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1 Cálculo Aplicado à Administração Prof. Me. Paulo Martinelli Aula Interativa 6 Métodos Quantitativos Introdução Introdução � Correlação � Regressão a) Linear simples b) Linear múltipla � Reta de regressão � Coeficiente de correlação de Pearson Reta de Regressão � De maneira geral, estaremos diante de um modelo de regressão linear simples quando a relação linear entre duas variáveis, X e Y, pode ser satisfatoriamente definida pela seguinte equação matemática: 2 Y^ = a + b . X � Y^ = Estimativa da variável dependente y � a = Estimativa do coeficiente linear A � b = Estimativa do coeficiente angular B � x = Valores amostrais da variável explicativa X • Obs: O símbolo ^, é utilizado para diferenciar os valores estimados dos amostrais ou observados Método dos Mínimos Quadrados = � (∑ ��) − (∑ �) (∑ �) � (∑ ��) − ( ∑ �)² � = ∑ � − ∑ � � Coeficiente de determinação � O coeficiente de determinação mede o grau de ajustamento da reta de regressão aos dados observados. (...) (...) Indica a proporção da variação total da variável dependente, que é explicada pela variação da variável independente � A equação que permite calcular o coeficiente de determinação é a seguinte: �� = ∑(�^ − �é��� �)² ∑(� − �é��� �)² = �����çã� �!"�#��� �����çã� $�$�" Exercício � Suponha que para analisar o consumo de combustível de um automóvel, foram efetuadas 7 viagens, registrando a distância percorrida (km) e o consumo (l). Obteve-se os 7 pares de valores seguintes: 3 Y (distância) 20 40 80 120 160 200 250 X (consumo) 2 3 5 9 12 14 18 a) Escreva a equação da reta de regressão estimada que relaciona distância em relação ao consumo b) Com 16 litros de combustível qual das duas distâncias parece mais provável de ser percorrida: 190 km ou 205 km? c) Sendo o valor do litro de gasolina R$ 2,52, qual o valor gasto (estimado) em um trajeto de 820 km? Total x consumo y distância x^2 xy y^2 1 2 20 4 40 400 2 3 40 9 120 1600 3 5 80 25 400 6400 4 9 120 81 1080 14400 5 12 160 144 1920 25600 6 14 200 196 2800 40000 7 18 250 324 4500 62500 Média 9,000000 124,285714 111,857143 1551,428571 21557,142857 Resolução M^= 1551,428571 – (9 x 124,285714)/ (111,857143-9^2) M^= 14,0277778 b^ = 124,285714 – (14,0277778 x 9) b^ = –1,96428571 a) A equação da reta de regressão é: Y= 14,0277778X –1,96428571 b) Com 16 litros de combustível qual das duas distâncias parece mais provável de ser percorrida: 190 km ou 205 km? R: y= 14,0277778X – 1,96428571 Y= 14,0277778 x (16) – 1,96428571 Y= 226,4087302 • Logo, a distância de 205 km é a mais provável a ser percorrida 4 � Sendo o valor do litro de gasolina R$ 2,52, qual o valor gasto (estimado) em um trajeto de 820 km? Y = 14,0277778X – 1,96428571 820 = 14,0277778X – 1,96428571 820+1,96428571= 14,0277778X X = 58,59547383 km Gasto = 58,59547383 x R$ 2,52= R$ 147,66 � A correlação r para este caso é igual a 0,9968708 ou 99,68707999%. Este coeficiente de correlação é praticamente perfeito, pois a cada 1% de variação no consumo ocorre uma variação de 99,68707999% na distância Introdução Regimes de Capitalização e Taxas O que é capitalização? � Capitalizar é somar juros ao capital que o produziu � A capitalização pode ser: • simples • composta 5 Tipos de Capitalização � A capitalização é simples quando for utilizada a taxa de juros simples � A capitalização é composta quando for utilizada a taxa de juros compostos Taxas de Juros � Mas afinal, o que são as taxas de juros? � Como calcular juros? Capitalização Simples � Juro simples: é aquele calculado sempre aplicando uma taxa sobre o capital inicial J = C . i . n onde: J = juro C = capital i = taxa de juro n = período, tempo ou prazo � Taxa de juro simples (i) � Taxas equivalentes � Exemplos: • i = 3% a. m. = 36% a. a. • i = 12% a. t. = 4% a. m. • i = 5% a. b. = 15% a. s. • i = 6% a. m. = 0,2% a. d. � Montante (M) M = C + J � Então: M = C + C . i . n M = C (1 + i . n) 6 Exercício de Juros Simples � Um capital de R$ 250,00, aplicado a uma taxa de 2,5% ao mês, em regime de juro simples, foi resgatado por