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AI6 Administração Cálculo Aplicado à Administração

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1
Cálculo Aplicado à 
Administração
Prof. Me. Paulo Martinelli
Aula Interativa 6
Métodos Quantitativos
Introdução
Introdução
� Correlação
� Regressão 
a) Linear simples
b) Linear múltipla
� Reta de regressão
� Coeficiente de correlação de 
Pearson
Reta de Regressão
� De maneira geral, estaremos 
diante de um modelo de regressão 
linear simples quando a relação 
linear entre duas variáveis, X e Y, 
pode ser satisfatoriamente 
definida pela seguinte equação 
matemática:
2
Y^ = a + b . X
� Y^ = Estimativa da variável dependente y
� a = Estimativa do coeficiente linear A
� b = Estimativa do coeficiente angular B
� x = Valores amostrais da variável explicativa 
X
• Obs: O símbolo ^, é utilizado para 
diferenciar os valores estimados dos 
amostrais ou observados
Método dos Mínimos 
Quadrados
 =
� (∑ ��) − (∑ �) (∑ �) 
� (∑ ��) − ( ∑ �)²
� = 
∑ � − 
 ∑ �
�
Coeficiente de determinação
� O coeficiente de determinação 
mede o grau de ajustamento da 
reta de regressão aos dados 
observados. (...)
(...) Indica a proporção da variação 
total da variável dependente, que é 
explicada pela variação da variável 
independente
� A equação que permite calcular 
o coeficiente de determinação é 
a seguinte:
�� =
∑(�^ − �é��� �)²
∑(� − �é��� �)²
=
�����çã� �!"�#���
�����çã� $�$�"
 
Exercício
� Suponha que para analisar o 
consumo de combustível de um 
automóvel, foram efetuadas 7 
viagens, registrando a distância 
percorrida (km) e o consumo (l). 
Obteve-se os 7 pares de 
valores seguintes:
3
Y 
(distância)
20 40 80 120 160 200 250
X (consumo) 2 3 5 9 12 14 18
a) Escreva a equação da reta de 
regressão estimada que 
relaciona distância em relação 
ao consumo
b) Com 16 litros de combustível 
qual das duas distâncias parece 
mais provável de ser percorrida: 
190 km ou 205 km?
c) Sendo o valor do litro de 
gasolina R$ 2,52, qual o valor 
gasto (estimado) em um trajeto 
de 820 km?
Total x consumo y distância x^2 xy y^2
1 2 20 4 40 400
2 3 40 9 120 1600
3 5 80 25 400 6400
4 9 120 81 1080 14400
5 12 160 144 1920 25600
6 14 200 196 2800 40000
7 18 250 324 4500 62500
Média 9,000000 124,285714 111,857143 1551,428571 21557,142857
Resolução M^= 1551,428571 – (9 x 124,285714)/
(111,857143-9^2)
M^= 14,0277778
b^ = 124,285714 – (14,0277778 x 9)
b^ = –1,96428571
a) A equação da reta de regressão 
é:
Y= 14,0277778X –1,96428571
b) Com 16 litros de combustível 
qual das duas distâncias parece 
mais provável de ser percorrida: 
190 km ou 205 km?
R: y= 14,0277778X – 1,96428571
Y= 14,0277778 x (16) – 1,96428571
Y= 226,4087302
• Logo, a distância de 205 km é a 
mais provável a ser percorrida
4
� Sendo o valor do litro de 
gasolina R$ 2,52, qual o valor 
gasto (estimado) em um trajeto 
de 820 km?
Y = 14,0277778X – 1,96428571
820 = 14,0277778X – 1,96428571
820+1,96428571= 14,0277778X
X = 58,59547383 km
Gasto = 58,59547383 x R$ 2,52= 
R$ 147,66
� A correlação r para este caso é 
igual a 0,9968708 ou 
99,68707999%. Este coeficiente 
de correlação é praticamente 
perfeito, pois a cada 1% de 
variação no consumo ocorre uma 
variação de 99,68707999% na 
distância
Introdução
Regimes de Capitalização 
e Taxas
O que é capitalização?
