3. Cálculo dos Esforços em Vigas

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Cálculo dos Esforços em Vigas 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Conceitos gerais 
• Conceito de momento 
É importante lembrar que momento é um esforço que 
provoca giro. 
À primeira vista a palavra momento não apresenta 
qualquer relação com a palavra giro. No entanto, elas estão 
ligadas por um fato histórico: na antiguidade, o tempo 
(momento) era medido com relógios de sol, instrumento 
constituído por uma haste vertical que, projetando sua 
sombra num plano, indica a altura do Sol e as horas do dia. 
Assim o tempo (momento) era medido pelo giro aparente 
do Sol em tomo da Terra. 
Conceitos gerais 
Para ocorrer um giro ou momento físico é necessário 
que existam duas forças iguais, de mesma direção, de 
sentidos contrários e não colineares, o que se 
denomina binário. 
Conceitos gerais 
 
Quanto mais afastadas estiverem as forças maior será a 
intensidade de giro. Isso é fácil perceber quando se tira 
o parafuso da roda do carro. Quanto maior for o braço 
da ferramenta menor será a força necessária para 
provocar o giro do parafuso. 
Conceitos gerais 
Conceitos gerais 
Matematicamente, pode-se traduzir esse fenômeno 
pela relação: 
 
 
Exemplo: Seja determinar 
o valor do momento da 
força F1=2,0 tf em 
relação ao ponto P1. 
Conceitos gerais 
Denomina-se distância da força ao ponto à menor 
distância entre a linha de ação da força e o ponto. 
Suponha o valor de d = 4m, logo o 
momento de F1 em relação a P1 será: 
Esforços nas vigas isostáticas 
 
Quando carregadas por uma ou mais forças, as vigas 
isostáticas deformam-se de maneira que suas seções, 
antes paralelas, giram umas em relação às outras, de 
forma que se afastam em uma das faces e se 
aproximam em outra. 
Esforços nas vigas isostáticas 
Esforços nas vigas isostáticas 
Esforços nas vigas isostáticas 
Em todas essas situações, as vigas se deformam de 
maneira que em relação ao eixo reto original aparecem 
flechas. 
Esforços nas vigas isostáticas 
 
Este fenômeno é por isso denominado de flexão e o 
esforço que provoca o giro das seções e o 
aparecimento de flechas ao longo da viga, de momento 
fletor. Sempre que o momento fletor varia de uma 
seção para outra, o que é mais frequente, aparece na 
viga a tendência de escorregamentos transversal e 
longitudinal entre as seções verticais e horizontais da 
viga. 
Esforços nas vigas isostáticas 
Ao esforço que tende a provocar o escorregarnento das fatias 
longitudinais e transversais dá-se o nome de força cortante. 
Esforços nas vigas isostáticas 
 
 
Para comprovar que a força cortante sempre aparece 
quando há variação do momento fletor, tome-se nas 
mãos um maço de folhas de papel (umas 50 folhas). 
Aplique-se em uma das extremidades um giro 
(momento), deixando livre o outro extremo. 
Esforços nas vigas isostáticas 
Observe como as folhas escorregam. 
Esforços nas vigas isostáticas 
Esse fenômeno pode também ser observado na 
ilustração: 
Esforços nas vigas isostáticas 
Em seguida, provoque concomitantemente giros de 
mesma intensidade nas duas extremidades. 
Observe que neste caso não há mais escorregamento das 
tiras, pois o momento não varia de uma extremidade à 
outra. 
Esforços nas vigas isostáticas 
Para dimensionar uma viga a flexão deve-se determinar os 
valores de momento fletor e da força cortante de maneira 
que se determine a largura e altura de sua seção, para que o 
material do qual é feita possa resistir às tensões de tração e 
de compressão provocadas pelo momento fletor e às 
tensões tangenciais ou de cisalhamento provocadas pelas 
forças cortantes. 
Como se verá mais adiante, as tensões de cisalhamento 
provocam também tensões de tração e de compressão em 
planos inclinados em relação a seção transversal da viga. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
• Vigas bi apoiadas sem balanços 
O equilíbrio externo das vigas depende das cargas que 
atuam sobre as vigas e das reações a essas cargas 
provocadas pelos vínculos, denominadas reações de apoio. 
As primeiras cargas são denominadas cargas externas 
ativas e as segundas, reativas. 
Em uma viga, as cargas externas ativas são: cargas 
distribuídas decorrentes do peso próprio da viga; as cargas 
aplicadas pelas lajes e alvenarias; e as cargas concentradas 
devidas a outras vigas que nela se apoiam. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Para determinação das cargas externas reativas, é 
necessário conhecer-se as forças de reação que cada 
vínculo é capaz de admitir. 
Assim, um apoio articulado móvel, que permite giro e 
deslocamento horizontal, só reage a forças verticais. 
Portanto, esse vínculo só admite reação vertical. O vínculo 
articulado fixo, por impedir deslocamento vertical e 
horizontal, admite reações vertical e horizontal. O vínculo 
engastado, que impede rotação e deslocamentos, admite 
reação vertical, horizontal e momento. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Se, sob a ação das cargas externas ativas e reativas, a viga 
estiver em equilíbrio estático valem as condições de 
estabilidade já enunciadas, ou seja, não anda na horizontal, 
não anda na vertical e não gira. Essas condições podem ser 
traduzidas matematicamente pelas chamadas equações da 
estática, ou seja: 
- não anda na horizontal  𝐹𝐻 = 0 
- não anda na vertical  𝐹𝑉 = 0 
- não gira  𝑀 = 0 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
 
