A CONSTRUÇÃO DOS NUMEROS

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Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
A construção dos números
Autora: Gabriela Maria Machado
Orientador: Luiz Hartmann
Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso
Curso: Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva
Sadao Massago
Vera Lúcia Carbone
São Carlos, 13 de Março de 2014.
A construção dos números
Autora: Gabriela Maria Machado
Orientador: Luiz Hartmann
Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso
Curso: Licenciatura em Matemática
Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva
Sadao Massago
Vera Lúcia Carbone
Instituição: Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
São Carlos, 13 de Março de 2014.
Gabriela Maria Machado
(aluna)
Luiz Hartmann (orientador)
À vida e ao amor.
Agradecimentos
Agradeço,
À minha família (minha mãe Maria José, meu pai Geraldo, meus irmãos, Cristina, Ricardo
e Arenildo e meu afilhado Arthur), pela devoção e suporte desde sempre.
À XDani, por toda dedicação, companheirismo, paciência e estímulo que tornaram possível
esta realização.
Aos meus amados amigos, pela partilha de toda e qualquer emoção.
À todos os professores, pela contribuição à minha formação.
Em especial, ao Professor Hartmann, pela confiança, oportunidade de aprendizado e exce-
lente forma de findar meu curso e à Professora Liane, que muito contribuiu e ajudou durante
todo o trabalho.
Conteúdo
1 Considerações Iniciais 6
1.1 Relações de Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Números Naturais 15
2.1 Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Adição de elementos de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Multiplicação dos Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Relação de ordem em N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Números Inteiros 30
3.1 Relação de Equivalência em N× N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Adição de números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Multiplicação dos inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Relação de Ordem em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Conjuntos enumeráveis e a Hipótese do Contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Números Racionais 50
4.1 Construção dos números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Operações em Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Relação de Ordem em Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Números Reais 64
5.1 Cortes de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2 Relação de ordem em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Operações em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Representação decimal dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5 R não é enumerável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6 Números Complexos 89
6.1 Construção dos complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2 C não é ordenável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8
Resumo
Apresentamos a construção dos conjuntos numéricos, com o enfoque voltado para o ensino
e formação de um educador com todo o rigor matemáfico necessário. Foram desenvolvidas as
construções dos números inteiros, dos racionais, dos reais e dos complexos a partir do conjunto
dos números naturais, este introduzido através dos axiomas de Peano.
Introdução
A noção de número e suas generalizações estão intimamente ligadas à história da humani-
dade. E a própria vida está impregnada de matemática. Grande parte das comparações que
o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não
a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o
comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem
o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena
coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um
objeto tenha sido retirado ou acrescentado.
O primeiro estudo esquemático dos números como abstração é comumente atribuído aos
filósofos gregos Pitágoras e Arquimedes. Entretanto, estudos independentes também ocorreram
por volta do mesmo período na Índia, China, e Mesoamérica.
Os números naturais e as frações têm sua origem das atividades de contagem e medida, o
que talvez tenha levado os membros da escola pitagórica a postularem que na natureza tudo
é número devido acreditarem que tudo podia ser contado, logo atribuído um número, e que a
qualquer medida também se poderia atribuir um número ou uma razão entre números.
Iniciamos o trabalho fazendo uma abordagem ao conceito de relação de equivalência, dado
que foi bastante usado no decorrer dos estudos. Para isto, introduzimos os conceitos de partes
de um conjunto, definição de par ordenado, produto cartesiano, definição de operação, assim
como conceito de relação.
Fizemos a formalização no conjunto dos naturais através dos Axiomas de Peano, conside-
rando o zero como um número natural. Assumimos que existe um conjunto satisfazendo tais
axiomas e fomalizamos todas as propriedade, demonstrando-as através dos Axiomas. Após
isto, denotamos este conjunto por N e chamamos de Naturais. O que fizemos, foi formalizar e
demonstrar rigorosamente o que já sabíamos intuitivamente desde o Ensino Básico, seguindo a
construção consistente que foi desenvolvida no século XIX por Giuseppe Peano.
Richard Dedekind (1831-1916) estabeleceu uma relação de equivalência entre pares ordena-
dos de números naturais e fez referência da subtração como inversa da adição: a − b = c − d,
logo a+ d = b+ d. Dedekind demonstrou que esta relação é de equivalência, e que o conjunto
das classes de equivalência é o conjunto dos números inteiros. Na construção dos inteiros que
fizemos neste trabalho, utilizamos esta construção, de forma que, definimos um inteiro como
uma classe de equivalência e o conjunto dos números inteiros como o conjunto dessas classes de
equivalência.
A construção dos racionais é feita a partir do mesmo raciocínio que os inteiros, utilizando o
3
conceito de relação de equivalência, mas esta construção se da de forma mais rápida do que a
dos inteiros, por ter muitas consequências diretas deste.
A construção dos números reais feita neste trabalho foi baseada na construção feita por
Dedekind, através dos chamados Corte de Dedekind, que considera o conjunto de todos os
cortes, definindo a adição e a multiplicação nele e, em seguida, mostrando que ele possui as
propriedades aritméticas deQ e mais uma propriedade queQ não possui, a chamada completude
dos reais.
Por fim, mas não menos importante, a construção dos números complexos, que foram defi-
nidos como pares ordenados de números reais e, a partir disto, foram provadas todas as propri-
edades aritméticas, mostrando que o conjunto dos números comeplexos possui uma estrutura
de corpo, assim como os reais e racionais, mas possuindo uma grande diferença dos anteriores,
pois não possui uma relação de ordem.
Estas construções provêm de estudos de matemáticos do século XIX e início do século XX
que foram em busca dos fundamentos da matemáticaacumulados até a época, principalmente
a partir de cálculo diferencial e integral de Newton e Leibniz, no século XVII.
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Capítulo 1
Considerações Iniciais
No decorrer deste trabalho lidaremos diretamente com o conceito de relação de equivalência,
por isso faremos uma abordagem tratando desta questão. Trabalharemos com conceitos prévios
e com a noção intuitiva de conjuntos durante todo o trabalho e, em particular neste capítulo,
trabalharemos intuitivamente com os conjunto numéricos e as propriedades básicas de suas
operações, lembrando que estudaremos o conceito rigoroso desses conjuntos numéricos nos
capítulos seguintes.
Utilizaremos, usualmente, N, Z, Q, R e C para representar os conjuntos dos números natu-
rais, inteiros, racionais, reais e complexos, respectivamente.
1.1 Relações de Equivalência
Definição 1.1.1. Dado um conjunto A qualquer, o conjunto das partes de A, ou conjunto
potência de A, denotado por P(A), é o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de
A.
Seguem alguns exemplos:
Exemplo 1.1.2.
1. Se A = {a, b}, então P(A) = {∅, {a}, {b}, A};
2. Se A = {1, 2, 3}, então P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A};
3. Se A = ∅, então P(A) = {∅}, pois o ∅ é o único subconjunto de A;
4. Se A = P({1}), então A = {∅, {1}}, logo, P(A) = {∅, {∅}, {{1}}, A}.
Definição 1.1.3. Seja A um conjunto não vazio com a, b ∈ A. Definimos o par ordenado (a, b)
como sendo o conjunto {{a}, {a, b}}.
Observação: (a, b) ⊂ P(A).
Desde o Ensino Fundamental consideramos um par ordenado como um par de objetos onde a
ordem tem importância. A definição acima formaliza matematicamente esta ideia intuitiva. O
teorema seguinte mostra que um par ordenado é exatamente o que idealizamos intuitivamente.
Teorema 1.1.4. Seja A um conjunto onde a, b, c, d ∈ A. Temos que:
6
(a, b) = (c, d)⇔ a = c e b = d
Demonstração.
(⇐) Suponhamos a = c e b = d. Dessa forma, é claro que (a, b) = (c, d).
(⇒) Seja, agora, (a, b) = (c, d), isto é, {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Temos assim, dois casos:
• a = b.
Nesta situação (a, b) = (a, a) = {{a}, {a, a}} = {{a}, {a}} = {{a}}. Dessa forma,
{{a}} = {{c}, {c, d}}, ou seja, {c} = {a} e {c, d} = {a}. Assim, c = a e d = a.
Como a = b, obtemos a = c = b = d.
• a 6= b.
Por hipótese {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Se {a, b} = {c}, então, a = b = c, contradi-
zendo a hipótese a 6= b. Logo, {a, b} = {c, d}, o que acarreta c 6= d. Disso, concluímos
que {a} não pode ser igual a {c, d}, logo, {a} = {c}, ou seja, a = c. Já concluímos que
{a, b} = {c, d}, a 6= b, c 6= d, de onde segue que b = d.
�
Definição 1.1.5. Seja A um conjunto qualquer. Definimos o produto cartesiano de A por A,
denotado por A×A, como o conjunto de todos os pares ordenados compostos por elementos de
A, isto é, A× A = {(x, y) | x, y ∈ A}.
Seguem alguns exemplos:
Exemplo 1.1.6.
1. Se A = {a, b} então A× A = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a)}
2. Se A = ∅, então A× A = ∅
3. Se A = {a1, a2, a3, . . . , an}, tem n elementos, A × A possui n2 elementos, pois, tem-se n
possilidades para o primeiro elemento do par ordenado e n para o segundo.
Definição 1.1.7. Dados dois conjuntos A e B, se x ∈ A e y ∈ B, então x, y ∈ A ∪ B.
Definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto A× B = {(x, y) | x ∈ A e
y ∈ B}.
Observação: (x, y) = {{x}, {x, y}} ⊂ P(A ∪ B), pois, como x, y ∈ A ∪ B, obviamente,
{x}, {x, y} ∈ P(A ∪B)
A seguir temos alguns exemplos:
Exemplo 1.1.8.
1. Seja A = {x} e B = {y}. Temos que A × B = {(x, y)} = {{x}, {x, y}} e B × A =
{(y, x)} = {{y}, {y, x}}. Para que A × B = B × A, precisaríamos que {x} = {y}
ou {x} = {x, y}, ou seja, x = y. Como x e y são quaisquer, não podemos dizer que
A×B = B × A.
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2. Sejam A = ∅ e B um conjunto qualquer. Suponhamos que exista (x, y) ∈ A × B. Por
definição de par ordenado, x ∈ A e y ∈ B, o que é uma contradição, pois, por hipótese,
A = ∅. Portanto, não existe (x, y) pertencente a A×B.
Definição 1.1.9. Dado um conjunto A não vazio, uma operação em A é uma função ∗ :
A × A −→ A. A imagem ∗((x, y)) de um par ordenado (x, y) pela função ∗ é usualmente
denotada por x ∗ y.
Levando em conta o nosso conceito intuitivo de conjuntos numéricos e de suas operações
aritméticas, podemos ver que, das quatro operações, apenas a soma e o produto são de fato
operações, no sentido da definição acima, no conjunto dos números naturais.
Definição 1.1.10. Uma relação binária R num conjunto A é qualquer subconjunto do produto
cartesiano A× A, isto é, R ⊂ A× A.
Exemplo 1.1.11. Se A = {a, b, c}, então R = {(a, a), (b, a), (c, b), (c, a)} é uma relação binária,
dado que é um subconjunto de
A× A = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}.
No contexto deste trabalho, diremos que a está relacionado com b (escreve-se aRb) se R é
uma relação binária em A e se (a, b) ∈ R, isto é, (a, b) ∈ R ⇔ aRb. Uma relação binária será
chamada apenas de relação. No exemplo 1.1.11, temos bRa, mas não aRb.
Definição 1.1.12. Seja dado um conjunto A e uma relação R sobre ele. Diz-se que R é uma
relação de equivalência se possuir as seguintes propriedades:
1. Reflexiva: aRa, para todo a ∈ A;
2. Simétrica: se a, b ∈ A, e aRb, então bRa;
3. Transitiva: para a, b, c ∈ A, se aRb e bRc, então aRc.
A relação R do exemplo 1.1.11 não é reflexiva, pois, b ∈ A e (b, b) /∈ R, nem simétrica, dado
que bRa, mas não aRb. Entretanto, ela é transitiva (basta ver que cRb, bRa e cRa). Como não
satisfaz as três propriedades, ela não é uma relação de equivalência.
Exemplo 1.1.13. Seja A = {1, 2, 3} R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} é uma relação de
equivalêcia, pois:
1. Vale a reflexiva: 1, 2, 3 ∈ A, 1R1, 2R2 e 3R3;
2. Vale a simétrica: 1, 2 ∈ A, 1R2 e 2R1;
3. Vale a transitiva: 1, 2 ∈ A, 1R2, 2R1 e 1R1.
No exemplo seguinte será usada uma noção intuitiva de conjuntos numéricos e suas pro-
priedades aritméticas básicas, mas apenas a título de esclarecimento do conceito de relação de
equivalência. A construção dos conjuntos não dependerá deste exemplo.
