08 FLUXO DE CAIXA 2009

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PEDRO NORBERTO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 31
FLUXO DE CAIXA 
 
O estudo da matemática financeira é desenvolvido, basicamente, através do seguinte raciocínio: ao 
longo do tempo existem entradas de dinheiro (receitas) e saídas de dinheiro (desembolsos) nos 
caixas das empresas e nas finanças das pessoas. Essa circulação de valores é denominada, em seu 
conjunto, fluxo de caixa. 
 
 Podemos representar em fluxo de caixa através do seguinte diagrama: 
 
 
(+) (+) (+) (+) 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 ................ n tempo 
 
 
 
 (-) (-) 
 
 
 As receitas são sempre indicadas com setas voltadas para cima, seguidas do sinal positivo 
(+) e os desembolsos são sempre indicados com setas voltadas para baixo seguidas do sinal 
negativo (-). O eixo horizontal representa a linha do tempo iniciada a partir de uma data inicial 
(data zero); a unidade de tempo pode ser expressa em qualquer período (ano, mês, dia, etc). 
 
Se imaginarmos uma situação em que inicialmente foi feito um investimento R$ 10.000,00 para a 
compra de equipamentos para a empresa, e nos instantes 1, 2 e 3 houve receita de R$ 1.000,00, R$ 
1.500,00 e R$ 2.000,00 respectivamente. Posteriormente houve outro investimento de R$ 2.000,00 
no instante 4 com nova receita de R$ 3.000,00 no instante 5. Poderemos representar esse fluxo nas 
tabelas abaixo ou pelo seguinte diagrama: 
 
Instantes Entradas Saídas 
0 R$ 10.000,00 
1 R$ 1.000,00 
2 R$ 1.500,00 
3 R$ 2.000,00 
4 R$ 2.000,00 
5 R$ 3.000,00 
 
Instantes Ocorrências 
0 – R$ 10.000,00 
1 +R$ 1.000,00 
2 +R$ 1.500,00 
3 +R$ 2.000,00 
4 – R$ 2.000,00 
5 +R$ 3.000,00 
 
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VALOR PRESENTE LÍQUIDO VPL - (NPV – Net Present Value) 
 
O cálculo do Valor Presente Líquido – VPL/NPV - consiste em fazer o transporte de todas as 
ocorrências no fluxo de caixa para a data focal zero à taxa de juros considerada, verificando-se, 
nesta data, a diferença entre os valores positivos e negativos listados no fluxo. 
 
EXEMPLO RESOLVIDO 
 
Considere o fluxo de caixa que possui um investimento inicial no valor de R$ 1.200,00 
proporcionando uma receita de R$ 400,00 no fim do primeiro período; R$ 450,00 no fim o segundo 
período e R$ 500,00 no fim do terceiro período. Calcule o Valor Presente Líquido do fluxo de 
caixa considerando uma taxa de 4% ao período. 
 
Resolução: 
 
Para a situação descrita anteriormente, temos o seguinte diagrama de fluxo de caixa: 
 
 
 
 
 
Transportando todas as ocorrências positivas para a data focal zero, temos: 
 
i) 1)04,1(
400
= R$ 384,62 
ii) 2)04,1(
450
= R$ 416,05 
iii) 3)04,1(
500
= R$ 444,50 
Valor total das entradas no caixa na data focal zero: R$ 384,62 + R$ 416,05 + R$ 444,50 = R$ 
1.245,16 
 
Assim sendo, na data focal zero, temos o seguinte Valor Presente Líquido: 
R$ 1.245,16 – R$ 1.200,00 = R$ 45,16 
 
 
O VPL pode ser calculado com uso de calculara financeira e planilha eletrônica 
 
Com a calculadora HP-12C, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 
 
1200 CHS g CFo 
400 g CFj 
450 g CFj 
500 g CFj 
4 i 
f NPV 
 
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TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR – INTERNAL RATE RETURN) 
 
A Taxa Interna de Retorno de um fluxo de caixa pode ser entendida como sendo a taxa de desconto 
que faz com que as Receitas Futuras descontadas a esta taxa se IGUALEM ao Investimento 
Inicial. Em outras palavras, é a taxa que proporciona o VPL/NPV de um investimento igual a zero. 
 
A TIR será obtida com auxílio de calculara financeira e planilha eletrônica. 
 
Considerando os dados da questão anterior, podemos calcular a TIR com auxílio da calculadora HP-
12C, pode ser usada a seguinte sequência de teclas: 
 
1200 CHS g CFo 
400 g CFj 
450 g CFj 
500 g CFj 
f IRR 
 
 
EXEMPLO RESOLVIDO 
 
Considerando os dados da questão anterior e sabendo que a Taxa Interna de Retorno do fluxo de 
caixa é igual a 5,9%, podemos calcular o seu Valor Presente Líquido que será igual a 0. 
 