Não andar na horizontal significa que a soma de todas as 
forças na horizontal (incluindo as projeções horizontais 
das forças inclinadas) deve resultar nula. 
O mesmo para as forças verticais. Não girar significa que 
os giros (momentos) que as forças ativas e reativas tendem 
a provocar em relação a um ponto qualquer, 
preestabelecido, são nulos. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Exemplo: determinar as reações de apoio da viga da figura 
abaixo. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Denominem-se de A e B os apoios. Colocando a seguir as 
reações possíveis em cada tipo de vínculo, tem-se: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Em seguida apliquem-se as três equações da estática: 
 𝐹𝐻 = 0, 𝐹𝑉 = 0 e 𝑀 = 0 
Usando a primeira equação e convencionando um sinal 
para as forças, ou seja, se a força horizontal tiver o sentido 
da esquerda pra a direita será positiva, caso contrário 
negativa. Essa convenção pode ser oposta a esta sem que 
os resultados sofram qualquer alteração. Assim: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Como não existe nenhuma força horizontal atuando na 
viga, a equação resulta no óbvio, ou seja, a reação 
horizontal no apoio B é zero, não existe. 
Aplicando a segunda 
equação e também 
convencionando que as 
forças com sentido de 
baixo para cima são 
positivas e as de sentido 
contrário negativas, tem-se: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
 
Deve-se aplicar, ainda, a terceira equação, a que se refere 
ao giro, convencionando-se que se a força tender a fazer a 
viga girar no sentido horário, em relação a um ponto 
qualquer escolhido, ela será positiva, caso contrário 
negativa. Antes de aplicar essa terceira equação é 
necessário escolher um ponto qualquer, mas qualquer 
mesmo, para se tomar os momentos das forças ativas e 
reativas que atuam na viga. 
Equilíbrio externo dasvigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Para tomar o resultado mais rápido, recomenda-se que o 
ponto escolhido (também denominado polo de momento) 
para considerar os momentos das forças, seja um dos 
apoios. 
Seja, neste exemplo, o ponto B0 polo dos momentos. 
Assim: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Considere-se o momento de 
cada força, desconsiderando, 
em princípio, as demais, ou 
seja: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Portanto, tem-se: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Como M = F x d, no primeiro caso tem-se como força a 
reação VA, cuja distância ao polo B é 5m. Sua tendência 
de giro em relação a B é no sentido horário. Soma-se a esse 
momento o momento da força de 2,0 tf, cuja distância ao 
polo B é de 2 m e cujo sentido de giro em relação a B é 
anti-horário. 
No terceiro caso, a linha de ação da reação VB passa pelo 
ponto B, logo sua distância a B é zero, o que resulta em um 
momento nulo. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Completando-se a equação 
2, tem-se: 
Para determinar VB, 
substitui-se o valor de VA 
na equação 1: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Exercício: Calcular as reações de apoio para a viga da figura a 
seguir. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Para simplificar o cálculo, pode-se generalizar os 
resultados, usando uma força P qualquer atuando sobre a 
viga de vão l qualquer e distante a e b dos apoios A e B, 
respectivamente. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
 