Exemplo 1.1.14. Seja a, b ∈ Z com a 6= 0. Diremos que a divide b se existir c ∈ Z, tal que
b = ac. Escrevemos a|b para simbolizar que a divide b. Esta relação de divisibilidade em Z não
é uma relação de equivalência, pois, apesar de ser reflexiva e transitiva, ela não é simétrica:
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1. Vale a reflexiva: para todo a ∈ Z, a = ac com c = 1 ∈ Z, portanto aRa.
2. Não vale a simétrica: Se a, b ∈ Z e a divide b, temos que, b = ac1 para algum c1 ∈ Z. Se
b dividisse a, teríamos a = bc2 para algum c2 ∈ Z e assim, a = ac1c2 ⇒ a = ac ⇒ c =
c1c2 = 1, o que significa que c1 = c2 = 1, ou c1 = c2 = −1, o que leva a conclusão que só
vale a simétrica quando a = b ou a = −b, portanto, não vale a simétrica para quaisquer
a, b ∈ Z onde a divide b.
3. Vale a transitiva: Se a, b, c ∈ Z, a divide b e b divide d, temos b = ac1 e d = bc2 com
c1, c2 ∈ Z, logo d = ac1c2 ⇒ d = ac, com c = c1c2 ∈ Z, logo, a divide d.
Exemplo 1.1.15. Seja A um conjunto. Temos que A×A = {(x, y) | x, y ∈ A} é uma relação
de equivalência em A. De fato,
1. Vale a reflexiva: seja x ∈ A, claramente (x, x) ∈ A×A, portanto, xRx, para todo x ∈ A.
2. Vale a simétrica: sejam x, y ∈ A e xRy, ou seja, (x, y) ∈ A × A. Como x, y ∈ A, é
imediato que (y, x) ∈ A× A, logo, yRx.
3. Vale a transitiva: sejam x, y, z ∈ A, xRy e yRz, ou seja, (x, y), (y, z) ∈ A × A, como
x, z ∈ A, (x, z) ∈ A× A, ou seja, xRz.
Exemplo 1.1.16. R = {(x, x) | x ∈ A} é uma relação de equivalência em A. Esta relação se
chama igualdade em A (ou identidade de A), e se denota por “ = ”. Logo (x, x) ∈ R para todo
x ∈ A, que escrevemos usalmente como x = x, ∀ x ∈ A. Mostremos que esta relação, de fato,
é de equivalência em A.
1. Reflexiva: seja a ∈ A qualquer. Claramente (a, a) ∈ R, ou seja, a = a.
2. Simétrica: se a, b ∈ A e (a, b) ∈ R, temos que existe x ∈ A tal que (a, b) = (x, x), de onde
concluímos que a= b. Como (x, x) = (a, b) ∈ R e a = b, então (x, x) = (b, a) ∈ R;
3. Transitiva: se a, b, c ∈ A, (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R, procedendo como no item anterior,
obtemos que a = b e b = c, portanto, a = c. Logo, (a, c) ∈ R.
Exemplo 1.1.17. Qualquer relação de equivalência em A está compreendida entre os dois
exemplos anteriores, ou seja, “ = ” ⊂ R ⊂ A × A. De fato, seja A um conjunto e R uma
relação de equivalência qualquer sobre A. Obviamente R ⊂ A × A, por definição de relação.
Temos que “ = ” = {(x, x) | x ∈ A}. Tomemenos (x, x) ∈ “ = ” para um x pertencente a A
qualquer. Claramente, (x, x) ∈ R (pela propriedade reflexiva, que nos garante que, para todo x
em A, xRx). Logo, “ = ” ⊂ R. Dessa forma “ = ” ⊂ R ⊂ A× A, como queríamos.
Definição 1.1.18. Sejam R uma relação de equivalência em A e a ∈ A um elemento fixado
arbitrariamente. O conjunto a = {x ∈ A | xRa} chama-se classe de equivalência de a pela
relação R. Ou seja, a é o conjunto constituído dos elementos de A que se relacionam com a.
Exemplo 1.1.19. As classes de equivalência dadas pela relação R do exemplo 1.1.13 são 1 =
{1, 2}, 2 = {2, 1} e 3 = {3}
Observe, neste exemplo, que 1 = 2, isso se deve ao fato de que 1R2. O seguinte teorema
mostra isso de forma generalizada.
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Teorema 1.1.20. Seja R uma relação de equivalência em um conjunto A e a, b elementos
quaisquer de A, então:
1. a ∈ a;
2. a = b⇔ aRb;
3. a 6= b⇔ a ∩ b = ∅
Demonstração.
1. a = {x ∈ A | xRa}. Como R é uma relação de equivalência, aRa (pela propriedade
reflexiva), logo a ∈ a;
2. (⇒) Suponhamos a = b, onde a = {x ∈ A | xRa} e b = {y ∈ A | yRb}. Seja a ∈ a, de
onde segue que, a ∈ b (pois por hipótese a = b). Logo, pela definição de b, aRb;
(⇐) Suponhamos agora aRb. Devemos mostrar que a = b, ou seja, a ⊂ b e b ⊂ a. Pois
bem:
• Seja a ∈ a. Como, por hipótese, aRb, temos que a ∈ b, logo, a ⊂ b;
• Seja b ∈ b. Por hipótese, aRb e como R é uma relação de equivalência, temos que
bRa e portanto b ∈ a. Logo b ⊂ a.
3. (⇒) Seja a 6= b, com a = {x ∈ A | xRa} e b = {y ∈ A | yRb}. Suponhamos que exista
c ∈ a ∩ b, ou seja, c ∈ a e c ∈ b. Sendo assim, cRa e cRb, que nos garante que aRb.
Assim, pelo item 2 deste teorema, concluímos que a = b, o que contradiz a nossa hipótese.
Portanto, não existe c qualquer na intersecção de a e b.
(⇐) Seja a ∩ b = ∅. Suponhamos a = b, que significa, pelo item 2 deste teorema, que
aRb, ou seja, a ∈ b. Claramente a ∈ a, sendo assim, a está em a e em b, o que contradiz
a hipótese de que a ∩ b = ∅. Portanto, a 6= b.
�
O teorema anterior nos fornece propriedades muito importantes. Ele nos fornece a ideia de
que todo elemento de uma classe de equivalência a tem a mesma classe de equivalência que a,
ou seja, a pode ser representado por x, para todo x ∈ a. Ele nos garante também que duas
classes de equivalência distintas são disjuntas.
Da mesma forma que já fizemos anteriormente nesta sessão, o seguinte exemplo faz referência
aos números inteiros, mas ele serve apenas para clarear a ideia de classe de equivalência e não
influenciará nas construções seguintes.
Exemplo 1.1.21. Sejam A = Z e R a relação dada por: aRb quando o resto das divisões de a
e b por 2 forem iguais. Por exemplo, (5, 21) ∈ R, (6, 14) ∈ R, mas (5, 8) 6= R. Vamos verificar
se esta relação é de equivalência em Z:
1. Reflexiva: seja x ∈ Z. A divisão x por 2 tem resto t e obviamente t = t, portanto, xRx,
para todo x ∈ Z;
2. Simétrica: sejam x, y ∈ Z e xRy, ou seja, x e y divididos por 2 têm o mesmo resto s,
logo yRx;
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3. Transitiva: sejam x, y, z ∈ Z, xRy e yRz. Dessa forma, x e y divididos por 2 possuem
o mesmo resto t, assim como y e z divididos por 2 possuem o mesmo resto s. Como y
dividido por 2 possui o resto t e também o resto s, concluímos que r = s e, portanto, o
resto da divisão de x e z por 2 é o mesmo, ou seja, xRz.
Usando esta relação de equivalência, temos os seguintes exemplos:
1 = {. . . ,−3,−1, 1, 3, . . .} = 3 = 7 = −5
2 = {. . . ,−4,−2, 0, 2, 4, . . .} = 0 = 4 = −2
Sabemos ainda que todo número inteiro é classificado como ímpar ou par, onde o par pode ser
escrito da forma a = 2n e o ímpar da forma a = 2n + 1. Sendo assim, quando dividimos um
número par por 2, obetemos a = 2n+0, ou seja, o resto da divisão é 0. Já quando dividimos um
número ímpar por 2, obtemos a = 2n+ 1, ou seja, resto 1. Dessa forma, a divisão de qualquer
inteiro por 2 nos fornece restos 1 ou 0. Portanto, só existem duas classes de equivalência
distintas para esta relação de equivalência. Mais precisamente, tem-se a = 0 para a par e a = 1
para a ímpar.
Definição 1.1.22. Seja R uma relação de equivalência num conjunto A. O conjunto constituído
das classes de equivalência em A pela relação R é denotado por A/R e denominado conjunto
quociente de A por R. Assim, A/R = {a | a ∈ A}
Veja os exemplos que seguem:
Exemplo 1.1.23.
1. Se R é a relação do exemplo anterior, então A/R = {0, 1}
2. Se A = {1, 2, 3}, temos que,
A× A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}.
Dessa forma, temos as classes de equivalência 1 = {x ∈ A | xR1} = {1, 2, 3}, 2 =
{y ∈ A | yR2} = {1, 2, 3} e 3 = {z ∈ A | zR3} = {1, 2, 3}, assim 1 = 2 = 3. Como
A/A×A = {a | a ∈ A}, então A/A×A = {1, 2, 3}, ou apenas A/A×A = {1} = {2} = {3}
3. Consideremos a relação de equivalência denotada por “ = ”, isto é, R = {(x, x) | x ∈ A}.
Se A = {1, 2, 3}, então R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} e, portanto, 1 = {x ∈ A | xR1} = {1},
2 = {y ∈ A | yR2} = {2} e 3 = {z ∈ A | zR3} = {3}, logo A/R = {a | a ∈ A} = {1, 2, 3}.
Exemplo 1.1.24. Seja ∼ uma relação em Z, definida como segue: x ∼ y quando os restos das
divisões de x e y por 3 forem iguais. Esta é uma relação de equivalência. Com efeito,
1. Reflexiva: Claramente, para todo x ∈ Z, x ∼ x;
2. Simétrica: Sejam x, y ∈ Z e x ∼ y, ou seja, o resto das divisões de x e y por 3 é o mesmo,
logo, y ∼ x;
11
3. Transitiva: Se x, y, z ∈ Z, x ∼ y e y ∼ z, temos que, o resto das divisões de x e y por 3 é
o mesmo, digamos t, e o resto das divisões de y e z por 3 é o mesmo, digamos s. Sendo
assim, o resto da divisão de y por 3 é dado por s e por t, logo s = t. Portanto, o resto
das divisões de x e z por 3 é o mesmo, o que siginifica que x ∼ z, como queríamos.
O resto da divisão de um número x ∈ Z por 3, é sempre 0, 1, ou 2, portanto, as clas-
ses de equivalência são 0 = {. . . ,−6,−3, 0, 3, 6, . . .}, 1 = {. . . ,−7,−4,−1, 1, 4, 7, . . .} e 2 =
{. . . ,−8,−5,−2, 2, 5, 8, . . .}. Sendo assim, temos que o conjunto quociente Z/ ∼ = {0, 1, 2}.
Exemplo 1.1.25. Seja A o conjunto de todas as pessoas e R a relação em A dada por: xRy
quando x for mãe de y. Esta relação não é de equivalência. De fato,
1. Não vale a reflexiva: seja x ∈ A qualquer, x não pode ser mãe de x;
2. Não vale a simétrica: sejam x, y ∈ A e xRy, ou seja, x é mãe de y. Dessa forma, y não
é mãe de x;
3. Não vale a transitiva: sejam x, y, z ∈ A, xRy e yRz. Assim, x é mãe de y e y é mãe de
z, isso significa que x é avó de z e não mãe.
Exemplo 1.1.26. Seja A o conjunto de todas as pessoas e R a relação em A dada por: xRy
quando x for irmão de y, ou quando x e y forem a mesma pessoa (diremos aqui que x e y
são irmãos quando são filhos biológicos dos mesmos pais). Esta é uma relação de equivalência,
pois:
1. Vale a reflexiva: se x ∈ A, xRx pois, x e x são a mesma pessoa;
2. Vale a simétrica: sejam x, y ∈ A e xRy, ou seja, x é irmão de y, portanto y é irmão de
x, logo, yRx;
3. Vale a transitiva: sejam x, y, z ∈ A, xRy e yRz. Como x é irmão de y e y é irmão de z,
claramente os três possuem os mesmo pais biológicos, portanto, x é irmão de z, ou seja,
xRz.
Observe que, se a relação fosse definida apenas como “xRy quando x for irmão de y”, não
teríamos uma relação de equivalência pois não valeria a reflexiva (xRx).
