT 1% a 5% 
>5 MVA (480 V na BT) 9% a 15% 
 
 14
Considerando que o transformador é de 1 MVA, a seco: Kp = 0,08. 
Para a carga em estudo, visando atender a equação ∑
∑
=
=
=
== nh
h
nh
h
Ih
hIh
K
1
2
1
2.2
)(
.)(
 monta-se a 
seguinte tabela: 
 
h I [pu] (Ih)2 h2.(Ih)2 
1 1 1 1 
3 0,657 0,432 3,885 
5 0,377 0,142 3,552 
7 0,127 0,016 0,79 
... ... ... ... 
.... ... ... ... 
31 0,002 0,00.. 0,004 
SOMAS: 1,596 10,119 
 
Assim, ∑
∑
=
=
=
== nh
h
nh
h
Ih
hIh
K
1
2
1
2.2
)(
.)(
= 10,119 / 1,596 = 6,34 
KpK
KpIef
.1
1
+
+= = In.85,0)08,0.34,61(
)08,01( =+
+
 
 
CONCLUSÃO: Este transformador dever ser usado com 15% menos potência do 
que o seu valor nominal de 1 MVA. 
 
 
Redução da Vida Útil de Transformadores, em Função da Elevação de 
Temperatura: 
 
 
 15
Vida Útil x Distorção Harmônica de Corrente: 
 
 
 
 
 
 
Vida Útil x Distorção Harmônica de Tensão: 
 
 
 
 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Distorção Harmônica de tensão [ % ]
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5 10 15 20 25 30 35
Distorção Harmônica de Corrente[ % ]
Carga Mista ( Carga Linear e/ou Nao LInear )
Carga Mista C/ Componente Continua( 1% )
Carga Mista C/ Componente Continua ( 10% )
 16
13.6)) EXEMPLO DE CÁLCULO DE CORRENTES EM CONDUTORES 
FASE E NEUTRO, NA PRESENÇA DE CORRENTES HARMÔNICAS: 
 
Neste exemplo, novamente será considerada a carga do edifício de 
escritórios, alimentado através de um transformador de 1 MVA, a seco, já visto 
anteriormente. A corrente fundamental média medida é de I1 = 285 [A]. 
 
As correntes harmônicas medidas estão na tabela abaixo. 
HO 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 
Ih 
[pu] 
1 0,657 0,377 0,127 0,044 0,053 0,025 0,019 0,018 0,011
 
 
CORRENTE DE FASE EFICAZ: 
1
2222
1
1
2 .26,1011,0...377,0657,01.)( IIIhIef
nh
h
=++++== ∑=
=
 = 1,26.285 = 359,1 [A] 
 
CORRENTE NO NEUTRO: 
][6,615.16,2).019,0044,0657,0(3)..3.3.3( 1111593 AIIIIIII hhhn ==++=++= . 
 
Como se pode observar, este valor é: 
• 116% acima da corrente fundamental; 
• 71,4% acima da corrente eficaz da fase. 
 17
13.7) PROTEÇÃO DE CAPACITORES 
 
 
13.7.1) Proteção interna dos elementos capacitivos 
Visando proteção contra defeitos internos, cada unidade capacitiva 
normalmente possui proteção individual, por elo fusível, o qual é ilustrado nas 
figuras abaixo. 
 
 
 
 
13.7.2) Proteção de sobrecorrente: 
 
Esta proteção tem por finalidade proteger o banco de defeitosno cabo de 
interligação dos bancos a seu respectivo disjuntor. São utilizados três relés de 
sobrecorrente de fase (51 e 50) e um relé de neutro (51N e 50N). 
 18
 
 
 
13.7.3) Proteção de sobretensão de fases: 
 
Os capacitores são muito sensíveis a sobretensões, que não devem, em 
hipótese alguma, superar o valor de 10% acima da tensão nominal, sob pena de 
redução da vida útil dos capacitores ou mesmo seu imediato dano. Esta proteção 
é feita com relés de sobretensão (59): 
 
 
 
13.7.4) Proteção de sobretensão residual e desbalanço de correntes: 
 
Na ligação das unidades capacitivas em paralelo, a queima de um elo-
fusível individual origina desbalanço de tensões entre fase e neutro, causando 
deslocamento do neutro da estrela. Desta forma, surgirá uma tensão entre o 
neutro e a terra. Esta tensão pode ser detectada por um relé de sobretensão 
residual (59G): 
 19
 
 
Para bancos de capacitores instalados em 138 kV, o relé 59G deve ser instalado 
paralelamente a um TP e a um resistor: 
 
