lista2 analise

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Universidade Federal do Ceará
Instituto UFC Virtual
Campus do Pici – Bloco 901 – 1º andar
Fone: (85) 3366-9509 - Fortaleza-CE 
 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA SEMIPRESENCIAL
INTRODUÇÃO À ANÁLISE
Prof. Marcos Melo – Alexandre Fernandes
AULA 2: Números Reais
EXERCÍCIOS
Dados 
 números reais, sendo 
 e 
 diferentes de zero, prove:
Dado 
, põe-se, por definição, 
 e, se 
, 
, ou seja, 
. Prove, para quaisquer 
, vale:
Prove que 
, para todo 
 e 
.
Se 
 em 
, prove que, dados 
 tais que 
, tem-se 
.
Seja 
 uma função tal que 
 e 
, quaisquer 
. Prove que:
 para todo 
, ou então 
 e 
 é injetivo.
Dada 
, suponha que exista uma constante 
 tal que, para quaisquer 
, vale 
. Prove que 
 é injetiva.
Seja 
 dada por 
, 
. 
Verifique que 
, onde 
.
Mostre que se 
, então o menor valor de 
 ocorre quando 
. 
Mostre que se 
, então o maior valor de 
 é 
.
Use o fato de o trinômio do segundo grau 
 é 
 para todo 
 para provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz
.
Prove ainda que vale a igualdade se, e somente se, existe 
 tal que 
, para todo 
.
Para quaisquer 
, prove que 
.
Prove que 
 para quaisquer 
.
Prove que 
.
Prove que 
, se 
.
Faça os seguintes itens:
Se 
, prove que 
.
Sejam 
 reais quaisquer, prove que
.
Dados 
, se 
 prove que 
.
Se 
 pertencem ao intervalo 
 e 
 são positivos, prove que 
 pertence ao intervalo 
.
Prove que para quaisquer 
 e 
, vale a identidade
.
Conclua que a função 
, dada por 
, é crescente.
 Para quaisquer 
 prove que
,
 com igualdade se e só se 
.
Prove que:
Para quaisquer 
 reais não-negativos vale 
, com a igualdade ocorrendo se e só se 
;
, 
 e 
 
 
;
 para quaisquer 
 reais;
.
Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para mostrar que:
Se 
, então 
;
, para quaisquer 
;
Se 
 e 
, então 
.
Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz para mostrar que:
Se 
, então 
;
Se 
 é inteiro, então 
;
Para quaisquer 
, o sistema de equações
 
não possui soluções reais 
. 
SUGESTÕES E RESPOSTAS
1. Use as propriedades de corpo dos reais.
2,3. Utilize indução.
8. Use o exercício anterior.
10. Use a desigualdade triangular.
11,12. Use o exercício 10.
13. b) Use a desigualdade triangular e o item (a).
16. Use indução para provar a identidade apresentada.
17. Desenvolva 
.
18. Use o exercício anterior.
19,20. Use o resultado obtido no exercício 8.
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