Desta maneira, basta aplicar diretamente essas relações 
genéricas, sem necessidade de se determinar os valores das 
reações usando, toda vez, as equações da estática. 
Se houver mais de uma carga na viga, faz-se o cálculo das 
reações parciais para cada carga, somando-se ao final esses 
valores parciais para obter a reação total em cada apoio. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Exemplo: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
 
 
 
 
 
 
A viga deste exemplo pode ser decomposta em três vigas, 
carregada cada uma com uma carga concentrada. 
Calculam-se os valores das reações para cada viga e 
somam-se esses valores parciais para obter o valor final. 
Exemplo: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Somando-se os valores parciais, 
tem-se: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
No caso de cargas uniformemente distribuídas sobre a 
viga, tais como seu peso próprio, laje e alvenaria, usa-se o 
artifício de substituir a carga distribuída pela sua resultante. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Como a carga distribuída é de 2,0 tf/m e o seu 
comprimento é de 4 m, sua resultante é de P = 2,0 tf/m 
x 4 m = 8,0 tf, aplicada no meio, ou seja: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Usando as equações da estática, desconsiderando a que 
se refere a forças horizontais, já que só existem cargas 
verticais atuando sobre a viga, tem-se: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Resultados que eram de se esperar: já que a carga é 
uniformemente distribuída sobre toda a extensão da viga, 
metade de seu valor vai para cada apoio. Generalizando, 
considerando a carga distribuída q e o vão l, tem-se: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Exemplo: Calcular as reações de apoio da viga da figura. 
Carga distribuída: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
1ª carga concentrada: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
2ª carga concentrada: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
• Vigas em balanço 
Como foi visto, uma viga em balanço é aquela em que uma 
das extremidades é totalmente livre de apoio e a outra 
apresenta um apoio engastado. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Como o vínculo engastado não admite deslocamentos 
horizontal e vertical e nem o giro da barra, ele é capaz de 
absorver reações horizontais, verticais e momento. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Lembrar que a linha de ação da reação 
VA passa pelo ponto A, escolhido como 
polo dos momentos. Já o momento 
reativo MA, apesar de estar atuando no 
polo A, não se anula, porque ele já é um 
momento e não uma força, por isso não 
é multiplicado por qualquer distância. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
O resultado é esperado, pois o momento de P em relação ao apoio é o seu 
valor P multiplicado pela sua distância ao apoio, bo, portanto P x bo . 
Esse resultado pode ser generalizado para qualquer quantidade de cargas 
concentradas. 
Assim: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Exemplo: Calcular as reações de apoio para o balanço da figura. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
A viga da figura da página anterior pode ser decomposta em 
três outras: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Somando todas as reações intermediárias, tem-se: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
No caso de carga distribuída, usa-se o mesmo artifício já usado 
anteriormente: substitui-se a carga distribuída pela sua resultante. Assim: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
 
As vigas biapoiadas, já estudadas, também podem 
apresentar balanços, o que não altera os procedimentos 
vistos. 
Suponha-se a situação da figura, onde só existe a carga 
P concentrada aplicada no extremo do balanço: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
O resultado negativo para a reação VA indica que está ocorrendo um 
arrancamento no apoio. Esse efeito que o momento do balanço causa nas 
reações de apoio, aliviando o apoio oposto e sobrecarregando o apoio do 
balanço é denominado efeito de alavanca. Pois, nessa situação, a viga se 
comporta como uma alavanca, usada para levantar pesos. 
 
 
 
Uma outra maneira de encaminhar a solução e que pode agilizar os 
cálculos é considerar o vão independente do balanço, calcular o balanço 
independentemente e aplicar o resultado ao vão. 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Assim: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas- 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Repare que os resultados são os mesmos. Prestando mais 
atenção aos valores obtidos, pode-se notar que: 
 
 
Sendo P x bo o momento devido ao balanço, tem-se que a 
reação VA é o momento do balanço dividido pelo vão, ou seja: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
 
Como P é a carga no balanço, tem-se que a reação VB é igual 
às cargas existentes no balanço somadas ao momento do 
balanço (P x bo), dividido pelo vão central, ou seja: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
 
Considere-se a situação apresentada na figura a seguir: 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio 
Equilíbrio externo das vigas - 
Cálculo das reações de apoio