Exemplo 1.1.27. Seja A um conjunto e A = A1 ∪A2 ∪A3 . . . ∪An uma partição finita de A,
isto é, uma decomposição deA como união finita de uma família de subconjuntos de A que são
dois a dois disjuntos e não vazios. Para x e y ∈ A, definimos a seguinte relação: xRy quando
x e y pertencem ao mesmo elemento da partição, isto é, xRy ⇔ existe i ∈ {1, . . . , n} tal que
x, y ∈ Ai. Esta é uma relação de equivalência. De fato,
1. Reflexiva: se x ∈ A, claramente x ∈ Ai e assim, xRx;
2. Simétrica: se x, y ∈ A e xRy, temos que x, y ∈ Ai, portanto, yRx;
3. Transitiva: sejam x, y, z ∈ A, xRy e yRz. Dessa forma, x, y ∈ Ai e y, z ∈ Aj com
i, j ∈ {1, . . . , n}. Como y está em Ai e em Aj, e sabemos que os conjuntos são disjuntos
dois a dois, concluímos que i = j e portanto, x e z estão no mesmo conjunto Ai=j, logo,
xRz.
12
Observe que se os conjuntos não fossem disjuntos dois a dois, ou seja, Ai∩Aj 6= ∅, poderíamos
ter y na intersecção de Ai e Aj e assim não nos valeria a transitiva e, portanto, esta relação
não seria de equivalência.
Exemplo 1.1.28. Seja A = {1, 2, 3}. Já vimos que A× A, assim como “ = ” são relações de
equivalêcia em A. Vimos também que quaisquer outras relações de equivalência neste conjunto
estão entre essas duas. Seguem estas relações:
R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)};
R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)};
R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3), (3, 2)}.
Exemplo 1.1.29. Sejam A = {x ∈ Z | −5 ≤ x ≤ 10} e R a relação sobre A definida por:
xRy ⇔ x2 = y2. Vamos vefirifcar que R é uma relação de equivalência:
1. Reflexiva: se x ∈ A, claramente x2 = x2, portanto, xRx;
2. Simétrica: se x, y ∈ A e xRy, temos que x2 = y2, portanto y2 = x2, ou seja, yRx;
3. Transitiva: se x, y, z ∈ A, xRy e yRz, então , x2 = y2 e y2 = z2, logo, x2 = z2 e assim
xRz.
Exemplo 1.1.30. Seja A como no exemplo anterior e S uma relação definida por: xSy ⇔
existe k ∈ N tal que x2 = y2 + k. Verifiquemos agora a relação S:
1. Reflexiva: seja x ∈ A. Existe k = 0 ∈ N, tal que que x2 = x2 + k, portanto xSx;
2. Simétrica: sejam x, y ∈ A e xSy, ou seja, existe k1 ∈ N tal que x2 = y2+k1. Disso temos
que x2 ≥ y2. Consideremos dois casos:
• Seja x2 = y2. Neste caso, existe k2 = 0 ∈ N tal que y2 = x2 + k2, ou seja, yRx.
• Seja x2 > y2. Neste caso, é impossível que exista k2 ∈ N tal que y2 = x2 + k2, pois,
se isto acontecesse, teríamos y2 ≥ x2, que contradiz a hipótese de que x2 > y2
Sendo assim, temos que a simétrica só vale quando x2 = y2. Como a propriedade deve
valer pra quaisquer x, y ∈ A, temos que a simétrica não é válida. O par ordenado (−5,−4)
é um exemplo que mostra que essa relação não é simétrica, pois (−5,−4) satisfaz a con-
dição da relação, ou seja, existe k ∈ N tal que (−5)2 = (−4)2 + k, porém, (−4,−5) não a
satisfaz.
3. Transitiva: se x, y, z ∈ A, xSy e ySz, temos que existem k1, k2 ∈ N, tais que x2 = y2+ k1
e y2 = z2 + k2. Subtituindo a segunda na primeira, obtemos x
2 = z2 + k2 + k1. Como
k1, k2 ∈ N, claramente k1 + k2 = k ∈ N, assim, x2 = z2 + k, logo xSz.
Com isso concluímos que apenas a simétrica não é válida, o que é suficiente para que a relação
S não seja de equivalência.
Observemos que se a relação do exemplo anterior nos desse a condição com k ∈ Z no lugar
de k ∈ N, teríamos que a relação seria de equivalência. Com efeito, seja x, y ∈ A e xSy, ou seja,
existe k1 ∈ Z tal que x2 = y2 + k1, e assim, y2 = x2 − k1 ⇒ y2 = x2 + k2 com k2 = −k1 ∈ Z.
Logo, yRx, como queríamos.
13
Exemplo 1.1.31. Seja A ainda como no exemplo 1.1.29 e T definida como segue: xTy ⇔
existe k ∈ Z tal que x− y − 3k = 0. Vamos verificar se T é uma relação de equivalência.
1. Reflexiva: seja x ∈ A. Claramente x− x− 3k = 0 com k = 0 ∈ Z, ou seja, xTx;
2. Simétrica: sejam x, y ∈ A e xTy, ou seja, existe k1 ∈ Z, tal que x − y − 3k1 = 0, o que
implica que −x+ y + 3k1 = 0 e disso obtemos y − x+ 3k1 = 0, que pode ser escrito como
y − x− 3k2 = 0 com k1 = −k2 ∈ Z e, portanto, yTx;
3. Transitiva: se x, y, z ∈ A, xTy e yTz, temos que existem k1, k2 ∈ Z tais que x−y−3k1 = 0
e y − z − 3k2 = 0. Isolando o y na segunda equação e substituindo na primeira obtemos
x− (z+3k2)− 3k1 = 0 e assim, x− z− 3(k2 + k1) = 0, que significa x− z− 3k = 0, com
k = k1 + k2 ∈ Z, ou seja, xRz.
Portanto, a relação T é de equivalência em A.
14
Capítulo 2
Números Naturais
Desde os primórdios existe a necessidade de contagem e são exatamente os números naturais
que estão envolvidos com esta ideia de quantidade, que é considerada básica nos dias atuais.
Os números naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de objetos,
começando com o número um.
O primeiro grande avanço na abstração foi o uso de numerais para representar os números.
Isto permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. Um
avanço muito posterior na abstração foi o desenvolvimento da ideia do zero com um número com
seu próprio numeral. Um dígito zero tem sido utilizado como notação de posição desde cerca de
700 a.C. pelos babilônicos, porém ele nunca foi utilizado como elemento final. Os Olmecas e a
civilização maia utilizaram o zero com um número separado desde o século I AC, aparentemente
desenvolvido independentemente, porém seu uso não se difundiu na Mesoamérica. O conceito
da forma que ele é utilizado atualmente se originou com o matemático indiano Brahmagupta
em 628. Hoje temos este conceito de zero formalizado, poratanto, nossa construção foi feita
incluindo o zero como um número natural, porém, outros matemáticos, preferem seguir a
tradição antiga e excluir o zero dos números naturais.
Formalizaremos este conceito utilizando uma axiomática, método que, apesar de ser con-
siderado uma construção, na verdade, apenas assume a existência do conjunto dos naturais,
satisfazendo axiomas que caracterizam rigorosamente a ideia intuitiva. Em outras palavras,
assumiremos a existência do conjunto e mostraremos que ele obedece a tais axiomas.
Esta axiomatização foi dada por Giuseppe Peano, no final do século XIX, e se apresenta
aqui de forma adaptada a simbologia matemática atual.
2.1 Axiomas de Peano
Durante a formação de um matemático, muito se ouve falar sobre o Princípio da Indução
Finita, que é, na verdade, um conceito menos intuitivo e imediato do que a ideia de que o
conjunto dos Naturais começa no 0 e prossegue de um em um.
Suponhamos que A seja um subconjunto dos números naturais, contendo o 3 e a propriedade
de que possui o sucessor natural de qualquer elemento seu, ou seja, se x ∈ A, então x+ 1 ∈ A.
Dessa forma, A contém o 4, pois contém o 3 e, claramente, possui o 5, já que contém o 4, e
assim segue. Logo A contém {3, 4, 5, 6, . . .}. Se esse nesse conjunto tivesse como hipótese inicial
que o 0 está nele, no lugar do 3, teríamos que A é o conjunto dos naturais.
15
Os Axiomas de Peano apresentam a formalização rigorosa destas ideias intuitivas, utilizando
conceitos já conhecidos ou admitidos aqui, como segue:
Axioma 2.1.1 (AXIOMAS DE PEANO). Existe um conjunto A e uma função s : A −→ A
verificando:
1. s é injetora;
2. Existe um elemento em A, que denotaremos por 0, e chamaremos de zero, que não está
na imagem de s, isto é, 0 /∈ Im(s).
3. Se um subconjunto X de A satisfizer os subitens abaixo, então X = A:
(a) 0 ∈ X;
(b) Se k ∈ X, então s(k) ∈ X.
A função s é chamada função sucessor, de modo que, se x ∈ A, então s(x) é chamado
sucessor de x. Os axiomas anteriores nos dizem que cada x de A possui sucessor diferente e
expressam, ainda, o fato de que 0 não é sucessor de nenhum elemento de A.
Temos garantido que tal A é diferente de vazio, pelo segundo axioma de Peano. Como
0 /∈ Im(s) e s(0) ∈ Im(s), concluímos que 0 6= s(0), e, portanto, A possui pelo menos dois
elementos: 0 e s(0). Da mesma forma, podemos observar que s(s(0)) é diferente de 0, pois
0 /∈ Im(s), e diferente s(0), pois s é injetora, ou seja, s(0) 6= 0 ⇒ s(s(0)) 6= s(0). Assim,
A possui pelo menos três elementos: 0, s(0) e s(s(0)). Prosseguindo desta forma, concluímosque s(s(s(0))) também está em A e é diferente de 0 (pois 0 /∈ Im(s)), diferente de s(0) (0 6=
s(s(0))⇒ s(0) 6= s(s(s(0))), pois s é injetora) e diferente de s(s(0)) (s(0) 6= s(s(0))⇒ s(s(0)) 6=
s(s(s(0))), pois s é injetora). Agora temos que A possui pelo menos quatro elementos: 0, s(0),
s(s(0)) e s(s(s(0))).
Tomando estes sucessores de forma repetida, vemos que cada elemento novo é diferente dos
anteriores mencionados. Isto será provado rigorosamente neste capítulo. Prosseguindo assim,
consideramos A como um conjunto infinito, que vamos definir formalmente a seguir.
Definição 2.1.2. Dado um conjunto X, dizemos que ele é infinito se existir uma função injetora
f : A −→ X. Um conjunto é dito finito quando não é infinito.
Em outras palavras, podemos dizer que X é infinito quando possui um subconjunto Y em
bijeção com A, ou ainda, dizendo que este Y é equipotente a A. Uma outra definição de conjunto
infinito, equivalente a esta, que existe devido a Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-
1918)(ele rompeu com o paradigma grego de que o todo é sempre maior do que qualquer uma
das suas partes próprias), é a seguinte: um conjunto diz-se infinito quando existir uma bijeção
entre ele e um subconjunto próprio dele.
O terceiro axioma de Peano é conhecido como Princípio de Indução Finita e ele é utilizado
na demonstração de propriedades que dizem respeito aos números naturais. Veremos muitos
exemplos no decorrer deste capítulo.
Já o segundo axioma de Peano fala que 0 /∈ Im(s). O teorema a seguir nos diz quem é
Im(s).
16
Teorema 2.1.3. Se s : A −→ A é a função sucessor, então, tem-se:
1. s(n) 6= n, para todo n ∈ A, ou seja, nenhum número de A é sucessor de si mesmo;
2. Im(s) = A \ {0}, isto é, 0 é o único elemento de A que não é sucessor de nenhum outro
elemento de A.
Demonstração.
1. Consideremos um subconjunto B de A, constituído dos n ∈ A tais que s(n) 6= n, isto é
B = {n ∈ A | s(n) 6= n}. Vamos, através do princípio de indução finita, mostrar que
B = A, isto é, s(n) 6= n, para todo n ∈ A
(a) Pelo axioma 2 de Peano, temos que 0 /∈ Im(s), sendo assim, 0 6= s(0), e, portanto,
0 ∈ B;
(b) Seja k ∈ A, ou seja, k 6= s(k). Como, pelo axioma 1, s é injetora, obtemos que
s(k) 6= s(s(k)) e, portanto, s(k) ∈ B.
Assim, pelo princípio de indução finita, B = A.
2. Novamente usaremos indução finita. Seja B ⊂ A dado por B = {0} ∪ Im(s):
(a) Claramente, 0 ∈ B;
(b) Seja k ∈ B. Com isso s(k) ∈ Im(s) ⊂ B, daí, s(k) ∈ B.
Logo, B = A. Como 0 /∈ Im(s), concluímos que Im(s) = A \ {0}.
�
Todo elemento de A\{0} é sucessor de um único elemento de A, que se chama seu antecessor.