� Capitalizar é somar juros ao 
capital que o produziu
� A capitalização pode ser:
• simples
• composta
5
Tipos de Capitalização
� A capitalização é simples quando 
for utilizada a taxa de juros 
simples
� A capitalização é composta 
quando for utilizada a taxa de 
juros compostos
Taxas de Juros
� Mas afinal, o que são as taxas de 
juros?
� Como calcular juros?
Capitalização Simples
� Juro simples: é aquele calculado 
sempre aplicando uma taxa sobre 
o capital inicial
J = C . i . n
onde:
J = juro
C = capital
i = taxa de juro
n = período, tempo ou prazo
� Taxa de juro simples (i)
� Taxas equivalentes
� Exemplos:
• i = 3% a. m. = 36% a. a.
• i = 12% a. t. = 4% a. m.
• i = 5% a. b. = 15% a. s.
• i = 6% a. m. = 0,2% a. d.
� Montante (M)
M = C + J
� Então:
M = C + C . i . n
M = C (1 + i . n)
6
Exercício de Juros Simples
� Um capital de R$ 250,00, 
aplicado a uma taxa de 2,5% ao 
mês, em regime de juro 
simples, foi resgatado por 
R$ 400,00. Qual o prazo dessa 
aplicação?
Resolução
� Trata-se de uma aplicação direta 
da definição de juros simples
Desconto Simples
Exemplo
� Um título cujo valor nominal é 
R$ 1.000,00 está sendo liquidado 
3 meses antes do vencimento. A 
taxa de juro simples é 40% ao 
ano
(...) Determinar o valor do desconto 
e o valor descontado sob desconto 
simples
Resolução
� Temos que adequar os dados 
fornecidos, que são:
M = R$ 1.000,00
n = 3 meses
i = 40% a.a.
7
� Devemos converter a taxa 
fornecida ao ano por uma taxa ao 
mês
� Calculando então o desconto 
obtido:
Exemplo
� Uma empresa emitiu uma 
duplicata de R$ 8.000,00 com 
vencimento em 3 novembro. (...)
(...) No dia 16 de agosto do mesmo 
ano, descontou o título num banco 
que utilizou 2% a.m.
de taxa de desconto simples. 
Determine o valor desse desconto
Resolução
8
Capitalização Composta
� Juro composto: o juro produzido 
num período será acrescido ao 
valor do capital que o produziu, 
passando os dois, capital e juro, a 
render juro no período seguinte
M = C + J
M = C . (1 + i)n
� Para o cálculo dos juros, vamos 
igualar: 
C + J = C . (1 + i)n
� Então:
J = C . (1 + i)n − C
J = C . [(1 + i)n − 1]
Crescimento de uma Dívida
Juro composto
Juro simples
t
Juro composto
Juro simples
t
$
Juros Compostos
� A taxa de juros incide sempre 
sobre o capital atualizado
� Fórmula:
9
Exemplo
� Uma TV LCD foi adquirida por 
R$ 5.500,00 em um plano de 
financiamento que visa a que o 
bem será quitado em uma parcela 
única cinco meses após a compra, 
a uma taxa de juro composto de 
2% ao mês. De quanto será o 
montante ao final do quinto mês? 
Mês Saldo 
inicial
Juros Saldo 
atualizado (M)
0 - - 5.000,00
1 5.000,00 5.000,00 x 0,02=100 5.100,00
2 5.100,00 5.100,00 x 0,02=102 5.202,00
3 5.202,00 5.202,00 x 0,02=104,04 5.306,04
4 5.306,04 5.306,04 x 0,02=106,12 5.412,16
5 5.412,16 5.412,16 x 0,02=108,24 5.520,40
Resolução
� Um investimento de R$ 4.200,00 
foi capitalizado a juro composto 
pré-fixados, durante quatro meses 
e resultou num montante de R$ 
4.617,95. Qual a taxa de juro 
composto utilizada nesta 
operação?
Exemplo
� C = R$ 4.200,00
� M = R$ 4.617,95
� n = 4 meses
� i = ?
Resolução
� Qual será o rendimento (juro) 
produzido pela aplicação de R$ 
12.000,00, a juros compostos de 
1,4% ao mês, capitalizado 
mensalmente, durante um ano
Exemplo
10
� C = R$ 12.000,00
� i = 1,4% a.m.