 
Quando houver mais de um banco de capacitores em paralelo, a queima do 
elo-fusivel individual também provoca uma circulação de corrente residual pela 
interligação dos neutros dos bancos. Esta corrente pode ser detectada por um relé 
de sobrecorrente (61N), conectado a um TC que, por sua vez, está ligado entre os 
neutros dos bancos: 
 
 20
EXEMPLOS DE ANÁLISE DE UM SISTEMA, NA PRESENÇA DE 
BANCO DE CAPACITORES: 
 
1- Calcular e plotar a impedância harmônica equivalente, vista pela barra 2, 
onde um banco de capacitores de 450 kVAr está conectado. Em seguida, 
calcule a frequência de ressonância paralela entre o banco de capacitores e a 
rede elétrica. Considerar, inicialmente, que o nível de curto-circuito da 
barra 1 é Scc = 20 MVA. 
 
Figura 1- Sistema de potência a ser analisado 
 
-Refazer as análises acima para as potências de 100, 300, 400 e 500 kVAr. 
-Refazer as análises acima para um Scc = 80 MVA. 
 
Obs: O valor a ser adotado para a potência reativa do capacitor é de 450 kVAr. 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
Passo 1- Cálculo do módulo da impedância do sistema: 
ohms
Scc
sUxs 25.11
10*20
)15000(
6
22
=== 
 
Obtenção da relação de transformação para transferir a impedância do sistema ao 
secundário do transformador: 00071.0
)15(
)4.0(1
2
2
==
N
 
Portanto, a impedância do sistema, em OHMS, refletida ao lado de 400 [V] será: 
ohmsxssx 008.000071.0*` == 
 
 
Passo 2- Cálculo da reatância do transformador, em OHMS, relativo ao lado 
de 15 kV: 
ohms
St
Uxxl 3125,7
2000000
)15000(*
100
5.6)(*
100
% 221 === 
Esta reatância, referida ao secundário será: ohmsxllx 0052,000071.0*` == 
 
 21
Passo 3- Cálculo da reatância do capacitor: 
ohms
Qc
Uxc 36.0
10*450
)400()(
3
22
2 === 
 
Passo 4- O circuito equivalente visto pela barra 2: 
 
Figura 2- Circuito equivalente visto pela barra 2 
 
Passo 5- Obtenção da impedância equivalente vista da barra 2 
ohms
h
xcxlxsh
h
xcxlxsh
Zeq
−+
−+
=
)]([
*)]([
 
 
Passo 6- Determinação da freqüência de ressonância entre o capacitor e o sistema 
(visto da barra 2): 
xlxs
xcfr += 
 
Para possibilitar análises mais genéricas, onde o Nível de Curto-Circuito e 
a Potência do Banco de Capacitores possam ser variados, foi utilizado o Matlab 
para o desenvolvimento de um programa digital: 
 
 
Passo 7- Simulação 
 
1º Caso 
 
Scc = 20 MVA 
 A figura 3 e a Tabela 1, ilustra o comportamento das impedâncias 
equivalentes, em ohms, até a 25 ª ordem, não só para o banco de capacitores de 
450 kVAr, mas também para outras potências de bancos. Como pode ser 
observado, para um banco de capacitores de 10 kVAr, há uma ressonância em 
torno da 11ª. harmônica. 
 22
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100kVAr
300kVAr
400kVAr
450kVAr
500kVAr
 
Figura 3- Impedância equivalente para Scc = 20 MVA e com variação da potência reativa do 
banco de capacitores. 
 
 Para uma melhor visão das ressonâncias paralelas que surgirão para os 
demais bancos de capacitores, veja a figura abaixo: 
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
2
2.5
100kVAr
300kVAr
400kVAr
450kVAr
500kVAr
 
Figura 4- Ampliação da figura 3. 
 23
 
Tabela 1- Impedância equivalente e frequência de ressonância para ordens harmônicas variando da 1ª a 25ª. Scc = 20 MVA. 
Qc[kVAr] fr (Hz) Ordem Harmônica 
100 661 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
 Zq (ohms) 0,013 0,027 0,04 0,061 0,08 0,113 0,16 0,224 0,358 0,754 82,97 0,84 0,435 0,3 0,231 0,19 0,162 0,142 0,13 0,115 0,105 0,097 0,09 0,084 0,079 
Qc[kVAr] fr (Hz) 
300 381 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
 Zeq (ohms) 0,014 0,029 0,05 0,087 0,17 0,727 0,43 0,181 0,118 0,089 0,073 0,06 0,054 0,05 0,043 0,04 0,036 0,034 0,03 0,03 0,028 0,026 0,025 0,024 0,023 
Qc[kVAr] fr (Hz) 
400 330 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
 Zq (ohms) 0,014 0,03 0,06 0,112 0,38 0,421 0,15 0,095 0,071 0,057 0,049 0,04 0,037 0,03 0,031 0,03 0,026 0,025 0,02 0,022 0,02 0,019 0,018 0,018 0,017 
Qc[kVAr] fr (Hz) 
450 311 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
 Zq (ohms) 0,014 0,031 0,06 0,13 0,92 0,235 0,11 0,077 0,059 0,049 0,041 0,04 0,033 0,03 0,027 0,02 0,023 0,022 0,02 0,019 0,018 0,017 0,016 0,016 0,015 
Qc[kVAr] fr (Hz) 
500 295 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
 Zq (ohms) 0,014 0,032 0,06 0,155 2,11 0,163 0,09 0,064 0,051 0,042 0,036 0,03 0,029 0,03 0,024 0,02 0,021 0,019 0,02 0,017 0,016 0,015 0,015 0,014 0,013 
 