2.2 Adição de elementos de A
Vamos, agora, formalizar a operação que chamaremos de adição e representaremos por (+),
que é, na verdade, a operação que já conhecemos do ensino básico.
Definição 2.2.1. Dado m ∈ A, definimos recursivamente:{
m+ 0 = m,
m+ s(n) = s(m+ n).
Isto é, fixado m, se p = 0, m + p = m e se p 6= 0, p = s(n) para algum n ∈ A, daí
m+ p = m+ s(n) = s(m+ n).
Esta definição nos fornece o seguinte:
m+ s(0) = s(m+ 0) = s(m),
ou ainda,
m+ s(s(0)) = s(m+ s(0)) = s(s(m)),
17
e assim por diante. Esta é a idéia intuitiva que iremos formalizar a seguir utilizando o Princípio
da Indução, que mostra que m+ n está definido para todos m,n ∈ A.
Proposição 2.2.2. A soma m+ n está definida para todo par m,n de A.
Demonstração. De fato, vamos definir o conjunto Sm = {n ∈ A | m + n está definida}, para
cada m ∈ A fixado arbitrariamente.
1. m+ 0 está definido, portanto, 0 ∈ Sm.
2. Seja k ∈ Sm, isto é, m + k está definido. Temos que m + s(k) = s(m + k) está definido,
logo s(k) ∈ Sm.
Logo, pelo axioma 3, Sm = A. Como m é arbitrário, Sm = A para todo m ∈ A. Sendo assim,
m+n está definida para todo par (m,n) de A×A, o que significa que a adição é, de fato, uma
operação em A.
�
Introduziremos agora a notação para os números naturais que é conhecida desde o ensino
básico.
Definição 2.2.3. Indica-se por 1 e lê-se �um� o elemento de A que é sucessor de 0, ou seja,
1 = s(0).
Proposição 2.2.4. Para todo m ∈ A, tem-se s(m) = m + 1 e s(m) = 1 + m. Portanto
m+ 1 = 1 +m.
Demonstração. Provemos as duas igualdades:
• Temos que m+ 1 = m+ s(0) = s(m+ 0) = s(m), ou seja, m+ 1 = s(m);
• Consideremos agora o conjunto B = {m ∈ A | s(m) = 1 +m} e provemos por indução
que B = A:
1. Claramente 1 + 0 = 1 = s(0), sendo assim, s(0) = 1 + 0 e portanto, 0 ∈ B.
2. Seja, agora, m ∈ B, isto é, s(m) = 1+m. Daí s(1+m) = s(s(m)) e como s(1+m) =
1 + s(m), obtemos que s(s(m)) = 1 + s(m) e, portanto, s(m) ∈ B.
Sendo assim, B = A.
�
Já temos as notações 0 e 1 = s(0). Vamos definir, agora, a continuação:
s(1) = 2 (dois), s(2) = 3 (três), s(3) = 4 (quatro), s(4) = 5 (cinco)
e assim sucessivamente. Esta é a notação indo-arábica de base dez para os elementos de A.
Dessa forma, A contém o seguinte conjunto:
{0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))), . . .} = {0, 1, 2, 3, . . .}.
18
O teorema seguinte mostra que os axiomas de Peano formalizam a ideia intuitiva do conjunto
dos números naturais, isto é, A não contém elementos além desses.
Teorema 2.2.5. A = {0, 1, 2, 3, . . .}
Demonstração. Seja N = {0, 1, 2, 3, . . .} subconjunto de A. Verifiquemos por indução que
N = A:
1. Por construção 0 ∈ N;
2. Novamente por construção, N contém o sucessor de qualquer elemento contido nele, ou
seja, se n ∈ N, então s(n) ∈ N.
Logo, N = A.
�
Definição 2.2.6. Chamaremos este conjunto A de Conjunto do Números Naturais e denota-
remos, a partir daqui, por N.
Utilizando a notação anterior, temos as seguintes adições em N:
1. 1 + 1 = s(1) = 2;
2. 2 + 1 = s(2) = 3;
3. 3 + 1 = s(3) = 4;
4. 3 + 2 = 3 + s(1) = s(3 + 1) = s(4) = 5;
5. 0 + 2 = 0 + s(1) = s(0 + 1) = s(1 + 0) = s(1) = 2.
Definição 2.2.7. Seja f : X −→ X e IdX a função identidade no conjunto X. Sendo assim,
definimos f 0 = IdX e, para n ≥ 1, fn = f ◦ (fn−1). Chamamos a função fn de n-ésima iterada
de f , ou ainda, dizemos que f foi iterada n vezes.
Proposição 2.2.8. Se m e n são naturais quaisquer, então vale a igualdade m + n = sn(m),
isto é, somar n a m é somar 1 a m iteradamente n vezes.
Demonstração. Seja Sm = {n ∈ N | m+n = sn(m)} para umm natural fixado arbitrariamente.
Provemos por indução que Sm = N
1. s0(m) = m = m+ 0, portando 0 ∈ Sm;
2. Seja k ∈ Sm, ou seja, m + k = sk(m). Temos ainda que m + s(k) = s(m + k), daí, pela
hipótese, m+s(k) = s(sk(m)) = s◦sk(m). Por definição, s◦sk(m) = sk+1(m) = ss(k)(m),
e assim, m+ s(k) = ss(k)(m), logo, s(k) ∈ Sm.
Como m foi fixado arbitrariamente, temos Sm = N para todo m ∈ N.
�
Exemplo 2.2.9. Segue um exemplo do que acabou de ser demonstrado:
5 + 3 = s3(5) = s(s2(5)) = s(s(s(5))) = s(s(6)) = s(7) = 8
19
Vamos enunciar e demonstrar agora uma proposição que será fundamental para a prova do
próximo teorema.
Proposição 2.2.10. Para todo m ∈ N, temos que m+0 = m = 0+m, isto é, m é um elemento
neutro da adição em N.
Demonstração. Por definiçãom+0 = m. Provemos agora que 0+m = m. De fato, consideremos
o conjunto A0 = {m ∈ N | 0 +m = m}.
1. Por definição 0 + 0 = 0, portanto 0 ∈ A0;
2. Suponhamos k ∈ A0, isto é, 0 + k = k e provemos que s(k) ∈ A0. Com efeito, 0 + s(k) =
s(0 + k) = s(k), ou seja, s(k) ∈ A0.
Logo, por indução, concluímos que A0 = N.
�
O seguinte teorema mostra as propriedades da adição que são admitidas intuitivamente
desde a escola.
Teorema 2.2.11. Se m, n e p são números naturais arbitrários, temos que as seguintes afir-
mações são verdadeiras:
1. Propriedade associativa da adição: m+ (n+ p) = (m+ n) + p.
2. Propriedade comutativa da adição: n+m = m+ n.
3. Lei do cancelamento da adição: m+ p = n+ p⇒ m = n.
Demonstração.
1. Para esta prova, consideremos o conjunto A(m,n) = {p ∈ N | m + (n + p) = (m + n) + p}
com m e n naturais fixados arbitrariamente. Vamos aplicar indução sobre este conjunto.
(a) Temos que m+ (n+ 0)= m+ n = (m+ n) + 0, logo, 0 ∈ A(m,n);
(b) Suponhamos que k ∈ A(m,n), isto é, m+(n+ k) = (m+n)+ k. Agora, provemos que
s(k) ∈ A(m,n). De fato,
(m+ n) + s(k) = s((m+ n) + k), e por hipótese,
(m+ n) + s(k) = s(m+ (n+ k)), daí,
(m+ n) + s(k) = m+ s(n+ k), o que significa,
(m+ n) + s(k) = m+ (n+ s(k)), logo, s(k) ∈ A(m,n).
2. Para esta prova, consideremos o conjunto An = {m ∈ N | n+m = m+ n}, com n fixado
arbitrariamente e provemos que N = An.
(a) Temos, pela proposição 2.2.10, que n+ 0 = 0 + n, portanto, 0 ∈ An;
(b) Suponhamos que k ∈ An, ou seja, n+ k = k+n, e provemos que s(k) ∈ An. De fato,
n+ s(k) = s(n+ k) = s(k + n) = (k + n) + 1,
daí, pelo primeiro item deste teorema,
n+ s(k) = k + (n+ 1), e pela proposição 2.2.4 obtemos
n+ s(k) = k + (1 + n) = (k + 1) + n e assim,
n+ s(k) = s(k) + n, o que significa que s(k) ∈ An.
20
Concluímos assim, por indução, que An = N.
3. Consideremos o conjunto A(m,n) = {p ∈ N | m + p = n + p ⇒ m = n}. Provemos agora
que A(m,n) = N.
(a) Temos que 0 ∈ A(m,n), pois m+ 0 = n+ 0⇒ m = n, pela proposição 2.2.10;
(b) Suponhamos k ∈ A(m,n), isto é, m+ k = n+ k ⇒ m = n. Temos que
m+ s(k) = n+ s(k) ⇒ s(m+ k) = s(n+ k)
⇒ (m+ k) + 1 = (n+ k) + 1
⇒ m+ (1 + k) = n+ (1 + k) pelos itens anteriores
⇒ (m+ 1) + k = (n+ 1) + k
⇒ s(m) + k = s(n) + k
⇒ s(m) = s(n) por hipótese
⇒ m+ 1 = n+ 1⇒ m = n
Logo, m+ s(k) = n+ s(k)⇒ m = n, ou seja, s(k) ∈ A(m,n).
Desta forma, concluímos que A(m,n) = N.
�
O teorema anterior deixa bem claro a importância da Indução Finita nas demonstrações. A
seguinte proposição é um complemento da proposição 2.2.10.
Proposição 2.2.12. Suponhamos que exista u ∈ N tal que m+ u = m (ou u+m = m), para
todo m ∈ N. Então u = 0. Assim, 0 é o único elemento neutro para a operação de adição.
Demonstração. Temos 0 = 0 + u = u para u como na hipótese.
�
2.3 Multiplicação dos Números Naturais
Assim como foi definida a adição, definiremos agora a operação que chamaremos de multi-
plicação:
Definição 2.3.1. Dado m ∈ A, definimos recursivamente:{
m · 0 = 0,
m · (n+ 1) = m · n+m.
Ou seja, fixado m, se p = 0, m · p = 0 e se p 6= 0, p = n + 1, para algum n ∈ N, daí
m · p = m · (n+ 1) = m · n+m.
Para designar m · n, usaremos a notação de justaposição mn. Será enunciado e provado, a
seguir, um teorema com as propriedades da multiplicação, mas antes disso, enunciaremos duas
proposições que serão úteis para a demonstração de tal teorema.
Proposição 2.3.2. Para todo m ∈ N, temos que 0 ·m = 0.
21
Demonstração. Consideremos o conjunto S = {m ∈ N | 0 ·m = 0} e utilizemos indução para
mostrar que S = N:
1. 0 · 0 = 0 por definição, portanto, 0 ∈ N;
2. Suponhamos que k está em S, ou seja, 0 · k = 0 e provemos que s(k) ∈ S. De fato,
0 · s(k) = 0(k + 1) = 0k + 0, por definição, e ainda, 0k + 0 = 0k = 0, por hipótese de
indução. Logo, 0 · s(k) = 0, ou seja, s(k) ∈ S
Dessa forma, concluímos que S = N.
�
Proposição 2.3.3. Sejam m,n ∈ N tais que m+ n = 0. Então m = n = 0.
Demonstração. Suponhamos n 6= 0, isto é, n = s(n1) = n1 + 1, para algum n1 ∈ N. Sabemos
que 0 = m+ n = m+ (n1 + 1) = (m+ n1) + 1 = s(m+ n1), o que é um absurdo pois 0 não é
sucessor de nenhum elemento de N. Logo, n = 0, sendo assim,m+n = 0⇒ m+0 = 0⇒ m = 0,
como queríamos.
�
Teorema 2.3.4. Sejam m,n, p ∈ N, então são válidos os itens abaixo:
1. mn ∈ N, isto é, a multiplicação é uma operação em N;
2. Existe um elemento neutro multiplicativo: 1 · n = n · 1 = n;
3. Distributividade: m(n+ p) = mn+mp e (m+ n)p = mp+ np;
4. Associatividade: m(np) = (mn)p;
5. mn = 0⇒ m = 0 ou n = 0;
6. Comutatividade: mn = nm
Demonstração.
1. Consideremos o conjunto Sm = {n ∈ N | mn está definido} para m ∈ N fixado arbitra-
riamente.
(a) m · 0 = 0 está definido, logo, 0 ∈ Sm;
(b) Suponhamos k ∈ N e provemos que s(k) ∈ N. De fato, m ·s(k) = m(k+1) = mk+m.
Por hipótese de indução mk está definido e, como visto na seção anterior, a soma
de quaisquer dois naturais também. Logo, m · s(k) = mk +m está definido, o que
significa que s(k) ∈ Sm.
Sendo assim, por indução Sm = N. Como m foi fixado arbitrariamente, a igualdade vale
para qualquer m ∈ N.