Transportando todas as ocorrências positivas para a data focal zero, temos: 
i) 1)059,1(
400
= R$ 377,72 
ii) 2)059,1(
450
= R$ 401,26 
iii) 3)059,1(
500
= R$ 421,02 
 
Valor total das entradas no caixa na data focal zero: R$ 377,72 + R$ 401,26 + R$ 421,02 = R$ 
1.200,00 
 
Assim sendo, na data focal zero, temos o seguinte Valor Presente Líquido: 
R$ 1.200,00 – R$ 1.200,00 = R$ 0,00 
 
 
 
FLUXOS DE CAIXA EQUIVALENTES 
 
 Dois Fluxos de caixa são ditos equivalentes quando, ao transportarmos para uma mesma 
data e à mesma taxa de juros as entradas e saídas de cada um deles, as somas dos valores presentes 
encontrados for a mesma nos dois fluxos. 
 
 
Exemplo: 
Uma dívida deve ser resgatada em 4 meses por R$ 2.431,02. Entretanto, o 
devedor sugere a quitação da mesma em dois pagamentos, sendo o 
primeiro deles, daqui a três meses, de R$ 1.157,63 e o segundo, três meses 
depois, de R$ 1.340,10. 
Mostrar que o plano de pagamento proposto pelo devedor é equivalente ao 
original se considerarmos uma taxa de juros compostos de 5% a.m. 
 
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Solução: 
Vamos transportar para a data focal zero cada um dos valores a serem pagos: 
1º fluxo (do plano original) 
 
 
 
M = C(1+i)n ⇒ 2431,02 = C (1+0,05)4 ⇒ C = R$ 2.000,00 
 
2º fluxo (do plano sugerido pelo devedor) 
 
 
 
M3 = C3 (1+i)n ⇒ 1157,63 = C3 (1+0,05)3 ⇒ C3 = R$ 1.000,00 
M6 = C6 (1+i)n ⇒ 1340,10 = C6 (1+0,05)6 ⇒ C6 = R$ 1.000,00 
 
Valor Presente Líquido Total: R$ 2000,00 
 
Como a soma dos capitais do segundo fluxo na da focal zero é igual ao capital do primeiro, na 
mesma data, podemos dizer que os dois fluxos são equivalentes. 
 
 
ATENÇÃO: No regime de juros compostos a escolha da data focal não altera a equivalência. 
Podemos, assim, optar pela data mais conveniente para os cálculos de cada problema. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Trace o diagrama de fluxo de caixa com as seguintes ocorrências: 
� Uma saída de R$ 1.000,00 no início do 1º período; 
� Uma entrada de R$ 800,00 no fim do 1º período; 
� Uma saída de R$ 600,00 no fim do 2º período; 
� Uma entrada de R$ 2.000,00 e uma saída de R$ 500,00 no fim do 3º período; 
� Uma entrada de R$ 500,00 no fim do 5º período 
 
02. Considere o seguinte fluxo de caixa de um determinado projeto financeiro: 
� Investimento inicial: R$ 1.000.000,00 
� Receita no final do 1º ano: R$ 300.000,00 
� Receita no final do 2º ano: R$ 450.000,00 
� Receita no final do 3º ano: R$ 620.000,00 
� Receita no final do 4º ano: R$ 740.000,00 
Pede-se: 
a) O diagrama de fluxo de caixa 
b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 20% ao ano. 
c) A Taxa Interna de Retorno; 
 
 
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03. Considere o seguinte fluxo de caixa de um determinado projeto financeiro: 
� Investimento inicial: R$ 80.000,00 
� Redução de custos no valor de R$ 30.000,00, porém, com despesas operacionais de R$ 
10.000,00 no final do 1º ano; 
� Redução de custos no valor de R$ 25.000,00 no final do 2º ano; 
� Novo investimento no valor de R$ 10.000,00 no final do 3º ano, sem recuperação de receita; 
� Duas receitas de R$ 30.000,00 ao final dos dois anos seguintes, respectivamente. 
Pede-se: 
a) O diagrama de fluxo de caixa 
b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 5,5% ao ano; 
c) A Taxa Interna de Retorno. 
 
04. Considere o seguinte projeto de investimento com as respectivas previsões de receitas: 
O investimento inicial implica nasseguintes despesas: 
� Aquisição e reforma de ponto comercial: R$ 120.000,00; 
� Compra de móveis e utensílios e equipamentos de informática: R$ 100.000,00; 
� Aquisição de cinco veículos ao custo unitário de R$ 25.000,00; 
� Despesas com treinamento de pessoal: R$ 55.000,00 
As projeções de faturamento líquido pretendido são: 
� Receita no final do 1º ano: R$ 50.000,00 
� Receita no final do 2º ano: R$ 60.000,00 
� Receita no final do 3º ano: R$ 70.000,00 
� Receita no final do 4º ano: R$ 80.000,00 
� Receita no final do 5º ano: R$ 90.000,00 
� Receita no final do 6º ano: R$ 100.000,00 
Pede-se: 
a) O diagrama de fluxo de caixa 
b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 12% ao ano; 
c) A Taxa Interna de Retorno. 
 