 Tabela 2- Impedância equivalente e frequência de ressonância para ordens harmônicas variando da 1ª a 25ª. Scc = 80 MVA. 
Qc[kVAr] fr (Hz) Ordem Harmônica 
100 894 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
 Zq (ohms) 0,01 0,015 0,02 0,03 0,04 0,05 0,07 0,08 0,1 0,13 0,17 0,25 0,39 0,85 8,64 0,76 0,407 0,28 0,219 0,18 0,15 0,134 0,12 0,11 0,099 
Qc[kVAr] fr (Hz) 
300 516 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
 Zeq (ohms) 0,01 0,015 0,03 0,04 0,05 0,08 0,15 0,42 0,69 0,21 0,13 0,09 0,07 0,06 0,05 0,05 0,042 0,04 0,035 0,03 0,03 0,029 0,03 0,03 0,024 
Qc[kVAr] fr (Hz) 
400 447 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
 Zq (ohms) 0,01 0,016 0,03 0,04 0,07 0,12 0,43 0,38 0,14 0,09 0,07 0,05 0,05 0,04 0,04 0,03 0,029 0,03 0,025 0,02 0,02 0,021 0,02 0,02 0,018 
Qc[kVAr] fr (Hz) 
450 422 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
 Zq (ohms) 0,01 0,016 0,03 0,04 0,07 0,16 6,5 0,19 0,1 0,07 0,05 0,05 0,04 0,03 0,03 0,03 0,025 0,02 0,022 0,02 0,02 0,018 0,01 0,02 0,015 
Qc[kVAr] fr (Hz) 
500 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
 Zq (ohms) 0,01 0,016 0,03 0,05 0,08 0,23 0,49 0,13 0,08 0,06 0,05 0,04 0,03 0,03 0,03 0,02 0,022 0,02 0,019 0,02 0,02 0,016 0,02 0,01 0,014 
 24
2º Caso 
Trocando o nível de curto circuito para Scc = 80 MVA, tem-se os 
comportamentos para a impedância harmônica equivalente ilustrados nas figuras 
5 e 6 (ampliada), bem como na Tabela 2, dapágina anterior. 
0 5 10 15 20 25 30
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
100kVAr
300kVAr
400kVAr
450kVAr
500kVAr
 
Figura 5- Impedância equivalente para Scc = 80 MVA e com a variação da potência reativa do 
banco de capacitores. 
0 5 10 15 20 25 30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
100kVAr
300kVAr
400kVAr
450kVAr
500kVAr
 
Figura 6- Impedância equivalente para Scc = 80 MVA e com a variação da potência reativa do 
banco de capacitores 
 25
2) Referindo-se ainda ao sistema elétrico do exercício anterior: 
No barramento onde o capacitor está instalado, tem-se uma fonte 
harmônica, com as seguintes correntes: 
 
H 1 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 
Ih 
[A] 
122,3 9,5 24,5 31,2 22,3 1,3 1,1 5,6 4,8 0,9 0,8 2,9 1,7 
 
 
Pede-se: 
a) Considerando-se a potência do banco de capacitores em 450 kVAr, 
pede-se obter as tensões harmônicas neste barramento, SEM e COM o 
capacitor. 
b) Verificar se o capacitor suporta as correntes, tensões e potências 
oriundas desta fonte harmônica. 
 
 
Solução: 
 
I- Análise sem o capacitor: 
Sem a presença do capacitor a expressão para a impedância equivalente 
vista pela barra 2 é dada por: 
)(** xtxshjZeq += 
Obs: Do exercício 1 sabe-se que xs = j*h*0,008 ohms e xt = j*h*0,0052 ohms. 
 