2. Temos que n·1 = n(0+1), e por definição n(0+1) = n·0+n = n, logo, n·1 = n. Agora, para
mostrar que 1 · n = n para todo n ∈ N, consideremos o conjunto S = {n ∈ N | 1 · n = n},
e mostremos que N = S.
22
(a) Temos que 1 · 0 = 0, por definição, logo, 0 ∈ S;
(b) Suponhamos que k ∈ S, ou seja, 1 · k = k. Sabemos que 1 · (k + 1) = 1 · k + 1, daí,
por hipótese de indução, 1 · (k + 1) = k + 1. Portanto, k + 1 ∈ S.
Sendo assim, por indução S = N.
3. Sejam m,n naturais fixados arbitrariamente e usemos indução sobre p. Seja Am,n = {p ∈
N | m(n+ p) = mn+mp}.
(a) De fato, 0 ∈ Am,n poism(n+0) = mn emn+m·0 = mn, ou seja,m(n+0) = mn+m·0;
(b) Mostremos agora que, se k ∈ Am,n, isto é, m(n+k) = mn+mk, então (k+1) ∈ Am,n.
Com efeito, m(n+ (k + 1)) = m((n+ k) + 1) = m(n+ k) +m = (mn+mk) +m =
mn + (mk +m) = mn + (m(k + 1)). Todas estas igualdades se justificam com base
em propriedades estabelecidas anteriormente. Sendo assim, (k + 1) ∈ Am,n.
Assim, concluímos, por indução, que Am,n = N.
4. Novamente, consideremos m,n ∈ N fixados arbitrariamente e apliquemos indução sobre
p. Seja Sm,n = {p ∈ N | m(np) = (mn)p}:
(a) m(n · 0) = m · 0 = 0 e (mn) · 0 = 0, logo, m(n · 0) = (mn) · 0. Assim, 0 ∈ Sm,n;
(b) Suponhamos que k ∈ Sm,n, isto é, m(nk) = (mn)k. Consideremos as seguintes
igualdades: m(n(k+1)) = m(nk+ n) = m(nk) +mn = (mn)k+mn = (mn)(k+1).
Dessa forma, k + 1 ∈ Sm,n
Logo, Sm,n = N.
5. Seja mn = 0. Suponhamos n 6= 0. Então n = n1 + 1 para algum n1 em N. Assim,
mn = 0⇒ m(n1 + 1) = 0⇒ mn1 +m = 0, daí, pela proposição 2.3.3, mn1 = m = 0. Da
mesma forma, supondo m 6= 0, concluímos que n = 0. Como queríamos.
6. Suponhanhamos Sm = {n ∈ N | mn = nm}, para um m ∈ N fixados arbitrariamente.
Mostremos que Sm = N:
(a) Por definição, m · 0 = 0 e, pela proposição 2.3.2, 0 ·m = 0, logo, m · 0 = 0 ·m, isto é,
0 ∈ Sm;
(b) Suponhamos k ∈ Sm, ou seja, mk = km. Temos que m(k+1) = mk+m = km+m,
por hipótese de indução, e ainda, km + m = (k + 1)m. Sendo assim, m(k + 1) =
(k + 1)m, que significa k + 1 ∈ Sm.
Logo, por indução, Sm = N. Como m é arbitrário, a igualdade vale para todo m em N.
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Novamente pudemos perceber o quão é importante a existência do terceiro Axioma de Peano.
Completaremos agora esta parte, mostrando que o elemento neutro, visto no segundo item do
teorema anterior, é único.
Proposição 2.3.5. Se p ∈ N é tal que np = n (ou pn = n), para todo n ∈ N, então p = 1.
Demonstração. Para um tal p, 1 = 1p = p, como queríamos.
�
23
2.4 Relação de ordem em N
A ideia intuitiva que trazemos desde a escola, de que 0 é menor que 1, que é menor que
2 e assim sucessivamente, vem da relação de ordem que existe nos naturais, que nos permite
comparar os números deste conjunto, formalizando a ideia intuitiva.
Definição 2.4.1. Seja R uma relação binária em um conjunto não vazio A e x, y, z elementos
quaisquer de A. Dizemos que R é uma relação de ordem em A quando satisfaz as seguintes
condições:
1. Reflexividade: xRx;
2. Antissimetria: se xRy e yRx, então x = y;
3. Transitividade: se xRy e yRz, então xRz.
Dizemos ainda que tal A, diferente de vazio e munido de uma relação R, é chamado de conjunto
ordenado.
Vamos definir agora uma relação de ordem em N através da operação adição, o que o torna
um conjunto ordenado.
Definição 2.4.2. Dados m,n ∈ N, dizemos que mRn se existir p ∈ N tal que n = m+ p
Exemplo 2.4.3.
1. Temos que 2R7, pois 7 = 2 + 5;
2. 4R4, dado que 4 = 4 + 0.
Proposição 2.4.4. A relação R da definição 2.4.2 acima é uma relação de ordem em N
Demonstração. De fato, vejamos que valem as propriedades reflexiva, antissimétrica e transi-
tiva:
1. Reflexiva: dado m ∈ N, claramente m = m+ p, para p = 0 ∈ N, logo, mRm;
2. Antissimétrica: sejam m,n ∈ N, mRn e nRm, isto é,existem p, q ∈ N, tais que n = m+p
e m = n+ q. Substituindo a primeira igualdade na segunda, obtemos, m = (m+p)+ q ⇒
m = m + (p + q), o que significa que p + q = 0, assim, pela proposição 2.3.3, p = q = 0,
logo, m = n;
3. Transitiva: Sejam l,m, n ∈ N, lRm e mRn, ou seja, existem p, q ∈ N tais que m = l + p
e n = m+ q. Substituindo a primeira igualdade na segunda, obtemos, n = (l+ p) + q, ou
ainda, n = l + (p+ q). Temos que p+ q = r ∈ N, portando, podemos reescrever a última
equação como segue: n = l + r. Sendo assim, concluímos que, lRn.
Logo, a relação R é de ordem em N, como queríamos.
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Definição 2.4.5. Sejam m,n ∈ N e R a relação da definição 2.4.2 acima. Se mRn, diremos
que m é menor ou igual a n e passaremos a escrever m ≤ n no lugar de R, ou seja, m ≤ n
significará mRn.
24
Seja (A,+) um grupo abeliano e ≤ uma relação de ordem em A que satisfaz a ≤ b ⇔
b = a + c para algum c ∈ A. Denotamos por A∗ = A \ {0}, B+ = {x ∈ B | x ≥ 0} e
B− = {x ∈ B | x ≤ 0}.
Seguem algumas variações desta notação:
• m ≤ n pode ser escrito como n ≥ m. Leremos n é maior ou igual a m;
• Se m ≤ n, mas m 6= n, escrevemos m < n e dizemos que m é menor que n;
• m < n pode ser escrito como n > m e leremos n é maior que m.
Proposição 2.4.6. Para todo n ∈ N∗, 0 < n. Em particular, 0 < 1.
Demonstração. Devemos mostrar que existe p ∈ N tal que n = 0 + p (p 6= 0, pois, 0 ≤ n, mas
n 6= 0). De fato, como n 6= 0, dado que n ∈ N∗, podemos dizer que, n = s(n1) = s(n1) + 0 =
0+s(n1), para algum n1 ∈ N. Sendo assim, encontramos, n = 0+p, com p = s(n1) ∈ N∗, como
queríamos. Temos ainda que 1 = 0 + 1, portanto, 0 < 1.
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Proposição 2.4.7. Para todo n ∈ N, s(n) > n.
Demonstração. Novamente, devemos mostrar que s(n) = n+ p, com p 6= 0. De fato, temos que
s(n) = n+ 1, claramente 1 6= 0, logo, s(n) > n.
�
Proposição 2.4.8 (Lei da Tricotomia dos Naturais). Para quaisquer m,n ∈ N temos que uma,
e somente uma, das relações seguintes ocorre:
1. m < n;
2. m = n;
3. m > n.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que duas delas não podem ocorrer simultanemante e
depois mostrar que obrigatoriamente uma delas deve ocorrer.
• Claramente, 1 e 2, não podem ocorrer simultanemante, pois, teríamos n = m + p com
p ∈ N∗ e m = n, daí, subtituindo a segunda igualdade na primeira, obteríamos que,
m = m+ p e disso, p = 0, o que é uma contradição, pois, p ∈ N∗. Da mesma forma, 2 e 3
não podem ocorrer juntas. Suponhamos agora que 1 e 3 ocorram ao mesmo tempo, isto
é, n = m+ p e m = n+ q, com p, q ∈ N∗. Substituindo a primeira igualdade na segunda,
obtemos, m = (m+ p) + q ou ainda, m = m+ (p+ q), que nos remete a 0 = p+ q. Pela
proposição 2.3.3, concluímos que p = q = 0, o que é uma contradição, pois p, q ∈ N∗.
• Mostremos esta parte por indução. SejaM = {x ∈ N | x = m ou x > m ou x < m}
com m sendo um natural qualquer.
1. Temos que 0 ∈M , pois 0 = m ou 0 6= m. Se 0 6= m, pela proposição 2.4.6, 0 < m.
25
2. Suponhamos agora que k ∈ M , isto é, k = m ou k > m ou k < m. Analisemos os
três casos:
(a) k = m⇒ k + 1 = m+ 1⇒ k + 1 > m⇒ k + 1 ∈M ;
(b) k > m⇒ k = m+p para p ∈ N∗ ⇒ k+1 = (m+p)+1⇒ k+1 = m+(p+1)⇒
k + 1 > m⇒ k + 1 ∈M ;
(c) k < m⇒ m = k+p para p ∈ N∗. Como p 6= 0, temos que p = p1+1 com p1 ∈ N.
Logo, m = k + p ⇒ m = k + (p1 + 1) ⇒ m = (k + 1) + p1. Se p1 = 0 teremos
m = k+ 1 e portanto, k+ 1 ∈M . Se p1 6= 0, então, k+ 1 < m, logo, k+ 1 ∈M .
Sendo assim, conluímos que, se k ∈M , então k + 1 ∈M .
Logo, por indução, N =M .
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A Proposição 2.4.8 anterior nos fornece o fato de que dois naturais são sempre compará-
veis pela relação de ordem acima definida. Chamamos uma relação de ordem que obedece a
tricotomia de relação de ordem total. Veja a seguir uma relação de ordem que não obedece a
tricotomia. Neste caso diremos que é uma relação de ordem parcial.
Exemplo 2.4.9. Sejam X um conjunto e R a relação de inclusão entre os elementos de P(X).
Esta é uma relação de ordem em, P(X), mas só é de ordem total quando X é vazio ou unitário.
De fato, seja X um conjunto qualquer. Vamos verificar primeiramente que esta é uma
relação de ordem:
1. Reflexiva: seja Y um elemento qualquer de P(X). Como Y = Y , claramente, Y ⊂ Y ;
2. Antissimétrica: sejam Y e Z elementos de P(X), Y ⊂ Z e Z ⊂ Y . Disso já temos que
Y = Z;
3. Transitiva: sejam Y , Z e W elementos de P(X), Y ⊂ Z e Z ⊂ W . Obviamente, Y ⊂ W .
Concluímos, assim, que esta é uma relação de ordem. Precisamos agora verificar se é de ordem
total.
Consideremos primeiro X diferente de vazio e não unitário, por exemplo, X = {a, b}. Com
isso, P(X) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}. Vemos facilmente que {a} * {b} e {b} * {a}, portanto,
não obedece a tricotomia. Concluímos então que esta é uma relação de ordem parcial em X
diferente de vazio e não unitário.
Suponhamos agora X = ∅ e assim, P(X) = {∅}. Esta é uma relação de ordem total, pois
o único subconjunto de P(X) é o conjunto vazio, e, obviamente, ∅ = ∅, além de ∅ não está
propropriamente contido em ∅.
Seja agora X um conjunto unitário qualquer, digamos X = {a}. Sabemos que P(X) =
{∅, {a}}. O vazio é subconjunto de qualquer conjunto, sendo assim, ∅ ⊂ {a} e ainda, {a} * ∅,
ou seja, satisfaz a tricotomia. Verificamos, assim, que a relação de inclusão é de ordem em
todo caso, mas é relação de ordem total apenas quando X é vazio ou unitário.
Teorema 2.4.10. Sejam a, b, c ∈ N. Valem os seguintes itens:
1. a ≤ b⇔ a+ c ≤ b+ c;
26
2. a ≤ b⇔ ac ≤ bc com c 6= 0;
Demonstração.
1. (⇒) a ≤ b⇒ existe p ∈ N tal que b = a+ p. Daí, b+ c = (a+ p) + c = (a+ c) + p, logo
b+ c ≥ a+ c.