R$ 400,00. Qual o prazo dessa aplicação? Resolução � Trata-se de uma aplicação direta da definição de juros simples Desconto Simples Exemplo � Um título cujo valor nominal é R$ 1.000,00 está sendo liquidado 3 meses antes do vencimento. A taxa de juro simples é 40% ao ano (...) Determinar o valor do desconto e o valor descontado sob desconto simples Resolução � Temos que adequar os dados fornecidos, que são: M = R$ 1.000,00 n = 3 meses i = 40% a.a. 7 � Devemos converter a taxa fornecida ao ano por uma taxa ao mês � Calculando então o desconto obtido: Exemplo � Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00 com vencimento em 3 novembro. (...) (...) No dia 16 de agosto do mesmo ano, descontou o título num banco que utilizou 2% a.m. de taxa de desconto simples. Determine o valor desse desconto Resolução 8 Capitalização Composta � Juro composto: o juro produzido num período será acrescido ao valor do capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no período seguinte M = C + J M = C . (1 + i)n � Para o cálculo dos juros, vamos igualar: C + J = C . (1 + i)n � Então: J = C . (1 + i)n − C J = C . [(1 + i)n − 1] Crescimento de uma Dívida Juro composto Juro simples t Juro composto Juro simples t $ Juros Compostos � A taxa de juros incide sempre sobre o capital atualizado � Fórmula: 9 Exemplo � Uma TV LCD foi adquirida por R$ 5.500,00 em um plano de financiamento que visa a que o bem será quitado em uma parcela única cinco meses após a compra, a uma taxa de juro composto de 2% ao mês. De quanto será o montante ao final do quinto mês? Mês Saldo inicial Juros Saldo atualizado (M) 0 - - 5.000,00 1 5.000,00 5.000,00 x 0,02=100 5.100,00 2 5.100,00 5.100,00 x 0,02=102 5.202,00 3 5.202,00 5.202,00 x 0,02=104,04 5.306,04 4 5.306,04 5.306,04 x 0,02=106,12 5.412,16 5 5.412,16 5.412,16 x 0,02=108,24 5.520,40 Resolução � Um investimento de R$ 4.200,00 foi capitalizado a juro composto pré-fixados, durante quatro meses e resultou num montante de R$ 4.617,95. Qual a taxa de juro composto utilizada nesta operação? Exemplo � C = R$ 4.200,00 � M = R$ 4.617,95 � n = 4 meses � i = ? Resolução � Qual será o rendimento (juro) produzido pela aplicação de R$ 12.000,00, a juros compostos de 1,4% ao mês, capitalizado mensalmente, durante um ano Exemplo 10 � C = R$ 12.000,00 � i = 1,4% a.m. � n = 12 meses � M = ? � J = ? Resolução � J = M – C � J = 14.178,71 – 12.000,00 � J = R$ 2.178,71 Exemplo � Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 8.432,00 daqui a um ano. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 36% a.a., determine o seu valor atual Resolução Taxas Equivalentes � Para determinação da taxa equivalente em capitalização composta utiliza-se a fórmula: )*+ 1 + �- */- − 1 11 Exemplo � Calcule a taxa anual equivalente, pelo critério de juro composto, a 1,5% ao mês � Dados do problema • it = 1,5% = 0,015 a. m. • t = 1 mês • q = 1 ano = 12 meses iq = (1 + it) q/t – 1 iq = (1 + 0,015) 12/1 – 1 iq = 1,015 12 – 1iq = 0,1956 a. a. � Ou seja: iq = 19,56% ao ano Resolução Período Fracionário � O período fracionário corresponde a uma capitalização descontínua. Há um período inteiro e um período fracionário sobre os quais devemos calcular juros � Suponha que temos uma conta vencida há 5 meses e 21 dias e o juro de mora é de 2,5% ao mês. Temos como período 5 meses inteiros e mais 21 dias que são uma fração do mês Exemplo 12 Resolução M = C.(1+i)n.(1+i.n) M = 12000.(1+0,025)5.(1+0,025.21) M = 12000.(1,1314).