Aplicando a expressão hh IZeqU *= , obtém-se os valores das tensões 
harmônicas. Exemplificando para a 5ª. harmônica: 
U5 = 5*0,00132*9,5 = 0,627 [V] 
 
Fazendo estes cálculos para todas as ordens harmônicas das correntes injetadas na 
barra, tem-se a seguinte tabela, com as tensões resultantes: 
H 5º 7º 11º 13º 17º 19º 23º 25º 29º 31º 35º 37º 
Uh[V] 0,627 2,26 4,53 3,83 0,29 0,28 1,7 1,58 0,3435 0,3274 1,3398 0,8303 
 
 
II- Análise com o capacitor 
 
Na presença do capacitor, a impedância vista pela barra 2 será dada por: 
 26
ohms
h
xcxlxsh
h
xcxlxsh
Zeq
−+
−+
=
)]([
*)]([
 
 
 Novamente, aplicando a expressão abaixo, obtemos os seguintes valores das 
tensões harmônicas ( na presença do capacitor): 
( hh IZeqU *= ) 
H 5º 7º 11º 13º 17º 19º 23º 25º 29º 31º 35º 37º
Uh[V] 8,7275 2,7637 1,2973 0,7256 0,03 0,0222 0,0912 0,0713 0,0114 0,0094 0,0301 0,01
 
 
III- Verificar se o capacitor suporta as correntes, tensões e potências 
oriundas da fonte harmônica. 
 
Considera-se aqui que o banco de capacitor está ligado em estrela. 
Portanto, trabalharemos com tensões fase-neutro. 
3
400
1 =fnU 
 
Para que o banco de capacitor não tenha problemas quanto ao seu 
funcionamento, o mesmo deve obedecer a algum critério. Abaixo estão os 
critérios do IEEE: 
1- Valor eficaz da tensão nU%110≤ 
2- Valor de pico da tensão pnU%120≤ 
3- Valor eficaz da corrente nI%180≤ 
4- Potência reativa de operação cnQ%135≤ 
 
ÏII.1)- Analisando a suportabilidade à tensão 
 
• Tensão Eficaz: 
Para tal, calcula-se a tensão eficaz da seguinte forma: 
2
37
2
7
2
5
2
1 ... UUUUUef ++++= = 231, 13 [V]. 
 
Logo: 
Uef = 231,13 [V] ≤ 254,034 [V] 
 
• Tensão de Pico: 
A expressão para este cálculo é: 
Up = )...(*2 37751 UUUU ++++ = 346,1 [V] 
 
Logo, 
Up = 346,1 [V] ≤ 391,92 [V] 
 
 27
Portanto, este Banco de Capacitores passou nos critérios 1 e 2. 
III.2)- Analisando a suportabilidade à corrente elétrica 
 
• -Cálculo da corrente fundamental 
][44,649
3556,0
3
400
1
1
1 Axc
UI === 
 
• -Cálculo das reatâncias capacitivas para as ordens harmônicas: 
 
Utilizando a relação abaixo, encontra-se a reatância capacitiva para cada ordem 
harmônica: 
h
xcxch 1= 
 
H 5º 7º 11º 13º 17º 19º 23º 25º 29º 31º 35º 37º 
xch[ohms] 0.0711 0.0508 0.0323 0.0274 0.0209 0.0187 0.0155 0.0142 0.0123 0.0115 0.0102 0.0096 
 
 
• Correntes harmônicas que circulam pelo capacitor: 
 
h
h
h xc
UI = 
H 5º 7º 11º 13º 17º 19º 23º 25º 29º 31º 35º 37º 
Ih[A] 122,67 54,41 40,1344 26,5282 1,4336 1,1887 5,9004 5,0162 0,9298 0,8231 2,9652 1,7341 
 
• Cálculo da corrente eficaz: 237272521 ... IIIIIef ++++= = 665, 04 [A] 
 
O limite de corrente suportado será: 1,80*In = 1.197 [A] 
 
Logo, 
Ief = 665,04 [A] ≤ 1,80*In 
 
Portanto, o banco de capacitores passou no critério número 3. 
 
 
III.4)- Análise da suportabilidade à potência reativa de operação: 
 
Aplicando a equação abaixo para cada ordem harmônica, obtemos a potência 
reativa total solicitada ao capacitor: 
h
h
n
h
T xc
UQc
2
1
∑
=
= = 451, 3 kVAr 
 
Considerando que 1,35 *QC = 609,25 kVAr. 
Logo, QCT = 451,3 kVAr ≤ 1,35 * QC 
 28
Portanto, o banco de capacitores passou no critério 4. 
 
Obs: Todos os cálculos foram efetuados no software Matlab pela facilidade e 
agilidade na execução dos cálculos. 
 
 
 
Conclusão 
O banco de capacitores não sofrerá danos quando da operação em conjunto com 
esta carga não-linear.