(⇐) a+c ≤ b+c⇒ b+c = (a+c)+p para algum p ∈ N. Daí temos, b+c = (a+c)+p⇒
b+ c = (a+ p) + c⇒ b = a+ p, logo a ≤ b.
2. (⇒) a ≤ b ⇒ b = a + q para algum q ∈ N. Suponhamos que bc < ac, ou seja,
ac = bc + p para algum p ∈ N∗. Substituindo a primeira igualdade nesta última ob-
temos ac = (a + q)c + p ⇒ ac = ac + qc + p ⇒ 0 = qc + p, daí, pela proposição 2.3.2,
qc = p = 0, o que é uma contradição, pois p ∈ N∗. Logo, ac ≤ bc, como queríamos.
(⇐) ac ≤ bc ⇒ bc = ac + p para algum p ∈ N. Suponhamos b < a, ou seja, a = b + q
para q ∈ N∗. Substituindo esta igualdade na anterior, obtemos, bc = (b+ q)c+ p⇒ bc =
bc + qc + p ⇒ 0 = qc + p ⇒ 0 = qc = p, daí, pelo item 5 do teorema 2.3.4, obtemos que
q = 0 ou c = 0. Como c 6= 0, nos resta que, q = 0, o que é uma contradição, pois q ∈ N∗ .
Portanto, pela tricotomia, a ≤ b.
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Note que o teorema anterior é válido com < no lugar de ≤ e a demostração segue da mesma
forma.
Teorema 2.4.11 (Lei do cancelamento da multiplicação). Sejam a, b, c ∈ N, com c 6= 0, tais
que ac = bc, então a = b.
Demonstração. Suponhamos que a 6= b. Pela tricotomia devemos ter a < b ou b < a. Se a < b,
pelo teorema anterior, temos, ac < bc, contradizendo a hipótese de que ac = bc, da mesma
forma, b < a⇒ bc < ac, também contradiz a hipótese. Logo, a = b.
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Teorema 2.4.12. Sejam a, b ∈ N. Temos que a < b se, e somente se, a+ 1 ≤ b.
Demonstração.
(⇒) a < b⇒ b = a+ p, com p ∈ N∗, assim, podemos escrever p = s(p1) = p1 + 1, com p1 ∈ N.
Temos: b = a+ p⇒ b = a+ (p1 + 1)⇒ b = (a+ 1) + p1 ⇒ b ≥ a+ 1.
(⇐) a + 1 ≤ b ⇒ b = (a + 1) + p, p ∈ N ⇒ b = a + (p + 1) ⇒ b = a + s(p). Obviamente
s(p) ∈ N∗, logo, b > a, como queríamos.
�
Concluímos da relação de ordem em N que, se a ∈ N, então, a < s(a), pois s(a) = a + 1.
Dessa forma 0 < 1 < 2 < 3 < . . .. Notemos, ainda, que não existem naturais entre a e s(a),
para todo a ∈ N, pois a < r < a+ 1 implicaria, pelo teorema anterior, que a + 1 ≤ r < a + 1,
ou seja, a+ 1 < a+ 1, o que não pode acontecer.
27
O próximo teorema aborda um conceito intuitivamente claro desde o Ensino Fundamental:
todo subconjunto não vazio de números naturais possui um menor elemento. Mas antes dele
introduziremos o conceito de menor elemento.
Definição 2.4.13. Dado um conjunto ordenado A, dizemos que a ∈ A é um menor elemento
de A se a ≤ x para todo x ∈ A.Proposição 2.4.14. Se A é um conjunto ordenado que admite um menor elemento, então este
menor elemento é único e chamado de elemento mínimo de A e denotado por minA.
Demonstração. Sejam a1 e a2 menores elementos de A. Como a2 é um menor elemento de A,
temos que a2 ∈ A e ainda, como a1 ≤ x, ∀x ∈ A, temos que a1 ≤ a2. Da mesma forma,
a1 ∈ A e a2 ≤ x, ∀x ∈ A, logo a2 ≤ a1. Se a1 ≤ a2 e a2 ≤ a1, pela antissimetria a1 = a2,
como queríamos.
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De modo análogo ao que foi feito no teorema anterior, maxA é o maior elemento ou elemento
máximo de um conjunto ordenado.
Teorema 2.4.15 (Princípio da Boa Ordem). Todo subconjunto não vazio de números naturais
possui um menor elemento.
Demonstração. Seja S um tal subconjunto de N e consideremos o conjunto M = {n ∈ N | n ≤
x, ∀x ∈ S}. Claro que 0 ∈ M . Como S 6= ∅, tomemos s ∈ S. Então s + 1 /∈ M , pois s + 1
não é menor ou igual a s. Assim, M 6= N. Como 0 ∈ M e N 6= M , deve existir k ∈ M tal que
k + 1 /∈M , caso contrário, pelo princípio de indução, M = N.
Afirmamos que este k é o menor elemento de S, isto é, k = minS.
Como k ∈ M , então k ≤ x, ∀x ∈ S. Só falta mostrar que k ∈ S. Suponhamos que k /∈ S.
Então k < x, ∀x ∈ S. Pelo teorema anterior teríamos k + 1 ≤ x, ∀x ∈ S, o que significaria que
k + 1 ∈M , contradizendo a escolha de k.
Logo k ∈ S, como queríamos.
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Vimos que o Princípio de Indução implica no Princípio da Boa Ordem. Estes dois princípios
são equivalentes. Neste caso assumimos o Princípio de Indução e provamos o da Boa Ordem, mas
poderíamos ter assumido o da Boa Ordem e demonstrado o outro como teorema, conseguindo
os mesmo resultados.
Proposição 2.4.16. Seja X um subconjunto de N satisfazendo os dois itens abaixo:
1. a ∈ X;
2. n ∈ X ⇒ n+ 1 ∈ X.
Então, temos que {a, a+ 1, a+ 2, . . .} ⊂ X.
Demonstração. Queremos mostrar que se m ∈ N então a+m ∈ X, ou seja, queremos mostrar
que Y = {m ∈ N | a+m ∈ X} = N. Consideremos Y dessa forma e apliquemos indução sobre
ele:
28
1. 0 ∈ Y pois a+ 0 = a ∈ X por definição de X;
2. Suponhamos agora k ∈ Y e provemos que k+1 ∈ Y . Se k ∈ Y , então a+ k ∈ X, daí, por
definição de X, (a+ k) + 1 ∈ X, ou ainda, a+ (k+1) ∈ X, o que significa que k+1 ∈ Y .
Logo N = Y .
�
Proposição 2.4.17. Seja s : N −→ N a função sucessor. Para cada n ≥ 1, tem-se sn(0) 6=
sk(0), para todo k < n.
Demonstração. Seja X = {n ∈ N∗ | sn(0) 6= sk(0),∀k < n}. Vamos mostrar, usando a
proposição anterior, que X = N∗:
1. 1 ∈ X, pois s1(0) = s(0) = 1 6= 0 = s0(0);
2. Seja n ∈ X, isto é, sn(0) 6= sk(0), para todo k < n. Apliquemos s a ambos os lados
dessa desigualdade, isto é, sn+1(0) 6= sk+1(0), para todo k < n. Podemos dizer que
sn+1(0) 6= sl(0) para todo l de 1 até n. Temos ainda que, sn+1(0) 6= 0 = s0(0), daí
sn+1(0) 6= s1(0), para todo l < n+ 1, o que diz que n+ 1 ∈ X, como queríamos.
Sendo assim, por indução X = N∗.
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29
Capítulo 3
Números Inteiros
Por conta do rigor matemático, não é adequado seguir a ideia de número inteiro que é
introduzida na escola. Faremos aqui uma construção rigorosa com todas as demonstrações
precisas deste conjunto numérico, através das noções básicas de Teoria dos Conjuntos e de
relações de equivalência.
3.1 Relação de Equivalência em N× N
Definiremos aqui, um número inteiro como uma classe de equivalência dada por uma relação
de equivalência no conjunto N × N. Dessa forma, o conjunto Z dos inteiros será o conjunto
destas classes de equivalência. Em seguida, iremos definir duas operações em Z e mostrar que
Z possui uma cópia algébrica de N. Definiremos a operação subtração em Z e finalizaremos a
sua construção.
Comecemos então definindo esta relação em N× N e provando que é de equivalência:
Definição 3.1.1. Sejam (a, b), (c, d) ∈ N × N. Dizemos que (a, b) está relacionado com (c, d)
quando a+ d = b+ c. Denotaremos por (a, b) ∼ (c, d).
Teorema 3.1.2. A relação descrita acima é de equivalência.
Demonstração.
1. Reflexiva: Se (a, b) ∈ N× N, então a+ b = b+ a, por herança da comutativa em N, logo,
(a, b) ∼ (a, b).
2. Simétrica: Se (a, b), (c, d) ∈ N×N e (a, b) ∼ (c, d), então, a+d = b+c, e disso, c+b = d+a,
que significa, (c, d) ∼ (a, b).
3. Transitiva: Se (a, b), (c, d), (e, f) ∈ N × N, (a, b) ∼ (c, d) e (c, d) ∼ (e, f), temos que,
a+d = b+c e c+f = d+e. Assim temos a+d+e = b+c+e e a+c+f = a+d+e,
daí,
b+ c+ e = a+ c+ f ⇒ b+ e = a+ f ⇒ a+ f = b+ e.
Logo, (a, b) ∼ (e, f).
�
30
Pensando de forma intuitiva, por um momento, considerando a subtração de inteiros, no-
tamos que a + d = b + c é equivalente a a − b = c − d, isto é, dois pares ordenados são
equivalentes, segundo a definição acima, quando a diferença entre suas coordenadas, na mesma
ordem, coincidem.
Esta foi a forma encontrada pelos matemáticos do século XIX para iniciar a construção
do conjunto Z sem mencionar a subtração, mas trazendo a sua essência, tendo como ponto de
partida os naturais e suas operações.
Denotaremos por (a, b) a classe de equivalência do par ordenado (a, b) pela relação ∼, isto
é,
(a, b) = {(x, y) ∈ N× N | (x, y) ∼ (a, b)}.
Exemplo 3.1.3.
1. (3, 2) = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), . . .};
2. (1, 7) = {(0, 6), (1, 7), (2, 8), (3, 9), . . .};
3. (5, 4) = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), . . .}.
Podemos ver que (3, 2) = (5, 4).
Definição 3.1.4. O conjunto quociente N × N/ ∼ constituído pelas classes de equivalência
(a, b) será denota por Z e chamado de conjunto dos números inteiros. Assim, Z = N×N/ ∼=
{(a, b) | (a, b) ∈ N× N}.
3.2 Adição de números inteiros
Definiremos agora a operação (+) em Z que denominaremos por adição. Voltando à nossa
intuição, se (a, b) expressa, em essência, a �diferença� (a− b) e (c, d) expressa (c− d), a mate-
mática elementar nos dá (a− b) + (c− d) = (a+ c)− (b+ d). Esta última expressão se traduz
em (a+ c, b+ d). Esta é a motivação para a definição formal de (a, b) + (c, d), que daremos a
seguir.
Definição 3.2.1. Sejam (a, b), (c, d) ∈ Z. A soma (a, b) + (c, d) é dada por (a+ c, b+ d).
Vamos mostrar a seguir que esta operação de adição está bem definida.
Teorema 3.2.2. Se (a, b) = (a′, b′) e (c, d) = (c′, d′), então, (a, b) + (c, d) = (a′, b′) + (c′, d′),
isto é, a adição de números inteiros está bem definida.
Demonstração. Como (a, b) = (a′, b′), temos que, (a, b) ∼ (a′, b′), ou seja,
a+ b′ = b+ a′ (3.1)
Da mesma forma,
c+ d′ = d+ c′ (3.2)
31
Temos, por definição, que (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) e (a′, b′) + (c′, d′) = (a′ + c′, b′ + d′).
Devemos mostrar que (a+ c, b+ d) = (a′ + c′, b′ + d′). De fato, somando os primeiros e segun-
dos membros de (3.1) e (3.2), na ordem dada, obtemos,
(a+ b′) + (c+ d′) = (b+ a′) + (d+ c′)⇒ (a+ c) + (b′ + d′) = (b+ d) + (a′ + c′).
Portanto, (a+ c, b+ d) = (a′ + c′, b′ + d′), como queríamos.
�
Teorema 3.2.3. A adição em Z é comutativa, associativa e tem (0, 0) como elemento neutro.
Demonstração.
1. Comutativa: Devemos mostrar que, dados (a, b) e (c, d) em Z, temos (a, b) + (c, d) =
(c, d) + (a, b). De fato, (a+ b) + (c+ d) = (a+ c, b+ d) = (c+ a, d+ b) = (c, d) + (a, b).