(1,5250) M = 20.704,62 Taxas (Nominal, Efetiva, Real, Aparente) Taxa Nominal � O prazo de formação do juro e sua incorporação ao capital que o produziu costumam ser de periodicidade menor � Por exemplo, é informada uma taxa anual, porém a periodicidade de cálculo do juro é mensal Taxa Efetiva � Temos uma taxa efetiva quando o prazo a que se refere uma taxa que nos foi informada coincide com aquele de formação e incorporação do juro ao capital que o produziu. (...) (...) Por exemplo, foi informada uma taxa mensal e o prazo de formação do juro é mensal 13 Taxa Aparente x Taxa Real � A relação existente entre as taxas aparente e real é dada por meio de: � A taxa aparente é aquela que não leva em conta a inflação do período a que a taxa corresponde � A taxa real considerada a inflação do período. Logo, a taxa real é sempre menor que a taxa aparente Exemplo � Um trabalhador teve um aumento salarial de 12% relativo a um período em que a inflação foi de 7%. Qual o aumento real de salário desse trabalhador? � = (1 + �/) (1 + )) = −1 I = 7% no período ia = 12% i = ? � − 1 + 0,12 1 + 0,07 − 1 � = 0,0467 �6 4,67% Resolução Exemplo � Uma pessoa jurídica emprestou junto ao banco Alfa o valor de R$ 5.000,00 e pagou, no final do período, R$ 5.700,00. (...) (...) Essa pessoa pagou, no ato do empréstimo, despesas no valor de R$ 70,00. Determine as taxas nominal, efetiva e real dessa operação, sabendo que a inflação no período foi de 3% 14 Cálculo da Taxa Efetiva M = C . ( 1 + i )n 5700 = 5000 . (1 + i )1 5700 5000 = (1 + �)9 1,14 = 1 + i 1,14 – 1 = i 0,14 = i no período ou seja: i = 14% no período M = C . ( 1 + i )n 5700 = (5000 – 70) . (1 + i )n 5700 = 4930 . (1 + i )n .:. n=1 5700 – 4930 = 4930 . i � = 770 4930 = 0,1562 �� ! �í��� �6 = >�: � = 15,62% �� ! �í��� � O capital menos as despesas, corrigido pela inflação, é: (5000 – 70) . 1,03 = 5077,90 M = C . (1 + i)n 5700 = 5077,90 . (1 + i)n Cálculo da Taxa Real 5700 = 5077,90 + 5077,90.i 5700 - 5077,90 = 5077,90.i � = 622,10 5077,90 = 0,1225 ou i = 12,25% no período 15 Taxa Interna de Retorno TIR TIR � O que é isso? • TIR é a taxa de juro composto que anula o seu valor presente (valor atual) � Importante: • Recebimentos com sinal positivo • Pagamentos com sinal negativo � Um financiamento de R$ 15.000,00 será pago em três parcelas consecutivas de R$ 5.000,00, R$ 7.000,00 e R$ 4.000,00 em um, dois e três meses. Qual o custo efetivo do financiamento? Exemplo 15.000 5.000 7.000 4.000 � Vamos resolver pela calculadora financeira f REG 15000 g CF0 5000 chs g CFj 7000 chs g CFj 4000 chs g CFj f IRR (3,4038% a. m.) 16 � Vamos comprovar esse valor pela definição de T.I.R. 15000 = 5000 (1 + 0,034038)¹ + 7000 (1 + 0,034038)� + 4000 (1 + 0,034038)B 15000 = 4835,41 + 6546,74 + 3617,85 15000 = 15000 VPL � O que é isso? • V.P.L = Valor presente líquido • Consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos, de recebimentos ou de depósitos, a uma determinada taxa de juros conhecida �CD = E9 (1 + �)9 + E� (1 + �)� + …+ EG 1 + � G − H � Vamos representar esse fluxo de caixa: M1 M2 Mn C � Uma empresa está analisando a possibilidade de adquirir para sua frota um veículo no valor unitário de R$ 40.000,00, sabendo que as receitas líquidas, (...) Exemplo (...) estimadas em cinco anos, são de R$ 18.000,00, R$ 18.500,00, R$ 19.000,00, R$ 20.000,00 e R$ 21.200,00 respectivamente. Ao final do quinto ano, o valor residual do veículo será de R$ 10.000,00 � A pergunta é: a empresa deve ou não investir nesse veículo para uma taxa de retorno de 18% ao ano? 17 � Vamos representar esse fluxo de caixa: 40.000 18.000 18.500 19.200 20.000 21.200 �CD = 18000 (1 + 0,18)9 + 18500 (1 + 0,18)� + 19200 (1 + 0,18)B + 20000 (1 + 0,18)I + 31200 (1 + 0,18)J − 40000 � Observação: Veja que na última parcela foi somado o valor do residual, ou seja, 21.200 + 10.000 = 31.200 �CD = 18000 (1,18) + 18500 (1,3924) + 19200 (1,6430) + 20000 (1,9388) + 31200 (2,2878) − 40000 VPL = 15.254,24 + 13.286,41 + 11.685,71 + 10.315,66 + 13.637,55 – 40.000 VPL = 64.179,57 – 40.000 VPL = 24.179,57 � VPL positivo significa dizer que a taxa efetiva de retorno é superior à taxa de retorno aplicada de 18% ao ano. Logo, a empresa deve investir na aquisição do veículo � Agora, quando o VPL for negativo, significa dizer que a taxa efetiva de retorno é inferior à taxa aplicada na operação, portanto, não se deve investir nesses casos ou não é aconselhável o investimento � Procurar outras taxas que venham a viabilizar seus investimentos Importante! � Fazer outros exercícios para assimilar esses conceitos da TIR e VPL 18 Muito obrigado! Grande abraço!
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