� n = 12 meses
� M = ?
� J = ?
Resolução
� J = M – C
� J = 14.178,71 – 12.000,00
� J = R$ 2.178,71
Exemplo
� Um título de renda fixa deverá 
ser resgatado por R$ 8.432,00 
daqui a um ano. Sabendo-se 
que o rendimento desse título é 
de 36% a.a., determine 
o seu valor atual
Resolução
Taxas Equivalentes
� Para determinação da taxa 
equivalente em capitalização 
composta utiliza-se a fórmula:
)*+	1 +	 �-
*/- − 1	
11
Exemplo
� Calcule a taxa anual equivalente, 
pelo critério de juro composto, a 
1,5% ao mês
� Dados do problema
• it = 1,5% = 0,015 a. m.
• t = 1 mês
• q = 1 ano = 12 meses
iq = (1 + it)
q/t – 1
iq = (1 + 0,015)
12/1 – 1 
iq = 1,015
12 – 1iq = 0,1956 a. a.
� Ou seja: 
iq = 19,56% ao ano
Resolução
Período Fracionário
� O período fracionário 
corresponde a uma capitalização 
descontínua. Há um período 
inteiro e um período fracionário 
sobre os quais devemos calcular 
juros
� Suponha que temos uma conta 
vencida há 5 meses e 21 dias e o 
juro de mora é de 2,5% ao mês. 
Temos como período 5 meses 
inteiros e mais 21 dias que são 
uma fração do mês
Exemplo
12
Resolução
M = C.(1+i)n.(1+i.n)
M = 12000.(1+0,025)5.(1+0,025.21)
M = 12000.(1,1314).(1,5250)
M = 20.704,62
Taxas
(Nominal, Efetiva, 
Real, Aparente)
Taxa Nominal
� O prazo de formação do juro e sua 
incorporação ao capital que o 
produziu costumam ser de 
periodicidade menor
� Por exemplo, é informada uma 
taxa anual, porém a 
periodicidade de cálculo 
do juro é mensal
Taxa Efetiva
� Temos uma taxa efetiva quando o 
prazo a que se refere uma taxa 
que nos foi informada coincide 
com aquele de formação e 
incorporação do juro ao capital 
que o produziu. (...)
(...) Por exemplo, foi informada 
uma taxa mensal e o prazo de 
formação do juro é mensal
13
Taxa Aparente x Taxa Real
� A relação existente entre as 
taxas aparente e real é dada 
por meio de:
� A taxa aparente é aquela que 
não leva em conta a inflação do 
período a que a taxa corresponde
� A taxa real considerada a inflação 
do período. Logo, a taxa real é 
sempre menor que a taxa 
aparente
Exemplo
� Um trabalhador teve um aumento 
salarial de 12% relativo a um 
período em que a inflação foi de 
7%. Qual o aumento real de 
salário desse trabalhador?
� = 	
(1 +	 �/)
(1 + ))
= −1
I = 7% no período 
ia = 12%
i = ?
�	 − 	
	1 + 0,12
1 + 0,07
− 1
� = 0,0467	�6	4,67%
Resolução
Exemplo
� Uma pessoa jurídica emprestou 
junto ao banco Alfa o valor de 
R$ 5.000,00 e pagou, no final 
do período, R$ 5.700,00. (...)
(...) Essa pessoa pagou, no ato do 
empréstimo, despesas no valor 
de R$ 70,00. Determine as 
taxas nominal, efetiva e real 
dessa operação, sabendo que a 
inflação no período foi de 3%
14
Cálculo da Taxa Efetiva
M = C . ( 1 + i )n
5700 = 5000 . (1 + i )1
5700
5000
= 	 (1 + �)9
1,14 = 1 + i
1,14 – 1 = i 
0,14 = i no período
ou seja: i = 14% no período
M = C . ( 1 + i )n 
5700 = (5000 – 70) . (1 + i )n 
5700 = 4930 . (1 + i )n .:. n=1
5700 – 4930 = 4930 . i
� = 	
770
4930
= 0,1562	��	! ���
�6	= >�: 	� = 15,62%	��	! ���
� O capital menos as despesas, 
corrigido pela inflação, é:
(5000 – 70) . 1,03 = 5077,90
M = C . (1 + i)n 
5700 = 5077,90 . (1 + i)n 
Cálculo da Taxa Real
5700 = 5077,90 + 5077,90.i 
5700 - 5077,90 = 5077,90.i 
� =
622,10
5077,90
= 0,1225
ou i = 12,25% no período
15
Taxa Interna de Retorno
TIR
TIR
� O que é isso?