2. Associativa: Queremos mostrar que, dados (a, b), (c, d) e (e, f) em Z, temos (a, b)+((c, d)+
(e, f)) = ((a, b) + (c, d)) + (e, f)
(a, b) + ((c, d) + (e, f)) = (a, b) + ((c+ e, d+ f))
= (a+ (c+ e), b+ (d+ f))
= ((a+ c) + e, (b+ d) + f)
= (a+ c, b+ d) + (e, f)
= ((a, b) + (c, d)) + (e, f)
3. Elemento Neutro: Dado (a, b) e (0, 0) em Z.
(a, b) + (0, 0) = (a+ 0, b+ 0) = (0 + a, 0 + b)
= (0, 0) + (a, b) = (a, b)
�
Teorema 3.2.4 (Cancelamento da Adição). Dados α, β, γ ∈ Z e α+ β = γ + β, então α = γ.
Demonstração. Seja α = (a, b), β = (c, d) e γ = (e, f). Assim,
(a, b) + (c, d) = (e, f) + (c, d) ⇒ (a+ c, b+ d) = (e+ c, f + d)
⇒ (a+ c) + (f + d) = (b+ d) + (e+ c)
⇒ a+ f = b+ e
⇒ (a, b) = (e, f)
�
Teorema 3.2.5. Vale a propriedade do elemento oposto: dado (a, b) ∈ Z, existe um único
(c, d) ∈ Z tal que (a, b)+ (c, d) = (0, 0). Este (c, d) é o elemento (b, a).
32
Demonstração. Provaremos inicialmente a existência deste elemento oposto e, em seguida, a
sua unicidade.
Seja (a, b) ∈ Z. Tomemos (c, d) = (b, a) ∈ Z e assim,
(a, b) + (c, d) = (e, f) ⇒ (a, b) + (b, a) = (e, f)
⇒ (a+ b, b+ a) = (e, f)
⇒ a+ b+ f = b+ a+ e
⇒ f + 0 = e+ 0
⇒ (f, e) = (0, 0)
⇒ (a, b) + (c, d) = (0, 0).
Sendo assim, existe um elemento (c, d) = (b, a) ∈ Z, tal que, (a, b) + (c, d) = (0, 0).
Suponhamos que existam dois elementos distintos desta forma, (c, d), (c′, d′) ∈ Z, isto é,
(c, d) 6= (c′, d′) ⇒ c+ d′ 6= d+ c′. (3.3)
Como ambos são opostos a (a, b), temos:
(a, b) + (c, d) = (0, 0) ⇒ (a+ c, b+ d) = (0, 0)
⇒ a+ c = b+ d (3.4)
e
(a, b) + (c′, d′) = (0, 0) ⇒ (a+ c′, b+ d′) = (0, 0)
⇒ a+ c′ = b+ d′ (3.5)
Somando o primeiro membro de (3.4) ao segundo de (3.5) e o primeiro de (3.5) com o segundo
de (3.4) obtemos:
a+ c+ b+ d′ = b+ d+ a+ c′ ⇒ c+ d′ = d+ c′,
o que contradiz (3.3). Portanto, (c, d) = (c′, d′), com queríamos.
�
Definição 3.2.6. Dado α ∈ Z, o único β ∈ Z, tal que, α+ β = (0, 0) chama-se simétrico de α
(ou oposto de α, ou inverso aditivo de α). Sua unicidade permite que o denotemos por −α.
Dessa forma, α + (−α) = (0, 0) e, como visto, −α = (b, a). A existência e unicidade de
oposto de um número inteiro permite que definamos uma terceira operação em Z, denominada
subtração.
Definição 3.2.7. A subtração em Z, denotada por (−), é a operação definida da seguinte
forma: se α, β ∈ Z, então α− β = α + (−β).
Assim, a subtração α− β é a soma de α com o oposto de β.
Proposição 3.2.8. Para α, β, γ ∈ Z, vale:
33
1. −(−α) = α;
2. −α + β = β − α;
3. α− (−β) = α + β;
4. −α− β = −(α + β);
5. α− (β + γ) = α− β − γ;
Demonstração.
1. Seja α = (a, b), então, −α = (b, a), e assim,
−(−α) = −(b, a) = (a, b) = α.
2. Seja α = (a, b) e β = (c, d). Claramente, −α = (b, a). Temos:
−α + β = (b, a) + (c, d) = (b+ c, a+ d)
= (c+ b, d+ a) = (c, d) + (b, a)
= β − α.
3. Seja α = (a, b) e β = (c, d), e assim, −α = (b, a) e −β = (d, c).
α− (−β) = (a, b)− (d, c)
= (a, b) + (c, d) = α + β.
4. Se α = (a, b) e β = (c, d), teremos, −α = (b, a) e −β = (d, c), e assim:
−α− β = (b, a)− (c, d) = (b, a) + (d, c)
= (b+ d, a+ c) = −(a+ c, b+ d)
= −((a, b) + (c, d)) = −(α + β).
5. Se α = (a, b), β = (c, d) e γ = (e, f), então, −α = (b, a), −β = (d, c) e −γ = (f, e) e
assim:
α− (β + γ) = (a, b)− ((c, d) + (e, f)) = (a, b)− (c+ e, d+ f)
= (a, b) + (d+ f, c+ e) = (a, b) + (d, c) + (f, e)
= α− β − γ.
�
3.3 Multiplicação dos inteiros
Definiremos a seguir outra operação em Z, a qual denotaremos por (·) e chamaremos de
produto. Pensando intuitivamente, se (a, b) nos expressa (a − b), (c, d) expressa (c − d) e
34
(a− b) · (c− d) = a · c+ b · d− (a · d+ b · c), temos a motivação para a seguinte definição.
Definição 3.3.1. Dados (a, b) e (c, d) em Z, definimos o produto (a, b) · (c, d) como sendo
(a · c+ b · d, a · d+ b · c).
Teorema 3.3.2. A multiplicação em Z está bem definida, isto é, se (a, b) = (a′, b′) e (c, d) =
(c′, d′), então, (a, b) · (c, d) = (a′, b′) · (c′, d′).
Demonstração. Seja (a, b) = (a′, b′), isto é, a+ b′ = b+ a′, que nos fornece:
ca+ cb′ = cb+ ca′ (3.6)
e
da+ b′d = bd+ a′d. (3.7)
Somando as equações (3.6) e (3.7) obtemos
ac+ bd+ a′d+ b′c = ad+ bc+ a′c+ b′d
(ac+ bd, ad+ bc) = (a′c+ b′d, a′d+ b′c)
(a, b) · (c, d) = (a′, b′) · (c, d). (3.8)
Do mesmo modo, (c, d) = (c′, d′)⇒ c+ d′ = d+ c′, de onde obtemos:
a′c+ a′d′ = a′d+ a′c′ (3.9)
e
b′c+ b′d′ = b′d+ b′c′. (3.10)
Novamente somando as equações (3.9) e (3.10) obtemos
a′c+ b′d+ a′d′ + b′c′ = a′d+ b′c+ a′c′ + b′d′
(a′c+ b′d, a′d+ b′c) = (a′c′ + b′d′, a′d′ + b′c′)
(a′, b′) · (c, d) = (a′, b′) · (c′, d′). (3.11)
Dessa maneira, observando (3.8) e (3.11), obtemos que
(a, b) · (c, d) = (a′, b′) · (c′, d′),
como queríamos.
�
Teorema 3.3.3. A multiplicação em Z é comutativa, associativa, tem (1, 0) como neutro mul-
tiplicativo e é distributiva em relação a adição. Além disso, vale a propriedade do cancelamento
multiplicativo, isto é, se α, β, γ ∈ Z, com γ 6= (0, 0) e αγ = βγ, então α = β.
Demonstração.
35
1. Comutativa: Sejam α = (a, b) e β = (c, d) em Z. Temos,
αβ = (a, b) · (c, d) = (ac+ bd, ad+ bc) (3.12)
βα = (c, d) · (a, b) = (ca+ db, cb+ da). (3.13)
Podemos ver que (3.12) é igual a (3.13), isto é, (ac+ bd, ad+ bc) = (ca+ db, cb+ da), que
significa αβ = βα.
2. Associativa: Sejam α = (a, b), β = (c, d), γ = (e, f) ∈ Z.
α(βγ) = (a, b) · ((c, d) · (e, f)) = (a, b) · (ce+ df, cf + de)
= (a(ce+ df) + b(cf + de), a(cf + de) + b(ce+ df))
= (ace+ adf + bcf + bde, acf + ade+ bce+ bdf). (3.14)
(αβ)γ = ((a, b) · (c, d)) · (e, f) = (ac+ bd, ad+ bc) · (e, f)
= ((ac+ bd)e+ (ad+ bc)f, (ac+ bd)f + (ad+ bc)e)
= (ace+ bde+ adf + bcf, acf + bdf + ade+ bce). (3.15)
Podemos ver que (3.14) é igual a (3.15), logo, α(βγ) = (αβ)γ.
3. Elemento Neutro: Sejam α = (a, b) e β = (1, 0) ∈ Z.
α · β = (a, b) · (1, 0)
= (a · 1 + b · 0, a · 0 + b · 1)
= (a, b) = α. (3.16)
4. Distributiva: Sejam α = (a, b), β = (c, d), γ = (e, f) ∈ Z.
α(β + γ) = (a, b) · ((c, d) + (e, f)) = (a, b) · ((c+ e, d+ f))
= (a(c+ e) + b(d+ f), a(d+ f) + b(c+ e))
= (ac+ ae+ bd+ bf, ad+ af + bc+ be)
= (ac+ bd, ad+ bc) + (ae+ bf, af + be)
= (a, b) · (c, d) + (a, b) · (e, f) = αβ + αγ.
5. Cancelamento Multiplicativo: sejam α = (a, b), β = (c, d), γ = (e, f) ∈ Z, com (e, f) 6=
(0, 0) tais que αγ = βγ, isto é,
(ae+ bf, af + be) = (ce+ df, cf + de)
que equivale a
ae+ bf + cf + de = af + be+ ce+ df
36
e disso,
e(a+ d) + f(b+ c) = e(b+ c) + f(a+ d).
Como (e, f) 6= (0, 0), temos que e + 0 6= f + 0 ⇒ e 6= f . Suponhamos e > f (ou
f > e), ou seja, e = f + p, com p ∈ N∗. Com isso, desenvolvendo os dois membros de
cada igualdade teremos:
(f + p)(a+ d) + f(b+ c) = (f + p)(b+ c) + f(a+ d)
⇒ fa+ fd+ pa+ pd+ fb+ fc = fb+ fc+ pb+ pc+ fa+ fd
⇒ pa+ pd = pb+ pc ⇒ p(a+ d) = p(b+ c)
⇒ a+ d = b+ c ⇒ (a, b) = (c, d)⇒ α = β.
�
Proposição 3.3.4. Se α, β ∈ Z e αβ = (0, 0), então, α = (0, 0) ou β = (0, 0).
Demonstração. Seja α = (a, b) e β = (c, d).
αβ = (0, 0) ⇒ (a, b) · (c, d) = (0, 0)
⇒ (ac+ bd, ad+ bc) = (0, 0)
⇒ ac+ bd+ 0 = ad+ bc+ 0
⇒ ac+ bd = ad+ bc. (3.17)
Suponhamos (a, b) 6= (0, 0), isto é a 6= b. Dessa forma a > b (ou b > a), e assim, a = b+ p, com
p ∈ N∗. Substituindo esta igualdade em (3.17) obtemos:
(b+ p)c+ bd = (b+ p)d+ bc ⇒ bc+ pc+ bd = bd+ pd+ bc
⇒ pc = pd.
Como p ∈ N∗, podemos usar a lei do cancelamento, e concluir que c = d, o que significa que
(c, d) = (0, 0). Analogamente, se supormos que (c, d) 6= (0, 0), concluiremos que (a, b) = (0, 0).
�
Proposição 3.3.5. Se α, β ∈ Z, temos:
1. (−α)β = −αβ = α(−β);
2. (−α)(−β) = αβ.
Demonstração.
1. Seja α = (a, b) e β = (c, d) e assim, −α = (b, a) e −β = (d, c). Dessa forma,
(−α)β = (b, a) · (c, d)
= (bc+ ad, bd+ ac) (3.18)
37
−αβ = −(a, b) · (c, d)
= −(bd+ ac, bc+ ad)
= (bc+ ad, bd+ ac) (3.19)
α(−β) = (a, b) · (d, c)
= (ad+ bc, ac+ db) (3.20)
Claramente, (3.18), (3.19) e (3.20) são iguais, isto é, (−α)β = −αβ = α(−β).
2. Consideremos os mesmos α e β do item anterior:
(−α)(−β) = (b, a) · (d, c) = (bd+ ac, bc+ ad)
= (a, b) · (c, d) = αβ
�
Proposição 3.3.6. Dados α, β, γ ∈ Z, é válida a propriedade distributiva da multiplicação em
relação a subtração, isto é, α(β − γ) = αβ − αγ.
Demonstração.