05. Uma empresa estuda a possibilidade de abrir uma filial. Para isto está analisando as seguintes 
projeções: 
O investimento inicial implica nas seguintes despesas: 
� Aquisição e reforma de ponto comercial: R$ 90.000,00; 
� Compra de móveis e utensílios e equipamentos de informática: R$ 50.000,00; 
� Diversas outras despesas iniciais: R$ 40.000,00; 
Projeções de faturamento: 
� Receita no final do 1º ano: R$ 55.000,00 
� Receita no final do 2º ano: R$ 55.000,00 
� Receita no final do 3º ano: R$ 60.000,00 
� Receita no final do 4º ano: R$ 65.000,00 
� Receita no final do 5º ano: R$ 70.000,00 
� Receita no final do 6º ano: R$ 75.000,00 
A partir do 1º ao 6º ano, irá pagar encargos no valor de R$ 15.000,00 ao ano. 
Assim sendo, pede-se: 
a) O diagrama de fluxo de caixa 
b) O Valor Presente Líquido, considerando uma taxa igual a 12% ao ano; 
c) A Taxa Interna de Retorno. 
 
 
06. Calcule a Taxa Interna de Retorno para as seguintes alternativas, a partir de um investimento 
inicial de R$ 50.000,00: 
 
 
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ALTERNATIVA RETORNO PRAZO 
A R$ 2.500,00 24 MESES 
B R$ 1.500,00 38 MESES 
C R$ 2.000,00 30 MESES 
 
07. Três dívidas: a primeira no valor de R$ 1.500,00 vencível em 2 meses; a segunda de R$ 
2.060,00 com vencimento para 6 meses e a terceira igual a R$ 2.652,25 a vencer em 7 meses. Qual 
o valor do título único, com vencimento para 5 meses, que substitui os três anteriores, sendo a taxa 
de juros compostos utilizada na negociação igual a 3% ao mês? 
 
08. Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 
ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta 
dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que 
quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. 
 
09. Considere uma nota promissória no valor de R$ 24.333,06 a ser resgatada em 5 meses. Deseja-
se substituí-la por outras três com vencimentos respectivamente para trinta, noventa e cento e 
cinqüenta dias. Depois de alguns cálculos com taxa de juros de 4% ao mês, o credor propõe nas 
respectivas datas, o pagamento de R$ 7.000,00, R$ 8.500,00 R$ 6.950,45, sob o argumento de que 
a proposta atual é equivalente à anterior. Verifique se as duas opções de pagamento são realmente 
equivalentes e justifique sua resposta. 
 
10. Uma dívida no valor de R$ 20.000,00 vence hoje, enquanto outra no valor de R$ 30.000,00 
vence em 6 meses. À taxa de juros compostos de 5% ao mês e considerando um desconto racional, 
obtenha o valor da dívida equivalente às duas anteriores, com vencimento ao fim de 3 meses. 
 
11. Tem-se um título no valor de R$ 20.000,00 vencível em 7 meses. Deseja-se substituí-lo de 
maneira equivalente, por outros três de igual valor, com vencimento para 2, 4 e 6 meses 
respectivamente, com taxa de 2% ao mês de juros compostos. Assim sendo, qual deverá ser o valor 
desse pagamento? 
 
12. Tem-se um título no valor de R$ 30.000,00 vencível em 5 meses. Deseja-se substituí-lo de 
maneira equivalente, por outros três de igual valor, com vencimento para 1, 3 e 7 meses 
respectivamente, com taxa de 3% ao mês de juros compostos. Assim sendo, qual deverá ser o valor 
desse pagamento? 
 
13. Tem-se um título no valor de R$ 40.000,00 vencível em 3 meses. Deseja-se substituí-lo de 
maneira equivalente, por outros três de igual valor, com vencimento para 2, 4 e 6 meses 
respectivamente, com taxa de 5% ao mês de juros compostos. Assim sendo, qual deverá ser o valor 
desse pagamento? 
 
14. Uma pessoa tem uma dívida no valor de R$ 50.000,00 vencível em 6 meses. Verificando suas 
contas, constatou dificuldade para efetuar o pagamento da mesma na data marcada. Por isso, deseja 
substituí-la de maneira equivalente, por outros quatro pagamentos, sendo, três iguais, com 
vencimento para 2, 4 e 8 meses, e outro de valor igual a R$ 3.500,00 com vencimento para 10 
meses. Em todas as negociações será adotada a taxa de juros compostos igual a 2% ao mês. Assim 
sendo, qual deverá ser o valor igual dos três pagamentos? 
 
15. Uma pessoa tem uma dívida no valor de R$ 50.000,00 vencível em 5 meses. Verificando suas 
contas, constatou dificuldade para efetuar o pagamento da mesma na data marcada. Por isso, deseja 
substituí-la de maneira equivalente, por outros quatro pagamentos, sendo, três iguais, com 
vencimento para 2, 3 e 10 meses, e outro de valor igual a R$ 5.000,00 com vencimento para 7 
meses. Em todas as negociações será adotada a taxa de juros compostos igual a 2% ao mês. Assim 
sendo, qual deverá ser o valor igual dos três pagamentos?