• TIR é a taxa de juro composto 
que anula o seu valor 
presente (valor atual)
� Importante:
• Recebimentos com sinal 
positivo
• Pagamentos com sinal 
negativo
� Um financiamento de 
R$ 15.000,00 será pago em três 
parcelas consecutivas de R$ 
5.000,00, R$ 7.000,00 e 
R$ 4.000,00 em um, dois e três 
meses. Qual o custo efetivo do 
financiamento?
Exemplo
15.000
5.000 7.000 4.000
� Vamos resolver pela calculadora 
financeira
f REG
15000 g CF0
5000 chs g CFj
7000 chs g CFj
4000 chs g CFj
f IRR (3,4038% a. m.)
16
� Vamos comprovar esse valor pela 
definição de T.I.R.
15000 =
5000
(1 + 0,034038)¹
+
7000
(1 + 0,034038)�
+
4000
(1 + 0,034038)B
15000 = 4835,41 + 6546,74 + 3617,85
15000 = 15000
VPL
� O que é isso?
• V.P.L = Valor presente líquido
• Consiste em calcular o valor 
presente de uma série de 
pagamentos, de recebimentos 
ou de depósitos, a uma 
determinada taxa de juros 
conhecida
�CD =
E9
(1 + �)9
+
E�
(1 + �)�
+ 	…+
EG
1 + � G
− H
� Vamos representar esse fluxo de 
caixa:
M1 M2 Mn
C
� Uma empresa está analisando a 
possibilidade de adquirir para sua 
frota um veículo no valor unitário 
de R$ 40.000,00, sabendo que as 
receitas líquidas, (...)
Exemplo
(...) estimadas em cinco anos, são 
de R$ 18.000,00, R$ 18.500,00, R$ 
19.000,00, R$ 20.000,00 e R$ 
21.200,00 respectivamente. Ao final 
do quinto ano, o valor residual do 
veículo será de R$ 10.000,00
� A pergunta é: a empresa deve ou 
não investir nesse veículo para 
uma taxa de retorno de 18% 
ao ano?
17
� Vamos representar esse fluxo de 
caixa: 
40.000
18.000 18.500 19.200 20.000 21.200
�CD = 	
18000
(1 + 0,18)9
+
18500
(1 + 0,18)�
+
19200
(1 + 0,18)B
+	
20000
(1 + 0,18)I
+
31200
(1 + 0,18)J
− 40000
� Observação: Veja que na última 
parcela foi somado o valor do 
residual, ou seja, 
21.200 + 10.000 = 31.200
�CD = 	
18000
(1,18)
+
18500
(1,3924)
+
19200
(1,6430)
+
20000
(1,9388)
+
31200
(2,2878)
− 40000
VPL = 15.254,24 + 13.286,41 + 11.685,71 + 
10.315,66 + 13.637,55 – 40.000
VPL = 64.179,57 – 40.000 
VPL = 24.179,57
� VPL positivo significa dizer que a 
taxa efetiva de retorno é superior 
à taxa de retorno aplicada de 18% 
ao ano. Logo, a empresa deve 
investir na aquisição do veículo
� Agora, quando o VPL for 
negativo, significa dizer que a 
taxa efetiva de retorno é inferior 
à taxa aplicada na operação, 
portanto, não se deve investir
nesses casos ou não é 
aconselhável o investimento
� Procurar outras taxas que 
venham a viabilizar seus 
investimentos
Importante!
� Fazer outros exercícios para 
assimilar esses conceitos da TIR e 
VPL
18
Muito obrigado!
Grande abraço!

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