α(β − γ) = α(β + (−γ))
= αβ + α(−γ).
Assim, pelo item 1 da Proposição 3.3.5, α(β − γ) = αβ − αγ, como queríamos.
�
3.4 Relação de Ordem em Z
Façamos, como em N, uma comparação dos elementos de Z através de uma relação de ordem.
Definição 3.4.1. Dados os inteiros (a, b) e (c, d), escrevemos (a, b) ≤ (c, d), quando a + d ≤
b+ c.
Proposição 3.4.2. A relação definida anteriormente está bem definida, isto é, se (a, b) =
(a′, b′), (c, d) = (c′, d′) e(a, b) ≤ (c, d), então, (a′, b′) ≤ (c′, d′).
Demonstração.
(a, b) = (a′, b′) ⇒ a+ b′ = b+ a′. (3.21)
(c, d) = (c′, d′) ⇒ c+ d′ = d+ c′. (3.22)
38
(a, b) ≤ (c, d) ⇒ a+ d ≤ b+ c
⇒ a+ b′ + d ≤ b+ b′ + c
⇒ a+ b′ + d+ d′ ≤ b+ b′ + c+ d′. (3.23)
Subtituindo (3.21) e (3.22) em (3.23), obtemos
b+ a′ + d+ d′ ≤ b+ b′ + d+ c′ ⇒ a′ + d′ ≤ b′ + c′
⇒ (a′, b′) ≤ (c′, d′).
�
Teorema 3.4.3. A relação ≤ definida acima é uma relação de ordem em Z, ou seja, é reflexiva,
antissimétrica e transitiva.
Demonstração.
1. Reflexiva: Seja α = (a, b) ∈ Z. Claramente, (a, b) ≤ (a, b), pois, (a, b) = (a, b).
2. Antissimétrica: Sejam α, β ∈ Z, α ≤ β e β ≤ α. Consideremos α = (a, b) e β = (c, d) e
assim,
α ≤ β
(a, b) ≤ (c, d)
a+ d ≤ b+ c
e
β ≤ α
(c, d) ≤ (a, b)
c+ b ≤ d+ a.
Pela tricotomia dos naturais, obtemos que, a+ d = b+ c, isto é, (a, b) = (c, d).
3. Transitiva: Sejam α, β, γ ∈ Z, α ≤ β e β ≤ γ, com α = (a, b), β = (c, d) e γ = (e, f).
Destas desigualdades obtemos a + d ≤ b + c e c + f ≤ d + e. Sendo assim, existem
p, q ∈ N tais que,
a+ d+ p = b+ c
e
c+ f + q = d+ e.
Somando os primeiros e segundos membros das duas igualdades, na ordem dada, obtemos
a+ d+ p+ c+ f + q = b+ c+ d+ e
a+ f + p+ q = b+ e
Como p+ q ∈ N, concluímos que, a+ f ≤ b+ e, ou seja, (a, b) ≤ (e, f), como queríamos.
39
�
Teorema 3.4.4. A relação ≤ é compatível com as operações em Z, isto é,
1. α ≤ β ⇒ α + γ ≤ β + γ;
2. α ≤ β e γ ≥ (0, 0)⇒ αγ ≤ βγ;
3. Apenas uma das situações seguintes ocorre: α = (0, 0) ou α < (0, 0) ou α > (0, 0).
Demonstração.
1. Tomemos α = (a, b), β = (c, d) e γ = (e, f) em Z. Assim,
(a, b) ≤ (c, d) ⇒ a+ d ≤ b+ c
⇒ a+ e+ d+ f ≤ b+ f + c+ e
⇒ (a+ e, b+ f) ≤ (c+ e, d+ f)
⇒ (a, b) + (e, f) ≤ (c, d) + (e, f)
⇒ α + γ ≤ β + γ.
Como queríamos.
2. Sejam α = (a, b), β = (c, d) e γ = (e, f). Dessa forma obtemos, a+ d ≤ b+ c e e ≥ f .
Sendo assim, existem p, q ∈ N, tais que, b+ c = a+ d+ p e e = f + q. Temos que,
b+ c = a+ d+ p ⇒ be+ ce = ae+ de+ pe, (3.24)
b+ c = a+ d+ p ⇒ bf + cf = af + df + pf (3.25)
e
e = f + q ⇒ pe = pf + pq. (3.26)
Somando o segundo membro da igualdade (3.24) com o primeiro da igualdade (3.25) e o
primeiro membro de (3.24) com o segundo de (3.25), obtemos,
ae+ de+ pe+ bf + cf = be+ ce+ af + df + pf.
Substituindo (3.26) nesta última igualdade, obtemos
ae+ de+ pf + pq + bf + cf = be+ ce+ af + df + pf
ae+ de+ bf + cf + pq = be+ ce+ af + df
ae+ de+ bf + cf ≤ be+ ce+ af + df
(ae+ bf, af + be) ≤ (ce+ df, cf + de)
(a, b) · (e, f) ≤ (c, d) · (e, f)
αγ ≤ βγ.
40
3. Suponhamos α > (0, 0) e α < (0, 0) simultaneamente, com α = (a, b).
(a, b) > (0, 0)⇒ a > b
e
(a, b) < (0, 0)⇒ a < b,
o que é um absurdo pela tricotomia dos naturais. Suponhamos agora α = (0, 0) e α < (0, 0)
(ou α > (0, 0)) simultaneamente.
(a, b) < (0, 0)⇒ a < b
e
(a, b) = (0, 0)⇒ a = b,
o que novamente é um absurdo, pela tricotomia dos naturais. Como queríamos.
�
O seguinte teorema mostra que Z é não só ordenado, como também, totalmente ordenado,
isto é, a relação ≤ é de ordem total em Z.
Teorema 3.4.5 (Tricotomia dos Inteiros). Para α, β, γ ∈ Z, uma e apenas uma das situações
seguintes ocorre: α = β ou α < β ou β < α.
Demonstração. Suponhamos α < β e β < α simultaneamente:
α < β ⇒ (a, b) < (c, d)⇒ a+ d < b+ c
β < α⇒ (c, d) < (a, b)⇒ c+ b < d+ a,
absurdo pela tricotomia dos naturais. Da mesma forma, suponhamos α < β (ou β < α) e
α = β simultaneamente:
α < β ⇒ (a, b) < (c, d)⇒ a+ d < b+ c
α = β ⇒ (a, b) = (c, d)⇒ a+ d = b+ c
Absurdo pela tricotomia dos naturais. Além disto, novamente pela tricotomia dos naturais,
necessariamente uma das seguintes ocorre:
a+ d < b+ c, b+ c < a+ d, a+ d = b+ c.
Isto significa que uma das seguintes deve ocorrer
(a, b) < (c, d), (c, d) < (a, b), (a, b) = (c, d).
�
Teorema 3.4.6. Para α, β ∈ Z, α ≤ β e γ < (0, 0), temos que αγ ≥ βγ.
Demonstração. Sejam α = (a, b), β = (c, d) e γ = (e, f). Temos que,
(e, f) < (0, 0)⇒ e < f ⇒ (0, 0) < (f, e).
41
Daí, como α ≤ β, pelo item 2 do Teorema 3.4.4
(a, b) · (f, e) ≤ (c, d) · (f, e) ⇒ (af + be, ae+ bf) ≤ (cf + de, ce+ df)
⇒ af + be+ ce+ df ≤ ae+ bf + cf + de
⇒ (ce+ df, cf + de) ≤ (ae+ bf, af + be)
⇒ (c, d) · (e, f) ≤ (a, b) · (c, d)
⇒ βγ ≤ αγ.
�
Definição 3.4.7. Dado (a, b) ∈ Z, dizemos que:
1. (a, b) é positivo quando (a, b) > (0, 0);
2. (a, b) é não negativo quando (a, b) ≥ (0, 0);
3. (a, b) é negativo quando (a, b) < (0, 0);
4. (a, b) é não positivo quando (a, b) ≤ (0, 0);
Observemos que se (a, b) > (0, 0) então a > b, e assim, existe m ∈ N∗ tal que b+m = a, que
equivale (a, b) = (m, 0). Analogamente, se (a, b) < (0, 0), existe m ∈ N∗, tal que a +m = b e
dessa forma, (a, b) = (0,m). Dessa forma, temos que Z = {(0,m) | m ∈ N∗}∪{(0, 0)}∪{(m, 0) |
m ∈ N∗}, onde esta união é disjunta. Além disso,
Z∗− = {(0,m) | m ∈ N∗}, Z− = {(0,m) | m ∈ N∗} ∪ {(0, 0)}
Z∗+ = {(m, 0) | m ∈ N∗}, Z+ = {(m, 0) | m ∈ N∗} ∪ {(0, 0)}
Observemos que Z+ está em bijeção com N, o que mostra que Z+ é uma cópia algébrica de N
em Z, como o seguinte teorema traduz.
Teorema 3.4.8. Seja f : N −→ Z dada por f(m) = (m, 0). Então f é injetora e valem as
seguintes propriedades:
1. f(m+ n) = f(m) + f(n);
2. f(mn) = f(m)f(n);
3. Se m ≤ n, então f(m) ≤ f(n);
Demonstração. Provemos inicialmente que f é injetora. De fato,
f(m) = f(n)⇒ (m, 0) = (n, 0)⇒ m+ 0 = 0 + n⇒ m = n.
Provemos agora os três itens. Sejam m,n ∈ N.
1. f(m+ n) = (m+ n, 0) = (m, 0) + (n, 0) = f(m) + f(n);
2. f(mn, 0) = (mn, 0) = (m, 0) · (n, 0) = f(m)f(n);
3. Se m ≤ n, temos que, (m, 0) ≤ (n, 0), ou seja, f(m) ≤ f(n).
42
�
O teorema acima nos garante que f é um homomorfismo injetor, ou seja, um monomorfismo.
Dessa forma, o conjunto f(N) = Z+, tem a mesma estrutura algébrica que N. Por exemplo,
2 + 3 = 5, corresponde, via f , a (2, 0) + (3, 0) = (5, 0). Do mesmo modo, 2.3 = 6, corresponde,
via f , a (2, 0) · (3, 0) = (6, 0). A relação 2 ≤ 3 se preserva, via f , como (2, 0) ≤ (3, 0),
confirmando a ideia de que a ordem em Z é uma extensão da ordem em N. Dizemos que N é
um subconjunto de Z.
A função f descrita acima, chama-se imersão de N em Z, o que mostra, pela Definição 2.1.2,
que Z é infinito, dado que f é injetora.
Notemos que, se m ∈ N, o simétrico de (m, 0) é (0,m), logo, se identificarmos (m, 0) com
m através de f , obtemos −m = −(m, 0) = (0,m). Dessa forma, identificando N com Z+, via
f , obtemos o que será definido a seguir.
Definição 3.4.9. Definimos o conjunto dos inteiros como
Z = {−m | m ∈ N∗} ∪ {0} ∪ N∗ = {. . . ,−m, . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . ,m, . . .}.
Usaremos, a partir de agora, esta identificação e, então, consideraremos N como um sub-
conjunto de Z. Assim podemos obter
a− b = (a, 0)− (b, 0) = (a, 0) + (−(b, 0)) = (a, 0) + (0, b) = (a, b)
conforme nossas motivações intuitivas feitas anteriormente. Dessa forma, sendo x um inteiro
qualquer, podemos identificar −x por (−1) · x, pois, sendo x = (a, b),
(−1) · x = (0, 1) · (a, b) = (b, a) = −(a, b) = −x
Teorema 3.4.10. Se x, y ∈ Z temos:
1. Se x > 0 e y > 0, então xy > 0;
2. Se x < 0 e y < 0, então xy > 0;
3. Se x < 0 e y > 0, então xy < 0.
Demonstração.
1. Como x e y são elementos positivos de Z, podemos identifica-los por x = (x, 0) e y = (y, 0).
Dessa forma, xy = (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0). Sabemos que (xy, 0) > (0, 0), portanto, xy > 0.
2. Pelo Teorema 3.4.6, x < 0⇒ −x > 0 e y < 0⇒ −y > 0, sendo assim,
−x = (−x, 0)⇒ x = −(−x, 0) = (0,−x)
e
−y = (−y, 0)⇒ y = −(−y, 0) = (0,−y).
Temos:
xy = (0,−x) · (0,−y)
= ((−x)(−y), 0) (3.27)
Sabemos que ((−x)(−y), 0) > (0, 0), portanto, xy > 0.
43
3. Pelo Teorema 3.4.6, x < 0⇒ −x > 0, sendo assim,
−x = (−x, 0)⇒ x = −(−x, 0) = (0,−x).
Temos:
xy = (0,−x) · (y, 0)
= (0, (−x)y). (3.28)
Sabemos que, (0, (−x)y) < (0, 0), portanto, xy < 0.
�
Definição 3.4.11. Seja X um subconjunto não vazio