Limites Indeterminados e no Infinito

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AULA 02
MATEMÁTICA II
Professor: João Alessandro
CÁLCULO DE LIMITES
Cálculo - Limites
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o valor 
para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na expressão 
da função f(x).
No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem 
sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se 
faz a substituição direta de x por seu valor de tendência 
e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou / ou /0). 
Veja os casos nos slides seguintes.
Cálculo - Limites
Regras adicionais 
• 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e denominadores são 0 
quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o 
polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x 
- a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a. 
422)2(lim
2
)2)(2(lim
2
4lim
0
0
22
42
2
4lim
22
2
2
22
2














x
x
xx
x
x
x
x
xxx
x
Indeterminação
Regras adicionais 
• 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na 
substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. 
O limite existirá somente se os limites laterais forem 
iguais. 
.limlim
lim








2
1
2
 
2
1
2
0
1
22
1
2
1
2
xx
e
xx
xx
Portanto o limite não existe.
Pois pela condição de existência de limite, o limite pela 
direita deve ser igual ao limite pela esquerda.
Regras adicionais – Limites com e/no Infinito 
• 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma função 
racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou 
-∞, são calculados com base no termo de maior ordem, veja os 
exemplos abaixo.






222
22
323
).(5)5(lim)125(lim
).(22lim2lim
2
352lim
xxx
x
x
x
x
xxx
xx
xxx
1o exemplo (função racional):
2o exemplo (função polinomial):
Expressões indeterminadas: 
 Considere o seguinte limite:
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já 
conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:
0
0
33
273
3
27lim
33
3






 x
x
x
3
27lim
3
3 

 x
x
x
EXEMPLO
EXEMPLO
Expressões indeterminadas
 Mas vejamos o gráfico desta função:
x f(x)
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
24,39
25,24
26,11
27
27,91
28,84
29,79
L
• Apesar da função não estar definida no ponto x = 3, 
quando nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima 
de 27. Portanto:
• Mas como se resolve a equação algébrica de modo 
a chegar a este valor?
27
3
27lim
3
3



 x
x
x
• Com a FATORAÇÃO de Produtos Notáveis!!!
Neste exemplo, 
Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:
 
Basta então calcular:
)93)(3(27 23  xxxx
93
)3(
)93)(3()( 2
2



 xx
x
xxxxf
27)93(lim 2
3


xx
x
FATORAÇÃO
• Diferença de quadrados
Exemplos:
)).((22 bababa 
2222 ..)).(( bababbaababa 
)).(() 44162  xxxa
)).(() ayayayb  33229 
)).().(()).((
)
9243232924924
81416 


xxxxx
xc
 FATORAÇÃO
• Trinômio quadrado perfeito
Exemplos: 22442 )(  aaa
2
3349324616 



  yyy
22222 2)).(()( bababbaababababa 
22222 2)).(()( bababbaababababa 
Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com 
a diferença de quadrados a2 - b2.
 FATORAÇÃO
• Soma e Diferença de Cubos
Exemplos:
)).(( 2233 babababa 
)42).(2()22.).(2(8 2223  xxxxxxx
)252016).(54(5)4(12564 2333  aaaaa
)).(( 2233 babababa 
 PROPRIEDADES DE LIMITES
• P1 - O limite da soma é igual a soma dos limites
 (caso esses limites existam):
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

1552322
5
22
32
2
2
53
2
2
2
532
2













.
limlimlim
limlimlim
)(lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
Exemplo:
 PROPRIEDADES DE LIMITES
• P2- O limite da diferença é igual a diferença dos 
limites (caso esses limites existam):
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

622.2limlim2
lim2lim)2(lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2




xx
xxxx
xx
xxx
Exemplo:
 PROPRIEDADES DE LIMITES
• P3 - O limite do produto é igual ao produto dos limites 
(caso esses limites existam):
  )(lim).(lim)().(lim xgxfxgxf
axaxax 

93.3lim.lim.lim)(lim
333
2
3


xxxxx
xxxx
Exemplo:
 PROPRIEDADES DE LIMITES
• P4- O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
 (caso esses limites existam):
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax









10
1- 
20
2
727
53
73
3
5
3
73
5
3




















 )(lim
)(lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
Exemplo:
DÚVIDAS?
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